广东揭阳第一中学2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试题

2025—2026学年度第二学期高二级数学科期中考试卷答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A D C B D D B C AC AC BCD 12．【答案】-5 13．【答案】4 14．【答案】 15．解：（1），，（2分）， ,（4分） 由全概率公式得 ．（6分） （2）设，依题可知，，则 , 即，（9分） 构造等比数列，设，解得， 则，（10分） 又，，所以是首项为，公比为的等比数列，（12分） 即，． （13分） 16．（1）解平面，平面，．（1分） 在中，，，，，（2分） ,（4分） 又，、平面，平面，（5分） 平面，所以平面平面．（6分） （2）解法一：取的中点，连接，则，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．（8分） 则，，，，（9分） ，，，．（11分） 设平面的一个法向量为，则 所以令，得．（12分） 设平面的一个法向量为， 则所以令，得．（13分） 记平面与平面的夹角为， 则，（14分） 即平面与平面夹角的余弦值为．（15分） 几何法：平面，平面，．（7分） 过作交于，，、平面，平面,（9分） ，（10分） 过作交于，连，又，，平面，平面，平面，,（13分） 所以即为平面与平面所成二面角的平面角．（14分） 在中，，，（15分） ，（16分 ，即平面与平面夹角的余弦值为（17分） 17．（1）解：因为，所以．（1分） 因为的横坐标为，所以的坐标为．（2分） 由，可得曲线在处的切线的斜率为，（3分） 所以处的切线的方程为．（4分） 令，得，即的坐标为，（6分） 所以．（7分） （2）解：由（1）得处的切线的方程为， 令，得，即的坐标为，故，（8分） 所以首项为2，公比为2的等比数列，所以，则,（10分） 则，①．（11分） 所以，②．（12分） ①②得 ，（14分） 所以数列的前项和为．（15分） 18．解：（1）因为，所以的轨迹是以，为焦点，且长轴长为4的椭圆，设的轨迹方程为，则，可得． 又，所以，所以的方程为．（2分） （2）设，过且与相切的直线斜率存在，设直线方程为，（4分） 联立，消去得，（6分） 由，得，（7分） 设两条切线，的斜率分别为，，则，．（8分） ①证明：设的斜率为，则，（9分） 因为，所以，，的斜率成等差数列．（10分） ②法1：在中，令，得，所以，同理，得， 所以的中垂线为．（11分） 易得的中点为，所以的中垂线为，（12分） 联立解得,（13分） 所以，， 要使，则，即，（14分） 整理得而， 所以，解得，，（16分）， 故存在符合题意的点，使得，此时．（17分） 法2：在中，令，得，因此， 同理可得．所以的中垂线为．（11分） 易得的中点为，所以的中垂线为．（12分） 联立解得．（13分） 因为，所以，即，（14分） 而， 所以，解得，，（16分） 故存在符合题意的点，使得，此时．（17分） 法3：要使，即或，从而，．（12分） 又，所以，（14分） 因为， 所以，解得，．（16分）， 故存在符合题意的点，使得，此时．（17分） 法4：要使，即或，．（12分） 在中，令，得，故，同理可得，因此，． 所以，（14分） 故，即， 整理得，所以， 整理得，解得或-9（舍去），（16分） 故存在符合题意的点，使得，此时．（17分） 法5：要使，即或，从而．（12分） 在中，令，得，故，同理可得， 由，（14分） 整理得，所以，整理得 ，解得或-9（舍去），（16分） 故存在符合题意的点，使得，此时．（17分） 19．【详解】（1）的定义域为，，（1分） ①当时，，函数在单调递减；至多有一个零点；（2分） ②当时，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． 取得最小值为．（3分） 因为当时，；当时，， 所以函数有两个零点当且仅当，（4分） 设，函数在单调递增． 因为，的解集为即的取值范围是．（5分） （2）由（1）知，要证：即证：．（6分） 构，则 ．（8分） 在上递减即，即（9分） 又，且在上递增（10分） 即．（11分） （3）因为，由，结合（1）知，（12分） 要证，即证，即，（13分） 当时，因为，，不等式恒成立；（14分） 当时，由得． 即证 即证即证．（15分） 设，， 由．（16分） 所以在单调递增．所以，故．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二级期中考试 数学科试题 考试时长120分钟，总分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知i为虚数单位，复数满足，则（ ） A． B．1 C． D． 2．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（ ） A． B． C．21 D．210 3．食堂周五提供麻婆豆腐，清炒豌豆尖，豆干回锅肉，水煮肉片，麻辣小龙虾共五道菜，其中后三道为荤菜，小轩同学任打两道菜，正好打到一荤一素的概率（ ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．已知直线与圆交于，两点，为圆心，若的面积等于8，则（ ） A． B． C． D． 6．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的是（ ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项 7．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法中错误的是（ ） A． B． C． D． 8．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（ ） A．64 B．65 C．68 D．72 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于抛物线上，下列描述正确的是（ ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 10．在学校的数学节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的正确结论为（ ） A．棱长为； B．两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是； C．表面积为； D．外接球的体积为． 11．已知函数，则（ ） A．函数在时，取得极小值 B．对于，恒成立 C．若，则 D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1 第二部分非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线的渐近线方程为，则________． 13．设底面为正三角形的直棱柱的体积为16，那么其表面积取极小值时底面边长为________． 14．若抛掷一枚质地均匀的骰子两次，落地时朝上的面的点数分别为，．设事件“函数为奇函数”，“函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点”，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件． （1）求的值： （2）求（用表示）． 16．（15分）如图四棱锥中，平面，，，是等边三角形，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）已知曲线，曲线在点处的切线交轴于点，过作与轴垂直的直线与交于点，曲线在点处的切线交轴于点，…，依次下去，得到点列：，，，…，，…，设的横坐标为． （1）求证：； （2）求数列的前项和． 18．（17分）已知点，，动点满足，动点的轨迹记为． （1）求的方程： （2）直线与轴交于点，为上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点，． ①证明：直线，，的斜率成等差数列； ②圆经过，，三点，是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知函数有两个零点，，，为的导函数． （1）求实数的取值范围； （2）证明：； （3）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $