精品解析：山东省青岛市崂山区育才学校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

2025-2026年7下数学期中（崂山育才） 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 某种新型流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为米． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项、单项式乘法、积的乘方、单项式除法的法则，对每个选项逐一计算判断即可； 【详解】解：A：，A错误； B：，B错误； C：，C正确； D：，D错误． 3. 如图，，平分，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得答案． 【详解】解：， ， 平分， ． 故选：B 4. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论． 【详解】A、∵，∴，故该选项符合题意； B、∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法及幂的乘方的逆运用，根据对相应的运算法则将变形为是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 6. 如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定对各选项进行判断即可． 【详解】解：已知，， 选项A：若，根据即可证明，不符合题意； 选项B：若，根据即可证明，不符合题意； 选项C：若，其相关关系为，不可证明，符合题意； 选项D：若，根据即可证明，不符合题意． 7. 如图，在中，于点D、E是上一点，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质，可得，再根据周长为，即可求解． 【详解】解：， ， ， 则的周长为． 故选：D． 8. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. 7或 B. 或5 C. 11或 D. 或13 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式，解决问题的关键是根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解． 依据完全平方公式，这里首末两项分别是和3的平方，那么中间项为加上或减去和3的乘积的2倍． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴ 解得或． 故选D． 9. 如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点，则阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，连接、、，由点A，B，C分别是，，的中点得出，，，从而得出，，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、， ， ∵的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 10. 如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简代数式，再用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的乘法，求代数式的值，熟练掌握整式化简及整体代入法是解决本题的关键． 12. 一个角的余角比它的补角的还少，则这个角余角的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了余角的定义和补角的定义，理解“和为的两个角互为余角，和为的两个角互为补角．”是解题的关键． 首先设这个角是，则它的余角为，它的补角为，由题意得方程，再解方程即可． 【详解】解：设这个角是，则它的余角为，它的补角为，由题意得： ， 解得：， ∴这个角的余角是：， 故答案为：． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定总卡片数和“立秋”卡片数，再用“立秋”卡片数除以总卡片数得到可能性． 【详解】解：∵在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为． 14. 已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】先由积的乘方逆运算将原式变形为，再结合平方差公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 15. 如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则______． 【答案】30 【解析】 【分析】根据三角形高和角平分线的性质得到、，进而利用三角形内角和定理得到，再得到，据此求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：，分别是的高线和角平分线， 、， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 16. 将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点P，，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且，当______时，与三角板的直角边平行． 【答案】5或35或65 【解析】 【分析】根据题意，分3种情况讨论：当时，当时，当第二次平行于时，画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得到答案． 【详解】解：如图，时， 延长交于D点， 则，， ， ， ， ， ， 解得； ②如图：时， ，， ， ， ， 解得； ③如图第二次平行于时， 设与的交点为E， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算 （1）； （2）． （3）． （4） （5） （6）化简求值：，其中． 【答案】（1）4 （2） （3） （4） （5）16 （6）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解： ， 当，原式． 18. 如图，点是线段上的一点，请用尺规过点作直线，使． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，作一个角等于已知角，熟练掌握平行线的判定，作一个角等于已知角的方法是解题的关键． 过点作即可得到． 【详解】解：如图，直线即为所求： 19. 如果，则，例如：，则， （1）根据上述规定，若，则________． （2）记，求之间的数量关系 （3）已知，，求下列代数式的值： ①_____，_____； ②_____ 【答案】（1） （2） （3）①36；；② 【解析】 【分析】（1）根据定义可得，据此可得答案； （2）根据定义可得，则可得到，进而得到，据此可得答案； （3）①根据可得第一空的答案，根据可得第二空的答案；②根据，求出的值，再根据可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵， ∴； 又∵， ∴； ②∵， ∴， ∴． 20. 如图，已知：，． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据可得，然后根据，可证明，即可得出结果； （2）首先推导出，，然后依据平分，得到，利用，得到． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 21. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 （1）请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近________；（精确到） （2）假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为________； （3）试估算盒子里红球的数量为________个，黑球的数量为________个． （4）若先从袋子中取出（）个红球，再从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件，则________． （5）若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个红球的概率为，则的值为________． 【答案】（1） （2） （3），； （4）； （5）3 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率公式，当摸球的次数足够大时，摸到红球的频率会接近摸到红球的概率． 由统计表中的数据可知，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率越来越接近； 因为随着摸球次数的增加，摸到红球的频率越来越接近，所以找到红球的概率估计值是； 用摸到红球的频率代表摸到红球的概率计算出盒子里红球的数量大约为个，黑球的数量大约为个； 因为摸到黑球是必然事件，所以袋子里没有红球只有黑球，所以应取出个红球； 由可知，袋子中有个红球，个黑球，若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球，则袋子中红球的个数是个红球，个黑球，根据概率公式可得关于的方程，解方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：由统计表中的数据可知，随着摸球次数的增加， 摸到红球的频率越来越接近， 当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近； 【小问2详解】 解：由可知，当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近， 摸到红球的概率估计值为； 【小问3详解】 解：红球的个数为(个)， 黑球的个数为(个)， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件， 则袋子中全部是黑球，红球的个数是， 由可知，估计袋子中有个红球， 应从袋子中取出个红球， 故答案为：； 【小问5详解】 由可知，袋子中有个红球，个黑球， 若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球， 则袋子中红球的个数是个红球，个黑球， 随机摸出个红球的概率为， ， 解得：， 故答案为：． 22. 数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，第一小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，测量方案如表： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 ①第一小组在地面上的点C处安装一测角仪，测得的度数，然后沿方向走到点E处，在点E处安装一测角仪，测得的度数，发现与互余； ②测得，，利用激光笔测得点A，Q，P在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计． 请根据测量方案求出教学楼顶部宣传牌的高度． 【答案】教学楼顶部宣传牌的高度为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，余角，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．根据三角形内角和定理和余角的性质可得出，根据证明，得出，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 答：教学楼顶部宣传牌的高度为． 23. 按要求完成下列各题： （1）如图1，，为等边三角形，连接，，求证：． 探索思路如下： ∵，为等边三角形， ∴，，， ∴，（①__________________） 即， 在与中， ， ∴（②__________________）， ∴（③__________________）， 请在上面三个（ ）中填写适当的理由． 【模型应用】 （2）如图2，在与中，，，，B，D，E三点在一条直线上，与交于点F，连接． ①证明：； ②求的度数． 【答案】（1）理由见详解 （2）①证明见详解；② 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，，则可证明，再利用证明即可证明； （2）①证明，可得到； ②利用①的结论和三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵，为等边三角形， ∴，，， ∴，（等式的性质） 即， 在与中， ， ∴（）， ∴（全等三角形的对应角相等）， 【小问2详解】 解：①证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴ ． 24. 如图，在等边三角形中，，，点为边上一点且．点为边上的动点，从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点后停止运动；点为边上的动点，从点出发向点运动．、两点同时出发（设运动时间为）． （1）如图，若点的速度与点的速度相等，则______秒时，与全等，此时，______． （2）如图，若点的速度与点的速度不相等，点到达点后停止，则点的速度为多少时，在运动过程中存在与全等，请说明理由； （3）若点的速度与点的速度不相等，点到达点后折返一次，回到点后停止运动，则点的速度为多少时，在运动过程中存在与全等，请直接写出点的运动速度． 【答案】（1）2，60 （2）单位长度/秒，求解过程见解析 （3）单位长度/秒或单位长度/秒或单位长度/秒 【解析】 【分析】（1）根据，构建方程求解即可； （2）由点的速度与点的速度不相等，在运动过程中存在与全等，只能，，由此可得结论； （3）由点的速度与点的速度不相等，点到达点后折返一次，回到点后停止运动，在运动过程中存在与全等，推出，或，或，求出点的运动路程，可得结论． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，， ， 当时，， ， ∵， ， ， ． 【小问2详解】 解：点的速度与点的速度不相等，在运动过程中存在与全等， 只能，， ， 点是速度为单位长度秒； 【小问3详解】 解：点的速度与点的速度不相等，点到达点后折返一次，回到点后停止运动，在运动过程中存在与全等， ，或， 或， 点的运动路程为或点的运动路程是， 点是速度为单位长度秒或点是速度为单位长度秒． 结合中结论，满足条件的点是速度是单位长度秒或单位长度秒或单位长度秒． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年7下数学期中（崂山育才） 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 某种新型流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，平分，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，于点D、E是上一点，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. 7或 B. 或5 C. 11或 D. 或13 9. 如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点，则阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 10. 如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知，则代数式的值为________． 12. 一个角的余角比它的补角的还少，则这个角余角的度数为__________． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为______． 14. 已知，则 ______． 15. 如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则______． 16. 将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点P，，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且，当______时，与三角板的直角边平行． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算 （1）； （2）． （3）． （4） （5） （6）化简求值：，其中． 18. 如图，点是线段上的一点，请用尺规过点作直线，使． 19. 如果，则，例如：，则， （1）根据上述规定，若，则________． （2）记，求之间的数量关系 （3）已知，，求下列代数式的值： ①_____，_____； ②_____ 20. 如图，已知：，． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）若平分，于点E，，求的度数． 21. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 （1）请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近________；（精确到） （2）假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为________； （3）试估算盒子里红球的数量为________个，黑球的数量为________个． （4）若先从袋子中取出（）个红球，再从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件，则________． （5）若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个红球的概率为，则的值为________． 22. 数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，第一小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，测量方案如表： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 ①第一小组在地面上的点C处安装一测角仪，测得的度数，然后沿方向走到点E处，在点E处安装一测角仪，测得的度数，发现与互余； ②测得，，利用激光笔测得点A，Q，P在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计． 请根据测量方案求出教学楼顶部宣传牌的高度． 23. 按要求完成下列各题： （1）如图1，，为等边三角形，连接，，求证：． 探索思路如下： ∵，为等边三角形， ∴，，， ∴，（①__________________） 即， 在与中， ， ∴（②__________________）， ∴（③__________________）， 请在上面三个（ ）中填写适当的理由． 【模型应用】 （2）如图2，在与中，，，，B，D，E三点在一条直线上，与交于点F，连接． ①证明：； ②求的度数． 24. 如图，在等边三角形中，，，点为边上一点且．点为边上的动点，从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点后停止运动；点为边上的动点，从点出发向点运动．、两点同时出发（设运动时间为）． （1）如图，若点的速度与点的速度相等，则______秒时，与全等，此时，______． （2）如图，若点的速度与点的速度不相等，点到达点后停止，则点的速度为多少时，在运动过程中存在与全等，请说明理由； （3）若点的速度与点的速度不相等，点到达点后折返一次，回到点后停止运动，则点的速度为多少时，在运动过程中存在与全等，请直接写出点的运动速度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $