精品解析：山东省淄博市博山中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

2025-2026学年初二下期中考试数学试卷 一、选择题（共12小题，每题4分，共48分） 1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 2. 要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 4. 把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（ ） A. 14 B. 11 C. 7 D. 4 6. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 8. 一副三角尺如图放置，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ） A. 48° B. 58° C. 60° D. 69° 10. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超.如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 12. 已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共10小题，每题4分，共40分） 13. 命题“如果，那么”命题是 ______命题．（填“真”或“假”） 14. 有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，，，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是______． 15. 已知关于的不等式是一元一次不等式，那么_______． 16. 将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 17. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________． 18. 用8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，也可以拼成如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为3cm的小正方形，则一个小长方形的面积是 _____cm2． 19. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身可以和两个盒底可制成一个罐头盒.现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒，根据题意，可列方程组_________________. 20. 不透明的口袋中有黑白围棋子若干颗，已知随机摸出一颗是白棋子的概率为，若加入10颗白棋子，随机摸出一颗是白棋子的概率为，口袋中原来有______颗围棋子． 21. 已知关于x，y的方程组且，则k的值为_________． 22. 如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是_________度． 三、解答题（共7小题） 23. 解下列方程组： （1）； （2）． 24. 解下列不等式，并将解集表示在数轴上 （1）； （2）． 25. 将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F， （1）求证：CF∥AB， （2）求∠DFC的度数． 26. 乌海市第二中学为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”的号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“防疫宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上统计图，解答下列问题： （1）本次随机抽取的学生共有______名； （2）参与了5项活动的学生人所在区域的圆心角度数为______； （3）若该校有3000名学生，请估计参与了4项活动的学生人数______； （4）在所调查的学生中随机选取一人谈活动心得，求选中参与了5项活动的学生的概率． 27. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 28. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k、b的值； （2）请直接写出方程组的解； （3）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 29. 如图，已知，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是的平分线，CE的反向延长线与的平分线交于点F． （1）如图1，若，当时，直接写出的度数； （2）如图2，若，当点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数； （3）如图3，设的度数为m，当点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），你能求出的度数吗？请用含m的代数式表示，写出你的解答过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初二下期中考试数学试卷 一、选择题（共12小题，每题4分，共48分） 1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 2. 要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较法则判断即可． 【详解】解：当，时，，而， ∴命题“若，则”是假命题， 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 3. 下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元一次不等式需要满足：是不等式，只含一个未知数，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、不含未知数，不符合要求； B、含有两个未知数，且的最高次数为2，不符合要求； C、是不等式，只含一个未知数，且的最高次数为1，符合要求； D、是代数式，不是不等式，不符合要求． 4. 把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用等式的性质对等式进行变形，掌握等式的性质是解题的关键．要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边，再把的系数化为即可． 【详解】解：， 移项得：， 解得：， 故选：D． 5. 已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（ ） A. 14 B. 11 C. 7 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，整体代入的思想是解题的关键．把和的值代入方程即可求出与的关系式，然后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，把代入， 得 ∴ 故选：B． 6. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行求解是解决本题的关键． 先解一元一次不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可得出答案． 【详解】解：解不等式， 解得． 所以不等式的解集在数轴上表示为： 故选：C． 7. 如图，下列条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、不能判定，该选项不合题意； 、不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，该选项符合题意； 故选：． 8. 一副三角尺如图放置，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、邻补角，三角形的内角和定理，熟练运用平行线的性质是关键． 利用平行线的性质求出，根据三角形内角和求出，进一步求出． 【详解】解：如图，∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 9. 将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ） A. 48° B. 58° C. 60° D. 69° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，∠4＝∠5，再根据∠1＝42°和折叠的性质，即可得到∠2的度数，本题得以解决． 【详解】解：如图所示， ∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°， ∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5， ∴∠5＝42°， 由折叠的性质可知，∠2＝∠3， ∵∠2＋∠3＋∠5＝180°， ∴∠2＝69°， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超.如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用中间正方形小孔的面积除以圆的总面积即可得． 【详解】∵铜钱的面积为4π，而中间正方形小孔的面积为1， ∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ， 故选D． 【点睛】考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 11. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意可得 故选D． 12. 已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；求出，，，得到，得到为直角三角形；求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为． 【详解】解：①∵直线：与直线：都经过， ∴方程组的解为， 故①正确，符合题意； ②把，代入直线：，可得， 解得， ∴直线：， 把代入直线：，可得， 中，令，则， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， 故②正确，符合题意； ③在直线：中，令，则， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④点A关于y轴对称的点为， 由点C、的坐标得，直线的表达式为：， 令，则， ∴当的值最小时，点P的坐标为， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，解答本题的关键要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 二、填空题（共10小题，每题4分，共40分） 13. 命题“如果，那么”命题是 ______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：命题“如果，那么”命题是真命题； 故答案为真． 【点睛】本题主要考查真假命题，解题的关键是熟记相关概念． 14. 有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，，，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题考查简单概率公式求概率，涉及无理数定义，根据所给五个数，确定无理数的个数，利用简单概率公式代值求解即可得到答案，熟记无理数定义及简单概率公式是解决问题的关键． 【详解】解：，，，，0中有一个无理数，混合后随机抽取一张，有5种等可能的结果， 混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是， 故答案为：． 15. 已知关于的不等式是一元一次不等式，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故答案为：． 16. 将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【解析】 【分析】找出原命题的题设与结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中， 改写为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 17. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)，熟知一次函数与二元一次方程组之间的关系是解题的关键．先求出点P的坐标，再根据二元一次方程组与一次函数之间的关系即可解决问题． 【详解】解∶将代入得，． 解得． 点P的坐标为． 方程组的解可看成函数与函数图象的交点坐标， 此方程组的解为 18. 用8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，也可以拼成如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为3cm的小正方形，则一个小长方形的面积是 _____cm2． 【答案】135 【解析】 【分析】设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm，观察图形，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组得出小长方形的长和宽，即可解决问题． 【详解】解：设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm， 依题意得：， 解得：， 则每个小长方形的面积=15×9=135（）． 故答案为：135． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 19. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身可以和两个盒底可制成一个罐头盒.现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒，根据题意，可列方程组_________________. 【答案】 【解析】 【分析】制作盒身与盒底的白铁皮张数为36；制作而成的盒身是盒底数量的一半即可列出方程组. 【详解】解：由题可列方程组 故答案为 【点睛】本题主要考查学生利用二元一次方程组解决实际问题的能力.解题的关键在于要找出题中的两个相等关系：①制作盒身与盒底的白铁皮张数为36；②制作而成的盒身是盒底数量的一半. 20. 不透明的口袋中有黑白围棋子若干颗，已知随机摸出一颗是白棋子的概率为，若加入10颗白棋子，随机摸出一颗是白棋子的概率为，口袋中原来有______颗围棋子． 【答案】200 【解析】 【分析】分别设出原来口袋中黑白棋子的个数，再根据概率公式列方程组解答即可． 【详解】解：设原来口袋中分别有黑白棋子的个数分别为x、y，则 ， 解得， ∴x＋y＝200， 故口袋中原来有200颗围棋子． 故答案为：200 【点睛】此题主要考查了概率公式，关键是根据概率＝所求情况数与总情况数之比来列方程． 21. 已知关于x，y的方程组且，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 由得，，即 解得： 故答案为：． 22. 如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是_________度． 【答案】120 【解析】 【分析】在图中由平行的性质求得，，在图中由折叠的性质求得，，在图中再根据即可求解． 【详解】解：在图中：， ， 在图中：， ， 在图中：， ， 故答案为：120． 【点睛】本题考查折叠的相关性质．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应角相等． 三、解答题（共7小题） 23. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由题意利用①×2得：4x﹣2y＝2③，然后利用②+③可消去未知数y，解出x的值，然后可得y的值； （2）根据题意首先把两个方程化简，然后再利用加法消元进行计算即可． 【详解】解：（1）． ①×2得：4x﹣2y＝2③， ②+③得：7x＝7， 解得：x＝1， 把x＝1代入①得：y＝1， 方程组的解为：； （2）， 由①得：3x﹣y＝8③， 由②得：5y﹣3x＝20④， ③+④得：4y＝28， 解得：y＝7， 把y＝7代入③得：x＝5， 方程组的解为 ． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组． 24. 解下列不等式，并将解集表示在数轴上 （1）； （2）． 【答案】（1），数轴见解析 （2），数轴见解析 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，再表示在数轴上即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，再表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 在数轴上表示如图所示： ； 【小问2详解】 解：去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得： 在数轴上表示如图所示： ． 25. 将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F， （1）求证：CF∥AB， （2）求∠DFC的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）105° 【解析】 【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF； （2）利用三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：（1）证明：∵CF平分∠DCE， ∴∠1=∠2=∠DCE． ∵∠DCE=90°， ∴∠1=45°． ∵∠3=45°， ∴∠1=∠3． ∴AB∥CF． （2）∵∠D=30°，∠1=45°， ∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°． 【点睛】本题考查平行线的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是本题的解题关键． 26. 乌海市第二中学为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”的号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“防疫宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上统计图，解答下列问题： （1）本次随机抽取的学生共有______名； （2）参与了5项活动的学生人所在区域的圆心角度数为______； （3）若该校有3000名学生，请估计参与了4项活动的学生人数______； （4）在所调查的学生中随机选取一人谈活动心得，求选中参与了5项活动的学生的概率． 【答案】（1）50 （2） （3）720 （4） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，概率公式． （1）根据参与2项的人数为14名，占参与调查人数的28%，进行除法运算即可得出抽取学生的总人数； （2）总人数减去参加活动项目个数分别为1项、2项、3项、4项的人数，即可得出参与5项活动的人数，即可求解； （3）利用总学生人数乘以参与了4项活动的学生所占的百分比，即可得出答案； （4）利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次随机抽取的学生共有： （名） 答：被随机抽取的学生共50名； 故答案为：50； 【小问2详解】 解：活动数为5项的人数为：名， 参与了5项活动的学生人所在区域的圆心角度数为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计参与了4项活动的学生大约有720人； 故答案为：720； 【小问4详解】 解：∵共抽取了50名学生，其中参与了5项活动的学生有6名， ∴（选中参与了5项活动的学生）． 27. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 （2）共有2种购买方案，最大利润是220元 【解析】 【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【小问1详解】 解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． 【小问2详解】 解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 28. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k、b的值； （2）请直接写出方程组的解； （3）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点D的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与三角形的面积等知识，熟练掌握函数图象和性质是解题的关键． （1）由正比例函数表达式求出交点，将两个点坐标代入一次函数即可； （2）识别出方程组就是一次函数与正比例函数的表达式组成的，故解为其交点坐标； （3）先由题意算出一个三角形的面积，根据等式即可求出答案． 【小问1详解】 解：点C在上，且点C的横坐标为1 的图象经过点 解得 ； 【小问2详解】 由图象和方程组知 其解为函数与的交点坐标，即 ； 【小问3详解】 点D在y轴上，设 由（1）知一次函数的表达式为 当时，即 故点D的坐标为或． 29. 如图，已知，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是的平分线，CE的反向延长线与的平分线交于点F． （1）如图1，若，当时，直接写出的度数； （2）如图2，若，当点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数； （3）如图3，设的度数为m，当点C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），你能求出的度数吗？请用含m的代数式表示，写出你的解答过程． 【答案】（1） （2）不变化， （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和是180°，可求∠CDO＝50°，所以∠CDF＝25°，又由平角定义，可求∠ACD＝140°，所以∠ECD＝70°，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可求∠ECD＝∠F＋∠CDF，∠F＝45度； （2）根据CE是的平分线，DF是的平分线，得出，，根据三角形外角的性质，得出，即可得出答案； （3）设，，根据三角形外角的性质，得出，，整理可得． 【小问1详解】 解：∵CE平分∠ACD，DF平分∠CDO， ∴∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO， ∵∠OCD＝40°， ∴∠ACD＝140°，∠CDO＝50°， ∴∠ECD＝70°，∠CDF＝25°， ∴∠F＝∠ECD−∠CDF＝70°−25°＝45°． 【小问2详解】 解：不变化，． ， ，， CE是的平分线，DF是的平分线， ，， ， ， ． 【小问3详解】 解：． 设，， ， ， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和与外角性质的综合应用，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是180°，是解题的关键．题目难度由浅入深，由特例到一般，是学生练习提高的必备题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $