精品解析：湖南岳阳市汨罗市2026届高三下学期学情自测数学试题

高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的虚部为0，则实数（ ） A. B. C. －2 D. 2 3. 平行四边形ABCD中，为BC边上的三等分点（靠近点），若以为起点，将向量表示为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若的面积为，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 6. 设是椭圆的两个焦点，点在上，命题，命题：为直角三角形，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知的展开式中项的系数为35，则实数的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 在上的两根和为 10. 已知点，直线，动点到的垂线为PQ，Q为垂足，且满足，记动点的轨迹为，下列说法正确的有（ ） A. E的方程为 B. 若，则的最小值为4 C. 过作斜率为的直线交于A，B两点，则 D. 上存在两点关于直线对称 11. 定义：若存在常数，对定义域内任意，都有成立，则称是“—阶增长函数”．已知是定义在上的奇函数，当时，，且是“1—阶增长函数”，下列说法正确的有（ ） A. 当时， B. 若，则是周期函数 C. 实数的取值范围是 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的定义域为，周期为4，当时，，则______． 13. 采用分层随机抽样抽取某校高一10人、高二20人、高三20人的数学成绩样本．已知高一、高二、高三的样本平均分分别为80、85、90，样本方差分别为5、6、9，则估计该校全体学生数学成绩的方差为______．（方差计算公式：，其中为总样本容量，为分层的层数，为第层的样本容量，为第层的样本方差；为第层的样本均值，为所有样本的总均值） 14. 在棱长为2的正方体中，点在表面上运动（含端点），且满足，当二面角的正切值为时，三棱锥的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，底面，点，分别为棱PC，PB的中点． （1）证明：平面BCD； （2）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值． 16. 已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，记的前项和为，证明：对任意，都有． 17. 为强化高三学生的安全防范意识，某市举办校园安全知识闯关竞赛，赛前随机抽取100名参赛学生进行模拟测试，记录两轮答题的通过情况，得到统计数据如下： 第二轮答对 第二轮答错 合计 第一轮答对 60 20 80 第一轮答错 10 10 20 合计 70 30 100 （1）从参与模拟测试的100名学生中随机抽取1人，已知抽到的学生第二轮答题答对，求他第一轮答题也答对的概率； （2）正式竞赛则如下：①每位选手需先作答第一轮题目：若第一轮答错，直接结束比赛，最终得0分；若第一轮答对，可得9分基础分，同时选手需立刻决定是否继续作答第二轮（不可查看第二轮题目后再决策）．②若选手选择放弃作答第二轮，最终得分即为9分，比赛结束；若选择作答第二轮，第二轮答对则最终得分为10分，答错则最终得分为5分，比赛结束．已知选手小张每轮答题结果相互独立，且他答题答对的概率可近似的用模拟测试的频率来估计．小张希望自己最终得分的数学期望尽可能高，需要在赛前确定“是否作答第二轮”的固定策略，请你通过计算分布列与数学期望，探究小张应该选择哪种策略，写出你的分析过程． 18. 已知函数，其中e为自然对数的底数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若存在两个不同的极值点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明． 19. 已知双曲线的离心率为，其右顶点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点作垂直于轴的直线，与双曲线交于M，N两点，点为双曲线位于y轴正半轴的虚轴端点，求的面积； （3）设P，Q为双曲线上不同的两点，且，证明：点到直线PQ的距离为定值，并求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，集合，则. 2. 已知复数的虚部为0，则实数（ ） A. B. C. －2 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】，虚部，解得． 3. 平行四边形ABCD中，为BC边上的三等分点（靠近点），若以为起点，将向量表示为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用表示出后可得. 【详解】由平行四边形性质，．为BC上靠近的三等分点，故． 于是， 因此． 4. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以， 而，所以． 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若的面积为，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由面积公式，解得． 由余弦定理，代入，得，即． 于是，所以． 6. 设是椭圆的两个焦点，点在上，命题，命题：为直角三角形，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由椭圆方程得，焦距， 设，则，若成立，即， 解得或，此时三边为， 满足，故为直角三角形，即； 若成立，即为直角三角形，若直角顶点为，则， 结合得，此时成立，若直角顶点为或，则或， 的横坐标为，代入椭圆方程得，此时为， ，此时不成立，因此成立时不一定成立，即是的充分不必要条件． 7. 已知的展开式中项的系数为35，则实数的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】已知展开式中项的系数为35，利用二项式定理，则项的系数为：． 即． 8. 已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设公切线方程为，分别与的图象切于点，与的图象切于点，根据导数的几何意义得出，消去得关于的方程，两边取自然对数后令，定义函数，其定义域为（当）或（当）．利用导数求出的极小值，再根据极小值的正负讨论的解的个数得出参数范围. 【详解】，， 设公切线方程为，直线与的图象切于点，与的图象切于点， 则，，， 所以． 即，由， 得，代入，得关于的方程． 等式两边取对数得， 令，定义函数， 其定义域为（当）或（当）． 则， 当时，在单调递减，在上单调递增，此时在处取极小值； 当时，同理可得在处取极小值， 故有唯一极小值点，极小值为． 的解的个数对应公切线的条数： 若，则有两个解，即有两条公切线； 若，则有一个解，即一条公切线； 若，则无解，即无公切线． 当时，则，分子（因恒成立），故； 当时，可得，令可得，即，解得． 此外，时无公切线，时仅一条． 因此，恰好有两条公切线时的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 在上的两根和为 【答案】AD 【解析】 【详解】由正弦函数的性质知，的最大值为1，A正确． 由，故不是对称轴，B错误． 因为，C错误． 由，得，即，，而， 所以时，时，故，D正确． 10. 已知点，直线，动点到的垂线为PQ，Q为垂足，且满足，记动点的轨迹为，下列说法正确的有（ ） A. E的方程为 B. 若，则的最小值为4 C. 过作斜率为的直线交于A，B两点，则 D. 上存在两点关于直线对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，设，则，由可列出等式，整理得到的方程为抛物线；B选项，根据抛物线的定义把转为，利用几何知识求解；C选项，联立该直线和的方程求解得到交点，再利用弦长公式计算即可；D选项，通过联立方程得到该直线与抛物线相切，从而不存在两点关于它对称. 【详解】设，则 由条件得，整理得，A正确； 根据抛物线的定义，等于点到准线的距离（记为）， 因此，当时取等，B正确； 过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，联立方程 得，解得，则，C正确； 联立方程得，因为，所以与相切， 故上不存在两点关于直线对称，D错误． 11. 定义：若存在常数，对定义域内任意，都有成立，则称是“—阶增长函数”．已知是定义在上的奇函数，当时，，且是“1—阶增长函数”，下列说法正确的有（ ） A. 当时， B. 若，则是周期函数 C. 实数的取值范围是 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据奇函数的性质求时的解析式；对于B，当时，，根据周期函数的定义判断；对于C，分段验证，求出的取值范围；对于D，取解不等式. 【详解】已知函数是奇函数，且当时，． 对于A，由奇函数性质可得当时，，故A正确． 对于B，当时，，不是周期函数，故B错误． 对于C，， 验证外侧区间：当时， 恒成立， 当时， 恒成立， 中间区间要求：当时， 若：，不满足； 若：， 要让对所有成立，只需最小值， 即，且对恒成立，即， 解得，因此，，故C正确． 对于D，当，时，， 当时，, 综上所述，， 所以的解集为，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的定义域为，周期为4，当时，，则______． 【答案】7 【解析】 【详解】， 因此． 13. 采用分层随机抽样抽取某校高一10人、高二20人、高三20人的数学成绩样本．已知高一、高二、高三的样本平均分分别为80、85、90，样本方差分别为5、6、9，则估计该校全体学生数学成绩的方差为______．（方差计算公式：，其中为总样本容量，为分层的层数，为第层的样本容量，为第层的样本方差；为第层的样本均值，为所有样本的总均值） 【答案】21 【解析】 【详解】依题意，总的样本容量，总样本均值， 代入公式计算： ． 故方差为21． 14. 在棱长为2的正方体中，点在表面上运动（含端点），且满足，当二面角的正切值为时，三棱锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用求点的轨迹，再利用二面角的正切值求出点的坐标，最后利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】以为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 因为正方体棱长为2，所以， 设动点， 由得：，得， 即动点的轨迹为线段端点为和， 由于侧面，故且，因此二面角的平面角为， 根据题意，，结合轨迹条件，得即点坐标为． 又因为，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，底面，点，分别为棱PC，PB的中点． （1）证明：平面BCD； （2）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，进而求证即可； （2）结合正弦定理分析可得，进而得到，，法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；法二：连接DF，分析可得为直线CD与平面PBC所成角，进而求解即可. 【小问1详解】 ∵点E，F分别为棱PC，PB的中点， 为的中位线，且， 平面平面BCD，平面BCD． 【小问2详解】 在中，， 由正弦定理，得， 即，故， ． 又底面，底面，， 在中，，故， 法一：∴以为原点，DB为轴，DP为轴，建立空间直角坐标系， 则，，取方向向量． 又，则． 设平面PBC的法向量为， 由，得解得，取． 设直线CD与平面PBC所成角为， 则． 所以直线CD与平面PBC所成角的正弦值为． 法二：连接DF，因为底面BCD，所以， 又因为平面PBD， 所以平面PBD，又平面PBD，所以． 因为，所以． 因为平面，所以平面PBC， 所以为直线CD与平面PBC所成角， 在中，，所以． 16. 已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，记的前项和为，证明：对任意，都有． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等比中项的性质求解即可. （2）求出，利用裂项相消法求出，进一步证明即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则． 由成等比数列，得． 展开得，化简得，即． 因为，所以，于是． 【小问2详解】 由（1）知，则． 又，所以． 于是． 故对任意，都有. 17. 为强化高三学生的安全防范意识，某市举办校园安全知识闯关竞赛，赛前随机抽取100名参赛学生进行模拟测试，记录两轮答题的通过情况，得到统计数据如下： 第二轮答对 第二轮答错 合计 第一轮答对 60 20 80 第一轮答错 10 10 20 合计 70 30 100 （1）从参与模拟测试的100名学生中随机抽取1人，已知抽到的学生第二轮答题答对，求他第一轮答题也答对的概率； （2）正式竞赛则如下：①每位选手需先作答第一轮题目：若第一轮答错，直接结束比赛，最终得0分；若第一轮答对，可得9分基础分，同时选手需立刻决定是否继续作答第二轮（不可查看第二轮题目后再决策）．②若选手选择放弃作答第二轮，最终得分即为9分，比赛结束；若选择作答第二轮，第二轮答对则最终得分为10分，答错则最终得分为5分，比赛结束．已知选手小张每轮答题结果相互独立，且他答题答对的概率可近似的用模拟测试的频率来估计．小张希望自己最终得分的数学期望尽可能高，需要在赛前确定“是否作答第二轮”的固定策略，请你通过计算分布列与数学期望，探究小张应该选择哪种策略，写出你的分析过程． 【答案】（1） （2）小张应选择放弃第二轮的策略，过程见解析 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式计算； （2）分别计算两种策略下的得分的分布列，计算出期望后比较. 【小问1详解】 设事件：第一轮答对，事件：第二轮答对． 由表中数据，， 所以． 【小问2详解】 由模拟测试频率，小张第一轮答对的概率， 第二轮答对的概率，且两轮相互独立． 若选择第一轮答对后放弃第二轮，则最终得分的分布为： 第一轮答错（概率0.2），得0分； 第一轮答对（概率0.8），得9分． 期望． 若选择第一轮答对后作答第二轮，则最终得分的分布为： 第一轮答错（概率0.2），得0分； 第一轮答对且第二轮答对（概率），得10分； 第一轮答对且第二轮答错（概率），得5分． 分布列如下： 0 5 10 0.2 0.24 0.56 期望． 因为，所以小张应选择放弃第二轮的策略． 18. 已知函数，其中e为自然对数的底数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若存在两个不同的极值点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明． 【答案】（1）单调递增区间为． （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导可得，根据，确定的符号，进而判断原函数的单调性； （2）（ⅰ）由是方程的两根，构造函数，利用直线与的图像有两个交点，利用导数求出范围； （ⅱ）设，由（ⅰ）得，由已知得，令，得，即证．通过构造函数，利用函数的导数证明对恒成立即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为．求导得． 令则 令得 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 即恒成立． 因此，在上单调递增，单调递增区间为． 【小问2详解】 （ⅰ），若有两个不同的极值点，则方程有两个不同的实数根． 显然不是根，故可化为． 设，则． 当时，单调递减，且； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 又时时，故在上从减至e，在上从e增至． 因此，当时，直线与的图像有两个交点，分别位于和，对应两个不同的极值点（且）． 当时有一个交点，当时无交点， 当时有一个交点． 故实数的取值范围是． （ⅱ）不妨设，由（ⅰ）得，，，即，两边取对数得． 令，则，代入得，解得． 于是． 要证，即证，等价于． 设，则． 令，则， 故在上单调递增，且，所以，即． 因此在上单调递增，又，故对恒成立． 从而原不等式成立，即． 19. 已知双曲线的离心率为，其右顶点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点作垂直于轴的直线，与双曲线交于M，N两点，点为双曲线位于y轴正半轴的虚轴端点，求的面积； （3）设P，Q为双曲线上不同的两点，且，证明：点到直线PQ的距离为定值，并求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析，最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据离心率和点到直线的距离公式求出和，从而求出双曲线的标准方程； （2）先求出直线的方程，再联立双曲线方程，从而求出M，N两点坐标，得到MN的长度，再计算点到直线的距离，得到的面积； （3）对直线PQ斜率分存在与不存在两种情况，都得到原点O到PQ的距离为定值，再利用均值不等式求的最小值. 【小问1详解】 由离心率得，即，又，所以． 所以渐近线方程为，即． 右顶点坐标为，它到渐近线的距离为，解得，所以．于是，所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知双曲线为，因为，所以，得焦点，虚轴上端点． 当直线垂直于轴，．代入双曲线方程：． 得，此时的长度为8. 点到直线的距离为，故． 所以的面积为． 【小问3详解】 当直线斜率不存在，设，则， 由得 ，即，即，解得， 此时点到直线PQ的距离． 当直线PQ斜率存在，设，与双曲线方程联立： ，即． 则，所以， 设，则． 由得， 而， 代入得． 即，即， 两边乘以得， 展开得， 整理得， 即，所以，即． 原点到直线PQ的距离，则，故，为定值． 在直角三角形OPQ中，， 且，所以． 由均值不等式，，即， 得，故， 当时取等，此时，符合． 因此的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $