湖南岳阳市汨罗市2026届高三下学期学情自测数学试题

高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的虚部为0，则实数（ ） A. B. C. －2 D. 2 3. 平行四边形ABCD中，为BC边上的三等分点（靠近点），若以为起点，将向量表示为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若的面积为，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 6. 设是椭圆的两个焦点，点在上，命题，命题：为直角三角形，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知的展开式中项的系数为35，则实数的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 在上的两根和为 10. 已知点，直线，动点到的垂线为PQ，Q为垂足，且满足，记动点的轨迹为，下列说法正确的有（ ） A. E的方程为 B. 若，则的最小值为4 C. 过作斜率为的直线交于A，B两点，则 D. 上存在两点关于直线对称 11. 定义：若存在常数，对定义域内任意，都有成立，则称是“—阶增长函数”．已知是定义在上的奇函数，当时，，且是“1—阶增长函数”，下列说法正确的有（ ） A. 当时， B. 若，则是周期函数 C. 实数的取值范围是 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的定义域为，周期为4，当时，，则______． 13. 采用分层随机抽样抽取某校高一10人、高二20人、高三20人的数学成绩样本．已知高一、高二、高三的样本平均分分别为80、85、90，样本方差分别为5、6、9，则估计该校全体学生数学成绩的方差为______．（方差计算公式：，其中为总样本容量，为分层的层数，为第层的样本容量，为第层的样本方差；为第层的样本均值，为所有样本的总均值） 14. 在棱长为2的正方体中，点在表面上运动（含端点），且满足，当二面角的正切值为时，三棱锥的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，底面，点，分别为棱PC，PB的中点． （1）证明：平面BCD； （2）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值． 16. 已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，记的前项和为，证明：对任意，都有． 17. 为强化高三学生的安全防范意识，某市举办校园安全知识闯关竞赛，赛前随机抽取100名参赛学生进行模拟测试，记录两轮答题的通过情况，得到统计数据如下： 第二轮答对 第二轮答错 合计 第一轮答对 60 20 80 第一轮答错 10 10 20 合计 70 30 100 （1）从参与模拟测试的100名学生中随机抽取1人，已知抽到的学生第二轮答题答对，求他第一轮答题也答对的概率； （2）正式竞赛则如下：①每位选手需先作答第一轮题目：若第一轮答错，直接结束比赛，最终得0分；若第一轮答对，可得9分基础分，同时选手需立刻决定是否继续作答第二轮（不可查看第二轮题目后再决策）．②若选手选择放弃作答第二轮，最终得分即为9分，比赛结束；若选择作答第二轮，第二轮答对则最终得分为10分，答错则最终得分为5分，比赛结束．已知选手小张每轮答题结果相互独立，且他答题答对的概率可近似的用模拟测试的频率来估计．小张希望自己最终得分的数学期望尽可能高，需要在赛前确定“是否作答第二轮”的固定策略，请你通过计算分布列与数学期望，探究小张应该选择哪种策略，写出你的分析过程． 18. 已知函数，其中e为自然对数的底数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若存在两个不同的极值点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明． 19. 已知双曲线的离心率为，其右顶点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点作垂直于轴的直线，与双曲线交于M，N两点，点为双曲线位于y轴正半轴的虚轴端点，求的面积； （3）设P，Q为双曲线上不同的两点，且，证明：点到直线PQ的距离为定值，并求的最小值． 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】7 【13题答案】 【答案】21 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【17题答案】 【答案】（1） （2）小张应选择放弃第二轮的策略，过程见解析 【18题答案】 【答案】（1）单调递增区间为． （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明见解析，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $