2024年湖南省湘潭市湘钢第十二中学创新班选拔考试数学试题

湘钢一中创新班选拔考试数学科答案 一、选择题： DCCBACBA 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分， 9.BCD 10.BCD 11.AC 12.ACD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.5-1 14.32 15.45-1 16. 25V3+36 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.【答案】解：(1)：m,n是方程x2+3x+1=0的两根， m=,n=,am<n<0, 2 原式-56,292-是200-》-2-6-2m-2-26mr2+3m+4 3-优 -3-mm m,n是方程x2+3x+1=0的两根， ÷m2+3m+1=0, 原式=0： .5 (2):m1<0,n<0, ·层+层=-m居-根-丽+m=m() ￥m+n=-3,mn=1, 原式=9-2=7..10 18.解：(1)设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨： a+b=500 则 2a-b=100 a=200 解得： b=300 答：这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨：.4 (2)∴.y=20(240-x)+25(x-40)+15x+24300-x)=-4x+11000 [x20 240-x20 300-x20 x-4020 ∴.40≤x≤240，当x=240时运费最小 所以总运费的方案是：甲厂200吨全部运往B地：乙厂运往A地240吨，运往B地60 吨. 8 (3)由(2)知：y=-4x+11000-500m 当x=240时，yR小=-4×240+11000-500m=10040-500m, ∴.10040-500m≤5200 .m≥9.68 所以m的最小值为10。.12 19.【答案】解：(1)D(-80), B点的横坐标为-8，代入y=中，得y=-2. B点坐标为（一8，-2）。.2 :A、B两点关于原点对称， A(823 0k=Xy=8×2=16:4 (2):N(0.一)，B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上， ÷mn=k,8(-2m,-2.C(-2m-.E(-m.-). Sco=2mn=2k,54080=m=k.SoEN=m=k. 450ce=S怒勒cw0-52080-S405w=k=4, k=4. 。+。wawasaa8 7 :(-2m,一)在双曲线y=与直线y=x上 任×(-2m)=-g 得m4=2m2=-2 《-2m(-》=4m=2mz=-2(舍) ÷C(-4,-2)M(22) 4 9 设直线CM的解析式是y=Qx+b,把C(-4,-2)和M(22)代入得： 〔-4a+b=-2 2a+b=2. 解得a=b= 2 “直线CM的解折式是y=x+子 .120 解：连接0G,如图. ,C与⊙0相切， .∴.00⊥M0. .GM⊥AD, .∴.OG∥AM ,GE∥AB, 四边形A0CE是平行四边形，.0A=CE=7,AB=14.3 ,点C是弧D的中点，∴.BG=C0=6.:AB是⊙0的直径，∴.∠ACB=90, ∴.A0=VAB2-BC2=V142-62=4WT0. 6 aGs14-26=号408V画 ②E∥AB△c8E△A68,.S-Sg=7=是 3 .8 在Rt△AC8中，cos∠BC-AC=4西_2W10 AB147 点C是弧BD的中点，六∠8A0-∠CAD,即∠BAC-∠E6,co8∠EG-2W⑩】 7 在△E粉中，Go5∠Eh6Ac2E2GB2.:AG2热E2GB22Y厘.：A68BN@,A=E=7, 2AG+AE 2AG+AE 7 3 9t49-GE2 640 2x8y10x7 7 整理得：6E=12.6的0，六= 9 3 3 八G的长为3：.12” B 解：（1)令0，则y=-m,C点坐标为：(0，-m), 令y=0,则+（1-m)x-m0,解得：x=-1,x=m, ,0<m<1,点A在点B的左侧，∴.B点坐标为：（m,0),.0B-0C-m, ∠B0C90°，∴△B0C是等腰直角三角形，∠0BC45°：故答案为：45°；2 (2)如图1，作PDLy轴，垂足为D,设1与x轴交于点E, 由题意得，抛物线的对称轴为：X1n,设点P坐标为：(1+n,), 2 PPG,∴.P=PC,即AE+PE=C0+P0, (把1)4(mn)4(23解得：2m .P点的坐标为：（-1+m1-m为 .6 2 2 (3)存在点Q满足题意， :P点的坐标为：(-1n,-m),Pf+PCB+PB+C0+Pm, 2 2 =(1+1)4(-)4(-m+m+(-m)与1+成， 2 2 2 ,AC=1+m,∴.PA+PC=AC,∴，∠APC-90°，∴.△PAC是等腰直角三角形， ,以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴.△QBC是等腰直角三角形， .由题意可得满足条件的点Q的坐标为：(-m,0)或(0，m),8 ①如图1，当Q点坐标为：(-m,0)时，若PQ与x轴垂直，则二1+n~m 2 解得：你号0号若P0与x轴不垂直，则P0-PF+B0=(与m)4(二+) 2 2 -2t15(m-2)+10<m<1,∴当F2时，P0取得最小值1， PQ取得最小值 2 22 5 10 5 10 √0“V01当F2即Q点的坐标为：(-20)时，P0的长度最小…10 10 103 5 ②如图2，当0点的坐标为：(0，)时，若P0与y轴垂直，则=m解得：号P心 2 若PQ与y轴不垂直，则PQ=P+D=(-m)+(m--m)=5-2mt 2 -5(m-+是，0<<1，当m时，P取得最小值， 5 101 10 PQ取得最小值y10 10 0<,当r 103 5 即Q点的坐标为：(0，刍)时，PQ的长度最小， 综上所述： 当Q点坐标为：(-20)或(0,2)时，PQ的长度最小. …12 5 5 图1 图2 22.解：(1)∠4DB=∠ACB=60°，∴.A,B,C,D四点共圆， .∠AC0=∠A80=180°-∠ADB-∠BAD=180°-60°-65°=55° 2 (2)在线段CM取一点F,使得CF=GD,如图2所示： ,∠C=90°，GF=GD,AC-C8,∴AF=DB,∠CFD=∠C0F=45°，.∠AFD=135°， ,BE⊥AB,∠ABG=45°，∴.∠ABE=90°，∠DBE=135°，∴.∠AFD=∠DBE, ,'AD1DE,,.∠ADE=90°，.'∠FAD4∠ADC=90°，∠AD0∠B0E=90°，∴.∠FAD=∠BDE, (∠rAD=∠BDE 在△ADF和△DEB中， AF=BD ∠AFD=∠DBE .△ADF≌△DEB（AS0,∴，AD=DE,,∠ADE=90°，∴.△ADE是等腰直角三角形， .4E=√2A0=2V236 (3)作EK⊥FG于K,则K是FG的中点，连接AK,BK,如图3所示： ∴.∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°，∴.E、K、G、B和E、KFA分别四点共圆， ∴∠KBE=∠EGN=60°，∠EAM=∠EFK=60°，∴.△ABK是等边三角形， ∴.AB=AK=B=4,作KMLA8,则M为AB的中点，∴.M=AK.sin60°=2√3， .'AE=3,AM- 号A8=2,∴E=3-2=1,∴=√K2HB2=√2√3)2+12=√3 V13 ∴.EF= EK sin60°=V3= 2W39 3 .120 2 ME B E D B G 图2 D 图3湘钢一中创新班选拔考试数学科试题卷 本试卷共22小题,满分150分,考试用时120分钟 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求 1. 下列图形中,既是中心对称又是轴对称图形的是( _ C. D. 2. 若关丁x的方程+1-1-o无解,则a的值为 ( ) _1 A. 1 B.-1 C. 1或一1 D.尤法确定 3.一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个,其中红色玻璃球有8个, 黄色玻璃球有12个,已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为},那么,随机摸出一个为红色 5 玻璃球的概率为 _ . 。{ D. _ 4. 若函数y一kx一6x十3的图象与x轴有公共点,则k的取值范围是 ) A. k<3 B. 3 C. <3且.k0 D. <3且k0 [3/叶1(n为奇数) 5.现规定对正整数n进行一种运算:f(n)= 则f(f[f(2)])的结果为 2n-1(n为偶数); ) A.19 B.40 C. 43 D. 以上都不正确 6. 匈牙利著名数学家爱尔特希(P.Erdos,1913-1996)曾提出:在平面内有 D n个点,其中每一个点都能构成等腰三角形,人们将具有这样性质的n个点构 成的点集称为爱尔特希点集,如图,是由五个点A、B、C、D、0构成的爱尔特 希点集(它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成),则乙AD( 的度数是( B.15* C.18。 D.20: A.10* B 7. 已知凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,目△ABC,△ACD,八ABD的面积分别为S1=5 ( $-10,S3=6.则△AB0的面i积为 ) A.1.5 B.2 C. 2.4 D. 25 8.已知a,b均为正数,且ab-4.则+4+6+的最小值是( ) A41 B.6 C.22+3 D.32+2 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目 要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. (x+3y-4-a ,其中-3<a<1,给出下列结论:其中正确的是( 9. 已知关于x,y的方程组 _~ 1x-y-3a # 是方程组的解: B.当a=-2时,x,y的值互为相反数 C.当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a的解 D.若x<1,则1y<4. 10.如图,数在线的A、B、C、D四点所表示的数分别为a、b、c、d,且0为原点,根据图中各点位置, △B)C 判断a-c之值与下列何者相同?( ) D a b 0 C d A. la+b+cl B.a-bl+lc-bl C.a-dl-d-c D. la+ld-lc-d 11.如图,在矩形ABCD中,BC=2AB,乙ADC的平分线交边BC于点E,AH1DE于点H,连接CH 并延长交边AB于点F,连接AF交CF于点0,下列命题中正确命题的有( ) A. 乙AEB-乙AEH B. DH-22EH D.BC-Br-2/7H 12.如图,已知抛物线=一2x×十2.直线y2=2x2.当x任取一值时,x对应的函数值分别为、y2.若 y,取、y中的较小值记为M;若yy,记M==y.例如:当x-1时,=0.y=4,<y,此时$$ M-0.下列判断正确的有( ) 2 A.当x>0时,x<y; B.当x<0时,x值越大,M值越小 C.使得M大于2的x值不存在 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 我们知道,两点之间线段最短,因此,连接两点间线段的长度叫做两点间的距离;同理,连接直线 外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离,类似地,连接曲线外一点与曲线上各点的所 有线段中,最短线段的长度,叫做点到曲线的距离,依此定义,如图,在平面直角坐标系中,点A(2,1) 到以原点为圆心,以1为半径的圆的距离为 A(2.1) 14.已知 16-x2-4-x2-2vV2,则16-x2+ 15. 如图所示,已知4点从(1,0)点出发,以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动,经过t秒 后,以0、A为顶点作菱形OMBC,使B、C点都在第一象限内,且乙A0C=60”,又以P(0.4)为圆心 PC为半径的网恰好与0A所在的直线相切,则t三 16. 已知,P为等边三角形ABC内一点,PA-3,PB=4,PC=5, 则S_一 第15题图 第16题图 四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10分)已知,n是方程x②}+3x+1=0的两根 5-m 3-n n (2)求 18. (12分)为了抗击新冠疫情,我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨,乙厂的生产量是甲 广的2倍少100吨,这批防疫物资将运往A地240吨,B地260吨 运费如F:(单位:吨) 的地 A 生产商 B (1)求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨? 20 甲 25 (2)设这批物资从乙厂运往A地x吨,全部运往A:B两地的总运 15 24 费为y元,求y与x之间的函数关系式,并设计使总运费最少的调 运方案: (3)当每吨运费降低m元,(0<m<15且m为整数),按(2)中设计的调运方案运输,总运费不超过 5200元,求m的最小值. 19.(12分)已知双曲线y-*与直线y=-x相交于A、B两点.第一象限上的点M(m.n)(在A点左侧) 是双曲线y三“上的动点.过点B作BD//翰交x轴于点D.过N(0.-n) 作NC//x轴交双曲线y-*于点E,交BD于点C. (1)若点)坐标是(-8.0),求4、及两点坐标及k的值。 (2)若B足CD的中点,四边形0BCE的面积为4 求直线CV的解析式. 20. (12分)如图:D是以AB为直径的圆O上任意一点,且不与点A、B重合,点C是狐BD的中点,作 CE//AB, 交AD或其延长线丁E 连接BE交AC与G, AF=CE,过C作CM1AD 交AD延长线于点M MC与0相切,C=7,C-6. (1)求AC的长, (②求G的长. 21.(12分)如图,已知二次函数y=x2+(1-m)x-m(其中0<m<1)的图像与x轴交于A、B两点 (点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴为直线1. 设P为对称轴1上的点,连接/M、/C,P/AC (1)乙ABC的度数为_。; / (2)求P点坐标(用含的代数式表示) (3)在坐标轴上是否存在点0(与原点0不重合),使得以0、B、C 为顶点的三角形与△PAC相似,且线段P的长度最小?如果存在, 求出所有满足条件的点0的坐标:如果不存在,请说明理由 22.(12分)阅读理解 如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”,证明“四点共 圆”判定定理有:1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆; 2、若平面上四点连成的四边形对角互补,那么这四点共圆,例:如图1,若乙ADB一乙ACB,则A,B. C. >四点共圆;或若乙ADC+乙ABC-180*,则A,B,C,D四点共圆 图1 图2 图3 (1)如图1,已知乙ADB-乙ACB=60*,乙BAD-65”,则ACD-_: (2)如图2,若D为等腰Rt△MBC的边BC上一点,且DEIAD,BE1AB,AD-2,求AF的长- (3)如图3,正方形ABCD的边长为4:等边△FFG内接于此正方形,且E.E,G分别在边AB,AD,BC 上,若一3,求的长。