精品解析：江西省上饶市横峰县横峰中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

横峰中学2024-2025学年度第二学期高二年级期中考试 数学试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 命题人：丁云进 审题人：张志平 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（ ） A. 3秒时水管的流水量 B. 3秒内水管的流水总量 C. 3秒内水管的流水量的平均变化率 D. 3秒时水管流水量的瞬时变化率 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可得解. 【详解】由导数的几何意义可知，的实际意义是3秒时水管流水量的瞬时变化率. 故选：D. 2. 已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导可得，代入运算即可. 【详解】因为，则， 所以 故选：C. 3. 已知随机变量，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的期望公式即可. 【详解】因，则，则 故选：B 4. 已知数列是公差不为0的等差数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列的通项公式运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，则，整理可得， 又因为，即. 故选：A. 5. 若数列满足，则称为“对奇数列”.已知为“对奇数列”，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对奇数列的定义可得，化简可证明是以为首项，3为公比的等比数列，进而可得通项公式. 【详解】因为为“对奇数列”，则，即， 且，可知数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以. 故选：B. 6. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的项最小，利用列举法判断的最大值. 【详解】要使最大，则数列的项要尽可能的小，注意到，，依此类推，，， 所以最大值5. 故选：A 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知满足：，，则（ ） A. 4720 B. 4722 C. 4723 D. 4725 【答案】D 【解析】 【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系可知数列是以3为周期的数列，结合周期性即可得结果. 【详解】由题意可得：, 可知数列是以3为周期的数列， 因为，所以， 故选：D. 8. 记为正项数列的前项和，设为等比数列,且公比为去q；：对，都有，其中为非零常数，则是的（ ） A. 充分条件不必要条件 B. 必要条件不充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列前项和公式对是否为1进行分类讨论，可得出充分性成立；再依据前项和满足的条件可证明为等比数列，可得必要性也成立，可判断出结论. 【详解】根据题意若为等比数列，且， 可得， 此时， 因此可得成立， 当时，显然成立， 综上可知，充分性成立； 若成立，可得， 因此， 即对于，都成立， 因此可得对于，都成立， 所以可知正项数列等比数列，因此必要性也成立； 可得是的充要条件. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用等比数列定义以及前项和性质，分别判断出充分性和必要性可得出结论. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】AD 【解析】 【分析】先由斜率定义写出直线斜率，因为，则，由此解出，但要验证的解是否会使得直线的斜率不存在，由此可得答案. 【详解】由斜率的定义，直线的斜率， 因为，则，解得或， 代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在， 故或均满足题意， 故选：AD. 10. 若公差为2的等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设条件得到，即可判断选项A和B的正误，再求出时，，当时，，即可判断选项C和D的正误. 【详解】设等差数列的首项为，由题有，解得，所以选项A正确，选项B不正确， 又， 由，得到，由，得，由，得到， 所以是数列前项和的最小值，故选项CD正确， 故选：ACD. 11. 若数列满足，数列的前项积等于数列的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是递减数列 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：由递推关系构造数列，即可证明；对B：根据A中证，求得，再利用逐差法即可求得；对C，先求得，再求得，再根据其通项公式，判断其单调性即可；对D：利用作差法判断的大小，再根据C中所求的单调性，即可判断. 【详解】对A：由，得，且， 故是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； 对B：由上可知，， 即，故是等比数列，B正确； 对C：设的前项积为的前项和为， 当时，；当时，单调递减， 而，，故C错误； 对D：当时，，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 若，则_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据组合数公式运算求解即可. 【详解】因为， 整理可得，解得或， 且，所以. 故答案为：8. 13. 函数在处的切线方程为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合导数的几何意义可得，结合导数运算法则列方程求. 【详解】因为函数在处的切线方程为， 所以，又， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 数列满足，，，若不等式恒成立，则正整数的最大值为_______. 【答案】24 【解析】 【分析】将递推式两边同时平方可将得的通项公式，从而求出的通项公式，利用累乘对不等式进行化简，得到不等关系，再结合恒成立问题求出正整数的最大值. 【详解】由得， 两边平方得， 则是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 由得，. 因为，所以，则， 可得， 则正整数的最大值为24. 故答案为：24. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中， （1）求的值； （2）求数列的通项公式 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的递推公式求解； （2）利用等差数列的通项公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列， 所以， 所以. 16. 等差数列不是常数列，且，若构成等比数列. （1）求； （2）求数列前n项和 【答案】（1 【解析】 【详解】分析：（1）由题可得，然后根据等差数列通项求出d；（2）采用错位相减法即可求和. 详解：（1） 点睛：考查等比数列的中项性质、等差的通项和错位相减法求和.属于基础题 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，，求： （1）点到平面的距离； （2）二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量求距离即可求解； （2）利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 由平面，且，平面， 则，，又，则，，两两互相垂直， 所以以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，又，， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，所以，即， 令可得，即， 记点到平面的距离为，则， 所以点到平面的距离. 【小问2详解】 结合（1）可知平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，由图可知， 则. 18. 已知数列满足． （1）求； （2）求的通项公式； （3）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式求出指定项. （2）利用数列前n项和与第n项的关系求出通项公式. （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 在数列中，，当时，， 所以. 【小问2详解】 ，， 当时，， 两式相减得，则，而满足上式， 所以的通项公式是. 【小问3详解】 由（2）知，， 所以. 19. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点． （1）求的方程； （2）证明：点在定直线上； （3）延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2） 若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 由题意可知，直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线、的方程得可得，所以，. 因此，点在定直线上. （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标可得出该抛物线的标准方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出点的坐标，即可证得结论成立； （3）将直线的方程与直线的方程联立，可知，然后利用梯形的面积公式、韦达定理以及基本不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 由题意，设抛物线的标准方程为，则，可得， 故抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如下图所示： 易知点，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得可得，故点，则， 且，， 所以， ， 因为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，. 因此，四边形面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 横峰中学2024-2025学年度第二学期高二年级期中考试 数学试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 命题人：丁云进 审题人：张志平 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（ ） A. 3秒时水管的流水量 B. 3秒内水管的流水总量 C. 3秒内水管的流水量的平均变化率 D. 3秒时水管流水量的瞬时变化率 2. 已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知数列是公差不为0的等差数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 若数列满足，则称为“对奇数列”.已知为“对奇数列”，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知满足：，，则（ ） A. 4720 B. 4722 C. 4723 D. 4725 8. 记为正项数列的前项和，设为等比数列,且公比为去q；：对，都有，其中为非零常数，则是的（ ） A. 充分条件不必要条件 B. 必要条件不充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 10. 若公差为2的等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 若数列满足，数列的前项积等于数列的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是递减数列 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_________. 13. 函数在处的切线方程为，则_________. 14. 数列满足，，，若不等式恒成立，则正整数的最大值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中， （1）求的值； （2）求数列的通项公式 16. 等差数列不是常数列，且，若构成等比数列. （1）求； （2）求数列前n项和 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，，求： （1）点到平面的距离； （2）二面角的平面角的余弦值. 18. 已知数列满足． （1）求； （2）求的通项公式； （3）设，求数列的前n项和． 19. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点． （1）求的方程； （2）证明：点在定直线上； （3）延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $