解分式方程、分式方程无解问题、由实际问题列分式方程专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式方程解法、无解问题及实际应用，构建“基础解法-深化拓展-实际建模”的递进式知识逻辑，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解分式方程|4例+4变式|含去分母、验根的规范求解训练|以分式方程解法为基础，培养代数变形能力| |分式方程无解问题|4例+4变式|涉及增根与无解条件的推理分析|深化对分式方程特殊性的理解，发展逻辑推理| |由实际问题列分式方程|4例+4变式|含经济、工程等情境的等量关系建模|实现从实际问题到数学模型的转化，提升模型意识|

解分式方程、分式方程无解问题、由实际问题列分式方程专项训练 解分式方程、分式方程无解问题、由实际问题列分式方程专项训练 考点目录 解分式方程 分式方程无解问题 由实际问题列分式方程 考点一 解分式方程 例1．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）解分式方程． 【答案】 【详解】解：去分母可得：， 去括号得： ， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 检验：时，， 是原方程的解． 例2．（2026·广东深圳·二模）观察下面的解题过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式① ② ③ (1)解题过程中开始出现错误的是步骤_________（填序号），请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的值是3，求图中被遮住的的值． 【答案】(1)③，见解析 (2) 【分析】（1）理解题意，认真分析解题过程，得出出现错误的是步骤③，再按要求写出正确的化简过程，即可作答． （2）理解题意，建立方程，解得，最后验根，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，观察解题过程，得出开始出现错误的是步骤③， 原式 ， （2）解：由（1）得原式 代入后的值为3， ， 解得：， 经检验，，，故为原方程的根． 例3．（2026·陕西宝鸡·二模）解方程：． 【答案】 【详解】解： ∴ 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴原方程的解为 例4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）解方程：． 【答案】 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得，                       检验：当时，，   ∴是原方程的解． 变式1．（25-26八年级下·四川乐山·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为． 变式2．（25-26八年级下·河南周口·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 两边同乘得， 解得， 检验，时，， ∴原分式方程的解为； （2）解： ， 整理得 ， 同乘得， ， 解得， 检验：时，，则是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 变式3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）（2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． （2）解：， ， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是增根，原分式方程无解． 变式4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 原方程无解 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，； ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴原方程无解. 考点二 分式方程无解问题 例1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解： ， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，， 解得：； 当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 代入得：， 解得， 综上，的值为或． 例2．（2026·广西梧州·一模）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 例3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【答案】 【分析】先将给定分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到使最简公分母为的的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解： ， ∵分式方程有增根， ∴ 解得， 把代入得， 解得． 例4．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 变式1．（20-21八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 【答案】A 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可； 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论： ①若整式方程无解，则， ∵ 时， 等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为，∴增根为， 把代入 ，得，解得， 综上，的值为或． 变式2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的值，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出m的值. 【详解】解：∵ 原分式方程有增根， ∴ 最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘，得， 把代入整式方程，得， 解得. 变式3．（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【答案】 1 【分析】先将原分式方程去分母化为整式方程，分式方程无解说明原方程存在增根，增根使原方程分母为零，求出增根后代入整式方程即可求解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母得：， 关于的分式方程无解， 原分式方程有增根，增根使分母，即， 将代入得：． 变式4．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）若关于x的方程有增根，则a的值是______． 【答案】4 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义得到增根的值，再代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：将方程两边同乘以得：， ∵分式方程有增根． ∴最简公分母， 解得， 将代入得：． 考点三 由实际问题列分式方程 例1．（25-26八年级下·河南周口·期中）某书店购进一批教辅资料，用3000元购进第一批，用3420元购进第二批，第二批每本进价是第一批的倍，购进数量比第一批少10本．设第一批每本进价为x元，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设第一批每本进价为元，则第二批每本进价为元 ∴第一批购进数量为本，第二批购进数量为本 又∵第二批购进数量比第一批少本 ∴ 例2．（2026·广东深圳·二模）目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约千米．该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的倍，用时缩短约个月．设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“时间路程速度”的关系，分别表示出两种挖掘方式的用时，再结合用时差列出方程． 【详解】解：设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，硬岩掘进机挖掘速度是传统钻爆法的倍， 硬岩掘进机的挖掘速度为千米/月， 总长度为千米，且时间总路程速度， 传统钻爆法用时为个月，硬岩掘进机用时为个月， 硬岩掘进机用时缩短约个月，即传统钻爆法用时比硬岩掘进机多个月 可列方程 ． 例3．（25-26八年级下·四川遂宁·阶段检测）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100个钱币，每人分得若干，若再加上5人，平分150个钱币，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为_______． 【答案】 【分析】根据第二次每人所得与第一次相同，确定等量关系，列分式方程即可． 【详解】解：已知第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人． 第一次每人分得钱数为， 第二次每人分得钱数为， 由两次每人分得钱数相等可得． 例4．（2026·山西朔州·一模）为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 【答案】 【分析】根据等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设张老师原来平均每小时批改x道题目， 则． 变式1．（2026·河南周口·三模）《百骏图》是清代绘画珍品，被汴绣艺人以精湛技艺绣制于锦缎之上，生动再现了百匹骏马的形态与神韵，栩栩如生，令人赞叹不已．如图，汴绣作品绣面的主体部分是一个长为，宽为的矩形，经过装裱处理后的长与宽的比是，且四周边框的宽度相等，求边框的宽度．设边框的宽度为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据装裱后的长与宽的比是，且四周边框的宽度相等，列出方程即可． 【详解】解：设边框的宽度为，根据题意可列方程为． 变式2．（2026·四川广元·二模）《九章算术》记载这样一道问题：现将一份文书送往距离900里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多2天；若用快马递送，所需时间比规定时间少3天．已知快马速度是慢马的2倍，求规定的时间．设规定时间为天，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据速度路程时间，分别表示出慢马和快马的速度，再结合快马速度是慢马的2倍列方程即可． 【详解】解：∵ 规定时间为天，慢马所需时间比规定时间多天，快马所需时间比规定时间少天， ∴ 慢马走完全程的时间为天，快马走完全程的时间为天， ∵速度路程时间，总路程为里， ∴ 慢马速度为，快马速度为， ∵ 快马速度是慢马的倍， ∴． 变式3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均速度为多少米/秒？设甲接下来的平均速度为米/秒，则所列分式方程是___． 【答案】 【分析】抓住追上时甲乙运动时间相等的等量关系，结合路程速度时间的关系列出方程求解即可． 【详解】解：设甲接下来的平均速度为米/秒． 由题意可知，甲想再跑300米刚好追上乙，此时甲落后乙40米，因此乙跑的路程为米，甲乙运动时间相等． 根据公式，可得乙运动时间为，甲运动时间为． 由时间相等可得方程： ． 变式4．（2026·山东青岛·一模）某健身器械厂急需生产一批健身器械共360台送往A、B两个销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因而在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的1.4倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务，问原来每天生产健身器械多少台？设原来每天生产健身器械x台，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】分别求出原效率生产150台的时间和提速后生产剩余台数的时间，根据两段时间之和等于总天数6天，建立等量关系列方程． 【详解】解：设原来每天生产健身器械台，则提高效率后每天生产台， 则原效率生产150台的用时为， 剩余生产任务的台数为， 则提高效率后生产剩余任务的用时为． 已知总用时为6天，因此可得方程：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解分式方程、分式方程无解问题、由实际问题列分式方程专项训练 解分式方程、分式方程无解问题、由实际问题列分式方程专项训练 考点目录 解分式方程 分式方程无解问题 由实际问题列分式方程 考点一 解分式方程 例1．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）解分式方程． 例2．（2026·广东深圳·二模）观察下面的解题过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式① ② ③ (1)解题过程中开始出现错误的是步骤_________（填序号），请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的值是3，求图中被遮住的的值． 例3．（2026·陕西宝鸡·二模）解方程：． 例4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）解方程：． 变式1．（25-26八年级下·四川乐山·期中）解下列方程： (1) (2) 变式2．（25-26八年级下·河南周口·期中）解分式方程： (1)； (2)． 变式3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 变式4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解方程 (1) (2) 考点二 分式方程无解问题 例1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 例2．（2026·广西梧州·一模）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 例3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 例4．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 变式1．（20-21八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 变式2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 变式3．（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 变式4．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）若关于x的方程有增根，则a的值是______． 考点三 由实际问题列分式方程 例1．（25-26八年级下·河南周口·期中）某书店购进一批教辅资料，用3000元购进第一批，用3420元购进第二批，第二批每本进价是第一批的倍，购进数量比第一批少10本．设第一批每本进价为x元，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·广东深圳·二模）目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约千米．该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的倍，用时缩短约个月．设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，可列方程（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·四川遂宁·阶段检测）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100个钱币，每人分得若干，若再加上5人，平分150个钱币，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为_______． 例4．（2026·山西朔州·一模）为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 变式1．（2026·河南周口·三模）《百骏图》是清代绘画珍品，被汴绣艺人以精湛技艺绣制于锦缎之上，生动再现了百匹骏马的形态与神韵，栩栩如生，令人赞叹不已．如图，汴绣作品绣面的主体部分是一个长为，宽为的矩形，经过装裱处理后的长与宽的比是，且四周边框的宽度相等，求边框的宽度．设边框的宽度为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·四川广元·二模）《九章算术》记载这样一道问题：现将一份文书送往距离900里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多2天；若用快马递送，所需时间比规定时间少3天．已知快马速度是慢马的2倍，求规定的时间．设规定时间为天，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均速度为多少米/秒？设甲接下来的平均速度为米/秒，则所列分式方程是___． 变式4．（2026·山东青岛·一模）某健身器械厂急需生产一批健身器械共360台送往A、B两个销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因而在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的1.4倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务，问原来每天生产健身器械多少台？设原来每天生产健身器械x台，根据题意，可列方程为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $