分式与分式方程：解分式方程、分式方程的实际应用问题专项训练--2025-2026学年 北师大版八年级数学下册

分式与分式方程：解分式方程、分式方程的实际应用问题专项训练 分式与分式方程：解分式方程、分式方程的实际应用问题专项训练 考点目录 解分式方程 分式方程的实际应用问题 考点一 解分式方程 例1．（25-26八年级下·河南周口·期中）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴x ∴ 解得： 经检验，是原方程的解； （2）解： ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是原方程的解． 例2．（25-26八年级下·河南周口·期中）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 解得：， 检验：当时，， ∴方程的解为； （2）解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 例3．（25-26八年级下·山东济南·月考）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解． 例4．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程． （1）找到两个分母的最简公分母后，统一分母，去分母化为整式方程，解整式方程，最后检验：将解得的根代入原分式方程的最简公分母验证，确保分母不为． （2）首先因式分解，找到最简公分母，统一分母，去分母化为整式方程，解整式方程，最后检验，此时分母为，所以原分式方程无解． 【详解】（1）解：， 等式两边同时乘，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为：； （2）解：， ， 等式两边同时乘，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 原分式方程无解 【分析】（1）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验即可； （2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验所得值是否使原方程分母不为0，若使分母为0则为增根，原方程无解． 解题的关键在于正确掌握解分式方程步骤，以及注意检验所得值是否是方程的解． 【详解】（1）解： ， 检验：当时，， 因此原分式方程的解为； （2）解： ， 检验：当时，， 因此是增根，原分式方程无解． 变式2．（2026·福建南平·二模）解方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：方程两边同乘，得 ， 去括号，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 变式3．（2026·安徽合肥·一模）解分式方程：． 【答案】无解 【分析】先去分母,得到一元一次方程，解这个一元一次方程，求得，再进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解． 变式4．（25-26八年级下·四川眉山·期中）计算：； 【答案】原分式方程无解 【分析】本题考查分式方程的求解，解题思路是先整理方程，再通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后根据分式有意义的条件检验所得的根，判断原方程是否有解，用到分式方程的基本解法． 【详解】解：将原方程整理得 方程两边同乘，去分母得 展开括号得 移项合并同类项得 解得 检验：当时，，原分式的分母为0，分式无意义 因此是原方程的增根，原分式方程无解． 考点二 分式方程的实际应用问题 例1．（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应校园劳动教育，学校采购一批劳动工具，第一次花费2000元购买若干套，第二次花费1920元购买同款工具，第二次每套价格比第一次上涨，购买数量比第一次少5套．求第一次购买劳动工具每套的价格． 【答案】第一次每套价格为80元． 【分析】设第一次每套价格为x元，根据题意列出分式方程，据此求解即可． 【详解】解：设第一次每套价格为x元， 由题意得， 解得：， 检验：是原方程的解且符合题意， 答：第一次每套价格为80元． 例2．（25-26八年级下·河南周口·期中）为美化校园，学校购进一批绿植，第一批花费800元，第二批花费1200元，第二批绿植单价是第一批的1.2倍，购买数量比第一批多5盆．求第一批绿植的单价． 【答案】第一批绿植单价为40元/盆 【分析】设第一批绿植单价为元/盆，则第二批绿植单价为元/盆，根据第二批购买数量比第一批多5盆，列出分式方程，解方程并检验即可得解． 【详解】解：设第一批绿植单价为元/盆，则第二批绿植单价为元/盆， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：第一批绿植单价为40元/盆． 例3．（2026·云南昆明·一模）某物流企业接到一笔紧急配送订单，需要将一批生鲜物资从甲地运往900公里外的乙地．若使用特快货物班列配送，所需时间比高铁货运多3小时．已知高铁货运的速度是特快货物班列的2倍，求使用高铁货运配送所需时间是多少小时． 【答案】3小时 【分析】设使用高铁货运配送所需时间为小时，则使用特快货物班列配送所需时间为小时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设使用高铁货运配送所需时间为小时，则使用特快货物班列配送所需时间为小时， 根据题意，得． 解得 经检验，是所列分式方程的解，且符合题目要求． 答：使用高铁货运配送所需时间为3小时． 例4．（2026·湖北·模拟预测）某商店销售制作艾草香包的原材料，已知每件种材料的价格比每件种材料的价格多3元，用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同． (1)求每件种材料和种材料各多少元？ (2)张老师准备在劳动课上带领同学们制作艾草香包，需购买A，B两种材料．若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元．设购买种材料件． ①若A，B两种材料按原价销售，求的取值范围； ②张老师到达商店后，发现商店正在做促销活动：A种材料打八折，B种材料不打折．若张老师合计付款330元，求的值． 【答案】(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； (2)①且m为整数；② 【分析】（1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为元，根据用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同列方程求解即可； （2）①设购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式组求解即可； ②根据张老师合计付款330元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为元， 依题意， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， ， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）解：①设购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得且m为整数． ②依题意得：， 解得． 变式1．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）近几年，文旅文创产品凭借创意与文化内涵的结合，频频出圈，在隋唐洛阳城应天门遗址广场，文创门店以“洛阳”“河南”等文字为形状，激光雕刻出的立体文字冰箱贴，磨砂质感简约高级．某工艺品店计划推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的冰箱贴，已知甲款冰箱贴价格是乙款冰箱贴价格的倍，且用100元购买甲款冰箱贴的数量比用128元购买乙款冰箱贴的数量少3个，求这两款冰箱贴的单价． 【答案】乙款冰箱贴价格为16元，甲款冰箱贴价格为20元 【分析】设乙款冰箱贴价格为x（元），则甲款冰箱贴价格为（元），根据用100元购买甲款冰箱贴的数量比用128元购买乙款冰箱贴的数量少3个，列出分式方程，求解后检验即可． 【详解】解：设乙款冰箱贴价格为x（元），则甲款冰箱贴价格为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴甲款冰箱贴价格为（元） 答：乙款冰箱贴价格为16元，甲款冰箱贴价格为20元． 变式2．（25-26八年级下·山东济南·期中）为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量．某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备．甲型设备的单价比乙型设备的单价低400元，用60000元购买甲型设备的数量和用72000元购买乙型设备的数量相同． (1)求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元； (2)该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共20台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1) 甲型号设备单价为2000元，乙型号设备单价为2400元 (2) 购买甲型设备15台时采购费用最少，最少采购费用为42000元 【分析】（1）设甲型设备的单价为元，则乙型设备的单价为元，利用两种设备购买数量相等建立等量关系求解，即可解题； （2）设购买甲型设备台，总采购费用为元，则购买乙型设备台，先根据题意列出总费用的表达式，结合“甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，”建立不等关系得到自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性求解，即可解题． 解题的关键在于找出等量关系与不等关系，列式求解． 【详解】（1）解：设甲型设备的单价为元，则乙型设备的单价为元， 根据题意得： ， 经检验：当时，， 因此是原方程的解，符合题意， 则乙型设备单价为：（元） 答：甲型号设备单价为2000元，乙型号设备单价为2400元； （2）解：设购买甲型设备台，总采购费用为元，则购买乙型设备台， 根据题意得：， 由甲型设备购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，得：， 解得：， 其中为非负整数， 因此且为非负整数， 在一次函数中，，因此随的增大而减小， 因此当时，取得最小值， 最小值为（元）， 答：购买甲型设备15台时采购费用最少，最少采购费用为42000元． 变式3．（25-26八年级下·重庆·期中）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． (1)求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 【答案】(1)A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元 (2)共有三种购买方案，具体方案见解析 【分析】（1）设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个，由此列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元； （2）解：设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个， 依题意，得 解得：， ∵m为整数， ∴m可取42，43，44， 故共有三种购买方案： 方案1：购买42个A型号纪念品， 28个B型号纪念品； 方案2：购买43个A型号纪念品， 27个B型号纪念品； 方案3：购买44个A型号纪念品， 26个B型号纪念品． 变式4．（25-26九年级下·重庆江津·月考）列方程解下列问题： “百年弦歌，薪火相传；鼎山毓秀，几水涵芳”，在某中学迎来建校周年华诞之际，七年级一班学生自发定制画册与文化衫两类伴手礼，赠予返校校友留念．已知定制本画册和件文化衫共需元，定制本画册和件文化衫共需元． (1)定制一本画册、一件文化衫的单价分别为多少元？ (2)该伴手礼广受校友好评，学校决定加大定制规模以回馈校友．因对内容与品质提出更高要求，画册与文化衫的定制单价均有上调，其中每本画册增加的费用是每件文化衫增加费用的倍．最终，学校花费元定制的画册数量，是花费元定制的文化衫数的，求每件文化衫增加的费用． 【答案】(1)定制一本画册单价为元，一件文化衫单价为元 (2)元 【分析】（）设定制一本画册的单价为元，一件文化衫的单价为元，根据题意列出方程组解答即可求解； （）设每件文化衫增加的费用为元，则每本画册增加的费用为元，调整单价后画册单价为 元，文化衫单价为 元，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设定制一本画册的单价为元，一件文化衫的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：定制一本画册单价为元，一件文化衫单价为元； （2）解：设每件文化衫增加的费用为元，则每本画册增加的费用为元，调整单价后画册单价为 元，文化衫单价为 元， 由题意得，， 整理得，， 解得， 经检验是原分式方程的解， 答：每件文化衫增加的费用为元． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $分式与分式方程：解分式方程、分式方程的实际应用问题专项训练 分式与分式方程：解分式方程、分式方程的实际应用问题专项训练 考点目录 解分式方程 分式方程的实际应用问题 考点一 解分式方程 例1．（25-26八年级下·河南周口·期中）解下列分式方程： (1) (2) 例2．（25-26八年级下·河南周口·期中）解下列分式方程： (1)； (2)． 例3．（25-26八年级下·山东济南·月考）解分式方程： (1)； (2)． 例4．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2) 变式1．（25-26八年级下·山东济南·期中）解方程： (1)； (2)． 变式2．（2026·福建南平·二模）解方程：． 变式3．（2026·安徽合肥·一模）解分式方程：． 变式4．（25-26八年级下·四川眉山·期中）计算：； 考点二 分式方程的实际应用问题 例1．（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应校园劳动教育，学校采购一批劳动工具，第一次花费2000元购买若干套，第二次花费1920元购买同款工具，第二次每套价格比第一次上涨，购买数量比第一次少5套．求第一次购买劳动工具每套的价格． 例2．（25-26八年级下·河南周口·期中）为美化校园，学校购进一批绿植，第一批花费800元，第二批花费1200元，第二批绿植单价是第一批的1.2倍，购买数量比第一批多5盆．求第一批绿植的单价． 例3．（2026·云南昆明·一模）某物流企业接到一笔紧急配送订单，需要将一批生鲜物资从甲地运往900公里外的乙地．若使用特快货物班列配送，所需时间比高铁货运多3小时．已知高铁货运的速度是特快货物班列的2倍，求使用高铁货运配送所需时间是多少小时． 例4．（2026·湖北·模拟预测）某商店销售制作艾草香包的原材料，已知每件种材料的价格比每件种材料的价格多3元，用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同． (1)求每件种材料和种材料各多少元？ (2)张老师准备在劳动课上带领同学们制作艾草香包，需购买A，B两种材料．若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元．设购买种材料件． ①若A，B两种材料按原价销售，求的取值范围； ②张老师到达商店后，发现商店正在做促销活动：A种材料打八折，B种材料不打折．若张老师合计付款330元，求的值． 变式1．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）近几年，文旅文创产品凭借创意与文化内涵的结合，频频出圈，在隋唐洛阳城应天门遗址广场，文创门店以“洛阳”“河南”等文字为形状，激光雕刻出的立体文字冰箱贴，磨砂质感简约高级．某工艺品店计划推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的冰箱贴，已知甲款冰箱贴价格是乙款冰箱贴价格的倍，且用100元购买甲款冰箱贴的数量比用128元购买乙款冰箱贴的数量少3个，求这两款冰箱贴的单价． 变式2．（25-26八年级下·山东济南·期中）为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量．某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备．甲型设备的单价比乙型设备的单价低400元，用60000元购买甲型设备的数量和用72000元购买乙型设备的数量相同． (1)求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元； (2)该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共20台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 变式3．（25-26八年级下·重庆·期中）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． (1)求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 变式4．（25-26九年级下·重庆江津·月考）列方程解下列问题： “百年弦歌，薪火相传；鼎山毓秀，几水涵芳”，在某中学迎来建校周年华诞之际，七年级一班学生自发定制画册与文化衫两类伴手礼，赠予返校校友留念．已知定制本画册和件文化衫共需元，定制本画册和件文化衫共需元． (1)定制一本画册、一件文化衫的单价分别为多少元？ (2)该伴手礼广受校友好评，学校决定加大定制规模以回馈校友．因对内容与品质提出更高要求，画册与文化衫的定制单价均有上调，其中每本画册增加的费用是每件文化衫增加费用的倍．最终，学校花费元定制的画册数量，是花费元定制的文化衫数的，求每件文化衫增加的费用． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $