精品解析：四川内江市第六中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

内江六中2025—2026学年（下）高2028届期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（  ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 某校高中生共有3000人，其中高一年级900人，高二年级600人，高三年级1500人，现采用分层抽样的方法随机抽取容量为150人的样本，那么高一､高二､高三年级被抽取的人数分别为（ ） A. B. C. D. 4. 若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对的边分别为，则的面积．已知面积为，且，则为（ ） A. B. C. D. 8. 向量是互相垂直的单位向量，向量满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 点为图象的一个对称中心 C. 时，的值域为 D. 若，则 11. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，且，为的内心，则的面积为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，向量，若与垂直，则实数的值为______. 13. 定义向量的一种新运算：，其中是向量的夹角.已知，则__________. 14. 已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程（n为正整数）有个不同的复数根． （1）设，则___________； （2）满足方程的复数的值所组成的集合为___________． 四、解答题（共77分） 15. 已知向量，． （1）若，求的坐标； （2）若，求与夹角的余弦值． 16. 已知函数的图象关于直线对称，其中 （1）求的值； （2）求函数的对称中心； （3）在中，，，分别为三个内角，，的对边，锐角满足，，求面积的最大值． 17. 已知向量；，函数 （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数， （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）当时，求函数有两个解．求m取值范围； 18. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，，的平分线交边于点，求的长． 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2025—2026学年（下）高2028届期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】对化简即可. 【详解】，复平面内对应的点坐标为，因此位于第一象限. 2. 若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（  ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线的向量， 对于A中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于B中，设，可得，解得， 所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于D中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底. 3. 某校高中生共有3000人，其中高一年级900人，高二年级600人，高三年级1500人，现采用分层抽样的方法随机抽取容量为150人的样本，那么高一､高二､高三年级被抽取的人数分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义求出抽样比，按此比例求出各个年级的人数即可. 【详解】依题意，高一年级被抽取的人数为人， 高二年级被抽取的人数为人， 高三年级被抽取的人数为人. 故选：A 4. 若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得，再利用向量在向量上的投影向量公式求解. 【详解】由，，得，所以. 所以向量在向量上的投影向量为，故B正确. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用和角的正弦公式将展开，再用商数关系弦化切即可求解. 【详解】因为， 将式子的左右两侧同时除以，可得 ， 即. 故选：D 6. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得、、，再利用正弦定理计算即可得解. 【详解】， ， ，则， 由正弦定理可得， 即， 则. 7. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对的边分别为，则的面积．已知面积为，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得，求得的值，再结合余弦定理即可求得角C. 【详解】根据题意得， 将代入得：，化简可得：， 由余弦定理可得：, 因为，所以. 故选：A. 8. 向量是互相垂直的单位向量，向量满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，将问题化为圆上的点到点的距离，即可得. 【详解】已知向量，是互相垂直的单位向量， 设，，， 由，则， 由，， 其几何意义是圆上的点到点的距离， 圆心到的距离为，圆的半径为2， 所以的取值范围是． 故选：D 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：因为，故A正确； 对于B：因为，所以的虚部为，故B错误； 对于C：由题意知：对应的复数为，对应的复数为， 则向量，对应的复数为，故C正确； 对于D：因为实系数一元二次方程的复数根是共轭复数，所以另一个根为， 根据韦达定理：， 即，所以； ； 所以，故D正确. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 点为图象的一个对称中心 C. 时，的值域为 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，根据图象振幅确定，结合周期公式算出，再代入最低点坐标求出初相，从而确定函数表达式；对B，将代入函数表达式，验证 ，说明该点是函数图象的一个对称中心；对C，先确定当 时， 的取值范围，再根据正弦函数的单调性判断值域是否正确；对D，先由求出，再利用三角恒等变换公式将转化为关于的表达式，进而求出结果． 【详解】对于A：由图象知， 由函数图象的对称性可知的一个最低点为，即， 又的最小正周期为，， 由 可得，即， 即，因为，所以， 所以，A正确； 对于B：因，所以点为图象的一个对称中心，B正确； 对于C：当时，，则的值域为，C错误； 对于D：，所以， 则，D错误． 11. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，且，为的内心，则的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助余弦定理将角化为边计算可得；对A：由可得，再利用正弦定理与圆的面积公式计算即可得；对B：由正弦定理结合有两解，可得，解出即可得；对C：借助正弦定理可得，结合锐角三角形性质可求出的范围，即可得解；对D：借助三角形内角关系及三角恒等变换公式计算可得，从而可得该三角形各角及边长，再利用等面积法可得内切圆的半径，即可得解. 【详解】由和余弦定理，可得， 化简得，解得； 对A：因为，，所以， 设的外接圆的半径为，由正弦定理，，所以， 所以的外接圆的面积为，A不正确； 对B：由正弦定理可得， 有两解等价于有两个不同值，所以，解得，B正确； 对C：因为，所以， 整理得， 因为为锐角三角形，所以， 解得，所以，所以c的取值范围为，C正确； 对D：因为，，所以， 则，解得， 由于为锐角，所以，即； 因为，则、， 设内切圆的半径为，则， 即，解得， 所以，D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，向量，若与垂直，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】若，，， 则，解得. 故答案为：. 13. 定义向量的一种新运算：，其中是向量的夹角.已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义得到方程，求出，再用余弦二倍角公式求出答案. 【详解】因为，所以， 解得，则. 故答案为：. 14. 已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程（n为正整数）有个不同的复数根． （1）设，则___________； （2）满足方程的复数的值所组成的集合为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得. （2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解. 【详解】（1）依题意，， 所以. （2）设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对已知条件的理解辨析，以及复数乘法的计算. 四、解答题（共77分） 15. 已知向量，． （1）若，求的坐标； （2）若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，代入求值即可； （2）由，得，利用向量数量积和向量的模，求夹角的余弦. 【小问1详解】 由，设，，， ，或． 【小问2详解】 ，， ，， ，． 设与的夹角为，则． 与的夹角的余弦值为． 16. 已知函数的图象关于直线对称，其中 （1）求的值； （2）求函数的对称中心； （3）在中，，，分别为三个内角，，的对边，锐角满足，，求面积的最大值． 【答案】（1）1 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变形得，再代入对称轴，结合即可求解； （2）利用整体法，令即可得到对称中心； （3）由题可得，再求出，然后利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，进而根据 即可求解． 【小问1详解】 化简可得， 函数的图象关于直线对称， ，， ，，又， 解得； 【小问2详解】 函数的解析式为； 令 ，则， 所以函数的对称中心为，； 【小问3详解】 在中锐角满足， ，， 又，由余弦定理可得， ，当且仅当时，等号成立， 面积， 面积的最大值为． 17. 已知向量；，函数 （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数， （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）当时，求函数有两个解．求m取值范围； 【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先利用平面向量数量积的坐标表示以及辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据周期的计算公式以及单调区间的求法即可求解； （2）（ⅰ）根据三角函数图形伸缩、平移变换的规律得到； （ⅱ）根据题意有两个解，根据正弦函数图象可得解. 【小问1详解】 已知向量；， 则 , 所以最小正周期， 令，可得， 所以的单调递减区间是. 【小问2详解】 （ⅰ）将函数的图象先向左平移个单位， 得， 再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数； （ⅱ）当时，， 由有两个解，可得有两个解， 根据，由正弦函数图象可得， 得. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，，的平分线交边于点，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和的正弦公式求解； （2）根据为锐角三角形，，由得到，再利用正弦定理结合三角恒等变换得到求解； （3）由得到，再利用余弦定理得到，然后根据为角平分线，由求解. 【小问1详解】 由，可得， 化简得， ， ，又， 所以，即； 【小问2详解】 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得 由正弦定理可知，即， 所以， 由，可得，则， 则，则的周长的取值范围为； 【小问3详解】 由得，即， 由，即，解得， 所以，解得， 可知，即， 由，可得， 所以 ，得， 解得. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题设且、的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律求向量模长； （2）由题设，，且，应用向量数量积的运算律求的数量积和模长，再由夹角公式求夹角余弦值，即可得； （3）设、（，），且，，，进而有、，可得，在中应用正余弦定理及三角恒等变换化简并求出的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以. 【小问2详解】 由，，得，， 且， 所以，， 则， ， 因为与的夹角为，所以，解得. 又，，所以； 【小问3详解】 依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $