精品解析：黑龙江省哈尔滨市第一一三中学2025-2026学年下学期九年级中考一模数学试题

中考模拟题 一、选择题（10个小题，每题3分，共30分） 1. 下列各数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14159 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：A．是有理数中的分数，不符合题意； B．是有理数中的整数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．是有理数中的小数，不符合题意； 故选C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式运算的基本法则，需要运用幂的乘方法则、合并同类项法则、完全平方公式、零指数幂的定义，逐一判断选项正误． 【详解】解：选项A： ， A错误． 选项B：根据合并同类项法则，  ， B错误． 选项C：根据完全平方公式， ， C错误． 选项D：先判断底数是否不为0，对配方得：  ，   ， ，即底数恒不为0， 根据零指数幂定义：任何非零数的次幂等于，  ，D正确． 3. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中与其他三个几何体的左视图与俯视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据三视图进行排除选项即可． 【详解】A、左视图为，俯视图为，不符合题意； B、左视图为，俯视图为，符合题意； C、左视图为，俯视图为，不符合题意； D、左视图为，俯视图为，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键． 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 选项B，既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 选项C，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项D，是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 5. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 根据二次函数图像的平移规律，“左加右减，上加下减”，先向左平移，再向下平移，逐步推导即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位， 抛物线解析式变为； 又向下平移2个单位， 则抛物线解析式变为． 故选：A． 6. 如图，将绕顶点A逆时针旋转得到．若点恰好落在边上，且，则旋转角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 由旋转的性质可得，，再根据等边对等角可得，然后结合可得，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵将绕顶点A逆时针旋转得到．若点恰好落在边上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故选C． 7. 已知双曲线经过点，则下面说法错误的是（ ） A. 该双曲线的解析式为 B. 点在该双曲线上 C. 该双曲线在第二、四象限 D. 当时，y随x增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：双曲线经过点，可得，即，A选项正确，不符合题意； 将代入得，，B选项正确，不符合题意； ∵ ∴该双曲线在第二、四象限，C选项正确，不符合题意； 当当时，y随x增大而增大，D选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质． 8. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设人数为x，根据每人出9钱，会多出11钱，可得鸡的价格为钱，根据每人出6钱，又差16钱，可得鸡的价格为钱，由此列出方程即可． 【详解】解：设人数为x， 由题意得，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 9. 如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（ ）度． A. 30 B. 45 C. 36 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】由等边对等角可得，由作图可得，平分，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得，平分， ∴． 10. 如图，在矩形中，，动点P从A点出发，以的速度沿的方向运动，动点Q同时从A点出发，以的速度沿的方向运动，两动点到达C点停止运动．设运动的时间为，的面积为，则下列y关于x的函数图像正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先找出运动轨迹几何运动的转折点，据此可分三段进行求解：①当点P在上运动，点Q在上运动，即时；②当点P在上运动，点Q在上运动，即时；③当点P在上运动，点Q在上运动，即时．再根据三角形的面积公式分段求出y关于t的函数关系式，最后根据关系判断函数图像即可． 【详解】解：①当点P在上运动，点Q在上运动，即时，此时， ∴； ②如图：当点P在上运动，点Q在上运动，即时， ∴； ③如图：当点P在上运动，点Q在上运动，即时， ∴， ∴ , ＝； 综上，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，理解题意、分段求出函数解析式是解题关键． 二、填空题（10个小题，每题3分，共30分） 11. 据统计，人工智能核心产业规模达亿元，数据“亿”用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：亿． 12. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是__． 【答案】x＞1.5 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，以及分母不等于0，就可以求出x的范围． 【详解】解：由题意得2x﹣3＞0， 解得x＞1.5． 故答案为：x＞1.5． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13. 关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集，求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得， ∵不等式组无解， ∴，解得； 故答案为：． 14. 一个不透明盒子里装有3个红球、2个白球和5个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查古典概型求概率，掌握古典概型求概率的公式是解题关键． 从中任意摸出1个球共有10种等可能结果，其中摸到红球的有3种结果，根据概率公式计算即可． 【详解】， 故共有10个球，从中任意摸出1个球，有10种等可能的结果， 其中红球有3个， 故，因此摸到红球的概率是． 故答案为：． 15. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，……，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查从图形中找数字规律，对照图形的构成，分左中右三部分，左右各一个圆圈，中间竖着的三个圆圈列数比序号少一个，将图形规律由代数式表示即可得到图形的数字规律，代值求解即可得到答案．数形结合，从图形的构成找准数字规律是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 第①个图案中有2个圆圈，可表示为； 第②个图案中有5个圆圈，可表示为； 第③个图案中有8个圆圈，可表示为； 第④个图案中有11个圆圈，可表示为； ……， 第个图案中圆圈个数，可表示为； 第⑦个图案中圆圈的个数为， 故答案为：． 16. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据杠杆原理，阻力乘以阻力臂等于动力乘以动力臂，代入已知数据整理即可得到所求函数表达式． 【详解】解：由杠杆平衡条件可得， 则， 根据等式性质变形得． 17. 若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】∵扇形的圆心角为，半径为6， ∴扇形的弧长． 故答案为： 【点睛】本题考查了弧长计算，熟记弧长公式是解题的关键． 18. 对于实数m、n，定义运算，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义，列出方程解答即可． 本题考查了新定义计算，熟练掌握定义，并列式解方程是解题的关键． 【详解】解：由， ， 得， 整理，得， 解得， 故答案为：． 19. 如图，等边三角形的边长为6，点D在上，，于点E，点F为的中点， 点M为边的三等分点，连接，则的长为_______． 【答案】3或 【解析】 【分析】连接，证明是等边三角形，利用三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，三角函数的应用，勾股定理，解答即可． 【详解】解：设是边的三等分点，连接， ∵等边三角形的边长为6，点D在上，，于点E，点F为的中点， 点M为边的三等分点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 取的中点P，则， 连接， 则是的中位线，， ∴，， 延长交于点， ∴， ∴ ∴， ∴点N是的一个三等分点， ∴点M与点N重合， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握性质，三角函数的应用，勾股定理是解题的关键． 20. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边上，且，平分，连接，分别交、于点、，是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①；②垂直平分；③的最小值为；④，其中正确的结论是 ________（请填写序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，①先根据正方形的性质证得和全等，即可得到，同时减去即可得到结论；②再利用证得 ， 即 可 得 出 垂直平分；③连接与交于点，交于点，连接，，根据图意当点与点重合时，的值最小，即的最小值是的长，根据正方形的性质求出的长，从而得出 ，即的最小值；④先求出的长，再根据三角形面积公式计算即可，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ，即：，故①正确； 由全等得，， ， ， ， 平分， ， 又， ， ，故②正确； 连接与交于点，交于点，连接，如图： 四边形是正方形， ，即， 垂直平分， ， 当点与点重合时，的值最小， 此时，即的最小值是的长， 正方形的边长为4， ， ， 即的最小值为，故③正确； 垂直平分， ， 又， ，故④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题（21-22题每题7分，23-24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先化简分式，再计算出x的值，然后代入化解后的式子求解即可得出答案． 【详解】解： ∵， 则原式． 22. 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中， 有线段， ，根据要求画图． （1）在图中画以斜边的等腰直角三角形； （2）将线段绕着点 E逆时针旋转得到线段，连接，利用网格画出线段的中点 D； （3）连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，得，结合以斜边的等腰直角三角形，得，解答即可； （2）将线段绕着点 E逆时针旋转得到线段，连接，利用网格画出线段的中点 D； （3）连接，直接写出线段的长． 【小问1详解】 解：根据勾股定理，得，结合以斜边的等腰直角三角形，得， ， 画图如下： 则等腰直角三角形即为所求． 【小问2详解】 解：根据旋转的全等性，勾股定理，得， 结合网格，画图如下： 取，连接交于点D，根据，可得， 则画图即为所求． 【小问3详解】 解：以点C所在铅直线为y轴，以所在直线为x轴建立坐标系如下， 交点为原点O，根据题意，得， 故， ， 故． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的基本作图，旋转作图，中点作图，三角形全等的判定和性质，构建坐标系求解，勾股定理，熟练掌握作图，建立坐标系解答是解题的关键． 23. 某公司有20名员工，他们每人所创年利润如下表所示： 每人所创年利润/万元 人数 （1）直接写出该公司所有员工所创年利润的众数及中位数，众数为__________，中位数为__________． （2）计算该公司每人所创造的平均年利润为多少万元，并补全统计图； （3）如果该公司打算从中位数、众数或平均数中选出一个作为员工的奖励目标，达到这个目标的员工可以给予一定的奖励，并让一半左右的员工都能达到这个目标，你认为中位数、众数及平均数哪个作为目标比较合理？请说明你的理由． 【答案】（1）5，6 （2）每人所创造的平均年利润为万元，见解析 （3）选择中位数为奖励目标比较合适，见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求解； （2）根据加权平均数的定义计算可得； （3）根据中位数、众数及平均数结合题意分析，即可求解． 【小问1详解】 解：众数为，第和个数据都是，则中位数为 【小问2详解】 解：平均年利润为：万元 补全统计图如图 【小问3详解】 解：选择中位数为奖励目标比较合适，理由如下， 如果选择平均数作为奖励目标，则获奖人数不足一半； 若选择众数为奖励目标，则有16人获奖，人数过多； 若选择中位数为奖励目标，则有12人获奖， 故选择中位数为奖励目标比较合适． 24. 新定义：对角线相等的四边形是等对四边形． （1）如图1，已知：中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连接，求证：四边形是等对四边形． （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点，，均在格点上，若点在格点上，且四边形是等对四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）或或 【解析】 【分析】（1）连接，证明得出，结合新定义，即可得证． （2）根据等对四边形的定义得出，结合网格特点和勾股定理找到点，再根据勾股定理求得线段的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴四边形是等对四边形． 【小问2详解】 解：如图所示， ∵点在格点上，且四边形是等对四边形， ∴， ∴，，． 25. 某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元． （1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元； （2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】（1）购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元； （2）当购买A型芯片6000颗时，所需资金最少，最少资金是2500000元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设购买1颗A型芯片需要x元，购买1颗B型芯片需要y元，根据购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元建立方程组求解即可； （2）设购买A型芯片m颗，所需资金为W元，列出W关于m的函数关系式，再求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设购买1颗A型芯片需要x元，购买1颗B型芯片需要y元， 由题意得，， 解得， 答：购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元； 【小问2详解】 解：设购买A型芯片m颗，所需资金为W元， 由题意得，， ∵购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍， ∴， ∴， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W有最小值，最小值为， 答：当购买A型芯片6000颗时，所需资金最少，最少资金是2500000元． 26. 如图，为圆的直径，为圆上一点，，垂足为，点为延长线上一点，过点作圆的切线，切点为，连接交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、，交于点，若，求证：平分； （3）如图3，在（2）的条件下，连接、、，若，四边形的面积等于9，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得出； （2）设，根据得出，根据得出，进而得出，即可得证； （3）连接并延长交于点，连接，先证明，即可证明平分，连接交于点，过点作于点，证明得出，再证明得出，根据角平分线的性质可得到的距离，根据四边形的面积等于9，得出，则，进而得出，最后勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵ ∴， ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴ 设 ∵ ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴ 由（1）可得 ∴，即平分； 【小问3详解】 解：如图，连接并延长交于点，连接， ∵是的切线， ∴ ∴ ∵是直径 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 由（2）可得 ∴ ∴ ∴，即平分 ∴； 如图，连接交于点，过点作于点，连接 ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 设到的距离为 ∵平分，为直径， ∴到的距离， 又∵分别为的中点 ∴ ∴到的距离等于的长， ∵四边形的面积等于9， ∴ 解得： ∴ 设的半径为 ∴ ∴ 在中， ∴ 解得：（负值舍去） 27. 如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴于点，交轴于点，过点的直线交轴负半轴于点，． （1）如图1，求点坐标； （2）如图2，点在线段上，过点作的垂线交的延长线于点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； （3）如图3，在点上方，轴正半轴上取点，连接、，延长交于点，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数解析式求得点，，进而根据正切的定义求得的长，结合坐标系，即可写出点的坐标； （2）设交轴于点，勾股定理求得，求得直线的解析式为，直线的解析式为，得出，进而求得的表达式； （3）作，连接，设，证明，构造平行四边形，得出四点共圆，进而证明是的中点，得出，求得，代入（2）的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线分别交轴于点，交轴于点， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，设交轴于点， ∵点在线段上，点的横坐标为，，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 当时，，此时在轴上方， ∴ 当时，，此时在轴下方， ∴ 综上所述，； 【小问3详解】 解：如图，作，连接，设 ∵ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴，，， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 设 在中，， 在中， ∴， 如图，构造平行四边形， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∴ ∴四点共圆， ∴ ∴ ∴ 取中点，连接， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴是的中点， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考模拟题 一、选择题（10个小题，每题3分，共30分） 1. 下列各数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14159 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中与其他三个几何体的左视图与俯视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕顶点A逆时针旋转得到．若点恰好落在边上，且，则旋转角的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线经过点，则下面说法错误的是（ ） A. 该双曲线的解析式为 B. 点在该双曲线上 C. 该双曲线在第二、四象限 D. 当时，y随x增大而减小 8. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（ ）度． A. 30 B. 45 C. 36 D. 54 10. 如图，在矩形中，，动点P从A点出发，以的速度沿的方向运动，动点Q同时从A点出发，以的速度沿的方向运动，两动点到达C点停止运动．设运动的时间为，的面积为，则下列y关于x的函数图像正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（10个小题，每题3分，共30分） 11. 据统计，人工智能核心产业规模达亿元，数据“亿”用科学记数法表示为__________． 12. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是__． 13. 关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是__________． 14. 一个不透明盒子里装有3个红球、2个白球和5个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是____． 15. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，……，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为______． 16. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是____________________ ． 17. 若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为______． 18. 对于实数m、n，定义运算，若，则_______． 19. 如图，等边三角形的边长为6，点D在上，，于点E，点F为的中点， 点M为边的三等分点，连接，则的长为_______． 20. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边上，且，平分，连接，分别交、于点、，是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①；②垂直平分；③的最小值为；④，其中正确的结论是 ________（请填写序号）． 三、解答题（21-22题每题7分，23-24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中 22. 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中， 有线段， ，根据要求画图． （1）在图中画以斜边的等腰直角三角形； （2）将线段绕着点 E逆时针旋转得到线段，连接，利用网格画出线段的中点 D； （3）连接，直接写出线段的长． 23. 某公司有20名员工，他们每人所创年利润如下表所示： 每人所创年利润/万元 人数 （1）直接写出该公司所有员工所创年利润的众数及中位数，众数为__________，中位数为__________． （2）计算该公司每人所创造的平均年利润为多少万元，并补全统计图； （3）如果该公司打算从中位数、众数或平均数中选出一个作为员工的奖励目标，达到这个目标的员工可以给予一定的奖励，并让一半左右的员工都能达到这个目标，你认为中位数、众数及平均数哪个作为目标比较合理？请说明你的理由． 24. 新定义：对角线相等的四边形是等对四边形． （1）如图1，已知：中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连接，求证：四边形是等对四边形． （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点，，均在格点上，若点在格点上，且四边形是等对四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 25. 某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元． （1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元； （2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少？最少资金是多少元？ 26. 如图，为圆的直径，为圆上一点，，垂足为，点为延长线上一点，过点作圆的切线，切点为，连接交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、，交于点，若，求证：平分； （3）如图3，在（2）的条件下，连接、、，若，四边形的面积等于9，求的半径． 27. 如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴于点，交轴于点，过点的直线交轴负半轴于点，． （1）如图1，求点坐标； （2）如图2，点在线段上，过点作的垂线交的延长线于点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； （3）如图3，在点上方，轴正半轴上取点，连接、，延长交于点，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $