专题02 勾股定理（期末真题汇编）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦勾股定理四大高频考点，整合多地区期末真题，涵盖理解与应用分层设计，融入赵爽弦图、实际测量等情境，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|约20题|勾股定理及逆定理基础理解（如直角三角形边长计算、勾股数判断）|立足教材基础，直接考查概念应用| |填空|约15题|公式变形（如面积与边长关系）、几何变换（如平移阴影面积计算）|结合图形变换，渗透数形结合思想| |解答题|约25题|实际应用（台风折断旗杆、航行距离）、综合证明（折叠问题、赵爽弦图面积推导）|分层设计，从计算到复杂情境应用，对接中考命题趋势|

专题02 勾股定理 4大高频考点概览 考点01勾股定理的理解 考点02二勾股定理的应用 考点03勾股定理逆定理的理解 考点04 勾股定理逆定理的应用 地 城 考点01 勾股定理的理解 一、单选题 1．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）如图， 在矩形中， 对角线相交于点O，若， 则的长是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．解题的关键是利用矩形对角线的性质得出为等边三角形，进而求出相关角度和线段长度． 【详解】∵， ∴是等边三角形，， 在矩形中，，于是在中， 根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，可得， 再由勾股定理得解得， 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形角的性质以及勾股定理，熟知直角三角形所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在中，，， ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：A． 3．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理． 直接根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D 4．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在等腰中，，，则高的长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．12.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理． 首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，然后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴在中， 故选：C 5．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉定理内容是解题关键；直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：； 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）已知，斜边，面积为2，则______． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由三角形的面积公式得出，再由勾股定理得，然后由，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴负值已舍去， 故答案为：5． 7．（24-25八年级下·广东江门·期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为和8，则斜边长为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．根据勾股定理求解即可． 【详解】根据勾股定理得： 斜边长为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，将等边三角形沿射线BC向右平移一定的距离得到若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平移的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 过点G作，垂足为H，先证是等边三角形，再利用勾股定理和三角形的面积公式，结合等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点G作，垂足为H， ，， ∴， 是等边三角形， ∴， 由平移得：， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， 的面积， 故答案为： 9．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、作图-基本作图以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由勾股定理求出，再由线段垂直平分线的性质得，设，则，然后在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：，，， ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即线段的长为， 故答案为： 10．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么正方形的面积是_________． 【答案】1 【分析】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理是解决问题的关键．根据勾股定理求出另一条直角边，进而求出小正方形的边长，即可答案． 【详解】解：由题意知，在正方形中，，，和是四个全等的直角三角形， ∴， ，， ∴， ∴正方形的边长为：， 正方形的面积． 故答案为：1． 三、解答题 11．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，各边的长如图所示，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理；先利用勾股定理列方程求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得， 解得， 所以的面积． 12．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，是高．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了利用勾股定理解三角形；先证明是等腰直角三角形，求出，再在中利用勾股定理即可求出. 【详解】解：， ． 是的高， ， ． 在中，． ． ． ． 在中，． ． 13．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，是的角平分线，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （2）根据角平分线的性质，过点作于点，作于点，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，再根据三角形的面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点，作于点， ∵，是的角平分线，，， ∴，， 在中，， 设 ∴， ∴ ， ∵ ∴ ∴，即． 14．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，在中，于点，于点，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解答本题的关键． （1）证明，根据“”证明可得结论； （2）由知，由勾股定理得，得出，根据可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， 在中，， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，平分交于点，点为上一点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）利用证明得到，则由勾股定理可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，由勾股定理可得，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1））证明：平分， ∴， 又∵，， ∴， ， ； （2）解：， ． 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴． 解得，即的长为． 地 城 考点02 勾股定理的应用 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：D． 2．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用—方位角问题、直角三角形的判定与性质，先根据方位角判断三角形的形状，然后利用勾股定理计算是解此题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得： ， ，， ， ， 在中，，， ， ∴A，C两港之间的距离为． 故选：A． 3．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则线段的长度为（   ） A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可求得两点之间的距离． 【详解】解：∵ ∴线段的长度为 故选：A． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期末）为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴， 在中，米，米。 ∴， 米 ， 故选：A． 5．（24-25八年级下·河南安阳·期末）图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ） A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设的长度为尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长度为3.75尺， 故选：B． 6．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为多少尺？设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． 根据题意可知 ，，，，由勾股定理，得到，即可解答． 【详解】解：根据题意，有，，， ∴， 由勾股定理，得， 即． 故选C． 二、填空题 7．（24-25八年级下·云南临沧·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征及勾股定理，根据勾股定理，计算原点O到点A的距离． 【详解】解：点A的坐标为，由勾股定理得． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是______尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题中勾股定理的应用，明确题意，表示出直角三角形中三边长度，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设绳索的长为尺，根据题意表示出、长度，根据勾股定理可列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知：（尺），（尺），（尺）， （尺）， 设绳索尺，尺， 在中， 即， 解得． 答：绳索的长为尺． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 10．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【答案】未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，，则，可求出，继而求出．可得此车的速度为，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ． 此车的速度为． ，， 此车未超速． 11．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 【答案】新路比原路少千米，比原路少千米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得（千米），设千米，则千米，然后通过勾股定理求出千米，最后代入求解即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴（千米）， 设千米，则千米， ∵， ∴， 解得：， ∴千米， ∴新路比原路少（千米），比原路少（千米）， 答：新路比原路少千米，比原路少千米． 12．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图        说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5米 根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度． 【答案】米 【分析】此题考查勾股定理的应用，能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解． 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米 由图2可得，在中，， 解得，， 答：旗杆的高度为12米． 13．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将三角形纸片沿直线折叠，使点落在斜边上，与点重合，求的长度 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意可得与关于成轴对称， ，，， 在中，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，即． 14．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用． （1）可利用矩形的性质和折叠的性质，通过角相等得到边相等； （2）可设未知数，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ∵由此矩形折叠情况可知：点C与点A重合，折痕分别交于点， ， ， ． （2）∵四边形是矩形，， ， 由折叠得：，设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得：， ． 15．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，将矩形的边折叠，使点D落在上的点F处，折痕为，已知，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)10 (2) 【分析】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、折叠性质等知识，根据勾股定理求出的长是解题的关键． （1）由四边形是矩形，得，而，，则； （2）由折叠得，则，所以，再利用勾股定理列方程，即，解得，进而求出的面积． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， ∴； （2）解：由折叠得， ， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 的面积． 16．（24-25八年级下·江西新余·期末）如图，在矩形纸片中，，，把矩形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点． (1)请判断是什么三角形；并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)等腰三角形，见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点． （1）根据平行线+角平分线即可证明等腰三角形； （2）设，则，然后在中由勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵折叠， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵矩形， ∴，， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴． 17．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）在矩形中，E为边上异于A、D的一个动点，将沿折叠，点A的对应点为F． (1)如图1，若设，则 （用含α的式子表示）；当点F恰好是的中点时，则 度． (2)如图2，交于点M，且平分． ①求证：是等腰三角形． ②当时，求的长． 【答案】(1)；30 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据折叠的性质得：，从而得到，再结合线段垂直平分线的性质可得，即可求解； （2）①延长交于点N，证明，可得，从而得到，然后结合矩形的性质可得，从而得到，即可解答；②根据勾股定理可得，设，则，，过点E作于点Q，则，根据，可得，，然后在中， 根据勾股定理可求出x的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵点F恰好是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ， ， ∵， ， ∴， 故答案为：；30； （2）①证明：如图2，延长交于点N， ∵平分， ∴， 由翻折可知：， ∴， ， ∴， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴是等腰三角形； ②解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， 设，则， ∴， 如图2，过点E作于点Q，则， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴或（舍去）， ∴的长为； 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 18．（24-25八年级下·西藏拉萨·期末）猜想直角三角形的三边关系： 图中每个小方格子都是边长为1的小正方形． (1) ， ， ． (2) ， ， ． (3)的关系是： ． 【答案】(1)3，4，5 (2)9，16，25 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）观察图形即可得出答案； （2）观察图形即可得出答案； （3）观察三个数的数量关系即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：3，4，5； （2）解：由图可知， ，，， 故答案为：9，16，25； （3）解：∵， ∴的关系是， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，求的值． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ， ∴． 20．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫做格点． (1)请你在图中以格点为顶点画一个，使其三边长分别为，，； (2)请你仅用无刻度直尺作出的中点（保留作图痕迹，标注中点字母）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用勾股定理数形结合的思想画出三角形即可； （2）取格点、，连接交于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，点M即为所求： 21．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，求的值． 【答案】29 【分析】本题主要考查勾股定理，完全平方公式的变形运用，理解图示，掌握勾股定理，完全平方公式的变形计算是关键，根据题，，，运用完全平方公式的变形即可求解． 【详解】解：大正方形的面积是15，小正方形的面积是1， 四个直角三角形面积和为，即， ，， ． 22．（24-25八年级下·福建福州·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形和中间一个小正方形(如图2)．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，求得，，得到，解方程组得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 正方形的面积． 23．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想    ②数形结合思想    ③分类讨论思想 【答案】(1)见解析 (2) (3)①② 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的推导以及勾股定理得结构特征． （1）根据梯形面积公式求得，根据割补法求出，联立等式并化简即可； （2）根据勾股定理可得，，据此即可求得答案． （3）结合解题过程即可求得答案． 【详解】（1）证明：观察图形可知或． 所以． 整理，得，即； （2）解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得； （3）解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. 地 城 考点03 勾股定理逆定理的理解 一、单选题 1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）下列各组数中，是勾股数的是（） A．7，10，12 B．，， C．6，8，10 D．5，8，12 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握知识点是解题的关键． 勾股数是满足勾股定理的正整数组，需同时满足正整数和的条件，即可解答． 【详解】解：勾股数需为正整数且满足， 对于A：，不符合； 对于B：，，不是正整数，不符合； 对于C：，相等，且均为正整数，符合； 对于D：，不符合； 故选C． 2．（24-25八年级下·四川南充·期末）下列各数组中，是勾股数的是（    ） A．1，1， B．1，，2 C．12，13，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数，勾股数的定义：如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、是无理数，故1，1，不是勾股数，该选项不符合题意； B、是无理数，故1，，2不是勾股数，该选项不符合题意； C、，故12，13，5是勾股数，该选项符合题意． D、，故4，5，6不是勾股数，该选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）由线段组成的三角形，不是直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，逐一验证各选项中三边是否满足（为最长边），即可判断是否为直角三角形． 【详解】解：选项A： ，满足勾股定理，是直角三角形； 选项B： ，满足勾股定理，是直角三角形； 选项C： ，满足勾股定理，是直角三角形； 选项D： ，不满足勾股定理，因此不是直角三角形； 故选：D． 4．（24-25八年级下·广东广州·期末）已知的三边长分别为a、b、c，则下列不能判断为直角三角形的是（ ） A．，， B． C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，二次根式的混合运算，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两边平方和等于第三边平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、，，，最大边为5，验证，满足勾股定理，能判断为直角三角形，不符合题意； B、，设三边为，最大边为，验证，满足勾股定理，能判断为直角三角形，不符合题意； C、，，，最大边为，验证，满足勾股定理，能判断为直角三角形，不符合题意； D、，，，最大边为7，验证，不满足勾股定理，不能判断为直角三角形，符合题意， 故选：D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·期末）在中，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】根据已知三边长，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再根据直角三角形面积公式计算面积． 【详解】解：，，， ， 根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，为直角， 则． 6．（24-25八年级下·青海玉树·期末）若的三边长分别为，则是___________三角形．（填“直角”或“锐角”或“钝角”） 【答案】直角 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，，由勾股定理的逆定理可判断出为直角三角形． 【详解】解：，， ， 为直角三角形． 故答案为：直角． 7．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在▱中，平分，交AB于点E，，，，则的面积为______． 【答案】32 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由勾股定理的逆定理判定是直角三角形． 由平行四边形的性质推出，，由平行线的性质和角平分线定义得到，推出，得到，由勾股定理的逆定理推出，于是得到▱ABCD的面积 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的面积 故答案为： 8．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，点E在边上，且，对角线平分，若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】根据平行四边形的性质得出，，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，，根据勾股定理求出． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 三、解答题 9．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，在中，，，边上的中线，求的长．   【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得，由垂直平分线定义得垂直平分，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ， ， ， 垂直平分， ． 10．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，D是上任意一点，连结，若，，， (1)证明：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解； （2）在中利用勾股定理即可求出CD的长，进而可得出结论． 此题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形． 【详解】（1）证明：，，， ， 是直角三角形； （2）解：是直角三角形，， ， 地 城 考点04 勾股定理逆定理的应用 一、单选题 1．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（    ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积计算，解题的关键是判断三角形的形状，再计算其面积． 先根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算沙田的面积． 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里． ， ． 这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边． 沙田的面积为（平方里）． 故选：A． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为，再根据勾股定理的逆定理即可求解，掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设结间距为， ∴， ∴这个三角形其中一个角是， 故选：． 二、解答题 3．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 4．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 5．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在春天来临之际，八（1）班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地．如图，，，，，，求该四边形土地的面积． 【答案】该四边形土地的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． 根据勾股定理得到，进而可得是直角三角形，根据四边形的面积的面积的面积计算即可． 【详解】解：连接， ，，， 在中，由勾股定理得， ，， ∴， 是直角三角形， 四边形的面积的面积的面积 该四边形土地的面积为． 6．（24-25八年级下·福建厦门·期末）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向处，C入口在桂花园B的正东方向处，玫瑰园D与C入口相距，玫瑰园D与A入口相距．求某市口袋公园的面积； 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、三角形的面积等知识点，能求出是解此题的关键． 连接．根据勾股定理求得的长，从而根据勾股定理的逆定理得到，进而求得该四边形的面积． 【详解】解：连接． 由题意得， ∴． ∴． ∵，， ∴． 这块地的面积的面积的面积 （）． 7．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 【答案】米． 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定，再利用勾股定理解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：米，米，米， ， 为直角三角形，且， 在中，米，米， 米， 米， 即这条河的宽度为米． 8．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，四边形中，，嘉嘉和琪琪分析所标数据．得到下面结论： 嘉嘉说：四边形是平行四边形； 琪琪说：是直角三角形． 谁的说法正确，请选择其中一人的说法进行说理． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查直角三角形的判定和平行四边形的判定，根据得出，从而得出四边形的边长和的长，从而可判断出四边形是平行四边形及是直角三角形． 【详解】解：两人的说法都正确： ， ，解得， ， ， 四边形ABCD是平行四边形， 嘉嘉的说法正确； ， ，解得， ， 在中， ， ， 为直角三角形， 琪琪的说法正确． 9．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】符合安全标准，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理得到，证明结论． 【详解】解：符合安全标准， 理由：在中，， ， 在中，， ， 是直角三角形，且， ． 该婴儿车符合安全标准 10．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． （1）先利用逆定理判定三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形，再套用公式①求解即可； （2）直接套用公式②求解即可； （3）连接，利用勾股定理求出，当假设在中，，，时，利用公式①或公式②，求出的面积，再利用即可求解． 【详解】（1）解：∵；；；， ∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形， ∴当假设在这个三角形中，，时， 则， ∴根据公式①，得该三角形的面积； （2）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴当假设，，时， 根据公式②，得该三角形的面积 ； （3）解：方法一：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时，根据公式②，得该三角形的面积 ， ∴． 方法二：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时， 则，根据公式①，得该三角形的面积 = = = =， ∴． 11．（24-25八年级下·山东济宁·期末）阅读材料，解决应用中的问题． 【材料】在平面直角坐标系内有两点，根据勾股定理可得，这两点间的距离为： 例如，如图1，， 则． 【应用】 (1)已知，求两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是． ①求点的坐标； ②求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)①；②详见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中两点间距离公式，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． （1）根据题干提供的信息，列式计算即可； （2）①过点作轴于点，证明为等腰直角三角形，求出，即可得出答案； ②根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①过点作轴于点，如图所示： 与轴正半轴的夹角是， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ． ②， ， ， ， ， 是直角三角形． 12．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 勾股定理 ☆4大高频考点概览 考点01勾股定理的理解 考点02二勾股定理的应用 考点03勾股定理逆定理的理解 考点04勾股定理逆定理的应用 目地 城诗点01 勾股定理的理解 一、单选题 1.(2425八年级下·甘肃武威期末)如图，在矩形ABCD中，对角线ACBD相交于点O,若 OA=OD=AD=2,则AB的长是() D A.2 B.2V2 C.25 D.4 2.(24-25八年级下湖北武汉期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3,则AB的长是 () A 25 B.3V5 C.45 D.6V5 3.(24-25八年级下·河北沧州期末)如图，在Rt△ABC中，AC=10,AB=8,则BC的长为() A.3 B.4 C.5 D.6 4.(24-25八年级下·四川南充期末)如图，在等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=10,则高AD的长为 1/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 () D B A.9 B.10 C.12 D.12.5 5.(24-25八年级下广东广州期末)如图，在△ABC中，∠C=90,AC=1,BC=3,则AB的长为 () A B A.V1o B.V13 C.5 D.5 二、填空题 6.(24-25八年级下·安徽阜阳期末)已知Rt△ABC,斜边AB=7,面积为2，则AC+BC= 2v2 7.(2425八年级下广东江门期末)已知直角三角形的两条直角边的长分别为“和8，则斜边长为 8.(24-25八年级下·广东揭阳期末)如图，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移一定的距离得到 △DEF,若AB=2,EC=2BE,则图中阴影部分的面积为一· D 9.(24-25八年级下广东广州期末)如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3,AB=5,分别以点A 和点B为圆心，大于2AB的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M,N两点，直线 2/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MN分别与边AB,AC相交于点D,E,连接BE,则线段CE的长为 D E 10.(24-25八年级下广东广州期末)如图是“赵爽弦图”，△ABE,△BCF,△CDG和△DAH是四个全 等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=5,BE=3,那么正方形EFGH的面积 是 D G E B 三、解答题 I1.(24-25八年级下·山东滨州期末)如图，Rt△ABC各边的长如图所示，求Rt△ABC的面积. x+4 6 B 12.(24-25八年级下湖北襄阳期末)如图，在△18 中， ∠ABC=135°，AD是高.若 AB=32 BC=1,求AC的长. B 3/19 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(24-25八年级下辽宁沈阳期末)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是△ABC的角平分线， AB=12,AC=8」 B B 备用图 (I)求△ABC的面积： (2)求AD的长. 14.(24-25八年级下陕西延安期末)如图，在△ABC中，AD L BC于点D,BE⊥AC于点E,交AD 于点F,AD=BD」 E F B D (I)求证：DF=DC: (2)若AC=10,CD=5,求AF的长. 15.(24-25八年级下陕西渭南期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D, 点E为AC上一点，AB=AE,连接DE. D (I)求证：AD2=AE2+DE2: (2)若BD=5,CD=13,求AE的长 目地 城赠点02 勾股定理的应用 一、 单选题 1.(24-25八年级上·河南郑州期末)强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离 旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是()m. 4/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5m 7777777777777分777777 A.12 B.13 C.17 D.18 2.(24-25八年级下·甘肃庆阳期末)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西 30°方向航行4Okm至C港，则A,C两港之间的距离为() A.50km B 40km C.30km D.10√7km 3.(24-25八年级下辽宁葫芦岛期末)在平面直角坐标系中，己知点40,3)，B(-6,-5),则线段AB的长 度为() A.10 B.12 C.15 D.18 4.(24-25八年级下广东惠州期末)为了固定垂直于地面的木桩AB,工人们在木桩离地面高4米的点A 拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的C处（接头处长度不计），则点C与木桩底部B的距离应为 () B A.3米 B.4米 C.5米 D.6米 5.(24-25八年级下·河南安阳期末)图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖 水深度，其示意图如图2，其中AB=AB,AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺，B'C=2尺，则AC的长度为 () B 0诗文：波平如镜一湖面，半尺高 处生红莲。亭亭多姿湖中立，突 遭狂风吹一边。离开原处二尺远 花贴湖面像睡莲。 图1 图2 5/19 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3尺 B.3.75尺 C.4尺 D.4.25尺 6.(24-25八年级下·云南玉溪·期末)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳 索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现 代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC=1尺)，将它往前推进两步(EB=10尺)， 此时踏板升高离地五尺(BD=5尺)，则秋千绳索(OA或OB)的长度为多少尺？设秋千绳索OA的长为 x尺，则可列方程为() B x2+102=(x-1)2 A. B.r=(x-52+10 c.x=(x-42+102 D.r+102=(G-4 二、填空题 7.(24-25八年级下·云南临沧期末)在平面直角坐标系xO少中，点A的坐标为(4,2)，则线段O4的长为」 8.(24-25八年级下·黑龙江鸡西期末)我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平 地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索 长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离DE的长为1尺，将它向 前水平推送10尺时，即BC=10尺，秋千踏板离地的距离BF和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得 很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是尺 6/19 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 三、解答题 9.(24-25八年级下·湖南长沙期末)树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼 梯台阶完全盖住.己知楼梯台阶侧面图如图所示，∠C=90°，AC=3m,AB=5m. 5m 3m B (1)求BC的长： (2)若已知楼梯宽2.8m,每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶.（假设地毯在铺的 过程中没有损耗) 10.(24-25八年级下·湖北恩施期末)行车不超速，安全又幸福.已知某路段限速40km/h,小明尝试用 自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速.如图，他所在的观测点P到该路段I的距离(OP的长) 为40米，测得一辆汽车从1处匀速行驶到B处用时3秒，∠AP0=60,∠BP0=45 试通过计算判断此车 √3≈1.7，V2≈1.4 是否超速？( 。A 11.(24-25八年级下河北廊坊期末)在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个引水点 A、B,其中AB=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通.该村为方便村民引水决定在河边新 7/19 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 建一个引水点H(A、H、B在同一条直线上)，并新修一条路CH,且CH⊥AB.测得CH=2.4千米， HB=1.8千米，求新路CH比原路CB,CA各少多少千米？ A/Hh B 12.(23-24八年级下·湖南株洲期末)某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他 们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 A A 说明：线段AB表示学校旗杆，AB垂直地面于点B,如图1，第一 测量 次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段BC，用皮尺 示意 测出BC的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面 图 B C B D 图1 图2 的点D处，用皮尺测出BD的距离. 测量项目 数值 测量 图1中BC的长度 1米 数据 图2中BD的长度 5米 根据以上测量结果，请求出学校旗杆AB的高度. 13.(24-25八年级下·安徽安庆期末)如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6cm,BC=8cm, 现将三角形纸片沿直线AD折叠，使点B落在斜边AC上，与点E重合，求DE的长度 B D 14.(24-25八年级下内蒙古赤峰期末)如图，在矩形ABCD中，AD>AB,将此矩形折叠，使点C与点 8/19 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC,AD E F 重合，折痕分别交 于点E、F,连接EF,点P的对应点为点P,若 D D' AB=4,BC=10 D (I)求证：AE=AF: (2)求线段DF的长度. 15.(24-25八年级下广东广州期末)如图，将矩形ABCD的边AD折叠，使点D落在BC上的点F处， 折痕为AE,已知AB=6,BF=8. D B (I)求AF的长： (2)求△EFC的面积. 16.(24-25八年级下江西新余期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8,BC=4,把矩形纸片沿直 线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F. ()请判断△AFC是什么三角形：并说明理由： (2)求AF的长 17.(24-25八年级下·湖南长沙期末)在矩形ABCD中，E为AD边上异于A、D的一个动点，将△ABE沿 BE折叠，点A的对应点为F. 9/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 图1 图2 (I)如图1，若设∠ABE=,则∠DEF=(用含a的式子表示)；当点F恰好是BD的中点时，则a=度. (2)如图2，EF交BD于点M,且BF平分∠DBC. ①求证：△EDM是等腰三角形. ②当AB=3,BC=4时，求AE的长. 18.(24-25八年级下·西藏拉萨·期末)猜想直角三角形的三边关系： 图中每个小方格子都是边长为1的小正方形， (1)BC=_,AC=,AB=_. 2=，=,s= 6,3 的关系是：- 19.(24-25八年级下陕西安康期末)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形 ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a,b,c,d.若a+d=l2,求b+c的值. D b A B 10/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.(24-25八年级下·安徽阜阳期末)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫做格 点. 请你在图中以格点为顶点画一个418C,使其三边长分别为B=2,BC=0,4C=35 (2)请你仅用无刻度直尺作出BC的中点M(保留作图痕迹，标注中点字母M)· 21.(24-25八年级下·安徽芜湖·期末)如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代 数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如 图)，如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为 b,求a+b的值. 22.(24-25八年级下福建福州期末)“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系 证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图I)拼成的一个大正方形ABCD 和中间一个小正方形 GH(衡图2).没直角三角形的较短的直角边为”，较长的直角边为，若FH=万 较短直角边与较长直角边和为5，求正方形ABCD的面积. 11/19 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 6 图1 图2 23.(24-25八年级下·河北石家庄·期末)如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它 可以验证勾股定理 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于℃2.另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积 之和，即ahx4+6-a,从而得到等式2-bx4+6-.化简便得结论a+b=心.这种用两种求 1 法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”· 4 B x D a B 6 图① 图② 图③ (1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置， 请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理a2+b2=c2」 (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6, 设BD=x,求x的值。 (3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有 (填序号) ①方程思想②数形结合思想 ③分类讨论思想 目地 城考点03 勾股定理逆定理的理解 一、单选题 1.(2425八年级下陕西安康期末)下列各组数中，是勾股数的是（) 12/19 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.7,10,12B.0.3,0.4,0.5C.6,8,10 D.5,8,12 2.(24-25八年级下四川南充期末)下列各数组中，是勾股数的是（) A,1,1,2 B.1,5,2 C.12,13,5 D.4,5,6 3.(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨期末)由线段a,b,C组成的三角形，不是直角三角形的是() A.a=6,b=8c=10 B.a=5.b=5c=5V2 C.a=5,b=12,c=13 D.a=3,b=4,c=6 4.(24-25八年级下广东广州期末)已知△ABC的三边长分别为a、b、c,则下列不能判断△ABC为直角 三角形的是() A.a=3,b=4,c=5 B.a:b:c=3:4:5 C.a=1 b=12 C=3 D.a=5,b=6c=7 二、填空题 5,(24-25八年级下·黑龙江双鸭山期末)在△ABC中，AC=5,AB=3,BC=4,则△ABC的面积为 6.(2425八年级下青海玉树期未)若△4BC的三边长分别为5,525，则△MBC是 角形.（填“直角”或“锐角”或“钝角”） 7.(24-25八年级下福建泉州期末)如图，在口ABCD中，CE平分∠BCD,交AB于点E,AE=3, EB=5,DE=4,则口ABCD的面积为 D E B 8.(24-25八年级下·浙江杭州期末)如图，在口ABCD中，点E在边AD上，且AE=2DE,对角线AC 平分∠BCE,若C=35,CD=i0,则4C的长为一 13/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 三、解答题 9.(24-25八年级下·甘肃临夏期末)如图，在△ABC中，AB=5,BC=6,BC边上的中线AD=4,求 AC的长。 10.(24-25八年级下湖南长沙期末)如图，在△ABC中，D是BC上任意一点，连结AD,若AD=8, BD=6,AB=10,AC=17. (I)证明：△ABD是直角三角形： (2)求BC的长. 目地 城着点04 勾股定理逆定理的应用 一、单选题 1.(24-25八年级下·贵州遵义·期末)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题： “问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一 块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为() A.30平方里B.32.5平方里 C.60平方里 D.65平方里 2.(24-25八年级下·云南红河期末)据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的13个结，然后以3个结间 距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是 14/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2345678910111213 A.30° B.45° C.60° D.90° 二、解答题 3.(24-25八年级下·云南普洱期末)如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD 的顶点都在格点（网格线的交点）上. (I)求线段BC和CD的长， (2)∠BAD是直角吗？请说明理由. 4.(24-25八年级下河北邢台期末)如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A, B,且A,B均位于地下管道AC的同侧，售卖机A,B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的 距离为300米，MN L AB于点V,M到AB的距离为240米，假设所有管道的材质相同. M (I)求B,N之间的距离： (2)珍珍认为：从管道AC上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，BM是这些分叉管道中最省材料的， 请通过计算判断珍珍的观点是否正确。 5.(24-25八年级下·湖北黄冈期末)在春天来临之际，八(1)班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬 15/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 菜.他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地ABCD.如图，AB=20m,BC=25m,CD=12m, AD=9m,∠D=90°，求该四边形土地ABCD的面积. 刀 A 6.(24-25八年级下·福建厦门期末)口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是 对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升.如图所示，四边形ABCD是某市一口袋公园的平面示意 图.经测量，桂花园B在A入口的正南方向300m处，C入口在桂花园B的正东方向400m处，玫瑰园D与 C入口相距1200m,玫瑰园D与A入口相距1300m.求某市口袋公园的面积： 北 西 →东 D 南 A B 7.(24-25八年级下·陕西商洛·期末)如图，小微同学想测量一条河的宽度MP，出于安全考虑，河岸边 不宜到达，她在地面上取一个参考点H，发现MP延长线上的点N处有一棵大树，用测距仪测得MH=34 米，H=30米，HP=31米，已知MN=16米，请你计算这条河的宽度MP.(结果保留根号) H 8.(24-25八年级下·河北张家口期末)如图，四边形ABCD中，AD=BC,嘉嘉和琪琪分析所标数据， 得到下面结论： D 2x-6 4 x+2 嘉嘉说：四边形ABCD是平行四边形： 16/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 琪琪说：△ABD是直角三角形. 谁的说法正确，请选择其中一人的说法进行说理。 9.(24-25八年级下·山西吕梁·期末)不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴 儿车的安全性.如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到 AB=CD=6dm,BC=3dm,AD=9dm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即 ∠ABD=90°)，根据安全标准需满足BC⊥CD,请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由. (图1) (图2) 10.(24-25八年级下内蒙古赤峰期末)已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何 学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式S=VD(P-p-bp-©)O,并给出了证明.其 中a,.c是三角形的三边长，p=(a+b+c),S为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式.我国南宋时 期数学家秦九韶（约1202一约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 +b2-c2 ②. 后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是 同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式. 请根据上述公式，解答下列问题： D B (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5,12,13：3,4,5：6,8,10：7,8,9，求其中非直角三角 形的面积：（利用公式①求解） 17/19 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 √13，√14，V15 (2)若一个三角形的三边长分别为 ， 求该三角形的面积.（利用公式②求解） (3)如图，四边形4BCD中， ∠B=90°，AB=3,BC=4,CD=√65，AD=5V2 求该四边形ABCD 的面积. 11.(24-25八年级下·山东济宁·期末)阅读材料，解决应用中的问题. 【材料】在平面直角坐标系内有两点 M(x,y),N(x,2) 根据勾股定理可得，这两点间的距离为： MN=V:-x)+(出-2)月 例如，如图1， M(3,1),N(1,-2) 则MW=V(G-》+(-}=V3-1+1+2=13 A 图1 图2 【应用】 ①已知P心-)(-2,2），求R0两点间的距离 (2)如图2，在平面直角坐标系中， M(-2,6),0B=22,0B与'轴正半轴的夹角是45 ①求点B的坐标： ②求证：△ABO是直角三角形. 12.(24-25八年级下河北保定期末)综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集 设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计。 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,在CD上选取两点 E,F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水 强强设计的铺设管道方案如下： 18/19 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E,F; 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H,先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点 E,F铺设管道 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点 之间的距离，就确定了∠ABC=90°」 D 街 道 y 6 街道C ()施工人员测量的是点_与点之间的距离. (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用. (3)若∠EGF-90°，EF=10m,EG=8m,管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案 所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用。 19/19