精品解析：上海市三林中学2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高二数学试题

三林中学2025学年第二学期期中教学质量检测 高二数学 命题人：周敏 审题人：陈龙 考试时间：2026.05 一、填空题（3*12=36） 1. 直线过点和，则的斜率为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 2. 双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】易知双曲线的焦点在轴上，且，， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 3. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程直接求解即可. 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，解得. 故答案为：. 4. 已知直线和直线，若，则_______ 【答案】－1 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件求解． 【详解】时，两直线显然不平行，因此， 所以由得，解得， 故答案为：． 5. 设直线过定点，则点的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】化简直线方程为，联立方程组，即可求解. 【详解】由直线方程，可化简为， 又由，解得， 即直线恒经过定点. 故答案为：. 6. 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则p=______. 【答案】4 【解析】 【详解】抛物线，其准线方程为； 由点到焦点的距离为5，得点到准线的距离； ，解得或. ，. 7. 圆上的点到直线的最小距离是______. 【答案】1 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径为2， 因为圆心到直线的距离 ， 所以圆上的点到直线的最小距离是. 8. 过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有______条. 【答案】 【解析】 【分析】由于在抛物线外部，当直线与抛物线相切时，有两条直线与抛物线只有一个公共点，又点在轴上，轴与抛物线只有一个公共点，因此，一共有三条直线. 【详解】过点且斜率不存在的直线，与抛物线无交点， 因此，直线斜率存在时，设直线，与联立， 得： ， 当直线与抛物线只有一个公共点， 当时， ，得：， 则直线方程为或与抛物线相切， 即此时与抛物线有且只有一个公共点； 当时，直线方程为， 轴与抛物线只有一个公共点， 则共三条直线与抛物线有且只有一个公共点. 9. 以为圆心，在直线上截得弦长为的圆方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由点到直线的距离公式可得，再由圆的弦长公式可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】因为圆心为，所以圆心到直线的距离 ， 由圆的弦长公式得，解得， 所以圆的方程为. 10. 如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】联立直线与双曲线方程，得到关于的方程，通过分析方程得判别式确定交点个数，进而求出的取值范围. 【详解】联立直线与双曲线方程 ，整理可得 ， 直线与双曲线有两个不同的交点，所以， 解得且，所以斜率k的取值范围是 11. 已知椭圆：的中心为，为左焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率为_________ 【答案】## 【解析】 【分析】设，，，利用中点坐标公式得到直线斜率为，再利用得到即可求解. 【详解】由题意设，，， 则， 两式相减可得：， 因为：，，所以 即直线斜率为， 又直线斜率为，所以，即， 由，得，即，得，得. 故答案为： 12. 已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设 中点为 ，根据向量加法的平行四边形法则得到 与 的关系，分析的最小值，根据即可求解. 【详解】设中点为 ，则 ，所以 . 得的轨迹是和两条平行线所夹的区域，点到该区域的最小距离为点到直线的距离， 因为点 在圆 上，圆心 ，半径 ， 设点 到直线 的距离为 ， 则：， 所以 . 又因为 ，所以 . 综上， 的最小值为 . 二、选择题（3*4=12） 13. 如果，，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】结合直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系即可求解． 【详解】因为，所以，直线可化为，因为，，所以，也即，，所以直线不过第三象限． 故选：C． 14. “方程表示椭圆”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由方程表示椭圆，列出不等式求解，再根据充分必要条件与集合的关系得出答案. 【详解】方程表示椭圆，则，解得且， 因此“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A 15. 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设出三点的坐标，把（三个焦半径之和）转化为三个点线距之和，用上条件即可求解. 【详解】解：设点的坐标分别为． 又，则，， ． 由抛物线的定义可得：，， 故选：B 16. 若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆外切求得参数的关系，然后根据基本不等式求最值. 【详解】解：由题意可得两圆相外切 两圆的标准方程分别为 圆心分别为，半径分别为2和1 故有，   当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 三、解答题（52） 17. 已知直线与直线，. （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零），求直线的方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m的值； （2）先将点代入中求出，再设直线为，代入点的坐标，求出参数的值，即可得解. 【小问1详解】 因为直线与直线垂直， 所以，解得或； 【小问2详解】 将点代入中，，解得，则， 因为直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零）， 设直线为，代入，可得，解得， 所以直线为，即. 18. 已知圆，其圆心在直线上． （1）求的值； （2）若过点的直线与相切，求的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解； （2）对直线的斜率是否存在讨论.若存在，设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离即可求解. 【小问1详解】 圆的标准方程为：， 所以，圆心为. 由圆心在直线上，得. 所以，圆的方程为：. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，即方程为，此时直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：， 即， 由于直线和圆相切，得， 解得：，代入整理可得. 所以，直线方程为：或. 19. 已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上. （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）设点，求的最小值： 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义求解. （2）利用两点间距离公式，讨论参数求解. 【小问1详解】 由可知，，则，所以焦点，准线为. 【小问2详解】 设点，则有， 则. 因为 ， 所以当，即时，， ； 当，即时，， . 综上所述，. 20. 已知双曲线C：的焦点与椭圆的焦点重合，此双曲线的离心率为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【答案】（1）； （2）不能是，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）椭圆标准方程求出椭圆的交点，且双曲线与椭圆焦点重合，得到双曲线的半焦距；根据双曲线的离心率，求得，，进而得到双曲线的标准方程； （2）假设是线段的中点，利用点差法、中点坐标公式，求出直线的斜率，得到直线的方程；再将直线方程与双曲线方程联立，判断是否有两个不同的交点，以此验证假设是否成立. 【小问1详解】 由椭圆得，即. 双曲线C：的焦点与椭圆的焦点重合，. 双曲线的离心率为，，解得； 由，即，解得. 双曲线C的标准方程为，即. 【小问2详解】 点不能是线段的中点，理由如下： 设，. 假设是的中点，则，； ，是双曲线上的点，则，两式相减得 ，即. 设直线的斜率为，则. 直线的方程为，即. 联立，得. ，方程无解，即直线与双曲线无交点. 假设不成立，即点不能是线段的中点. 21. 已知椭圆C：的离心率为，长轴为4. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线与椭圆交于A，B两点，求的面积； （3）点在C上，过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据离心率、长轴的长度和，求出的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）通过直线和椭圆联立方程组，消元后得到一元二次方程，利用弦长公式和点到直线的距离公式求解可得； （3）先根据题意判断出直线存在斜率，再按照斜率是否为0进行分类讨论，在斜率为0时，利用斜率公式求出，，计算的值；在斜率不为0时，先设直线，再将直线和椭圆联立方程组，消去，得，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系和斜率公式计算得解. 【小问1详解】 由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. 又点到直线的距离，所以. 【小问3详解】 由已知得直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为， 此时两点坐标为，又， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且， 则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三林中学2025学年第二学期期中教学质量检测 高二数学 命题人：周敏 审题人：陈龙 考试时间：2026.05 一、填空题（3*12=36） 1. 直线过点和，则的斜率为__． 2. 双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为______. 3. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________. 4. 已知直线和直线，若，则_______ 5. 设直线过定点，则点的坐标为________. 6. 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则p=______. 7. 圆上的点到直线的最小距离是______. 8. 过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有______条. 9. 以为圆心，在直线上截得弦长为的圆方程为______. 10. 如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______. 11. 已知椭圆：的中心为，为左焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率为_________ 12. 已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 二、选择题（3*4=12） 13. 如果，，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. “方程表示椭圆”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 16. 若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 三、解答题（52） 17. 已知直线与直线，. （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零），求直线的方程. 18. 已知圆，其圆心在直线上． （1）求的值； （2）若过点的直线与相切，求的方程． 19. 已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上. （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）设点，求的最小值： 20. 已知双曲线C：的焦点与椭圆的焦点重合，此双曲线的离心率为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 21. 已知椭圆C：的离心率为，长轴为4. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线与椭圆交于A，B两点，求的面积； （3）点在C上，过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $