精品解析：上海市复旦大学附属中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期中考试试卷（B卷）

复旦大学附属中学2025学年第二学期 高二年级数学期中考试试卷（B卷） 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果. 1. 已知空间向量的坐标为，则________. 2. 若随机变量的分布为，则的期望________. 3. 已知随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为________. 4. 已知随机变量服从二项分布，则的期望________． 5. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为______. 6. 棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为________. 7. 如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为________. 8. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由6个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 9. 质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则_______. 10. 如图，棱长为3的正方体中，P为正方体表面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为__________________． 11. 甲、乙两位同学进行科学知识抢答竞赛，规定先取得4轮胜利的同学最终获胜，获胜者可以获得年级组长张老师提供的1000元奖金.每轮甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每轮竞赛相互独立.在甲赢了2轮，乙赢了1轮后，竞赛因故中止，张老师决定按照竞赛再继续进行下去各自获胜的概率之比分配奖金.当时，乙同学获得的奖金的最大值为________元. 12. 在三棱锥中，已知，，，，，则的最小值为______. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 13. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 14. 下列说法正确的是（ ）. A. 如果随机事件与可以同时发生，则事件与不独立 B. 若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 C. 若随机变量满足，则 D. 对于随机事件与，若，，则事件与相互独立 15. 一组数据满足，若去掉且从中随机选两个数加入，组成一组新数据.则新数据与原数据相比，下列统计量中：①极差；②平均数；③方差；④第90百分位数，一定变小的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 对于一个半径为1的球，为球心，点在球面上，若对任意的，都有，则正整数的最大值为（ ）. A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”. （1）现用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，设随波动的回归方程为，已知监测月份的均值，违章人次的均值 ， ，求的值，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次； （2）交警从监测的5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下面的列联表. 不礼让行人 礼让行人 驾龄不超过2年 ① 16 驾龄2年以上 26 ② 已知不“礼让行人”违规驾驶共计50人，请补充填写上面的2×2列联表（在答题纸上的相应位置填空），并判断能否认为“礼让行人”行为与驾龄有关？附：，. 18. 如图，在直三棱柱中，，. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 19. 在空间直角坐标系中，已知，，点集，，，集合. （1）当时，从集合中随机任取两个不同的点，用随机变量表示这两点之间距离的平方，求的分布，期望与方差； （2）当时，从集合中依次任取四个不同的点，，，，设事件：，与事件：，求. 20. 如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为.我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. （1）求向量的斜坐标； （2）设，，求及； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为?若存在，请求出的斜坐标：若不存在，请说明理由. 21. 已知，，集合，．对中的两个不同元素和，若存在定义域为，值域为的子集的函数，，同时满足条件：①，；②，；③，，则称与是中的一对“友好元素”． （1）分别求当和时，集合的元素个数； （2）当时，若，写出对应的所有“友好元素”； （3）若和是中的一对“友好元素”，且满足的最大值为．当时，是否存在随机变量同时满足以下三个条件：①的取值集合为；②；③的期望？若存在，求的分布，及其对应的中的一对“友好元素”与（只需写出一对即可）；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属中学2025学年第二学期 高二年级数学期中考试试卷（B卷） 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果. 1. 已知空间向量的坐标为，则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为空间向量的坐标为，所以 . 2. 若随机变量的分布为，则的期望________. 【答案】 【解析】 【分析】借助概率之和为可得，再利用期望定义计算即可得解. 【详解】由题意可得，解得， 则. 3. 已知随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为________. 【答案】## 【解析】 【详解】随机变量服从正态分布 ， 所以，曲线关于对称， , . 4. 已知随机变量服从二项分布，则的期望________． 【答案】3 【解析】 【详解】已知随机变量服从二项分布， ， ． 5. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】应用全概率公式计算求解. 【详解】记事件为“第1球投进”，事件为“第2球投进”， ，，， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 6. 棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】以正方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算点到该平面的距离. 【详解】以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴建立空间直角坐标系， 正方体棱长为，则，所以， 设平面的法向量为，所以，即，取所以平面的一个法向量为， 为的中点，所以点，所以 ， 所以点到平面的距离. 7. 如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为________. 【答案】## 【解析】 【详解】对三个元件进行标号，如下图所示： 设事件表示“元件a接通”，事件表示“元件b接通”，事件表示“元件c接通”，且. 电路接通需要a接通，且b或c接通，即，其中，所以. 故电路接通的概率为. 8. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由6个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 【答案】5 【解析】 【详解】设甲组数据分别为，乙组数据分别为. 甲组数据的平均数为3，方差为5， ，得；，得. 乙组数据的平均数为5，方差为3， ，得； ，得 . 两组数据混合成一组，新的一组数据的平均数为， 方差为 9. 质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，列出不超过20的自然数中的素数有8个，其中“孪生素数”有4对，利用缩小样本空间的方法求出条件概率的值，然后利用对立事件的概率即可求得. 【详解】依题意，在不超过20的自然数中，素数有：2，3，5，7，11，13，17，19共有8个， 其中“孪生素数”有：3和5，5和7，11和13，17和19共有4对， 所以， 所以. 故答案为：. 10. 如图，棱长为3的正方体中，P为正方体表面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，此时的使得最小，据此即可求解. 【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点， 任取(不含)，此时. 在点D处建立如图所示空间直角坐标系，如图， 则， 因为E，F分别为的三等分点，所以， 又点F距平面的距离为1，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 11. 甲、乙两位同学进行科学知识抢答竞赛，规定先取得4轮胜利的同学最终获胜，获胜者可以获得年级组长张老师提供的1000元奖金.每轮甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每轮竞赛相互独立.在甲赢了2轮，乙赢了1轮后，竞赛因故中止，张老师决定按照竞赛再继续进行下去各自获胜的概率之比分配奖金.当时，乙同学获得的奖金的最大值为________元. 【答案】 【解析】 【分析】分比赛局、比赛局两种情况求出乙赢的概率，再利用导函数求出其单调性即可. 【详解】若要最终乙同学赢，则共比赛局，或比赛局， 比赛局结束，最终乙赢的概率为； 比赛局结束，最终乙赢的概率为； 故最终乙赢的概率为， 则乙同学获得的奖金为， 则， 则在上单调递减， 故， 故当时，乙同学获得的奖金的最大值为元. 12. 在三棱锥中，已知，，，，，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据三棱锥的几何性质，写出各棱之间的向量关系，根据向量模长公式，以及向量垂直的性质，列出方程，求出，进而根据基本不等式，求出的最小值. 【详解】由题意可知，，， 因为，所以 ， 即， 因为，所以 ， 即， 所以 ， 即，化简得，得， 由基本不等式可知，当且仅当时取等号， 所以. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 13. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 【答案】C 【解析】 【详解】在空间直角坐标系中： 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即，选项A正确； 关于平面对称，平面上的点满足，对称时变为相反数，、不变，即，选项B正确； 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即.选项C中是关于平面对称得到的坐标，故选项C错误； 关于原点对称，、、坐标都变为相反数，即，选项D正确. 14. 下列说法正确的是（ ）. A. 如果随机事件与可以同时发生，则事件与不独立 B. 若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 C. 若随机变量满足，则 D. 对于随机事件与，若，，则事件与相互独立 【答案】D 【解析】 【详解】事件与是否独立，取决于是否满足，而与它们是否可以同时发生没有必然联系， 例如，投掷一枚均匀硬币两次，设事件为“第一次出现正面”，事件为“第二次出现正面”， 与可以同时发生（两次都正面），但与相互独立，因此，可以同时发生的事件也可能独立，所以选项错误； 若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近，所以B错误； 若，则，所以若，则，所以C错误； 因为，所以， ，所以，所以事件与相互独立，所以D正确. 15. 一组数据满足，若去掉且从中随机选两个数加入，组成一组新数据.则新数据与原数据相比，下列统计量中：①极差；②平均数；③方差；④第90百分位数，一定变小的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】计算出原极差与新极差可得极差一定变小；举出反例可得平均数不一定变小；利用方差定义可得方差一定变小；利用百分位数定义计算可得第90百分位数一定变小. 【详解】①原极差为， 新极差为，故极差一定变小； ②若加入、，此时平均数变大，故平均数不一定变小； ③去掉，加入两个新数会导致数据波动变小，故方差一定变小； ④ ，则原数据的第90百分位数为， 若加入的数中有，则新数据第90百分位数为， 若加入的数中没有，则新数据第90百分位数为， 由，，故第90百分位数一定变小； 故一定变小的个数为个. 16. 对于一个半径为1的球，为球心，点在球面上，若对任意的，都有，则正整数的最大值为（ ）. A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】的几何意义，即向量与的夹角大于等于，结合单位球的性质，通过分析球面上点的分布情况即可确定的最大值. 【详解】设与的夹角为，已知，且 ，则，所以， 在单位球面上，要使任意两个向量与的夹角大于等于，故可以考虑正多面体的顶点情况. 对于正四面体，它有4个顶点，其顶点在单位球面上时，任意两个顶点与球心连线的夹角大于，满足的条件. 对于正八面体，它有6个顶点，其顶点在单位球面上时，任意两个顶点与球心连线的夹角为，满足的条件. 若，在球面上必然存在两个点，，使得与的夹角小于，不满足条件. 因此，的最大值为6. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”. （1）现用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，设随波动的回归方程为，已知监测月份的均值，违章人次的均值，，求的值，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次； （2）交警从监测的5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下面的列联表. 不礼让行人 礼让行人 驾龄不超过2年 ① 16 驾龄2年以上 26 ② 已知不“礼让行人”违规驾驶共计50人，请补充填写上面的2×2列联表（在答题纸上的相应位置填空），并判断能否认为“礼让行人”行为与驾龄有关？附：，. 【答案】（1），人次 （2） 不礼让行人 礼让行人 驾龄不超过2年 24 16 驾龄2年以上 26 24 不能认为“礼让行人”行为与驾龄有关 【解析】 【分析】（1）代入样本中心点求出的值，进而得到线性回归方程并进行预测；（2）根据已知条件补全列联表后计算的观测值，并与临界值比较得出结论. 【小问1详解】 由题意可得，线性回归方程必过样本中心点， 代入可得，， 所以线性回归方程. 当时，， 预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次为人次. 【小问2详解】 已知不“礼让行人”违规驾驶的共计50人次，所以①， 抽查总人数为人，所以“礼让行人”的总人数为人， ②. 补充完整列联表如下： 不礼让行人 礼让行人 驾龄不超过2年 24 16 驾龄2年以上 26 24 根据列联表数据，计算的观测值 ， 因为， 所以不能认为“礼让行人”行为与驾龄有关. 18. 如图，在直三棱柱中，，. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求证； （2）过作，垂足为，求证平面，即可得出点到平面的距离，再求出点到直线的距离，即可求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为，，所以，所以， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 过作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 则点到平面的距离为， 因为， 所以，则， 所以点到直线的距离为， 所以二面角的平面角的正弦值为， 由于二面角的平面角为钝角，则其正切值为， 故二面角的大小为. 19. 在空间直角坐标系中，已知，，点集，，，集合. （1）当时，从集合中随机任取两个不同的点，用随机变量表示这两点之间距离的平方，求的分布，期望与方差； （2）当时，从集合中依次任取四个不同的点，，，，设事件：，与事件：，求. 【答案】（1）分布列为 1 2 4 5 8 ，. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意的可能取值为，再依次求解对应取值的概率，列分布列，求期望与方差即可； （2）分 ，，，3种情况讨论求解，再求解对应概率，最后根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 解：当时，， 将其放在正方体中，表示的点分别为，共7个点， 由题意知，的可能取值为 从个点中任意取两个点，有种不同的方案， 两点间的距离的平方为的有，共种； 两点间的距离的平方为的有，共种； 两点间的距离的平方为的有，共种； 两点间的距离的平方为的有，共种； 两点间的距离的平方为的有，共种； 所以，；；； ；， 所以，的分布列为： 1 2 4 5 8 所以； 【小问2详解】 解：当时，共10个点，对应如图， 从中依次取出不同的四个点，，，，有序点组总数为 ， 其中事件： 满足的有序点组有以下几种情况： 当 时，先从中任取两点，满足条件的有，有6种； 同理，在和中任取两点，满足条件的也各有6种， 所以 时，共有种， 当时，满足条件的有共6种； 当时，先从中任取两点，满足条件的有有4种；同理，在和中任取两点，满足条件的也各有4种 所以时，共有种， 综上，满足 点的组数有种， 再考虑，从剩下的8个点中，有序的选取两个即可，有种， 所以事件包含的四点组总数为： 种， 所以 下面讨论满足事件 且的情况： 当 时，满足条件的18种情况中，每一种情况下，满足共线的点组数有2种，故有种， 当时，满足条件的6种情况中，每一种情况下，满足共线的点组数有4种，故有种； 当时，满足条件的种种情况中，每一种情况下，满足共线的点组数有2种，故有种， 所以 种， 所以 所以 20. 如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为.我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. （1）求向量的斜坐标； （2）设，，求及； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为?若存在，请求出的斜坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）； （3）存在； 【解析】 【分析】（1）直接用向量表示，即可得答案； （2）根据向量数量积的运算律计算即可判断，再根据结果代入对应数值即可求得答案. （3）设平面，进而根据向量垂直关系求得，设，，求得，再根据线面角的向量求法求得，最后将的值代入即可求得. 【小问1详解】 因为，所以． 【小问2详解】 设，， ， 所以； . 【小问3详解】 ． 设，， ． 设平面，，，． ，即，取． 设直线与平面夹角为． ， 即 ，解得或（舍） 所以，存在点满足题意，且． 21. 已知，，集合，．对中的两个不同元素和，若存在定义域为，值域为的子集的函数，，同时满足条件：①，；②，；③，，则称与是中的一对“友好元素”． （1）分别求当和时，集合的元素个数； （2）当时，若，写出对应的所有“友好元素”； （3）若和是中的一对“友好元素”，且满足的最大值为．当时，是否存在随机变量同时满足以下三个条件：①的取值集合为；②；③的期望？若存在，求的分布，及其对应的中的一对“友好元素”与（只需写出一对即可）；若不存在，说明理由． 【答案】（1）时，；时， （2）和 （3） 1 2 5 6 ， 【解析】 【分析】（1）按组合计数，由乘法原理计算求解； （2）根据“友好元素”定义，结合已知条件确定每个对应的，再根据对合性，通过枚举可能的配对，得到两种可能的； （3）由友好元素条件分析对合设置，结合概率和期望条件构造一组解，给出一个例子，反推满足所有条件． 【小问1详解】 集合，其中， 每个有种取值，由乘法原理： 当时，，中元素为有序对，故； 当时，，中元素为有序对，故． 【小问2详解】 当时，，由“友好元素”定义，函数需满足， 已知，则： ，则，，或4； ，则，故，由得，故，； ，则，故或4； ，即，则，即，则； ，即，则，即，则． 对应的友好元素为和． 【小问3详解】 当时， ，且 ． 由条件③可知，在中必有 . 又由可知，与只能分别不动，或互相对应． 取 . 则是上的对合映射，且满足条件③． 下面构造随机变量的取值集合为 ，并令. 此时 . 且. 故的分布为 1 2 5 6 取. 则中各元素的取值集合为 ，且最大值为．由上面定义的函数得 于是，且对每一个 ，都有 ，所以与是中的一对“友好元素”． 同时，当同一个取值在中重复出现时，由于对应的相同， 条件②给出的只是同一个概率等式的重复说明．例如时，对应 ，均表示，不是将重复相加． 故存在满足条件的随机变量，其分布如上，对应的一对“友好元素”可取 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $