23.4 实际问题与一次函数 课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数与实际问题，通过行李托运、快递数量等现实情境导入，衔接一次函数概念，搭建从基础到应用的学习支架，涵盖图象分析、分段函数及方案优化等核心内容。 其亮点是以光伏车棚投资、宽带收费等真实问题为载体，培养学生用数学眼光观察现实，通过分段函数建模和方案比较发展数学思维，借助函数解析式与图象表达强化数学语言。学生提升实际问题解决能力，教师获得结构化教学资源。

第二十三章 一次函数 23.4 一次函数与实际问题 学习目标 1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题. 2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力． 3.认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力. 重点：解决相关实际问题 难点：把各种数学模型通过函数统一起来 典例解析 题型1 关于图象 例1 某公司行李托运的费用y(元)与行李的质量x(千克)的关系为一次函数,由图可知只要行李的质量不超过　　 千克,就可以免费托运. 20 针对训练 1.某快递公司每天上午7:00-8:00为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙仓库用来派发快件,该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示,下列说法: ①15分钟后,甲仓库内快件数量为180件; ②乙仓库每分钟派送快件数量为4件; ③8:00时,甲仓库内快件数为600件; ④7:20时,甲、乙两仓库内快递件数相同. 其中正确的有　　个. 2 (2) 当 y = 360 时，x＞2. 由 360 = 60x + 60，解得 x = 5. 因此，论者在出发 5 h 后到达采访地. 典例解析 题型2 关于分段函数 例2 一位记者乘坐汽车赴 360 km 外的乡村采访，全程的前一部外为高速公路，后一部分为普通公路. 汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程 y (单位：km) 与时间 x (单位：h) 之间的关系如图所示. (1) 求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的函数解析式； (2) 记者出发后多长时间到达采访地？ 2 3.5 O x/h y/km A B 270 180 360 正比例函数 一次函数 解(1)当 0≤x≤2 时， y = 90x；当 x＞2 时，y = 60x + 60. 针对训练 2.某玉米种子的价格为 40 元/kg. 若一次购买不超过 2 kg 的种子，其价格不变；若一次购买超过 2 kg 的种子，超过部分的种子价格打六折. (1) 写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； (2) 一次购买 4 kg 玉米种子，需付款多少元? 解：(1) 24x + 32，x＞2. 40x，0≤x≤2， y = 1 2 3 20 40 60 80 100 x/kg y/元 y=24x+32 y=40x (2)因为 4＞2， 所以 y = 24×4 + 32 = 128. 因此，一次购买 4 kg 种子，需付款 128 元. 针对训练 3.在同一条道路上,甲车从A地到B地,乙车从B地到A地,乙先出发,图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y(km)与行驶时间x(h)的函数关系的图象,下列说法中错误的是(　　) A.甲后出发的时间为0.5 h B.甲的速度是80 km/h C.甲出发0.5 h后两车相遇 D.甲到B地比乙到A地早 h D 典例解析 题型3 关于至多至少 例3近年来,光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A,B两种光伏车棚.已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元,修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元. (1)修建每个A种、B种光伏车棚分别需投资多少万元? (2)若修建A,B两种光伏车棚共20个,要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍,问修建多少个A种光伏车棚时,可使投资总额最少?最少投资总额为多少万元? 解:(1)设A种x万元, B种y万元, 得解得 答:A种3万元, B种2万元. 典例解析 题型3 关于至多至少 例3近年来,光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A,B两种光伏车棚.已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元,修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元. (1)修建每个A种、B种光伏车棚分别需投资多少万元? (2)若修建A,B两种光伏车棚共20个,要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍,问修建多少个A种光伏车棚时,可使投资总额最少?最少投资总额为多少万元? (2)设A种m个,则B种个, 共投资W万元,根据题意, 得m≥2,解得m≥, W=3m+2=m+40. ∵1>0,∴W随m的增大而增大, ∴当m=14时,W取得最小值,此时W=14+40=54(万元). 答:修建A种14个时, 投资总额最少,最少为54万元. 典例解析 题型4 关于方案取舍 1.哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？ 2.在A、B两种方式中，上网费由哪些部分组成？ 3.影响超时费的变量是什么？ 4.这三种方式中有一定最优惠的方式吗？ 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/时 超时费/(元/分) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 例4下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式. A、B会变化，C不变 上网费=月使用费+超时费 上网时间 没有一定最优惠的方式， 与上网的时间有关 【分析】 典例解析 题型4 关于方案取舍 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/时 超时费/(元/分) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 例4下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式. 5.设月上网时间为x，则方式A、B的上网费y1、y2都是x的函数，要比较它们，需在 x > 0 时，考虑何时 （1） y1 = y2； （2） y1 < y2； （3） y1 > y2. 【分析】 典例解析 题型4 关于方案取舍 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/时 超时费/(元/分) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 例4下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式. 【分析】 6.在方式A中，超时费一定会产生吗？什么情况下才会有超时费？ 典例解析 题型4 关于方案取舍 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/时 超时费/(元/分) A 30 25 0.05 6.在方式A中，超时费一定会产生吗？什么情况下才会有超时费？ 合起来可写为： 当0≤x≤25时，y1=30； 当x＞25时，y1=30+0.05×60（x-25）=3x-45. 不一定，只有在上网时间超过25小时时才会产生． 典例解析 题型4 关于方案取舍 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/时 超时费/(元/分) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 例4下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式. 【分析】 7.你能自己写出方式B的上网费y2关于上网时间 x之间的函数关系式吗? 典例解析 题型4 关于方案取舍 7.你能自己写出方式B的上网费y2关于上网时间 x之间的函数关系式吗? 方式C的上网费y3关于上网时间x之间的函数关系式呢? 当x≥0时，y3=120. 典例解析 题型4 关于方案取舍 当上网时__________时，选择方式A最省钱. 当上网时间__________时，选择方式B最省钱. 当上网时间_________时，选择方式C最省钱. 在同一坐标系画出它们的图象： 典例解析 题型4 关于方案取舍 例5某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金 （单位：元/辆） 400 280 (1)共需租多少辆汽车？ (2)给出最节省费用的租车方案． 问题3：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？ 问题1：租车的方案有哪几种？ （1）单独租甲种车；（2）单独租乙种车；（3）甲种车和乙种车都租． 问题2：如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？ ⸫单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆. 汽车总数不能小于6辆，不能超过8辆. 典例解析 题型4 关于方案取舍 例5某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金 （单位：元/辆） 400 280 (1)共需租多少辆汽车？ (2)给出最节省费用的租车方案． 问题5：在问题3中，合租甲、乙两种车的时候，又有很多种情况，面对这样的问题，我们怎样处理呢？ 问题4：要使6名教师至少在每辆车上有一名，你能确定排除哪种方案？你能确定租车的辆数吗？ 说明了车辆总数不会超过6辆，可以排除方案(2)——单独租乙种车；所以租车的辆数只能为6辆． 步1:设租甲种车x辆,确定x的范围;步2:分类讨论. 典例解析 题型4 关于方案取舍 例5某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金 （单位：元/辆） 400 280 (2)给出最节省费用的租车方案． 解：设租用 x 辆甲种客车，则租用（ 6-x ）辆乙种客车. ①为使240名师生有车坐，可以确定x的一个范围吗？ ②为使租车费用不超过2300元，又可以确定x的范围吗？ 典例解析 题型4 关于方案取舍 例5某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金 （单位：元/辆） 400 280 (2)给出最节省费用的租车方案． 解：设租用 x 辆甲种客车，则租用（ 6-x ）辆乙种客车. 除了分别计算两种方案的租金外，还有其他选择方案的方法吗？ 由函数可知 y 随 x 增大而增大，所以 x = 4时 y 最小. 【点睛】解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 归纳总结 抽象 构造 直线交点 图象间位置 限制条件 函数增减性 实际问题 (多个)函数模型 确定方案 作业布置 课堂作业:P135习题23.4的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $