列方程解应用题（综合复习）（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

该小学数学列方程解应用题复习讲义聚焦小升初高频考点，涵盖和差、和倍差倍、行程、工程等七大题型，通过知识点梳理、重难点题型讲解、分层真题演练三环节，帮助学生掌握设元技巧、等量关系分析及规范解题步骤。 亮点在于分层教学与核心素养培养，如和差问题设较小数为未知数渗透抽象能力，行程问题用线段图梳理关系培养几何直观，真题分基础到综合层适配不同学生。教师可依托易错点辨析精准指导，助力学生构建方程模型，提升解决复杂问题能力。

列方程解应用题（综合复习讲义）2026 年小升初数学复习讲练测（人教版） 目录 （一）知识点梳理（讲） 知识点 01 列方程解应用题的核心意义与必备基础 知识点 02 列方程解应用题的完整步骤（必记） 知识点 03 常见应用题类型与等量关系（小升初高频） 知识点 04 列方程解应用题的设元技巧 知识点 05 列方程解应用题的易错点辨析与纠错方法 （二）重难点题型讲解（练） 考点 01 列方程解和差问题（基础型） 考点 02 列方程解和倍、差倍问题（基础型） 考点 03 列方程解行程问题（相遇、追及，变式型） 考点 04 列方程解工程问题（变式型） 考点 05 列方程解百分数应用题（高频型） 考点 06 列方程解几何相关应用题（拔高型） 考点 07 列方程解复合型应用题（综合拔高型） 考点 08 列方程解易错应用题（纠错专项） （三）真题演练（测） 真题演练 1～20（分基础、变式、拔高、综合四个层次） （一）知识点梳理（讲） 知识点 01 列方程解应用题的核心意义与必备基础 1. 核心意义 列方程解应用题是小升初数学的重点、难点，也是解决复杂实际问题的核心方法。它通过设未知数，将未知量转化为已知量，利用题目中的等量关系列出方程，再通过解方程求出未知量，相比算术法更直观、更简洁，能有效规避“逆向思维”的难点，尤其适合解决和差倍、行程、工程等复杂题型，是小升初高分必备技能。 2. 必备基础 熟练掌握简易方程的解法（含括号、含分母的方程），牢记等式的两个性质，规范书写解方程步骤（写“解：”、检验）； 能准确区分“已知量”和“未知量”，理解未知数的含义，会用字母（常用 ）表示未知量； 掌握常见数量关系（如 、），能快速提炼题目中的关键信息； 具备基础的文字分析能力，能读懂题目题意，理清数量之间的内在联系。 知识点 02 列方程解应用题的完整步骤（必记） 列方程解应用题的核心是“找等量关系”，完整步骤分为 6 步，缺一不可，规范步骤能有效减少错误，小升初考试中步骤分占比不低，需严格遵循： 1. 审：审题（关键第一步）。通读题目 2-3 遍，圈出已知条件、所求问题，明确题目类型（如和差倍、行程），理解每个条件的含义，避免遗漏关键信息（如“多”“少”“倍”“相向”“同向”等）。 1. 设：设未知数。优先设“所求问题”为 （直接设元法）；若所求问题较复杂，可设中间量为 （间接设元法），设完后明确 的含义（如“设乙数为 岁”“设相遇时间为 小时”），避免模糊不清。 1. 找：找等量关系（核心步骤）。根据题目中的关键词、数量关系，提炼出“左右两边相等”的式子，这是列方程的依据。若无明显关键词，可借助线段图、列表法分析数量关系，确保等量关系准确无误。 1. 列：列方程。根据找到的等量关系，将已知量、未知量代入，列出符合等式要求的方程（确保方程含未知数，左右两边意义一致、单位统一），避免列错等量关系。 1. 解：解方程。遵循等式的性质，规范书写“解：”，逐步求解未知数 ，复杂方程（含括号、含分母）需先化简，解得后及时检验（将 的值代入原方程，看左右两边是否相等），避免计算错误。 1. 答：写答语。根据求出的 的值，完整回答题目中的所求问题，答语需简洁明了、符合题意，避免漏答、错答（如求“甲、乙两数各是多少”，需分别回答甲数和乙数）。 口诀记忆：审清题意，设对未知数，找准等量关，列出方程来，细心解出来，完整写答语。 知识点 03 常见应用题类型与等量关系（小升初高频） 小升初列方程解应用题的高频类型共 7 类，每类题型的等量关系固定，牢记等量关系，能快速列方程、少走弯路，具体如下： 1. 和差问题 核心特征：已知两个数的和、两个数的差，求这两个数。 等量关系： 5. 5. 5. 5. 技巧：通常设较小的数为 ，大数可表示为 ，再根据“和”的等量关系列方程。 2. 和倍、差倍问题 核心特征：已知两个数的和（或差）、两个数的倍数关系，求这两个数。 等量关系（和倍）：； 等量关系（差倍）：； 技巧：设 1 倍数（较小的数）为 ，大数表示为 ，再根据“和”或“差”列方程。 3. 行程问题（相遇、追及） （1）相遇问题：两人/两车从两地相向而行，求相遇时间或路程。 等量关系：； （2）追及问题：两人/两车从同一地点（或不同地点）同向而行，快者追赶慢者，求追及时间。 等量关系：（或总距离）； 4. 工程问题 核心特征：已知两人/多人单独完成工程的时间，求合作时间或单独完成时间。 等量关系：； 技巧：通常把工作总量看作单位”1”，单独完成时间为 ，则工作效率为 。 5. 百分数应用题 核心特征：已知一个数的百分之几是多少，求这个数；或求一个数比另一个数多（少）百分之几。 等量关系： 1. 单位”1”的量 对应百分数 = 对应量 2. 单位”1”的量 = 比单位”1”多的量 3. 单位”1”的量 = 比单位”1”少的量 技巧：先找单位”1”（通常“是”“比”“占”后面的量是单位”1”），设单位”1”的量为 。 6. 几何相关应用题 核心特征：结合长方形、正方形、三角形、平行四边形等图形的周长、面积公式，求边长、高、面积等。 常见等量关系： 长方形：； 正方形：； 三角形：；； 7. 复合型应用题 核心特征：结合两种及以上题型（如行程 + 百分数、和倍 + 几何），难度较高，需提炼多个等量关系。 技巧：分步分析，先拆分题型，找到每个部分的等量关系，再结合整体等量关系列方程。 知识点 04 列方程解应用题的设元技巧 设元是否合理，直接影响方程的复杂程度，小升初常用设元方法有 2 种，结合题型灵活选择： 1. 直接设元法（最常用） 适用场景：所求问题单一、明确，直接设所求问题为 即可。 示例：求“乙数是多少”，直接设乙数为 ；求“相遇时间是几小时”，直接设相遇时间为 小时。 2. 间接设元法（复杂题型适用） 适用场景：所求问题较复杂，直接设元会导致方程繁琐，可设中间量为 ，再通过中间量表示所求问题。 示例：“甲、乙、丙三个数的和是 150，甲数是乙数的 2 倍，丙数是甲数的 3 倍，求丙数”，可设乙数为 （中间量），则甲数为 ，丙数为 ，再根据“和”列方程，解得 后，再求丙数。 补充技巧 设元时，尽量选择较小的数、1 倍数设为 ，减少分数、小数的出现，简化计算； 设元后，明确 的单位（如 千米、 元、 小时），确保方程中所有量的单位统一； 复合型题目，可设多个未知数（如 、），但需找到对应的多个等量关系，列方程组求解（小升初难度较低，通常用一个未知数即可）。 知识点 05 列方程解应用题的易错点辨析与纠错方法 1. 高频易错点梳理（小升初丢分重灾区） 易错点 1：审题不仔细，遗漏关键信息（如“多 3”看成“少 3”，“相向”看成“同向”，漏看“单独完成”“先出发”等条件）； 易错点 2：设元错误，要么设错未知数（如和倍问题设大数为 ），要么不明确 的含义，导致方程列错； 易错点 3：找错等量关系（核心易错点），如和差问题用“大数 - 小数 = 和”，行程问题混淆相遇与追及的等量关系； 易错点 4：解方程步骤不规范，漏写“解：”，不检验，或计算错误（如去括号变号错误、去分母漏乘不含分母的项）； 易错点 5：答语不完整，漏答所求问题，或答语与方程求解结果不一致； 易错点 6：单位不统一，如速度单位是“千米/小时”，时间单位是“分钟”，未统一单位就列方程。 2. 纠错方法 审题时，圈出关键词、关键条件，必要时画线段图、列表，梳理数量关系； 列方程前，先检验等量关系是否正确，可代入已知量验证（如和倍问题，等量关系“小数 + 大数=和”，可先估算大数、小数的范围）； 解方程后，必须检验（将 的值代入原方程，看左右两边是否相等），同时检验结果是否符合实际意义（如年龄、路程不能为负数）； 答语写完后，对照题目所求，检查是否完整、是否与 的值一致； 养成“分步解题”的习惯，不跳步，尤其解方程时，每一步都标注运算依据（如“等式两边同时减 6”），减少计算错误。 （二）重难点题型讲解（练） 考点 01 列方程解和差问题（基础型） 核心方法：设较小的数为 ，用 表示较大的数，根据“大数 + 小数 = 和”列方程，求解后验证和、差关系是否成立。 原创例题：甲、乙两个数的和是 98，甲数比乙数多 12，求甲、乙两个数各是多少？ 解答： 1. 审：已知甲、乙两数的和是 98，甲数比乙数多 12，求甲、乙两数（和差问题）； 2. 设：设乙数为 （较小的数），则甲数为 ； 3. 找：等量关系——； 4. 列：； 5. 解：； 甲数：； 检验：（和正确），（差正确）， 是原方程的解； 6. 答：甲数是 55，乙数是 43。 易错提示：设错未知数（如设甲数为 ，乙数为 ，虽可解，但计算稍繁琐）；漏检验和、差关系；答语漏答其中一个数。 原创即时练习： 1. 小明和小红的身高和是 268 厘米，小明比小红高 8 厘米，求小明和小红的身高各是多少厘米？ 2. 一个长方形的长和宽的和是 45 厘米，长比宽多 5 厘米，求长方形的长和宽各是多少厘米？ 考点 02 列方程解和倍、差倍问题（基础型） 核心方法：设 1 倍数（较小的数）为 ，用 表示较大的数，根据“和”或“差”的等量关系列方程，重点验证倍数关系。 原创例题： 1. 和倍问题：果园里苹果树和梨树的总棵数是 420 棵，苹果树的棵数是梨树的 2 倍，苹果树和梨树各有多少棵？ 2. 差倍问题：甲数比乙数多 60，甲数是乙数的 4 倍，求乙数是多少？ 解答： 例题 1（和倍）： 1. 审：已知苹果、梨树总棵数 420 棵，苹果树是梨树的 2 倍，求两种树的棵数（和倍问题）； 2. 设：设梨树有 棵（1 倍数），则苹果树有 棵； 3. 找：等量关系——； 4. 列：； 5. 解：；苹果树： 棵； 检验：（和正确），（倍数正确）； 6. 答：苹果树有 280 棵，梨树有 140 棵。 例题 2（差倍）： 1. 审：已知甲数比乙数多 60，甲数是乙数的 4 倍，求乙数（差倍问题）； 2. 设：设乙数为 （1 倍数），则甲数为 ； 3. 找：等量关系——； 4. 列：； 5. 解：； 检验：（差正确），（倍数正确）； 6. 答：乙数是 20。 易错提示：和倍问题误将“倍数”当“和”，列错方程（如 ）；差倍问题用“乙数 - 甲数 = 60”，符号错误；忘记验证倍数关系。 原创即时练习： 1. 和倍问题：甲、乙两个仓库共存粮 540 吨，甲仓库的存粮是乙仓库的 5 倍，甲、乙两个仓库各存粮多少吨？ 2. 差倍问题：一个数的 5 倍比它的 2 倍多 36，这个数是多少？ 考点 03 列方程解行程问题（相遇、追及，变式型） 核心方法：相遇问题抓“甲路程 + 乙路程 = 总路程”，追及问题抓“快者路程 - 慢者路程 = 路程差”，统一单位，明确“同时出发”“先后出发”的区别。 原创例题： 1. 相遇问题：甲、乙两车从相距 540 千米的两地相向而行，甲车每小时行 70 千米，乙车每小时行 80 千米，两车同时出发，几小时后相遇？ 2. 追及问题：甲、乙两车从同一地点出发，甲车每小时行 65 千米，乙车每小时行 50 千米，乙车先出发 1 小时后，甲车再出发追赶乙车，几小时后甲车能追上乙车？ 解答： 例题 1（相遇）： 1. 审：两地相距 540 千米，两车相向而行，速度分别为 70 千米/小时、80 千米/小时，同时出发，求相遇时间（相遇问题）； 2. 设：设 小时后相遇； 3. 找：等量关系——（540 千米）；； 4. 列：； 5. 解：； 检验：（总路程正确）； 6. 答：3.6 小时后相遇。 例题 2（追及）： 1. 审：同一地点出发，甲车速度 65 千米/小时，乙车 50 千米/小时，乙车先出发 1 小时，求甲车追及时间（追及问题）； 2. 设：设 小时后甲车能追上乙车； 3. 找：等量关系——（路程差为乙车先行驶 1 小时的路程）； 4. 列：； 5. 解：（或约 3.33）； 检验： 千米， 千米（路程相等，追及正确）； 6. 答： 小时后甲车能追上乙车。 易错提示：相遇问题混淆“相向”与“同向”，列错等量关系；追及问题忽略“先出发”的时间，漏算路程差；单位不统一（如速度为千米/小时，时间为分钟）。 原创即时练习： 1. 相遇问题：甲、乙两人从相距 360 米的两地相向而行，小明每分钟走 65 米，小红每分钟走 55 米，两人同时出发，几分钟后相遇？ 2. 追及问题：一辆自行车每小时行 18 千米，一辆电动车每小时行 30 千米，自行车先出发 2 小时，电动车再出发追赶，几小时后能追上？ 考点 04 列方程解工程问题（变式型） 核心方法：把工作总量看作单位”1”，，根据“（或部分工作量）”列方程。 原创例题： 1. 一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作，几天能完成这项工程的 ？ 2. 一项工程，甲、乙两人合作需要 8 天完成，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要几天完成？ 解答： 例题 1： 1. 审：甲单独 10 天完成，乙单独 15 天完成，求合作完成工程 的时间（工程问题）； 2. 设：设 天能完成这项工程的 ； 3. 找：甲效率 ，乙效率 ，等量关系——； 4. 列：； 5. 解：； 检验：（工作量正确）； 6. 答：4 天能完成这项工程的 。 例题 2： 1. 审：甲乙合作 8 天完成，甲单独 12 天完成，求乙单独完成时间（工程问题）； 2. 设：设乙单独做需要 天完成，乙效率 ； 3. 找：等量关系——（）； 4. 列：； 5. 解：； 检验：（合作效率正确）； 6. 答：乙单独做需要 24 天完成。 易错提示：忘记把工作总量看作单位”1”，直接用具体数值计算；计算效率时出错（如 写成 10）；合作时间与单独时间混淆。 原创即时练习： 1. 一项工程，甲单独做需 12 天完成，乙单独做需 16 天完成，两人合作，几天能完成这项工程？ 2. 一项工程，甲乙合作 6 天完成，乙单独做需 15 天完成，甲单独做需几天完成？ 考点 05 列方程解百分数应用题（高频型） 核心方法：先找单位”1”，设单位”1”的量为 ，根据”“列方程，注意“多（少）百分之几”的计算。 原创例题： 1. 一个数的 35% 比它的 20% 多 30，这个数是多少？ 2. 学校有男生 400 人，女生人数是男生人数的 85%，女生比男生少多少人？ 解答： 例题 1： 1. 审：已知一个数的 35% 比 20% 多 30，求这个数（百分数应用题）； 2. 设：设这个数为 （单位”1”的量）； 3. 找：等量关系—— 的 35% 的 20% ； 4. 列：； 5. 解：； 检验：（符合题意）； 6. 答：这个数是 200。 例题 2： 1. 审：男生 400 人，女生是男生的 85%，求女生比男生少的人数（百分数应用题）； 2. 设：设女生比男生少 人（或设女生人数为 人，两种方法均可）； 方法一：设女生人数为 人，等量关系——；女生比男生少： 人； 方法二：设女生比男生少 人，等量关系——； 6. 答：女生比男生少 60 人。 易错提示：找错单位”1”（如例题 2 中，单位”1”是男生人数，不是女生人数）；混淆“多百分之几”与“是百分之几”；计算百分数时出错（如 85% 写成 0.85，避免写成 85）。 原创即时练习： 1. 一个数的 40% 是 48，这个数是多少？ 2. 一件衣服原价 200 元，降价 20% 出售，降价后售价是多少元？ 考点 06 列方程解几何相关应用题（拔高型） 核心方法：牢记几何图形的周长、面积公式，根据题目中的“周长相等”“面积相等”等条件，找到等量关系，设未知数列方程。 原创例题： 1. 一个长方形的周长是 68 厘米，长是宽的 3 倍，求这个长方形的面积是多少平方厘米？ 2. 一个三角形的面积是 54 平方厘米，底是 12 厘米，求三角形的高是多少厘米？ 解答： 例题 1： 1. 审：长方形周长 68 厘米，长是宽的 3 倍，求面积（几何应用题）； 2. 设：设长方形的宽为 厘米，则长为 厘米； 3. 找：等量关系——（68 厘米）； 4. 列：； 5. 解：； 长： 厘米； 面积： 平方厘米； 检验：（周长正确）； 6. 答：这个长方形的面积是 216.75 平方厘米。 例题 2： 1. 审：三角形面积 54 平方厘米，底 12 厘米，求高（几何应用题）； 2. 设：设三角形的高是 厘米； 3. 找：等量关系——（54 平方厘米）； 4. 列：； 5. 解：； 检验：（面积正确）； 6. 答：三角形的高是 9 厘米。 易错提示：记错几何公式（如长方形周长写成“长 + 宽×2”，三角形面积忘记除以 2）；求面积时，先求边长/高，再计算面积，避免直接列面积方程出错；单位不统一（如底是厘米，高是分米）。 原创即时练习： 1. 一个正方形的周长是 48 厘米，求它的面积是多少平方厘米？ 2. 一个平行四边形的面积是 72 平方分米，底是 9 分米，求它的高是多少分米？ 考点 07 列方程解复合型应用题（综合拔高型） 核心方法：分步拆分题型，先分析每个部分的数量关系，找到多个等量关系，设关键中间量为 ，结合整体等量关系列方程，重点梳理“多个条件之间的关联”。 原创例题：甲、乙两人共有零花钱 320 元，甲的零花钱比乙的 2 倍少 10 元，甲、乙两人各有多少零花钱？（和倍复合型） 解答： 1. 审：已知甲、乙零花钱总和 320 元，甲是乙的 2 倍少 10 元，求两人零花钱（和倍复合型）； 2. 设：设乙有 元零花钱，则甲有 元（注意“少 10 元”，不是 ）； 3. 找：等量关系—— 元； 4. 列：； 5. 解：； 甲： 元； 检验：（和正确），（倍数关系正确）； 6. 答：甲有 210 元零花钱，乙有 110 元零花钱。 易错提示：复合型题目中，混淆“多”“少”的表示方法（如“甲比乙的 2 倍少 10”写成 ）；拆分题型不清晰，找不到整体等量关系；计算时漏算“少 10”“多 10”的部分。 原创即时练习： 1. 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 75 千米，行了 4 小时后，离乙地还有全程的 25%，甲地到乙地的全程是多少千米？（行程 + 百分数复合型） 2. 甲、乙、丙三个数的和是 180，甲数是乙数的 2 倍，丙数比乙数多 30，求甲、乙、丙三个数各是多少？（和倍 + 和差复合型） 考点 08 列方程解易错应用题（纠错专项） 核心方法：针对小升初高频易错点，逐一分析错误原因，规范解题步骤，重点关注“审题、设元、找等量关系、检验”四个环节，避免重复犯错。 原创例题（易错纠错）：判断下列解题过程的对错，错的改正并说明错误原因。 题目：甲数比乙数多 25，甲数是乙数的 6 倍，求乙数是多少？ 错误解题过程：解：设甲数为 ，则乙数为 。列方程：。答：乙数是 -5。 解答： 错误原因： 1. 设元错误，差倍问题应设 1 倍数（乙数）为 ，甲数为 ，而非设甲数为 ； 2. 方程列错，等量关系应为“甲数 - 乙数 = 25”，错误列成“甲数 - 乙数 = -25”； 3. 结果不符合实际意义（乙数不能为负数），未检验。 正确解题过程： 1. 审：甲数比乙数多 25，甲数是乙数的 6 倍，求乙数（差倍问题）； 2. 设：设乙数为 ，则甲数为 ； 3. 找：等量关系——； 4. 列：； 5. 解：； 检验：（差正确），5 为正数，符合实际意义； 6. 答：乙数是 5。 易错提示：易错应用题重点规避“设元错误、等量关系错误、检验遗漏、结果不符合实际”四个问题，解题时分步进行，不跳步。 原创即时练习：判断下列解题过程的对错，错的改正并说明错误原因。 题目：甲、乙两车从相距 300 千米的两地相向而行，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 40 千米，甲车先出发 1 小时，乙车再出发，乙车出发几小时后两车相遇？ 错误解题过程：解：设 小时后相遇。列方程：。答：乙车出发 3 小时后相遇。 （三）真题演练（测） 说明：真题演练共 20 道题，分基础层（1-6 题）、变式层（7-12 题）、拔高层（13-17 题）、综合层（18-20 题），100% 原创，贴合 2026 年小升初真题难度，覆盖所有考点，无重复、无借鉴，重点考查列方程解应用题的核心能力和易错点。 基础层（1-6 题，侧重基础题型，难度适中） 1. 甲、乙两个数的和是 86，甲数比乙数多 14，求甲、乙两个数各是多少？（和差问题） 1. 果园里桃树和杏树的总棵数是 270 棵，桃树的棵数是杏树的 2 倍，桃树和杏树各有多少棵？（和倍问题） 1. 一个数的 5 倍比它的 3 倍多 40，这个数是多少？（差倍问题） 1. 解下列方程，再用方程解决问题：，已知甲数是 ，乙数是 ，甲、乙两数的和是 7.7，求甲、乙两数。 1. 甲、乙两人从相距 240 米的两地相向而行，每分钟分别走 55 米和 65 米，同时出发，几分钟后相遇？（相遇问题） 1. 一个数的 30% 是 36，这个数是多少？（百分数基础题） 变式层（7-12 题，侧重题型变式，难度中等） 12. 甲、乙两个仓库共存粮 480 吨，甲仓库的存粮比乙仓库多 80 吨，甲、乙两个仓库各存粮多少吨？（和差变式） 13. 甲数是乙数的 3 倍，丙数是乙数的 2 倍，甲、乙、丙三个数的和是 180，求甲、乙、丙三个数各是多少？（和倍变式） 14. 一辆摩托车每小时行 55 千米，一辆自行车每小时行 20 千米，摩托车从甲地出发，自行车从乙地出发，两地相距 150 千米，两车同向而行（摩托车在自行车后面），摩托车几小时后能追上自行车？（追及变式） 15. 一项工程，甲单独做需要 15 天完成，乙单独做需要 20 天完成，两人合作，几天能完成这项工程的 ？（工程变式） 16. 一件商品原价 300 元，涨价 15% 后出售，涨价后的售价是多少元？（百分数变式） 17. 一个长方形的周长是 56 厘米，长比宽多 8 厘米，求长方形的长和宽各是多少厘米？（几何变式） 拔高层（13-17 题，侧重综合应用，难度较高） 18. 甲、乙两人共有压岁钱 540 元，甲的压岁钱比乙的 3 倍少 60 元，甲、乙两人各有多少压岁钱？（和倍复合型） 19. 甲、乙两车从相距 450 千米的两地相向而行，甲车每小时行 70 千米，乙车每小时行 80 千米，甲车先出发 1 小时，乙车再出发，乙车出发几小时后两车相遇？（行程复合型） 20. 一项工程，甲、乙两人合作需要 10 天完成，甲单独做需要 15 天完成，乙单独做 3 天后，剩下的工程由甲乙合作，还需要几天完成？（工程复合型） 21. 一个数的 45% 比它的 25% 多 20，这个数的 60% 是多少？（百分数拔高） 22. 一个三角形的面积是 60 平方厘米，底是 15 厘米，求这个三角形的高比底少多少厘米？（几何拔高） 综合层（18-20 题，侧重易错综合，贴合小升初真题） 23. 甲、乙、丙三个数，甲数比乙数多 20，丙数比甲数少 15，丙数是乙数的 2 倍，求甲、乙、丙三个数各是多少？（和差倍综合） 24. 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 60 千米，行了 3 小时后，离乙地还有全程的 30%，甲地到乙地的全程是多少千米？如果要提前 1 小时到达乙地，剩下的路程每小时需要行多少千米？（行程 + 百分数综合） 25. 一个长方形的长是宽的 2 倍，若长增加 5 厘米，宽增加 3 厘米，周长增加多少厘米？若周长增加后是 80 厘米，求原来长方形的面积是多少平方厘米？（几何综合） 答案汇总 一、原创即时练习答案（对应重难点题型讲解） 考点 01 即时练习答案 1. 解：设小红身高为 厘米，则小明身高为 厘米。 等量关系：； 小明身高： 厘米。 答：小明身高 138 厘米，小红身高 130 厘米。 1. 解：设长方形宽为 厘米，则长为 厘米。 等量关系：； 长： 厘米。 答：长方形的长是 25 厘米，宽是 20 厘米。 考点 02 即时练习答案 1. 解：设乙仓库存粮 吨，则甲仓库存粮 吨。 等量关系：； 甲仓库： 吨。 答：甲仓库存粮 450 吨，乙仓库存粮 90 吨。 1. 解：设这个数为 。 等量关系：。 答：这个数是 12。 考点 03 即时练习答案 1. 解：设 分钟后相遇。 等量关系：。 答：3 分钟后相遇。 1. 解：设 小时后能追上。 等量关系：。 答：3 小时后能追上。 考点 04 即时练习答案 1. 解：设 天能完成这项工程。甲效率 ，乙效率 。 等量关系：（或约 6.86）。 答： 天能完成这项工程。 1. 解：设甲单独做需要 天完成，甲效率 。 等量关系：。 答：甲单独做需要 10 天完成。 考点 05 即时练习答案 1. 解：设这个数为 （单位”1”的量）。 等量关系：。 检验：（符合题意）。 答：这个数是 120。 1. 解：设降价后售价是 元。 等量关系：。 检验：，（降价幅度正确）。 答：降价后售价是 160 元。 考点 06 即时练习答案 1. 解：设正方形的边长为 厘米。 等量关系：； 面积： 平方厘米。 检验：（周长正确）。 答：它的面积是 144 平方厘米。 1. 解：设平行四边形的高是 分米。 等量关系：。 检验：（面积正确）。 答：它的高是 8 分米。 考点 07 即时练习答案 1. 解：设甲地到乙地的全程是 千米。 等量关系：，已行路程 千米，剩余路程 。 。 检验：，（全程正确）。 答：甲地到乙地的全程是 400 千米。 1. 解：设乙数为 ，则甲数为 ，丙数为 。 等量关系：； 甲数：，丙数：。 检验：（和正确），75 是 37.5 的 2 倍，67.5 比 37.5 多 30（关系正确）。 答：甲数是 75，乙数是 37.5，丙数是 67.5。 考点 08 即时练习答案 1. 错误原因： ① 审题不仔细，遗漏“甲车先出发 1 小时”的关键条件，未计算甲车先行驶的路程； ② 等量关系列错，应为“甲车先行驶的路程 + 甲车后行驶的路程 + 乙车行驶的路程 = 总路程”，错误列成“两车同时行驶的路程和 = 总路程”； ③ 结果不符合题意，若乙车出发 3 小时，甲车共行驶 4 小时，总路程为 千米，大于 300 千米。 1. 解题过程： 解：设乙车出发 小时后两车相遇。 甲车先行驶 1 小时的路程： 千米； 甲车后行驶 小时的路程： 千米； 乙车行驶 小时的路程： 千米。 等量关系：。 检验：（总路程正确）。 答：乙车出发 2.4 小时后两车相遇。 二、真题演练答案（对应真题演练 1～20 题） 基础层（1-6 题） 1. 解：设乙数为 ，则甲数为 。 等量关系：； 甲数：。 答：甲数是 50，乙数是 36。（易错点：避免设甲数为 ，增加计算繁琐度） 1. 解：设杏树有 棵，则桃树有 棵。 等量关系：； 桃树： 棵。 答：桃树有 180 棵，杏树有 90 棵。（易错点：验证倍数关系，避免漏答） 1. 解：设这个数为 。 等量关系：。 答：这个数是 20。（易错点：注意“多 40”对应“大数 - 小数”） 1. 解方程：； 乙数：。 答：甲数是 2.2，乙数是 5.5。（易错点：规范书写解方程步骤，漏写“解：”扣分） 1. 解：设 分钟后相遇。 等量关系：。 答：2 分钟后相遇。（易错点：单位统一，此处速度单位均为米/分钟，无需转换） 1. 解：设这个数为 。 等量关系：。 答：这个数是 120。（易错点：百分数与小数转换正确，避免把 30% 写成 30） 变式层（7-12 题） 48. 解：设乙仓库存粮 吨，则甲仓库存粮 吨。 等量关系：； 甲仓库： 吨。 答：甲仓库存粮 280 吨，乙仓库存粮 200 吨。（易错点：和差变式，找准“多 80 吨”的对应关系） 49. 解：设乙数为 ，则甲数为 ，丙数为 。 等量关系：； 甲数：，丙数：。 答：甲数是 90，乙数是 30，丙数是 60。（易错点：三个数的和倍关系，设 1 倍数为 ） 50. 解：设摩托车 小时后能追上自行车。路程差为 150 千米。 等量关系：（或约 4.29）。 检验：（路程差正确）。 答：摩托车 小时后能追上自行车。（易错点：同向而行，路程差为两地距离） 51. 解：设 天能完成这项工程的 。甲效率 ，乙效率 。 等量关系：（或约 6.43）。 答： 天能完成这项工程的 。（易错点：工作总量的 ，避免列成”“） 52. 解：设涨价后的售价是 元。 等量关系：。 答：涨价后的售价是 345 元。（易错点：“涨价 15%“对应”“，避免写成”“） 53. 解：设长方形的宽为 厘米，则长为 厘米。 等量关系：； 长： 厘米。 答：长方形的长是 18 厘米，宽是 10 厘米。（易错点：长方形周长公式牢记”(长 + 宽)×2”，避免漏乘 2） 拔高层（13-17 题） 54. 解：设乙有 元压岁钱，则甲有 元。 等量关系：； 甲： 元。 检验：（和正确），（关系正确）。 答：甲有 390 元，乙有 150 元。（易错点：“比 3 倍少 60”写成”“，避免写成”“） 55. 解：设乙车出发 小时后两车相遇。甲车先行驶 1 小时的路程： 千米。 等量关系：（或约 2.53）。 答：乙车出发 小时后两车相遇。（易错点：不要遗漏甲车先行驶的路程） 56. 解：设还需要 天完成。甲效率 ，乙效率 ； 乙单独做 3 天的工作量：，剩余工作量：。 等量关系：。 答：还需要 9 天完成。（易错点：先求乙的效率，再计算剩余工作量） 57. 解：设这个数为 。 等量关系：； 这个数的 60%：。 答：这个数的 60% 是 60。（易错点：先求原数，再求对应百分数的量，避免直接列”“） 58. 解：设三角形的高是 厘米。 等量关系：； 高比底少： 厘米。 答：这个三角形的高比底少 7 厘米。（易错点：三角形面积公式忘记除以 2，漏算“高比底少”的步骤） 综合层（18-20 题） 59. 解：设乙数为 ，则甲数为 ，丙数为 。 等量关系：； 甲数：，丙数：。 检验：（甲比乙多 20），（丙比甲少 15），（丙是乙的 2 倍），均符合题意。 答：甲数是 25，乙数是 5，丙数是 10。（易错点：用含 的式子表示三个数，找准丙数与甲、乙的关系） 60. 解： ① 设甲地到乙地的全程是 千米。已行路程： 千米。 等量关系：（或约 257.14）千米； ② 原计划总时间：（或约 4.29）小时，已用 3 小时，剩余时间： -=小时，剩余路程： 千米； 设剩下的路程每小时行 千米，等量关系：。 答：甲地到乙地的全程是 千米，剩下的路程每小时需要行 270千米。（易错点：分两步解题，提前 1 小时到达即剩余时间减少 1 小时，避免计算错误） 61. 解： ① 周长增加： 厘米（长和宽各增加，周长增加 2 个“长增加量 + 宽增加量”）； ② 设原来长方形的宽为 厘米，则长为 厘米；增加后长：，宽：。 等量关系： 厘米； 原来长： 厘米，原来面积：（或约 227.56）平方厘米。 答：周长增加 16 厘米，原来长方形的面积是 平方厘米。（易错点：周长增加量的计算，避免只加一次长和宽的增加量） 2 学科网（北京）股份有限公司 $