精品解析：安徽合肥市第五中学等校2026届高三下学期5月教学质量检测数学试题

高三5月教学质量检测 数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的虚部为（ ） A. i B. C. 1 D. 4. 已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 5. 已知数列满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体，从正方体顶点中选取4个点构成四面体．从这些四面体中随机选取一个，则选取的四面体的四个面都是锐角三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的准线与x轴交于点P，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则（ ） A. 12 B. C. 6 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知弹簧上挂着的小球在做简谐运动，它在时间t处相对平衡位置的高度 ．若小球在和时均距离平衡位置最远，则下面说法正确的是（ ） A. 该简谐运动的振幅为2 B. C. 当时，小球经过平衡位置 D. 当时，小球的瞬时速度大小为 10. 已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（ ） A. 存在实数使得，是方程的两根 B. 若，则的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 11. 已知在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O逆时针旋转角后的坐标为．则下面说法正确的是（ ） A. 点绕原点O顺时针旋转角后的坐标为 B. 双曲线绕原点逆时针旋转和曲线重合 C. 曲线是离心率为的椭圆 D. 曲线是离心率为的双曲线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若平面单位向量，，两两夹角均相等，________． 13. 已知，则______． 14. 在锐角三角形中,,,的对边分别为,,,若,则的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，在三棱锥中，，，平面平面PBC，点M为PC中点． （1）求证：底面ABC； （2）若，试求平面ABM和平面PAC夹角的余弦值． 16. 一个盒子中有6个大小相同的小球，其中有3个黄球，2个白球，1个黑球.从中逐次不放回地取出3个球． （1）在第二次取出的球是黄球的情况下，求第一次取出的球是白球的概率； （2）记X为三次取出的球的颜色种数，求随机变量X的分布列和期望． 17. 数列满足，，令． （1）求证：数列，是等比数列； （2）求数列的前项和． 18. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，点为上异于，的一点.已知的最大值为． （1）求椭圆的标准方程： （2）若直线过椭圆的下顶点和右顶点，求三角形面积取得最大值时点的坐标． （3）求三角形面积的最大值． 19. 已知函数， ，其中且． （1）当时，讨论函数的单调性和极值； （2）证明：函数存在零点的充要条件是函数存在零点； （3）当时，讨论函数的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三5月教学质量检测 数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意可得，则. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得，解得，故. 对于集合，根据指数函数和二次函数图象解不等式得， 故. 所以 . 3. 已知，则的虚部为（ ） A. i B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算可求得，由共轭复数及虚部的定义可得结果. 【详解】已知，即，得 则，因此的虚部为，故C正确. 4. 已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 5. 已知数列满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，解得， 当时，， 又因为， 作差得，， 则，，根据指数函数性质知此时数列单调递减， 则， 又因为，则的最大值为. 6. 已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由已知数据确定圆台母线与高，再利用侧面展开图中距离求解最短路径长即可. 【详解】根据题意，圆台上底面圆的直径为，因此上底面圆的半径为，下底面圆的直径为，因此下底面圆的半径为， 圆台的母线长为 ，则圆台的侧面展开图如图所示，从点到达点的最短路径即为， 假设将圆台补全为一个圆锥，设小圆锥的母线长为，则有，代入数据，解得， 所以小圆锥的母线长为，即，大圆锥的母线长为，即， 展开图的圆心角由下底面圆的周长决定，即 ，解得， 由于位于内侧弧长的中点，因此， 在中，，，由余弦定理得 ，代入数据，解得 即从点到达点的最短路径的长度为. 7. 已知正方体，从正方体顶点中选取4个点构成四面体．从这些四面体中随机选取一个，则选取的四面体的四个面都是锐角三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合已知条件，求出正方体中可构成四面体的总数，再求出四个面全是锐角三角形的四面体个数，进而求出概率． 【详解】 正方体总共8个顶点，任取4个顶点的组合数为：， 当4点共面时不能构成四面体，包含正方体的6个表面及6个对角面，共种， 可构成四面体的个数为：； 正方体中，四个面都是锐角三角形的四面体共2个，顶点分别为： 和， 选取的四面体的四个面都是锐角三角形的概率为： ． 8. 已知抛物线的准线与x轴交于点P，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则（ ） A. 12 B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立，用韦达定理，计算出，再计算. 【详解】设直线方程为，， 那么 ，， 由于，， 则， 即， 化简得，即， 把，代入化简得， 则，又 ， 所以，解得 ， 所以 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知弹簧上挂着的小球在做简谐运动，它在时间t处相对平衡位置的高度 ．若小球在和时均距离平衡位置最远，则下面说法正确的是（ ） A. 该简谐运动的振幅为2 B. C. 当时，小球经过平衡位置 D. 当时，小球的瞬时速度大小为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数解析式，利用三角函数的物理意义判断ABC；求出导数判断D. 【详解】函数的最小正周期，由小球在和时均距离平衡位置最远， 得，则，由，得，而， 因此或，当时，，，当，不符合题意， 当时，，，当和时，函数分别取得最大值和最小值， 符合题意，则， 对于A，该简谐运动的振幅为2，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，即当时，小球经过平衡位置，C正确； 对于D，求导得，， 小球的瞬时速度大小为，D错误. 10. 已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（ ） A. 存在实数使得，是方程的两根 B. 若，则的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合韦达定理、基本不等式、二次函数值域求解，先利用题干等式转化为韦达定理形式，再分别分析各选项. 【详解】选项A：若、是方程的两根， 由韦达定理得，，代入题干， 左边，右边，等式成立；又， 则 ，即或时存在这样的，A正确； 选项B：若，由基本不等式， 代入得，令， 则，解得即，当且仅当时等号成立， 但，故，即范围为，B正确； 选项C：令，则，则、是方程的两根， 判别式 ，解得或， 即的范围是，并非仅，C错误； 选项D： ， 由：当时， ，故； 当时， ，故，综上范围为，D正确. 11. 已知在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O逆时针旋转角后的坐标为．则下面说法正确的是（ ） A. 点绕原点O顺时针旋转角后的坐标为 B. 双曲线绕原点逆时针旋转和曲线重合 C. 曲线是离心率为的椭圆 D. 曲线是离心率为的双曲线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定信息，利用诱导公式求解判断A；求出绕原点逆时针旋转后所得曲线方程判断BC；求出旋转后所得标准形式的方程并求出离心率判断D. 【详解】对于A，点绕原点O顺时针旋转角后的坐标为， 即，A错误 对于B，设双曲线绕原点逆时针旋转后所得曲线上任意点， 由选项A得相应的点坐标为，即点 在曲线上，则，整理得， 因此双曲线绕原点逆时针旋转和曲线重合，B正确； 对于C，由选项B知，把曲线绕原点逆时针旋转后所得曲线 ，整理得， 因此曲线为椭圆，其离心率为，C正确； 对于D，把曲线，即 绕原点O逆时针旋转锐角后的曲线方程为 ，整理得 ， 令，而为锐角，则， ，， 则所得曲线为 ，即 ， 因此曲线为双曲线，其离心率为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若平面单位向量，，两两夹角均相等，________． 【答案】2或 【解析】 【分析】先确定三个单位向量两两夹角相等时，它们所夹的角大小，再结合向量数量积的分配律与定义计算结果。 【详解】设平面单位向量两两的夹角为，， ①当时，三个向量同向，由数量积定义得： ，同理 ， ； ②当时，三个非共线向量两两夹角相等，故， 此时： ，同理， 因此 . 综上， 的取值为或. 13. 已知，则______． 【答案】16 【解析】 【详解】由题意得，解得. ， 即， 则， 则， 则，即，即， 即，则，解得. 14. 在锐角三角形中,,,的对边分别为,,,若,则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过余弦定理与已知边长关系消去，得到关于的二次方程，解出；再利用正弦定理将转化为，结合展开并整理出关于的表达式；最后由锐角三角形条件导出，代入不等式平方解得 ，即，结合得到. 【详解】设中角对边分别为，已知锐角三角形且. 由余弦定理，代入得， 整理得. 两边除以并令，则，即. 解得（负根舍去）. 由正弦定理，且，故. 展开，得， 所以. 锐角三角形中. 由知，即，此式恒成立. 由得，即， 所以由正切函数单调性有. 因为 所以得， 所以 ， 即， 整理得. 两边为正，两边平方：， 即， 化简得，故. 因为为锐角，，所以，即. 又，因此， 于是的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，在三棱锥中，，，平面平面PBC，点M为PC中点． （1）求证：底面ABC； （2）若，试求平面ABM和平面PAC夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)由面面垂直得到平面，则，再证明平面，则，又有，从而得到平面 . (2)以B为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，结合向量夹角公式计算求解. 【小问1详解】 在平面内，过点作 于点. 因为平面平面，平面 平面，平面， 所以 平面，因为 平面，所以 . 又因为 ， ， 平面， 所以平面. 因为平面 ，所以 . 又因为 ，， 平面， 所以 平面 . 【小问2详解】 由 (1) 知 平面，且平面，平面， 所以 . 如图，以为坐标原点，分别以 的方向为轴、轴的正方向， 过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系 因为，所以，，. 因为平面 ，且，所以 . 因为为的中点，所以. 所以 ， ， ， . 设平面 的法向量为 ，则 ，即 取 ，则 ，所以 . 设平面 的法向量为 ，则，即 取 ，则 ，所以 . 设平面 和平面 的夹角为 ，则 所以平面 和平面夹角的余弦值为 . 16. 一个盒子中有6个大小相同的小球，其中有3个黄球，2个白球，1个黑球.从中逐次不放回地取出3个球． （1）在第二次取出的球是黄球的情况下，求第一次取出的球是白球的概率； （2）记X为三次取出的球的颜色种数，求随机变量X的分布列和期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）设事件第一次取出的球是白球，事件第二次取出的球是黄球，根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解； （2）先随机变量的可能取值为，根据题意，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设事件第一次取出的球是白球，事件第二次取出的球是黄球， 可得， 设事件的概率分为两种情况： ①第一次取到非黄球时，第二次取到黄球，可得； ②第一次取到黄球时，第二次取到黄球，可得， 所以， 由条件概率的计算公式，可得. 【小问2详解】 解：由题意得，随机变量的可能取值为， 当时，即三次取球的颜色相同，可得； 当时，即三次取球的颜色各不相同，可得； 当时，即三次取球的颜色有两种，可得， 所以随机变量的分布列为： 所以期望为. 17. 数列满足，，令． （1）求证：数列，是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）答案见详解; （2）. 【解析】 【分析】（1）要证明数列，是等比数列，需根据已知条件推导出与，与的关系，再结合等比数列的定义进行判断； （2）求数列的前项和，可将其拆分为奇数项和偶数项分别求和，再将结果相加. 【小问1详解】 对任意正整数，为奇数，为偶数， 当时：为奇数，为偶数，命题成立， 假设当时命题成立，即为奇数，为偶数， 当时： 因为为偶数，所以为奇数， 又因为为奇数，所以为偶数， 由数学归纳法，对任意 ，为奇数，为偶数， 因为，则， 因为为偶数，根据递推公式，可得， 又因为为奇数，所以，那么， 所以， 因为，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因为已知，则， 因为为奇数，所以，又， 则，即， ， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因此，数列，是等比数列，得证. 【小问2详解】 由(1)得：，， 令,错位相减： ， ： ， 故， 又,因此：. 18. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，点为上异于，的一点.已知的最大值为． （1）求椭圆的标准方程： （2）若直线过椭圆的下顶点和右顶点，求三角形面积取得最大值时点的坐标． （3）求三角形面积的最大值． 【答案】（1）． （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）椭圆的最长弦为长轴，故由最大弦长求出，再由离心率求出，进而求出． （2）先写出过下顶点和右顶点的直线方程．由于固定，三角形面积最大等价于点到直线的距离最大，再用椭圆的参数表示求最大值． （3）通过伸缩变换把椭圆化为单位圆，三角形面积按比例变化，再求单位圆内接三角形面积的最大值． 【小问1详解】 因为直线与椭圆相交所得弦长的最大值为长轴长，所以解得 又椭圆的离心率为，所以于是 由，得 所以椭圆的标准方程为 【小问2详解】 由（1）知椭圆的下顶点为，右顶点为，故直线的方程为即 设点，其中．点到直线的距离为 又所以 因为所以的最大值在时取得． 此时 因此 【小问3详解】 作伸缩变换 则椭圆化为单位圆 在该变换下，横坐标方向放大为原来的倍，纵坐标方向不变，所以任意三角形的面积变为对应单位圆中三角形面积的倍． 下面求单位圆内接三角形面积的最大值． 设单位圆内接三角形的三个内角为，，，其外接圆半径为． 由正弦定理，三边长分别为，，． 利用三角形面积公式，得 当固定时，由和，可知当时，取得最大值． 此时 令，则，且 因为，所以均为正数． 由基本不等式，得 当且仅当，即时，等号成立． 所以 因此 即 等号成立时，即单位圆内接三角形为等边三角形． 因此单位圆内接三角形面积的最大值为． 故椭圆内接三角形面积的最大值为 19. 已知函数， ，其中且． （1）当时，讨论函数的单调性和极值； （2）证明：函数存在零点的充要条件是函数存在零点； （3）当时，讨论函数的零点个数． 【答案】（1）在 单调递减，在 单调递增；极小值为 1 ，无极大值； （2）证明见解析 （3）零点个数为1 【解析】 【分析】（1）根据导数研究函数的单调性和极值即可； （2）通过必要性和充分性讨论，结合函数存在零点进行化简证明即可； （3）对进行求导，根据零点存在定理，以及函数取极限的思想即可求出函数的零点个数. 【小问1详解】 当 时， ，定义域为， ，令 ，解得 ， 当 时， ，即 ，因此 在 上单调递减， 当 时， ，即 ，因此 在 上单调递增； 所以 在 处取得极小值，极小值为：，无极大值. 【小问2详解】 必要性：若存在零点，则存在 ，使得 ，即 ， 等式两边取以为底的对数，得 ，又，故，整理得： 0 ， 即 ，因此 存在零点 . 充分性：若 存在零点，则存在 ，使得 ，即 ， 等式两边取为底的指数，得 ，令 ，则 ， 即： 因此 ，即 存在零点. 综上，函数 存在零点的充要条件是函数 存在零点，得证. 【小问3详解】 ，其定义域为 ，其中且，， 因为 ，所以 ，则 在 上单调递增， 当 时，， ，所以 ；当 时，0 ，所以 ； 因此，存在 ，使得 ，即 ，整理得 ； 当 时，单调递减；当 时， 单调递增， 所以在 处取得最小值 ，， 因为 ，且当 0 时， ， 所以 ；当 时， ，所以 ； 根据零点存在定理，因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 且 在 0 和 时分别趋近于和， 所以有且仅有一个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $