精品解析：安徽枞阳县浮山中学等校2026届高三下学期五月（一）数学试题

安徽枞阳县浮山中学等校2026届高三下学期五月（一） 数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由已知得，所以. 2. 已知两个单位向量的夹角为，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得 . 3. 已知函数（为常数），若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，所以两式相除得. 4. 已知，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】 由可知在复平面内所对应的点在以原点 为圆心，1为半径的圆上， 在复平面内所对应的点为，又，所以点在圆 外， 所以的最小值为. 5. 我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设 ，则，，，要使三棱锥恰好是一个“鳖臑”， 则有，，由 ，，可得二面角的平面角 为 ，在中，． 6. 已知函数（ ），直线与曲线 交于P，Q两点，若的最小值为，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质，结合周期公式，分析求解，即可得答案. 【详解】设的最小正周期为 ，由题意得，即，解得. 7. 已知椭圆（ ）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限交于点P，直线交C于另一点Q，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题意结合椭圆的定义可得相应长度，结合勾股定理运算求解即可. 【详解】设的半焦距为，， 则，，，， 由题意可知：， 在中，，即，解得， 则，， 在中，，即，可得， 所以椭圆C的离心率. 8. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分、和三种情况讨论，结合函数单调性求值域即可. 【详解】因为函数， 当时，则，可得， 即，则，可得， 因为在上单调递增，所以； 当时，则，，不可能成立，不合题意； 当时，则， 设，对任意，且， 则，且，可得，即， 可知在上单调递增，则，即； 综上所述：的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量服从正态分布，则，现已知两个随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质求解即可. 【详解】由于，正态分布的均值，正态曲线关于直线对称，因此，故A正确； 由于，，，因此，故B错误； 由于，，，因此，故C错误，D正确. 10. 已知数列 的前 项和为，且满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过构造新数列计算判断A，C，B，应用前n项和及通项公式的关系结合递推公式判断D. 【详解】对于A，由，得，又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故A错误； 对于B，由题意得，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由对A的分析知，所以，故C正确； 对于D，由对B的分析知，故，由， 得，即时，， 又，所以，， 所以当 为奇数时，均为0， 当 为偶数时，均为1，故， 即，即，故D正确. 11. 已知F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若点A的坐标为 ，且，则直线BC过定点 C. 若，且，则的重心G在曲线上 D. 若点A的坐标为，点C在B的上方，且，则这样的有且仅有2个 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据，得到的值，再利用抛物线定义求出．B选项，设直线方程，与抛物线联立，再根据，韦达定理，得到直线过定点．C选项，由，且得，设点坐标，求出直线，方程，进而求出 ，坐标，求出重心坐标，消去参数，得到重心轨迹．D选项，设直线方程求出，与抛物线联立，解出 点，射线AB绕点顺时针旋转得到射线方程，与抛物线联立，解出点，再根据，解出直线参数． 【详解】设，，． 对于A，由题意得焦点，准线方程为，， ，， ，故A正确． 对于B，设BC的方程为，与抛物线方程联立，得， 则，，，， 即， 得， 代入，， 根据韦达定理，得，解得或， 时，定点为 ，舍去，故． 所以BC的方程为，过定点 ，故B正确． 对于C，由题可知，不妨设， 设，直线AB的方程为， 由得，同理可得， 设重心为，则有消去参数，得，故C正确． 对于D，设AB的方程为， 易知该直线与抛物线的另一个交点坐标为． 将射线AB绕点顺时针旋转得到射线AC， 易知射线AC与抛物线的另一个交点坐标为， 其中，于是，． 由题意，若存在正三角形ABC， 则． 令，由， 可得， 即．当时， 化简整理可得，此方程有3个不同的解， 所以满足条件的三角形不止2个，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某公园的一处景观湖中有4个小岛，现需要在小岛之间建3座桥，使得这4个小岛彼此相连（即从任意一个小岛都能走到另外任意一个小岛），每座桥只能连接2个小岛，则一共有________种不同的建桥方案. 【答案】16 【解析】 【分析】根据分类计数原理，结合排列组合求解即可. 【详解】分两类：①将4个小岛连成一条线，只需要考虑小岛的顺序即可，并且完全相反的两种顺序算同一种建桥方案，故有种不同的方案； ②任选一个小岛作为“中心”，分别与另外3个小岛相连，有4种不同的方案. 因此，不同的建桥方案共有16种. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ________． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出曲线在点处的切线方程，再设出曲线的切点为，利用公切线的斜率相等及切点也在公切线上，进而建立方程组求解即可． 【详解】由，则，则在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即 ， 设切线与曲线的切点为， 又，得， 则切点处的斜率必为1，且切点在切线 上， 则，解得， 所以 ． 14. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，且．记，则 的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据余弦定理和面积公式化简，得到，， 再根据， ，化简， 发现是关于的函数，于是根据锐角的条件求的范围，最后构造函数求导， 判断单调性，得到 范围． 【详解】因为， ，， 所以，所以， 又，所以， 即，解得或（舍去）， 因为，所以． 在锐角中，有，，则， 所以， ， 因为，所以，所以， 所以，即． 因为， 设，则， 构造函数，由于，所以， 所以 关于 单调递增，所以 的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）先将的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到的图象，若方程在区间上有解，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数性质，可得的定义域，根据辅助角公式，二倍角的正弦公式，可得的解析式，根据正弦函数的性质，代入求解，即可得答案. （2）根据图象平移、伸缩变换的方法，可得的解析式，根据x的范围，可得的范围，结合正弦函数的性质，可得的值域，即可得答案. 【小问1详解】 原解析式中分母不为0，即， 所以，得， 则 令，解得， 故的单调递增区间为. 【小问2详解】 由题意知，且. 当时，， 则，所以. 又的定义域不含， 所以在区间上的值域为， 故 的取值范围是. 16. 某工厂为促进技工们不断提升技能水平，每年组织一次技能达标测试．假设技工小李每年都参加，他第1年达标的概率为1%，以后每年参加时达标的概率比上一年增加1个百分点（即第2年达标的概率为2%，第3年达标的概率为3%，依此类推），且每年达标与否不受往年影响． （1）求小李第2年首次达标的概率； （2）设小李第n年首次达标的概率为，则当n为多少时，最大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 在第2年首次达标，意味着第1年未达标，第2年达标． 第1年达标的概率为，未达标的概率为， 第2年达标的概率为． 故所求概率为． 【小问2详解】 当 时，． 当时，， ， 令，即，化简得，因为，所以， 即时，，当时，，所以当 时，最大． 17. 如图，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形，， ，，点M在侧棱SC上（与端点不重合）. （1）若 平面ABCD，且M为SC的中点，求直线SA与平面ABM所成角的正弦值； （2）若，且 ，，证明：M是SC的中点. 【答案】（1） （2）方法一：如图，在平面中过点M作交CD于点N， 在平面中过点N作交AB于点P，连接. 因为底面为矩形，所以 ， 又，，平面， 所以 平面， 因为，所以平面. 设，因为 所以，得，则. 在 中，. 在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 从而，所以M为SC的中点. 方法二：如图，在平面SDC中过点M作交SD于点Q，连接AQ，则. 设，因为， 所以，得， 因为，所以. 在梯形ABMQ中，过点M作交AB于点P， 则四边形APMQ是平行四边形，所以，， 在中，由余弦定理得， 即，解得 或（舍去）， 从而，所以M为SC的中点. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，可证 两两互相垂直，如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，求出平面ABM的法向量，根据线面角的向量求法，代入求解，即可得答案. （2）方法一：如图作出辅助线，设，根据三角形相似，可得所需长度，根据余弦定理，可得x的值，分析即可得证；方法二：如图作出辅助线，设，根据三角形相似，可得所需长度，根据余弦定理，可得a的值，分析即可得证； 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以， 因为 平面，平面， 所以，即 两两互相垂直， 以为坐标原点，以 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为为 的中点，所以， 则，，， 设平面ABM的法向量为，则， 令，得 ，则， 设直线 与平面所成的角为，则， 故直线 与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 略 18. 已知双曲线（，）的两条渐近线互相垂直，右焦点F到渐近线的距离为1. （1）求C的方程. （2）设A为C上一动点，C在点A处的切线为l，过点F作l的垂线，垂足为P. （i）证明：点P到原点O的距离为定值； （ii）当点P与A不重合时，过点P作C的另一条切线，切点为B，直线AB与两坐标轴的交点分别为M，N，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）若点A的坐标为时，则点P与A重合，坐标也为，到原点的距离为1. 若点A的坐标为 （），则， 设l的方程为，与C的方程联立， 消去y，得， 由，结合，得，则l的方程为. 由题得，则l的垂线FP的方程为. 设点，将l和垂线FP的方程联立，得 ，解得，即， 则. 综上，点P到原点O的距离为定值1. （ii）2 【解析】 【分析】（1）求出C的两条渐近线,根据条件，可求得 ，根据点到直线距离公式，可求出a值，即可得答案. （2）（i）若点A的坐标为时，分析可得点P到原点距离为1，若点A的坐标为 （）时，设出l的方程，与双曲线联立，根据判别式，可得直线l的方程，进而可得l的垂线FP的方程，联立可得P点坐标，化简整理，即可得答案. （ii）求出PA、PB的方程，整理可得直线AB的方程，求出M、N点坐标，可得的表达式，结合基本不等式，即可得答案. 【小问1详解】 由题意C的两条渐近线分别为 ，， 则，可得 ，所以，即. 由右焦点到渐近线的距离为1，得， 解得 ，则，故C的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）记，.由（i）知，，. 由于点P在这两条直线上，所以， 因此直线AB的方程为. 不妨设点M在x轴上，点N在y轴上，则，. 故， 当且仅当时取等号，因此的最小值为2. 【点睛】 19. 已知函数 . （1）记为的从小到大的第n个极值点. （i）证明：数列是等比数列； （ii）若对于一切，不等式恒成立，求实数m的最大值. （2）若 为方程 在区间 内的实数根，证明：. 【答案】（1）（i）证明：因为 ，所以 ， 令 ，可得 ，即 ，解得， ， 当k为奇数时， 在附近左负右正； 当k为偶数时， 在附近左正右负． 所以， 均为极值点，即，． 所以 ． 因为，故 ，而 ， 故，所以数列是等比数列． （ii） （2）证明：设 ，则 ， 当 时， ，所以在 上为减函数． 记 ，则 ， 所以 在区间 上单调递减，所以 ，即 ． 由题可知 ，记 ，则 ， 故， 由 及在区间上单调递减，得，因此 . 由 ，及 ， 得， 即． 【解析】 【分析】（1）（i）通过求导找到函数极值点，再利用三角恒等变换计算相邻极值点的函数值之比，结合等比数列的定义可证数列 为等比数列； （ii）将不等式恒成立问题转化为求函数最值，通过构造函数并分析其单调性，求出最小值后反推可求参数 的最大值； （2）通过构造辅助函数 分析单调性，再结合已知条件与放缩技巧，将原不等式转化为可比较的形式完成证明． 【小问1详解】 （i）略 （ii）对于一切，恒成立，即恒成立， 可得恒成立，设 ，可得恒成立． 设函数 ，则，令 ，可得 ， 当时， ， 在区间 上单调递减， 当 时， ， 在区间 上单调递增． 因为 ，当时， ，且，由 ，可得 ， 所以， 所以，解得，所以m的最大值为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽枞阳县浮山中学等校2026届高三下学期五月（一） 数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知两个单位向量的夹角为，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 7 3. 已知函数（为常数），若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（ ），直线与曲线 交于P，Q两点，若的最小值为，则 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆（ ）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限交于点P，直线交C于另一点Q，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量服从正态分布，则，现已知两个随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列 的前 项和为，且满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 11. 已知F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若点A的坐标为 ，且，则直线BC过定点 C. 若，且，则的重心G在曲线上 D. 若点A的坐标为，点C在B的上方，且，则这样的有且仅有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某公园的一处景观湖中有4个小岛，现需要在小岛之间建3座桥，使得这4个小岛彼此相连（即从任意一个小岛都能走到另外任意一个小岛），每座桥只能连接2个小岛，则一共有________种不同的建桥方案. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ________． 14. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，且．记，则 的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求 的单调递增区间； （2）先将 的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到 的图象，若方程在区间上有解，求m的取值范围. 16. 某工厂为促进技工们不断提升技能水平，每年组织一次技能达标测试．假设技工小李每年都参加，他第1年达标的概率为1%，以后每年参加时达标的概率比上一年增加1个百分点（即第2年达标的概率为2%，第3年达标的概率为3%，依此类推），且每年达标与否不受往年影响． （1）求小李第2年首次达标的概率； （2）设小李第n年首次达标的概率为，则当n为多少时，最大？ 17. 如图，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形，， ，，点M在侧棱SC上（与端点不重合）. （1）若 平面ABCD，且M为SC的中点，求直线SA与平面ABM所成角的正弦值； （2）若，且 ，，证明：M是SC的中点. 18. 已知双曲线（，）的两条渐近线互相垂直，右焦点F到渐近线的距离为1. （1）求C的方程. （2）设A为C上一动点，C在点A处的切线为l，过点F作l的垂线，垂足为P. （i）证明：点P到原点O的距离为定值； （ii）当点P与A不重合时，过点P作C的另一条切线，切点为B，直线AB与两坐标轴的交点分别为M，N，求的最小值. 19. 已知函数 . （1）记为 的从小到大的第n个极值点. （i）证明：数列是等比数列； （ii）若对于一切，不等式恒成立，求实数m的最大值. （2）若 为方程 在区间 内的实数根，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $