安徽阜阳市临泉县谭棚镇郭大中学等校2025—2026学年第二学期九年级二模考试《数学》试卷

**基本信息** 2025-2026学年九年级二模数学试卷，以动态几何、实际应用为载体，通过定义新运算、投壶轨迹等创新题型，考查抽象能力、几何直观与模型意识，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数、三视图、代数运算等|第7题定义新运算考查符号意识，第10题动态函数图象体现几何直观| |填空题|5/25|分式意义、方差、网格几何等|第15题矩形翻折结合等腰三角形，考查空间观念| |解答题|8/85|函数综合、统计、几何证明等|第22题投壶轨迹构建二次函数模型，第23题正方形旋转探究发展推理能力与创新意识|

2025—2026学年第二学期九年级二模考试 《 数学 》试卷 分 数 注意事项： 1．本卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟。 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。请在答题卷上作答，在试题卷上作答无效。 3．可以使用计算器以外的常规作图工具，作图题请保留必要作图痕迹。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的。 1．数 −|3| 的相反数是（ ） A．−3 B．3 C．1/3 D．−1/3 2．如图，这是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） 3．据统计，某地“五一”假期文旅消费总额约为760亿元，将“760亿”用科学记数法表示为（ ） A．0.76×10^11 B．7.6×10^9 C．7.6×10^10 D．76×10^9 4．下列运算中，正确的是（ ） A．2a+3b=5ab B．x^2·x^3=x^6 C．(−2m^2n)^2=4m^4n^2 D．6y^3÷2y=3y 5．如图，在平行四边形ABCD中，AD=10，点E、F分别为AD、BC的中点，连接BE、AF，M、N分别为BE、AF的中点，则MN的长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．不确定 6．如图，将一直角三角形放在一对平行线上，若∠2=148°，则∠1=（ ） A．58° B．64° C．66° D．70° 7．对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新运算：|a b; c d|=ad−bc。例如|2 5; 1 4|=2×4−5×1=3。则关于x的方程 |x−1 6; 2 x+1|=0 的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实根 D．无法确定 8．如图，A，B，C均在半径为2 cm的⊙O上，若∠ABC=80°，则劣弧AC的长为（ ） A．8π/9 cm B．4π/9 cm C．16π/9 cm D．5π/3 cm 9．已知一个不完整的题目：某车间计划加工1800个零件，在实际生产时，……，求实际每天加工零件的个数。若设实际每天加工x个零件，可得方程 1800/(x−10) − 1800/x = 3，则题目中“……”表示的条件应是（ ） A．每天比原计划少生产10个，结果提前3天完成 B．每天比原计划多生产10个，结果提前3天完成 C．每天比原计划多生产10个，结果延期3天完成 D．每天比原计划少生产10个，结果延期3天完成 10．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D为AC上一点，点P从A出发沿A—B—C运动，设点P运动的路径长为x，PA+PD=y，其函数图象如图2所示，则图2中函数图象最低点的纵坐标m的值为（ ） A．7 B．6 C．5.5 D．5 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 11．式子 1/(2x−6) 在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________。 12．为比较甲、乙、丙三名运动员的成绩稳定性，各随机记录10次成绩，计算得到三人的平均成绩相同，方差分别为2.8，7.4，5.6，由此可知__________运动员发挥更稳定（填“甲”“乙”或“丙”）。 13．如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC=__________。 14．若关于x的不等式组 { x+5≤2， x<a } 的解集为x≤−3，则a的取值范围为__________。 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC的顶点O在原点，A在y轴正半轴，C在x轴正半轴，点B的坐标为(3，2)。点D是线段OA上的动点，连接BD，过点D作DE⊥BD交x轴于E。将△DOE沿DE翻折，使点O落在点O′处，连接BO′。当△BDO′为以BD为腰的等腰三角形时，点D的坐标为__________。 三、解答题（本大题共8小题，满分85分） 16．（10分）（1）计算：³√27 + 2sin45° + (−1/2)^−1 − (π−2026)^0； （2）化简：（a+5−(4a−20)/(a−5)）÷((a−4)^2/(a−5))。 17．（10分）某校开展“阳光体育”活动，项目有A：篮球；B：足球；C：跳绳；D：羽毛球。学生需任选一项参加。学校进行抽样调查，并根据数据绘制了两幅不完整统计图。 （1）在这次调查中，一共抽取了__________名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有学生2400名，请估计参加B项活动的学生人数； （4）小明和小丽参加了上述活动，请用画树状图或列表的方法，求他们参加同一项活动的概率。 18．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1(k≠0)的图象与反比例函数y=6/x的图象交于点A、B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为3。 （1）求k的值； （2）利用图象直接写出kx+1≥6/x时x的取值范围； （3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移5个单位，与函数y=6/x(x>0)的图象交于点D，与y轴交于点E；再将函数y=6/x(x>0)的图象沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积。 19．（10分）某文具店计划购进甲、乙两种笔袋共100个进行销售。已知购进2个甲笔袋和1个乙笔袋需花费92元，购进3个甲笔袋和2个乙笔袋需花费164元。甲笔袋售价为40元/个，乙笔袋售价为87元/个。 （1）分别求出每个甲笔袋和乙笔袋的进价； （2）商店根据销售经验，决定购进甲笔袋的数量不少于乙笔袋数量的一半。如何进货才能使这批文具全部售完时获利最大？最大利润是多少？ 20．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CE∥AB。 （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：CD=CF。 21．（11分）如图，已知水平地面AM上方有一个水平平台BN，平台上有一个竖直的信号塔CD。在A处测得塔顶C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°。斜坡AB的坡度i=1:3，AB=20 m，CD⊥BN。（点A、B、C、D在同一竖直平面内） （1）求平台BN的高度； （2）求信号塔CD的高度（精确到1 m）。（参考数据：≈1.41，≈1.73） 22．（11分）投壶是我国传统游戏。某同学将投出的箭近似看作一个动点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位长度为1 m）。箭从点A(0，1.5)处投出，飞行轨迹为抛物线L：y=ax^2+bx+c的一部分，且当箭达到最大高度2 m时，距离投出点的水平距离为1 m。把壶近似看作矩形DEFG，已知壶口宽GF=0.2 m，壶高EF=0.38 m。 （1）求抛物线L的表达式； （2）若箭刚好由点G处越过投入壶中，求人离壶的水平距离OE； （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变。要使箭再次投入壶中，请直接写出OA的取值范围。 23．（12分）综合实践课上，同学们以线段的旋转，结合正方形进行了数学探究活动。 问题情境：在边长为2的正方形ABCD中，以点A为旋转中心，将边AB逆时针旋转得到AF，旋转角为α(0<α≤180°)，连接DF，过点D作BF的垂线交BF的延长线于点G。 （1）如图1，当α=30°时，∠DFG=__________，DG=__________； （2）如图2，连接CG，判断DF、CG的位置关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）当以D、F、C、G为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出CG的长。 参考答案与详细解析 一、选择题 1—5 B B C C A 6—10 A C C B D 二、填空题 11．x≠3 12．甲 13．约36.9° 14．a>−3 15．(0，1)或(0，3/2) 三、解答题 16．（1）原式=3+2×/2−2−1=。 （2）原式=[(a+5)(a−5)/(a−5)−(4a−20)/(a−5)]÷[(a−4)2/(a−5)] =[(a2−25−4a+20)/(a−5)]·[(a−5)/(a−4)2]=(a2−4a−5)/(a−4)2=(a−5)(a+1)/(a−4)2。 17．（1）由扇形图C为90°，条形图C对应人数为45，可得样本总数45÷(90/360)=180。 （2）B人数=180−30−45−45=60，补全条形图时B项高度为60。 （3）估计参加B项活动人数为2400×60/180=800（名）。 （4）两人各有A、B、C、D四种等可能选择，共16种结果；同一项有4种，概率为4/16=1/4。 18．（1）点A在y=6/x上，且纵坐标为3，故横坐标为2，A(2，3)。代入y=kx+1，得3=2k+1，k=1。 （2）由图象可得x的取值范围为−3≤x<0或x≥2。 （3）平移后直线为y=x−4。原直线与y轴交于C(0，1)，平移后与y轴交于E(0，−4)，CE=5。结合平移所得平行四边形的底AC=2，高为5，面积为10。 19．（1）设甲进价x元，乙进价y元，则2x+y=92，3x+2y=164，解得x=20，y=52。 （2）设购进甲m个，则乙为100−m个，条件m≥1/2(100−m)，得m≥34。利润W=(45−20)m+(60−52)(100−m)=17m+800。W随m增大而增大，故m=100时利润最大，最大利润为2500元。若教学中希望形成“边界最小值”模型，可将售价改为甲45元、乙75元，则最大利润出现在m=34。 20．（1）作图：过B作⊙O的切线，交CE于F。 （2）证明思路：AB为直径，∠ADB=90°，故∠BDC=90°；BF为切线，∠ABF=90°，又CE∥AB，所以∠BFC=90°。AB=AC得∠ABC=∠ACB，CE∥AB得∠BCF=∠ABC，故∠BCF=∠ACB。于是△BCD与△BCF全等，CD=CF。 21．（1）过B作BE⊥AM于E，坡度i=BE:AE=1:3，AB=20√10。设BE=t，则AE=3t，AB2=t2+9t2=10t2，所以t=20，平台BN高度为20 m。 （2）设CD=x，则从A看：tan30°=(x+20)/AF，AF= (x+20)；从B看：tan60°=x/BD，BD=x/。由AF−BD=AE=60，得 (x+20)−x/=60，解得x=30−30≈22 m。 22．（1）顶点为(−1，2)，A(0，1.5)，设y=a(x+1)^2+2，代入得a=−1/2，所以y=−1/2x2−x+3/2。 （2）点G高度为0.38，令−1/2x2−x+3/2=0.38，解得x=−2.8或0.8（舍去）。壶口宽0.2，故OE=2.8−0.2=2.6 m。 （3）要使箭进入壶口，高度需在壶口左右边缘处不低于0.38且不撞壶壁。由同一抛物线形状平移可得OA的取值范围约为1.16 m≤OA≤1.50 m。 23．（1）∠DFG=45°，DG=。 （2）DF∥CG。理由：连接BD。正方形中△BCD为等腰直角三角形。由旋转得AF=AB=AD，结合等腰三角形角度关系，可得∠DFG=45°，再由DG⊥BF得△DGF为等腰直角三角形。进一步证明△CDG∽△BDF，得到对应角相等，从而DF∥CG。 （3）CG=2/5或2。 学科网（北京）股份有限公司 $