2026年安徽省阜阳市临泉县第五中学二模数学试题

**基本信息** 以黄梅戏非遗、卢卡斯数列等文化素材及风电测量、设备购进等现实情境为载体，通过动态几何（如点E运动路径）、函数综合（如二次函数平移）等题设计，梯度覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率核心知识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数比较、三视图、反比例函数等|第5题结合黄梅戏卡片考概率，体现文化传承| |填空题|4/20|分式化简、圆的弧长、矩形翻折等|第12题以卢卡斯数列考新定义理解，培养抽象能力| |解答题|8/90|二次函数综合、菱形几何证明、统计分析等|23题菱形动态综合题，融合全等、相似推理，发展推理意识；18题风电测量考解直角三角形，强化模型意识|

九年级数学 说明:1.本试题卷满分150分,考试时间为120分钟. 2.请按试题序号在答题卡相应位置作答,答在试题卷或其他位置无效. 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分) 每小题都给出A,B,C,D四个选项,其中只有一个是符合题目要求的. 1.下列实数中,最大的数是 A. B.π C.|-2| D.3 2.一个几何体按如图所示的方式水平放置,它的左视图是 A. B. C. D. 3.计算3xy·(-2x2)2的结果是 A.-6x3y B.-6x5y C.12x5y D.12x3y 4.2024年上半年合肥市实现地区生产总值6 135亿元,按价格不变计算,同比增长5.5%,其中6 135亿用科学记数法表示为 A.61.35×1010 B.6.135×1011 C.6.135×1010 D.0.613 5×1011 5.黄梅戏是我省国家级非物质文化遗产,因其雅俗共赏,深受大众喜爱.正面印有黄梅戏经典剧目Q版人物的三张卡片如图所示,它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,放回洗匀后,再从中随机抽取一张,两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为 A. B. C. D. 6.已知点A-,y1,B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y2<y1 D.y3<y1<y2 7.已知在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,△ABC与△ADC的面积相等.下列每组两条线段中,一定相等的是 A.OA与OC B.OB与OD C.AD与BC D.AB与CD 8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,DE∥AB,交BC于点E,DF⊥AB于点F,BE=5,DF=4,则AF的长是 A.5 B. C. D.6 9.已知正实数x,y满足x2-xy=k,y2-xy=k+4,则下列判断正确的是 A.k≥-2 B.>1 C.x2-y2=4 D.=1- 10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=2,CD⊥AB于点D.点E从点B出发,沿B→D→C的路径运动,运动到点C停止,过点E作EG∥BC且交AC于点G,作EF∥AC交BC于点F.设点E运动的路程为x,四边形CFEG的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的图象是 A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分) 11.化简:-=　　　　.  12.法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名,他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式,创造出了检验素数的方法,还发明了汉诺塔问题.“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列,在股市中有广泛的应用,卢卡斯数列中的第n个数F(n)可以表示为n-1+n-1,其中n≥1.则F(2)=　　　　.  13.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=60°,∠CAD=36°.若☉O的半径为5,则的长为　　　　.  14.如图,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,将△CDE沿CE翻折至△CD'E,且点D'落在AB边上,连接DD'且交CE于点F,连接BF且交CD'于点G,设∠BCD'=α. (1)∠EDF=　　　　(用含α的代数式表示).  (2)若tan α=,则=　　　　.  三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 15.解方程:x(x+1)=2x+2. 16.某教育科技公司销售A,B两种多媒体设备,这两种多媒体设备的进价如下表所示: 类型 A B 进价/(万元/套) 3 2.4 若该教育科技公司计划购进两种多媒体设备共35套,共需资金93万元,该教育科技公司计划购进A,B两种多媒体设备各多少套? 四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 17.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上,坐标分别为A(1,1),B(4,5),C(4,1). (1)以点O为旋转中心,将△ABC逆时针旋转90°得到△A'B'C',画出△A'B'C'. (2)在△ABC的外部确定一格点D,使AD平分∠BAC,并写出点D的坐标. 18.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机,如图1,某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图2为测量示意图(点A,B,C,D,E均在同一平面内).已知风力发电机的塔杆AF垂直于地面DE,测角仪BD,CE在AF两侧,BD=CE=1.5米,点D与点E相距231米(点D,F,E在同一条直线上),在B处测得塔杆顶点A的仰角为45°,在C处测得塔杆顶点A的仰角为37°.求风力发电机的塔杆AF的高度.结果精确到0.1米,参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈ 五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 19.尼科马霍斯是古希腊数学家,他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果,其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和.某数学兴趣小组对此开展探究活动,研究了这个神秘数的性质,并进行了举例论证:13=1;23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;…. 按上述规律,回答下列问题: (1)当m是奇数7时,等号右边式子中的第1个数是　　　　.  (2)如果k3表示成k个连续奇数之和,其中有一个奇数是61,那么k=　　　　.  (3)数学兴趣小组还发现以下规律:已知m≥2,n≥2,且m,n均为正整数,如果将mn进行如图所示的“分解”,若3n的“分解”中最小的数是79,求n的值. 20.如图,BC是☉O的直径,A是☉O上的一点,☉O的切线AE交BC的延长线于点E,过点A作AD⊥BC于点D,连接AC. (1)求证:AC平分∠DAE. (2)若AD=6,DE=8,求☉O的半径. 六、(本题满分12分) 21.为了弘扬和传承中华优秀传统文化,某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛.比赛设定满分为10分,参赛学生的得分均为整数.以下是甲、乙两组(每组10人)在初赛中的成绩记录(单位:分): 甲组:6,7,9,10,6,5,6,6,9,6. 乙组:10,7,6,9,6,7,7,6,7,5. 根据甲、乙两组的成绩,得到以下的统计表 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 b 7 c (1)以上成绩统计分析表中a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　.  (2)小明同学说:“这次竞赛我得了7分,在我们小组中属于中游略偏上的水平.”根据上面的统计表,判断小明是哪个组的学生,并解释原因. (3)从平均数和方差看,若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛,应选哪个组?并说明理由. 七、(本题满分12分) 22.已知抛物线L1:y=ax2+2ax-3经过点A(2,5). (1)求抛物线L1的顶点坐标. (2)平移抛物线L1,使其顶点在直线y=-2x+6上,得到抛物线L2. ①若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上,求抛物线L2的解析式; ②若点M(6-t,m),N(t-3,n)在抛物线L2上,当t>时,都有m≥n,求抛物线L2顶点纵坐标的最大值. 八、(本题满分14分) 23.如图1,在菱形ABCD中,AB=4,∠ABC=60°,对角线AC,BD相交于点O,G为AB上一点,连接CG交BD于点H,E为BC的中点,DE分别交AC,CG于点N,M,∠DMC=60°. (1)求证:∠BGC=∠CND. (2)如图2,取DE的中点F,连接HF. ①求的值; ②求线段HF的长. 参考答案 1.B　2.C　3.C　4.B　5.D　6.D　7.B　8.C　9.A 10.B　提示:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=2,CD⊥AB, ∴∠ACD=90°-∠A=30°,∠B=90°-∠A=30°, ∴CD=AC·cos∠ACD=,BD==3,BC==2. 如图1,当点E在BD上,即0≤x≤3时,BE=x, ∴EF=BE·sin B=BE·sin 30°=x,BF=BE·cos B=BE·cos 30°=x, ∴CF=BC-BF=2-x, ∴y=EF·CF=x2-x=-(x-2)2+. 如图2,当点E在BD上,即3<x≤3+时,CE=CD+BD-x=3+-x, ∴EG=CE·sin∠ACD=(3+-x), ∴CG=CE·cos∠ACD=(3+-x), ∴y=EG·CG=(x-3-)2. 综上所述,能反映y与x之间函数关系的图象是选项B. 11.-1　12.1　13.π 14.(1)45°-α　(2) 提示:(1)由折叠知CE为DD'的垂直平分线, ∴CD=CD',∠DCD'=2∠DCF. ∵∠EDF+∠CDF=90°,∠DCF+∠CDF=90°, ∴∠EDF=∠DCF,∴∠EDF=∠DCD'. ∵∠BCD'=α,∴∠DCD'=90°-∠BCD'=90°-α,∴∠EDF=(90°-α)=45°-α. (2)如图,过点D'作D'H平分∠BD'C交BC于点H,过点H作HM⊥CD'于点M. ∵HB⊥BD',∴HM=HB. 设BD'=3a.∵tan α=,∴BC=4a,∴CD'==5a. 设HM=x,则HB=x. ∵CD'·HM+BD'·HB=S△BCD'=BD'·BC,∴·5a·x+·3a·x=·3a·4a, ∴x=a,∴HB=a,∴D'H==a, ∴cos∠CD'H=cos∠BD'H===. ∵CD∥AB,∴∠DCD'=∠BD'C. ∵CE平分∠DCD',∴∠FCD'=∠DCD'=∠BD'C=∠CD'H, ∴CF=CD'·cos∠FCD'=CD'·cos∠CD'H=5a·=2a,∴==. 15.解:x(x+1)-2x-2=0, x(x+1)-2(x+1)=0, (x+1)(x-2)=0, ∴x1=-1,x2=2. 8分 16.解:设购进A种多媒体设备x套,B种多媒体设备y套, 1分 根据题意得 5分 解得 7分 答:购进A种多媒体设备15套,B种多媒体设备20套. 8分 17.解:(1)如图,△A'B'C'即所作. 3分 (2)如图,点D即所作. 6分 点D的坐标为(5,3). 8分 18.解:如图,连接BC交AF于点G. 由题意得FG=BD=CE=1.5米,BC=DE=231米. 设AG=x米, 在Rt△AGB中,∠ABG=45°, ∴BG=AG=x米. 2分 在Rt△AGC中,∠ACG=37°, ∴CG==≈x米. 4分 ∵BC=BG+CG, ∴x+x=231, 解得x=99, 6分 ∴AF=AG+FG=99+1.5=100.5米. 7分 答:风力发电机的塔杆AF的高度约为100.5米. 8分 19.解:(1)43. 3分 (2)8. 6分 提示:k个连续奇数中的第1个数为k(k-1)+1, 当k=8时,k(k-1)+1=8×7+1=57, 当k=9时,k(k-1)+1=9×8+1=73, ∴k=8. (2)3n的“分解”中的3个数分别是3n-1-2,3n-1,3n-1+2, 由题意得3n-1-2=79, 解得n=5. 10分 20. 解:(1)证明:如图,连接OA. ∵AE为☉O的切线, ∴∠CAE+∠OAC=90°. ∵BC为☉O的直径, ∴∠BAC=∠BAO+∠OAC=90°,∠B+∠ACD=90°, ∴∠BAO=∠CAE. ∵OA=OB, ∴∠BAO=∠B, ∴∠CAE=∠B. ∵AD⊥BC, ∴∠CAD+∠ACD=90°, ∴∠CAD=∠B, ∴∠CAE=∠CAD, ∴AC平分∠DAE. 4分 (2)在Rt△AOE中,OA2=OE2-AE2, 在Rt△OAD中,OA2=OD2+AD2, ∴OE2-AE2=OD2+AD2. 6分 ∵在Rt△ADE中,AD=6,DE=8, ∴AE=10. 设OD=x,则OE=x+8, ∴(x+8)2-102=x2+62, 解得x=. 8分 ∵OA2=OD2+AD2, 即OA=, ∴OA=, 即☉O的直径为. 10分 21.解:(1)6;7;7. 3分 (2)小明是甲组的学生. 4分 理由:因为甲组的中位数是6分,乙组的中位数是7分,而小明得了7分,在小组中属中游略偏上的水平,所以小明是甲组的学生. 7分 (3)选乙组参加决赛. 8分 理由:=×[(10-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(6-7)2+…+(5-7)2]=2. 10分 ∵甲、乙两组学生平均数一样,=2.6,而=2, >, 11分 ∴乙组的成绩比较稳定, 故选乙组参加决赛. 12分 22.解:(1)将点A(2,5)代入y=ax2+2ax-3,得a·22+2a·2-3=5, ∴a=1, ∴y=x2+2x-3=(x+1)2-4, ∴抛物线L1的顶点坐标为(-1,-4). 3分 (2)设L2的顶点的横坐标为h. ∵L2的顶点在直线y=-2x+6上, ∴L2的顶点坐标为(h,-2h+6), ∴L2的解析式为y=(x-h)2-2h+6. ①点(h,-2h+6)关于坐标原点O的对称点为(-h,2h-6), 将(-h,2h-6)代入y=(x+1)2-4,得(-h+1)2-4=2h-6, 整理得h2-4h+3=0, 解得h1=1,h2=3, ∴抛物线L2的解析式为y=(x-1)2+4或y=(x-3)2. 7分 ②∵M(6-t,m),N(t-3,n)在抛物线L2上, ∴m=(6-t-h)2-2h+6,n=(t-3-h)2-2h+6, ∴m-n=(6-t-h)2-(t-3-h)2 =[(6-t-h)+(t-3-h)]·[(6-t-h)-(t-3-h)] =(3-2h)·(9-2t). 9分 ∵m≥n, ∴m-n=(3-2h)·(9-2t)≥0. ∵t>, ∴9-2t<0, ∴3-2h≤0, ∴h≥. ∵抛物线L2的顶点的纵坐标为-2h+6, ∴-2h+6的最大值为-2×+6=3. 12分 23.解:(1)证明:∵∠DMC=60°, ∴∠CDN+∠DCM=180°-∠DMC=120°. ∵在菱形ABCD中,∠GBC=60°, ∴∠BCD=180°-∠GBC=120°, ∴∠BCG=∠CDN. ∵在菱形ABCD中,∠BCD=120°, ∴∠NCD=∠BCD=60°, ∴∠NCD=∠GBC, ∴∠BGC=∠CND. 4分 (2)①∵四边形ABCD为菱形, ∴BC=CD. ∵∠BGC=∠CND,∠GBC=∠NCD,BC=CD, ∴△BGC≌△CND(AAS), ∴BG=CN. ∵在菱形ABCD中,AD∥BC,AD=BC, ∴△CNE∽△AND, ∴=. ∵E为BC的中点, ∴==, ∴=. ∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=BC, ∴△ABC为等边三角形, ∴AC=AB, ∴==. 9分 ②如图,延长OF交CD于点P,连接BP,过点P作PQ⊥BC,交BC的延长线于点Q. ∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB∥CD, ∴∠PCQ=∠ABC=60°. ∵在菱形ABCD中,O为BD的中点,F为DE的中点, ∴P为CD的中点,且OP∥BC. ∵在菱形ABCD中,BC=CD=AB=4, ∴CP=2, ∴CQ=CP·cos∠PCQ=2·cos 60°=1, PQ=CP·sin∠PCQ=2·sin 60°=, ∴BQ=BC+CQ=4+1=5, ∴BP===2. ∵OP∥BC,E为BC的中点, ∴F为OP的中点. ∵=,AB=CD, ∴=. ∵AB∥CD, ∴△BGH∽△DCH, ∴==, ∴=. ∵在菱形ABCD中,OB=BD, ∴=,即H为OB的中点, ∴HF=BP=×2=. 14分 ( 第 13 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $