21.3 平行四边形的判定 分层练习 2025-2026学年冀教版数学八年级下册

**基本信息** 以平行四边形判定定理为核心，通过基础理解、综合应用、拓展探究三层设计，构建从单一知识点到动态几何问题的递进巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|判定定理直接应用|填空题（如对角线平分条件）、简单证明题，强化概念辨析| |综合应用|定理综合与三角形结合|动态几何（如动点问题）、多条件判定选择，提升推理能力| |拓展探究|跨知识整合|坐标系中点坐标计算、图形计数，发展空间观念与创新意识|

冀教版（2024）八年级下册 21.3 平行四边形的判定 分层练习 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线AD，射线CB上的一点，点E是线段CQ上的点，且CQ＝2AP，设AP＝x，CE为y，则y＝2x﹣2．当点Q为BC中点时，y＝3． （1）BC＝        ． （2）当AP＝            时，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形． 2、如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为           秒时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形． 3、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．求证：四边形ADCF为平行四边形． 4、如图，B是AC的中点，点D、E在AC同侧，AE＝BD，BE＝CD． （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形． 两组对角线互相平分的四边形是平行四边形 1、如图，在四边形ABCD中，若AC＝10cm，BD＝8cm，那么当AO＝      cm，BO＝      cm时，四边形ABCD为平行四边形，因为                                      ． 2、若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝        cm时，四边形ABCD是平行四边形． 3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接GF． 求证：四边形ABFG是平行四边形． 4、如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，E是边CD的中点，连接BE并延长求证：四边形BDFC是平行四边形． 判断所给条件能否判定平行四边形 1、如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形，下列判断正确的是（　　） 甲：AB∥CD，AD＝BC； 乙：∠A：∠B：∠C：∠D＝2：1：2：1 A.甲可以，乙不可以 B.甲不可以，乙可以 C.两人都可以 D.两人都不可以 2、顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AD∥BC，②AB＝CD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”，这一结论的情况共有（　　） A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 3、已知，如图，四边形ABCD，AC，BD交于点O，请从给定四个条件： ①AB＝CD； ②AD∥BC； ③∠BAD＝∠BCD； ④BO＝DO中选择两个，使得构成四边形可判定为平行四边形．你的选择是       ． 4、下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是    （填序号）． ①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD． 添一个条件成为平行四边形 1、在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝∠CDA，添加一个条件，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.∠A＝∠C B.AB＝CD C.AD∥BC D.∠ABD＝∠CDB 2、如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，若添加条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件不可以是（　　） A.AE∥CF B.BE＝DF C.∠BAE＝∠DCF D.AE＝CF 3、如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，∠ABD＝∠CDB，请添加一个条件               ，使四边形ABCD是平行四边形．（只填一种情况即可） 4、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件                    ，使四边形ABCD是平行四边形． 5、如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是        ； （2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形． 数图形中平行四边形的个数 1、如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是0，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过0点且平行于AB，则图中平行四边形共有（　　） A.15个 B.16个 C.17个 D.18个 2、如图，是由小正方形组成的3×3的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都是格点，以AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（　　）个． A.3 B.4 C.5 D.6 3、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，连接OE，则图中平行四边形的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 4、把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成    个平行四边形． 5、如图是由边长为2的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段AB的端点在格点上，要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画    个平行四边形． 6、如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 7、在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为多少个？ 求与已知三点组成平行四边形的点的坐标 1、在平面直角坐标系中，点O、B、D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），若存在点C，使得以点O、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的C点坐标中，错误的是（　　） A.（3，﹣3） B.（﹣3，3） C.（3，5） D.（7，3） 2、如图，在平面直角坐标系中有O，A，B三点，现需要在平面内找一点C，使以点O，A，B，C，为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标不可能为（　　） A.（﹣1，3） B.（1，3） C.（3，﹣1） D.（﹣3，1） 3、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点A（2，3），点B（5，3），在平面直角坐标系中求点P，使得以点A、B、P、O四点为顶点的四边形为平行四边形，请写出满足条件的点P的坐标：                    ． 4、四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（3，0），C（2，2），若要使四边形OABC为平行四边形，那么点B的坐标为       ． 5、工艺美术中常需要设计几何图案．如图，在5×5的正方形网格中，已确定三个格点A，B，C的位置，需要在图中确定点P，使得以P，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形．为了精准刻画点P的位置，需建立平面直角坐标系xOy．若点A（2，2），C（3，1）． （1）请画出平面直角坐标系xOy； （2）在图中描出点P的位置，并写出所有符合条件的点P的坐标． 利用平行四边形的判定和性质求解 1、如图，E是▱ABCD边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（　　） A.24 B.20 C.17 D.10 2、如图，AD∥BC，AB∥CD，AD＝5，BE＝8，则CE的长为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 3、如图，△ABC是等边三角形，P是形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF＝（　　） A.18 B.9 C.6 D.条件不够，不能确定 4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AE＝BC，连接AD、BE交于点F，则∠AFE的度数为      ． 5、如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位ABCD的边AD＝BC＝6m，边AB＝CD＝2.8m，且∠A＝60°，求这个四边形停车位的面积． 6、如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF． （1）若∠BAE＝65°，∠DCE＝25°，求∠DEC的度数； （2）求证：四边形AFHD为平行四边形； （3）连接EH，交BC于点O，若OB＝OE，FG＝8，直接写出OH的长度． 利用平行四边形的判定和性质证明 1、如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接BF，则下列结论中其中正确的有（　　） ①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③；④． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．对于结论：①GF⊥BD；②∠DEH＝∠BFG；③四边形EGFH是平行四边形；④EG＝BD．正确的个数为（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　） A.S平行四边形ABCD＝4S△AOB B.OA＝OC，OB＝OD C.AD＝BC，AB∥DC D.▱ABCD是轴对称图形 4、如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE＝CF，在①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE．这些结论中正确的是        ． 5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，DE⊥BC，交AB于点O，BE∥AD，连接AE．以下结论：①四边形ACDE是平行四边形；②OE＝OD；③S四边形ACBE＝3S△ACD．其中正确的结论是      ．（写出所有正确结论的序号） 6、问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组遇到了以下问题：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别在OB和OD上． 问题1：当∠AEB与∠CFD满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？ 请说明理由． 小明：当∠AEB＝∠CFD时，四边形AECF是平行四边形． 理由如下： ∵∠AEB＝∠CFD， ∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD． 即∠AEO＝∠CFO． ∴AE∥CF． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO．（依据1） 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF． ∴AE＝CF． ∴四边形AECF是平行四边形．（依据2） 问题2：当BE、DF满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由． 小红：当BE＝DF时，四边形AECF是平行四边形． 理由如下：…… 数学思考： （1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”； 依据1：               ； 依据2：                     ． （2）请你帮助小红写出问题2的证明过程． 7、如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D． （1）试猜想AB与CD的位置关系，并证明你的结论； （2）试猜想AB与CD的数量关系，并证明你的结论． 冀教版（2024）八年级下册 21.3 平行四边形的判定 分层练习（参考答案） 1一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线AD，射线CB上的一点，点E是线段CQ上的点，且CQ＝2AP，设AP＝x，CE为y，则y＝2x﹣2．当点Q为BC中点时，y＝3． （1）BC＝        ． （2）当AP＝            时，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】（1）10； （2）4或12． 【解析】（1）CE＝y＝2x﹣2，当y＝3时，则3＝2x﹣2， 解得x＝， ∴AP＝x＝，CQ＝2AP＝2×＝5， ∵此时Q为BC中点， ∴BC＝2CQ＝2×5＝10， 故答案为：10． （2）∵AD∥CB，点P在AD上，点E在CB上， ∴AP∥BE， ∴当AP＝BE时，以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形， 当点E在边BC上，则x＝10﹣（2x﹣2）， 解得x＝4， ∴AP＝4； 当点E在CB的延长线上，则x＝2x﹣2﹣10， 解得x＝12， ∴AP＝12， 故答案为：4或12． 2、如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为           秒时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或6． 【解析】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：2或6． 3、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．求证：四边形ADCF为平行四边形． 【答案】证明：∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝DB， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF＝DB， ∴AF＝CD， ∴AF∥CD，AF＝CD， ∴四边形ADCF为平行四边形． 4、如图，B是AC的中点，点D、E在AC同侧，AE＝BD，BE＝CD． （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形． 【答案】证明：（1）∵B是AC的中点， ∴AB＝BC， 在△ABE与△BCD中， ， ∴△ABE≌△BCD（SSS）； （2）∵△ABE≌△BCD， ∴∠ABE＝∠BCD， ∴BE∥CD， ∵BE＝CD， ∴四边形BCDE为平行四边形． 2两组对角线互相平分的四边形是平行四边形 1、如图，在四边形ABCD中，若AC＝10cm，BD＝8cm，那么当AO＝      cm，BO＝      cm时，四边形ABCD为平行四边形，因为                                      ． 【答案】5，4，对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【解析】根据平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 可得：AO＝AC＝5cm，DO＝BD＝4cm． 故答案为：5，4，对角线互相平分的四边形是平行四边形． 2、若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝        cm时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】12． 【解析】当OA＝12cm时，OC＝24﹣12＝12（cm）， ∴OC＝OA， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：12． 3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接GF． 求证：四边形ABFG是平行四边形． 【答案】证明：∵AD∥BC，E为DC的中点， ∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AE＝FE， 同理：EG＝EB， ∴四边形ABFG是平行四边形． 4、如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，E是边CD的中点，连接BE并延长求证：四边形BDFC是平行四边形． 【答案】证明：四边形BDFC是平行四边形．理由如下： ∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∴BC∥AF， ∴∠BCE＝∠FDE， ∵E是CD中点， ∴CE＝DE， 在△BCE和△FDE中， ， ∴△BCE≌△FDE（ASA）， ∴BE＝EF， ∵CE＝DE，BE＝EF， ∴四边形BDFC为平行四边形． 3判断所给条件能否判定平行四边形 1、如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形，下列判断正确的是（　　） 甲：AB∥CD，AD＝BC； 乙：∠A：∠B：∠C：∠D＝2：1：2：1 A.甲可以，乙不可以 B.甲不可以，乙可以 C.两人都可以 D.两人都不可以 【答案】B 【解析】甲、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故甲不可以； 乙：∵∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：1：2， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，故乙可以； 故选：B． 2、顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AD∥BC，②AB＝CD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”，这一结论的情况共有（　　） A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 【答案】B 【解析】当①AD∥BC，④∠B＝∠D时，四边形ABCD为平行四边形；理由如下： 连接AC，如图1所示： ∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD， 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（AAS）， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； 当①AD∥BC，③∠A＝∠C时，四边形ABCD为平行四边形；理由如下： 连接AC，如图1所示： ∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD， ∵∠A＝∠C， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； 当③∠A＝∠C，④∠B＝∠D时，四边形ABCD为平行四边形；理由如下： 如图2所示：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°， ∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴2∠C+2∠B＝360° ∴∠C+∠B＝180°， ∴AB∥CD， 同理：AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； 故选：B． 3、已知，如图，四边形ABCD，AC，BD交于点O，请从给定四个条件： ①AB＝CD； ②AD∥BC； ③∠BAD＝∠BCD； ④BO＝DO中选择两个，使得构成四边形可判定为平行四边形．你的选择是       ． 【答案】②③或②④； 【解析】选择②③或②④；理由如下： 选择②③时， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BCD+∠ABC＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； 选择②④时， ∵AD∥BC， ∴∠OAD＝∠OCB， 在△OAD和△OCD中，， ∴△OAD≌△OCD（AAS）， ∴OA＝OC， 又∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形； 故答案为：②③或②④． 4、下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是    （填序号）． ①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD． 【答案】③． 【解析】①∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ②∵AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意； ④∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 4添一个条件成为平行四边形 1、在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝∠CDA，添加一个条件，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.∠A＝∠C B.AB＝CD C.AD∥BC D.∠ABD＝∠CDB 【答案】B 【解析】A、已知∠ABC＝∠CDA，若∠A＝∠C，即可证明四边形ABCD为平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形），所以A选项能判定四边形ABCD为平行四边形； B、根据题意若AB＝CD，不能进一步得到AB∥CD，所以B选项不能判定四边形ABCD为平行四边形． C、已知∠ABC＝∠CDA，若AD∥BC，即∠ABD＝∠CDB，∠CBD＝∠ADB，所以AB∥CD，CB∥AD，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以C选项能判定四边形ABCD为平行四边形． D、已知∠ABC＝∠CDA，若∠ABD＝∠CDB，即∠CBD＝∠ADB，所以AB∥CD，CB∥AD，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以D选项能判定四边形ABCD为平行四边形． 故选：B． 2、如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，若添加条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件不可以是（　　） A.AE∥CF B.BE＝DF C.∠BAE＝∠DCF D.AE＝CF 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD， 若AE∥CF，则四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意； 若BE＝DF，则CE＝AF，即四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意； 若∠BAE＝∠DCF，则∠EAF＝∠ECF， ∵AD∥BC， ∴∠EAF+∠AEC＝180°，∠ECF+∠AFC＝180°， ∴∠AEC＝∠AFC， ∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意； 若AE＝CF，无法证明四边形AECF是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 3、如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，∠ABD＝∠CDB，请添加一个条件               ，使四边形ABCD是平行四边形．（只填一种情况即可） 【答案】AD∥BC（答案不唯一）． 【解析】可以添加：AD∥BC（答案不唯一）． ∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故答案为：AD∥BC（答案不唯一）． 4、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件                    ，使四边形ABCD是平行四边形． 【答案】OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD． 【解析】①当OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形； ②当AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下： ∵AD∥BC， ∴∠OAC＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC， 在△OAD和△OCB中， ， ∴△OAD≌△OCB（AAS）， ∴OD＝OB， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形； ③AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下： ∵AD∥BC， ∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC， 在△OAB和△OCD中， ， ∴△OAB≌△OCD（AAS）， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 综上所述：补充条件是OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD． 故答案为：OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD． 5、如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是        ； （2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形． 【答案】解：（1）添加条件为：AE＝CF， 故答案为：AE＝CF； （2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∵AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形． 5数图形中平行四边形的个数 1、如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是0，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过0点且平行于AB，则图中平行四边形共有（　　） A.15个 B.16个 C.17个 D.18个 【答案】D 【解析】平行四边形有：▱AEOG，▱AEFD，▱ABHG，▱GOFD，▱GHCD，▱EBHO，▱EBCF，▱OHCF，▱ABCD，▱EHFG， ▱AEHO，▱AOFG，▱EODG，▱BHFO，▱HCOE，▱OHFD，▱OCFG，▱BOGE． 共18个． 故选：D． 2、如图，是由小正方形组成的3×3的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都是格点，以AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（　　）个． A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选：C． 3、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，连接OE，则图中平行四边形的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】图中平行四边形的个数为4个，分别为平行四边形ABCD，平行四边形BEOC，平行四边形ABEO，平行四边形OECD， 由△AOD平移至△BEC的位置，得到BE∥AO，且BE＝AO，即四边形ABEO为平行四边形； 得到OD∥EC，且OD＝EC，即四边形OECD为平行四边形； ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵OA＝BE，OD＝EC， ∴OC＝BE，OB＝CE， ∴四边形OBEC为平行四边形． 故选：D． 4、把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成    个平行四边形． 【答案】3． 【解析】如图， 共拼成6个四边形，其中有3个平行四边形， 故答案为：3． 5、如图是由边长为2的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段AB的端点在格点上，要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画    个平行四边形． 【答案】4． 【解析】如图，四边形即为所求． 共能作出4个平行四边形． 故答案为：4． 6、如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 【答案】解：如图所示： 图中有6个平行四边形，分别是四边形ABCO、四边形BCDO、四边形CDEO、四边形DEFO、四边形EFAO、四边形AOEF； 理由如下： ∵△ABO和△BCO是等边三角形， ∴∠BAO＝∠ABO＝∠AOB＝∠OBC＝∠BCO＝∠BOC＝60°， ∴∠ABC＝∠AOC＝120°， ∴四边形ABCO是平行四边形， 同理：四边形BCDO、四边形CDEO、四边形DEFO、四边形EFAO、四边形AOEF都是平行四边形． 7、在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为多少个？ 【答案】解：如图所示： 图中平行四边形有▱ABEC，▱BDEC，▱BEFC共3个． 6求与已知三点组成平行四边形的点的坐标 1、在平面直角坐标系中，点O、B、D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），若存在点C，使得以点O、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的C点坐标中，错误的是（　　） A.（3，﹣3） B.（﹣3，3） C.（3，5） D.（7，3） 【答案】C 【解析】当以OB为对角线时，点C的坐标为（3，﹣3）； 当以OD为对角线时，点C的坐标为（﹣3，3）； 当以BD为对角线时，点C坐标为（7，3）； 综上所述，点C的坐标为（3，﹣3）或（﹣3，3）或（7，3）； 故选：C． 2、如图，在平面直角坐标系中有O，A，B三点，现需要在平面内找一点C，使以点O，A，B，C，为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标不可能为（　　） A.（﹣1，3） B.（1，3） C.（3，﹣1） D.（﹣3，1） 【答案】A 【解析】由图可知：A（﹣1，2），B（2，1）， ∵以点O，A，B，C，为顶点的四边形是平行四边形， ∴点C的坐标可能是（﹣3，1），（3，﹣1），（1，3）， 故不可能是（﹣1，3）， 故选：A． 3、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点A（2，3），点B（5，3），在平面直角坐标系中求点P，使得以点A、B、P、O四点为顶点的四边形为平行四边形，请写出满足条件的点P的坐标：                    ． 【答案】（7，6）或（﹣3，0）或（3，0）． 【解析】在平面直角坐标系中标出点A（2，3），点B（5，3），连接A、B、O构成△ABO，过三角形顶点作对边平行线交于P1、P2、P3，如图所示： 在▱AOBP1中，OB∥AP1，A（2，3）、B（5，3）、O（0，0），则由点的平移可得P1（7，6）； 在▱OBAP2中，BO∥AP2，A（2，3）、B（5，3）、O（0，0），则由点的平移可得P2（﹣3，0）； 在▱BAOP3中，AB∥OP3，A（2，3）、B（5，3）、O（0，0），则由点的平移可得P3（3，0）； 综上所述，点P的坐标：（7，6）或（﹣3，0）或（3，0）， 故答案为：（7，6）或（﹣3，0）或（3，0）． 4、四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（3，0），C（2，2），若要使四边形OABC为平行四边形，那么点B的坐标为       ． 【答案】（5，2） 【解析】∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA＝BC，OA∥BC， ∵A（3，0），C（2，2）， ∴OA＝BC＝3， ∴B（5，2）， 故答案为（5，2）． 5、工艺美术中常需要设计几何图案．如图，在5×5的正方形网格中，已确定三个格点A，B，C的位置，需要在图中确定点P，使得以P，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形．为了精准刻画点P的位置，需建立平面直角坐标系xOy．若点A（2，2），C（3，1）． （1）请画出平面直角坐标系xOy； （2）在图中描出点P的位置，并写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系xOy； （2）如图所示，所有符合条件的点P的坐标为（0，1）或（2，﹣1）或（4，3）． 7利用平行四边形的判定和性质求解 1、如图，E是▱ABCD边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（　　） A.24 B.20 C.17 D.10 【答案】C 【解析】如图，连接EF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BEC＝∠FCE，∠ABF＝∠CFB， ∵Q是CE中点， ∴EQ＝CQ， ∴△EBQ≌△CFQ（AAS）， ∴BE＝CF， 又∵AB∥CD， ∴四边形BEFC是平行四边形， ∴S△BEF＝2S△BQC＝14cm2， ∵AB＝CD，BE＝CF， ∴AE＝DF， 又∵AB∥CD， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴S△PEF＝S△APD＝S△APD＝3cm2， ∴S阴影＝3+14＝17cm2， 故选：C． 2、如图，AD∥BC，AB∥CD，AD＝5，BE＝8，则CE的长为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝5， ∵BE＝8， ∴CE＝BE﹣BC＝3， 故选：A． 3、如图，△ABC是等边三角形，P是形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF＝（　　） A.18 B.9 C.6 D.条件不够，不能确定 【答案】C 【解析】延长EP交AB于点G，延长DP交AC与点H， ∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC， ∴四边形AFPH、四边形PDBG均为平行四边形， ∴PD＝BG，PH＝AF． 又∵△ABC为等边三角形， ∴△FGP和△HPE也是等边三角形， ∴PE＝PH＝AF，PF＝GF， ∴PE+PD+PF＝AF+BG+FG＝AB＝＝6， 故选：C． 4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AE＝BC，连接AD、BE交于点F，则∠AFE的度数为      ． 【答案】45°． 【解析】过点B作BG∥AD，且BG＝AD，连接GE，AG，如图所示： ∴四边形ADBG是平行四边形， ∴AG＝DB＝CE，AG∥BD， ∴∠GAE+∠C＝180°， ∵∠C＝90°， ∴∠GAE＝∠C＝90°， ∵AE＝BC， ∴△AGE≌△CEB（SAS）， ∴GE＝BE，∠AEG＝∠CBE， ∵∠BEC+∠CBE＝90°， ∴∠BEC+∠AEG＝90°，即∠BEG＝90°， ∴△BEG是等腰直角三角形， ∴∠GBE＝45°， ∵BG∥AD， ∴∠AFE＝∠GBE＝45°； 故答案为：45°． 5、如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位ABCD的边AD＝BC＝6m，边AB＝CD＝2.8m，且∠A＝60°，求这个四边形停车位的面积． 【答案】解：∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 如图，过点C作 CE⊥AB，交AB的延长线于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°， ∴AD∥BC， ∴∠CBE＝∠A＝60°， ∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝30°， ∴， 由勾股定理，得， ∴． 即这个四边形停车位的面积是． 6、如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF． （1）若∠BAE＝65°，∠DCE＝25°，求∠DEC的度数； （2）求证：四边形AFHD为平行四边形； （3）连接EH，交BC于点O，若OB＝OE，FG＝8，直接写出OH的长度． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAE＝∠BCD＝65°，AD∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∵∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝65°﹣25°＝40°， ∴∠DEC＝∠BCE＝40°； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD， ∵BF＝BE，CG＝CE， ∴BC是△EFG的中位线， ∴BC∥FG，BC＝FG， ∵H为FG的中点， ∴FH＝FG， ∴BC∥FH，BC＝FH， ∴AD∥FH，AD＝FH， ∴四边形AFHD是平行四边形； （3）解：如图，连接BH、EH、CH， ∵CE＝CG，FH＝HG， ∴CH＝EF，CH∥EF， ∵EB＝BF＝EF， ∴BE＝CH， ∴四边形EBHC是平行四边形， ∴OB＝OC，OE＝OH， ∵OB＝OE， ∴OE＝OH＝OB＝OC＝BC， 又∵BC＝FG＝BC＝×8＝4， ∴OH＝2． 8利用平行四边形的判定和性质证明 1、如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接BF，则下列结论中其中正确的有（　　） ①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③；④． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】连接EC，过点C作CH⊥EF于点H． ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS），故①正确； ∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°， ∵EF∥BC， ∴∠EFC＝∠ACB＝60°， ∴△EFC是等边三角形， ∴EF＝EC＝BD＝1，FH＝EH＝， ∴CH＝＝＝， ∵EF∥BD， ∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确， ∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF， ∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确， ∵S平行四边形BDEF＝BD•CH＝1×＝，故③正确， ∵AC＝BC＝3，BD＝CF＝1， ∴CD＝2BD，AF＝2CF， ∵S△ABD＝×＝， ∴S△AEF＝•S△AEC＝S△ABD＝×＝，故④正确， ∴①②③④都正确， 故选：D． 2、如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．对于结论：①GF⊥BD；②∠DEH＝∠BFG；③四边形EGFH是平行四边形；④EG＝BD．正确的个数为（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD， ∴∠GBF＝∠HDE， 又E、F分别是AD、BC的中点， ∴， ∴BF＝DE， 在△GBF和△HDE中， ， ∴△GBF≌△HDE（SAS）， ∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，∠BFG＝∠DEH，故②正确 ∴∠FGH＝∠EHG， ∴GF∥EH， ∴四边形EGFH是平行四边形，故③正确 ∴EG＝FH， 而EG＝BD不一定成立，故④不正确． ∵∠FGH不一定等于90°， ∴GF⊥BD不正确，故①不正确， 故选：B． 3、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　） A.S平行四边形ABCD＝4S△AOB B.OA＝OC，OB＝OD C.AD＝BC，AB∥DC D.▱ABCD是轴对称图形 【答案】D 【解析】A、∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴AO＝CO，DO＝BO． ∴S△AOD＝S△DOC＝S△BOC＝S△AOB． ∴S平行四边形ABCD＝4S△AOB，故此选项正确，不符合题意； B、由A即可得出选项正确，不符合题意； C、∵平行四边形ABCD， ∴AD＝BC，AB∥DC，选项正确，不符合题意； D、▱ABCD是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误，符合题意． 故选：D． 4、如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE＝CF，在①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE．这些结论中正确的是        ． 【答案】①②④⑤⑥． 【解析】解：连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DO＝BO，OA＝OC， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BE＝DF，BE∥DF，∴①正确；②正确；④正确； ∵根据已知不能推出AB＝DE，∴③错误； ∵BN⊥AC，DM⊥AC， ∴∠BNO＝∠DMO＝90°， 在△BNO和△DMO中 ∴△BNO≌△DMO（AAS）， ∴BN＝DM， ∵S△ADE＝×AE×DM，S△ABE＝×AE×BN， ∴S△ADE＝S△ABE，∴⑤正确； ∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， ∴AF＝CE，∴⑥正确； 故答案为：①②④⑤⑥． 5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，DE⊥BC，交AB于点O，BE∥AD，连接AE．以下结论：①四边形ACDE是平行四边形；②OE＝OD；③S四边形ACBE＝3S△ACD．其中正确的结论是      ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③． 【解析】∵D为BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥BC，∠C＝90°， ∴∠BDE＝∠C＝90°， ∵BE∥AD， ∴∠EBD＝∠ADC， ∴△BDE≌△DCA（ASA）， ∴DE＝AC， ∵∠BDE＝∠C＝90°， ∴DE∥AC， ∴四边形ACDE是平行四边形，故①正确； ∵△BDE≌△DCA， ∴BE＝AD， ∵BE∥AD， ∴四边形ADBE是平行四边形， ∴OE＝OD，故②正确； ∵四边形ACBE的面积＝四边形BDAE的面积+△ACD的面积 ＝BD•DE+DC•AC ＝BD•DE+BD•DE ＝BD•DE ＝3×DC•AC ＝3S△ACD， ∴S四边形ACBE＝3S△ACD，故③正确， 综上所述：正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 6、问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组遇到了以下问题：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别在OB和OD上． 问题1：当∠AEB与∠CFD满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？ 请说明理由． 小明：当∠AEB＝∠CFD时，四边形AECF是平行四边形． 理由如下： ∵∠AEB＝∠CFD， ∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD． 即∠AEO＝∠CFO． ∴AE∥CF． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO．（依据1） 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF． ∴AE＝CF． ∴四边形AECF是平行四边形．（依据2） 问题2：当BE、DF满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由． 小红：当BE＝DF时，四边形AECF是平行四边形． 理由如下：…… 数学思考： （1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”； 依据1：               ； 依据2：                     ． （2）请你帮助小红写出问题2的证明过程． 【答案】（1）解：依据1：平行四边形的对角线互相平分； 依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形的对角线互相平分；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴BO﹣BE＝DO﹣DF， 即EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形． 7、如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D． （1）试猜想AB与CD的位置关系，并证明你的结论； （2）试猜想AB与CD的数量关系，并证明你的结论． 【答案】解：（1）AB∥CD，理由如下： ∵∠A＝∠C，∠B＝∠D ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． （2）AB＝CD，理由如下： ∵∠A＝∠C，∠B＝∠D ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD． 学科网（北京）股份有限公司 $