培优专训(6) 因式分解的应用&培优专训(7) 项目化学习家庭购车计划分析单-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

跨单元整合 培优专训（六） 因式分解的应用 类型一 利用因式分解简便计算 类型五利用因式分解判断三角形的形状 1.用因式分解计算： 7.已知a,b,c是△ABC三边的长，且满足 (1)1012+492+101×98; a2+c2-2b(a-b+c)=0,试判断△ABC 的形状，并说明理由。 (2)8002-1600×798+7982= (3)20×162-5×282= 类型二因式分解与整式乘法的恒等变形 2.多项式x2十5x+m因式分解得(x十n) (x一2)，则常数m,n的值分别为() 类型六利用因式分解求代数式的最值 A.m=-14,n=7B.m=14,n=-7 8.阅读材料后，回答问题。 例题：求多项式m2十2mn+2n2一6n十13 C.m=14,n=7 D.m=-14,n=-7 的最小值。 类型三利用因式分解求值 解：m2+2mn+2n2-6n+13 3.若a+b=3,x+y=1,则代数式a2+2ab =(m2+2mn+n2)+(n2-6n+9)+4 +b2-x-y+2018的值是 =(m+n)2+(n-3)2+4。 A.2022B.2020 C.2027 D.2026 .(m十n)2≥0，(n-3)2≥0， 4.已知a一b=b一c=2,a2十b2十c2=11,则 .多项式m2+2mn+2n2一6n十13的最小 ab-bc-ac= () 值是4。 A.-22B.-1 C.7 D.11 (1)当m2+2mn十2n2-6n+13取最小值 类型四利用因式分解解决整除问题 4时，求m,n的值； 5.对于任意整数n,多项式(n十7)2一n2都能 (2)求多项式-2x2十4xy-3y2-6y+7 够被 ( 的最大值。 A.2整除 B.n整除 C.(n+7)整除 D.7整除 6.已知46一1可以被10到20之间的某两 个整数整除，则这两个数是 () A.12,14 B.13,15 C.14,16 D.15,17 B7- 跨单元整合 培优专训（七）项日化学习 家庭购车计划分析单 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注。小明家里计划购置一辆新车，看中了售价 相同的A款纯电动汽车和B款燃油车。经过家庭会议之后分析如下： 项目背景 纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费 驶费用低。 用高。 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义。 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据。 数据收集1 A车 B车 (行驶费用) 每千米行驶费用 a元 (a+0.45)元 总行驶费用 7.5元 18.75元 设：小明一家年平均行驶里程为xkm A车 保险 6500元/年 数据收集2 车机服务 1230元/年 (其它费用) B车 保险 2900元/年 保养 0.075x元 项目任务1求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； 项目任务2请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程xk,帮小明家确定购车方案。 -B82解：在RI△ADE和R△ADF中，B形二A.R△MDE≌R△ADF (HL)。∴.AE=AF=6。,∴.△ABC的周长=AB十BC+AC=(AE+BE)十BC +(AF-CF)=AE+BC+AF=6+7+6=19。 培优专训（三）一元一次不等式（组）的解法 1.任务一：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 ②去括号时，括号前面是“一”，去掉括号后括号内的第二项没有变号任 务二：解：去分母，得2(x十2)-3(7-3x)≥一24。去括号，得2x十4-21十 9.x≥一24。移项，得2x十9.x≥-24-4十21。合并同类项，得11x≥-7。两 7 边都除以11，得x≥一7.2.解：去分母，得3(x+4)-（x一2)>2(2x十 1)。去括号，得3x十12-x+2>4x十2。移项、合并同类项，得-2x>-12。 两边都除以一2，是x<6.3.(1)解：解不等式①，得x>一1。解不等式 ②，得x2。∴.不等式组的解集为一1<x2。将解集在数轴上表示图略。 (2)解：解不等式①，得x>1。解不等式②，得x>一2。∴.不等式组的解 集为x>1。将解集在数轴上表示出来图略。4.解：解不等式①，得x> 2。解不等式②，得x≤1。∴原不等式组的解集为一2<x≤1。解集表示在 数轴上图略。∴.不等式组的所有整数解为一1,0,1，它们的和为一1十0十1 =0。 培优专训（四）一元一次不等式（组）的应用 1.m<32.A3.a≥24.a<65.a≤-16.07.C8.210<a<250 9.解：(1)240200(2)设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水 处理设备(20-a)台。根据题意，得12a+10(20-a)≤230， 240a+200(20-a)≥4500.解不等式 。∴当a=13时，A买13台，B买7台：当 14台，B买6台；当a=15时，A买15台，B买5台。每台A型污水处理 设备12万元，每台B型污水处理设备10万元，∴A买得越少，资金越少。 A买13台，B买7台需要的资金最少，最小值为13×12十7×10=226（万元）。 培优专训（五）与旋转有关的计算和证明 1.解：(1)由旋转，得CA=CD,∠DEC=∠ABC=90°，∠ECD=∠BCA= 30°，∴.∠DEA=90°，∠CAD=∠CDA=75°。∴.∠ADE=90°-∠CAD= 90°-75°=15°。(2)BF=DE,BF∥DE,理由如下：，∠FBC=∠ACB= 30°，∴.∠AFB=∠FBC+∠ACB=60°。.∠ABF=∠AFB=60°。 △ABF是等边三角形。∴.BF=AB。由旋转得，∠DEC=∠ABC=90°，DE =AB,CE=CB,∠BCE=60°。.BF=DE,△BCE是等边三角形。 ∠CBE=∠BEC=60°。∴.∠EBF=∠EBC-∠FBC=30°。∴.∠DEB+ ∠EBF=∠DEC+∠BEC+∠EBF=180°。.DE∥BF。2.(1)150°(2) 证明：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE,由旋转的性质， 得AE=AE,CE'=BE,∠CAE=∠BAE,∠ACE=∠B,∠EAE=90°。 .∠EAF=45°，.∠EAF=∠EAE'-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF。 (AE-AE', 在△EAF和△EAF中，{∠EAF=∠EAF,∴.△EAF≌△EAF.∴.EF= AF-AF. EF。.∠CAB=90°，AB=AC,∴.∠B=∠ACB=45°。∴.∠ECF=45°+45°= 90°。由勾股定理，得EF2=EC+FC,即EF2=BE+FC。(3)√7 培优专训（六）因式分解的应用 1.(1)解：原式=1012+101×98+49=1012+2×101×49+492=(101+ 49)2=1502=22500(2)4(3)12002.A3.D4.B5.D6.D 7.解：△ABC是等边三角形。理由如下：.a2+c2-2b(a-b十c)=0,∴.a2+ c2-2ab+2b-2bc=0。∴.(b+c2-2bc)+(a2+b2-2ab)=0。.(b-c)2+ (a-b)2=0。.(b-c)2≥0，(a-b)2≥0，∴.(b-c)2=(a-b)2=0。.b-c= a一b=0。∴.b=c=a。.∴.△ABC是等边三角形。8.解：(1)m2十2mn十 2n2-6n+13=(m十n)2+(n-3)2+4,当m2+2mn+2m2-6n+13取最小值 4时，即(m+n)2+(n一3)2+4=4，.∴.(m+n)2十(n-3)2=0。.∴.(m+n)2= 0,(n-3)2=0。即m十n=0,n-3=0。解得n=3,m=-3。(2)-2.x2十 4xy-3y2-6y+7=-2x2+4xy-2y2-y2-6y+7=-2(x2-2xy+y2) (y2+6y+9)+16=-2(x-y)2-(y+3)2+16。:(x-y)≥0，.-2(x y)2≤0。又.(y十3)≥0，.-(y+3)2≤0。当-2(x-y)2=0且-(y十 3)2=0时，多项式能取得最大值，此时最大值为16，即多项式一2x2十4xy 3y2一6y十7的最大值是16。 培优专训（七）项目化学习一家庭购车计划分析单 解：任务1：根据题意，得：。5-3,76解得a=0.3。经检验a=0.3是 所列方程的根。.a十0.45=0.3十0.45=0.75（元）。答：纯电动汽车的每 千米行驶费用为0.3元，燃油车的每千米行驶费用为0.75元；任务2：纯电 动汽车的年使用费用为0.3x+6500十1230=(0.3x+7730)元，燃油车的 年使用费用为0.75x+2900+0.075.x=(0.825x+2900)元。当0.3.x+7 730>0.825x+2900时，解得x9200。∴.当0<x9200时，购买燃油车 比较划算；当0.3x+7730=0.825x+2900时，解得x=9200。.∴.当x=9 200时，购买纯电动汽车和燃油车均可；当0.3x十77300.825x+2900时， 解得x>9200。.当x>9200时，购买纯电动汽车比较划算。答：当0<x <9200时，购买燃油车比较划算；当x=9200时，购买纯电动汽车和燃油车 均可；当x>9200时，购买纯电动汽车比较划算 培优专训（八）分式方程的应用 1.解：(1)1210(2)设该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价 是m万元，则每件B款人形机器人在网上的售价是(1一20%)m万元，由题 600、_600=10.解得m-15,经检验，m=15是原方程的根，且 意，得1-20%)mm 符合题意。答：该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万 元。2.解：(1)1612(2)设要购买m个“侗族”玩偶，则要购买(500一 m)个“苗族”玩偶，由题意，得12m+16(500一m)≤7200。解得m≥200 答：至少要购买200个“侗族”玩偶。3.解：(1)9(2)设购进A款汽车x 辆，由题意，得102≤7.5x十6(15-x)≤105。解得8≤x≤10。∴x的正整 数解为8,9,10。∴.共有3种进货方案：A款汽车8辆，B款汽车7辆；A款汽 车9辆，B款汽车6辆；A款汽车10辆，B款汽车5辆；(3)设总获利为W元， 购进A款汽车x辆，W=(9-7.5)x十(8-6-a)(15-x)=(a-0.5)x十30 15a,当a=0.5时，(2)中所有方案获利相同。 培优专训（九）平行四边形的性质与判定的综合运用 1.(1)证明：.∠BQC=∠PQD,∠BQC+∠ADB=180°，∴.∠PQD+∠ADB= 180°。AD∥CP。又AD=CP,∴.四边形ADCP为平行四边形。(2) 102.解：(1)甲方案正确，证明如下：四边形ABCD是平行四边形，AB ∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF。:O是对角线AC的中点，∴.AO C0.:E,F分别是A0.C0的中点AE=A0,CF=2C0.AE= CF。又，AB=CD,∠BAE=∠DCF,.△ABE≌△CDF。∴.BE=DF, ∠AEB=∠CFD。∠BEF=180°-∠AEB,∠DFE=180°-∠CFD,. ∠BEF=∠DFE。BE∥DF。又，BE=DF,∴.四边形BEDF是平行四 边形；乙方案正确，证明如下：，BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,.BE∥ DF,∠AEB=∠CFD=90°。，四边形ABCD是平行四边形，..AB∥CD, AB=CD。..∠BAE=∠DCF。..△ABE≌△CDF。.BE=DF,又BE ∥DF。∴.四边形BEDF是平行四边形。(2)1003.(1)证明：，BC」 BD,AE⊥BD于点F,.BC∥AF。.∠BCF=∠EFC。:∠BCF= ∠BAF,∴.∠EFC=∠BAF。.CF∥AB。又，BC∥AE,∴.四边形ABCF 是平行四边形。(2)5√2