3 3.3 简单的图案设计&模型构建专题 旋转中的几何模型-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

简单 01基础练 必备知识梳理· 知识点一分析图案形成的过程 1.如图，下列图案均可以由“基本图形”通过变 换得到。 ④ ⑤ (1)可以通过平移变换，但不能通过旋转变换 得到的图案是 (2)可以通过旋转变换，但不能通过平移变换 得到的图案是 (3)既可以通过平移变换，也可以通过旋转变 换得到的图案是 。(填序号)》 2.【新中考·结论开放】美丽的冬 奥雪花呈现出浪漫空灵的气质。 如图所示的雪花图案是一个中 心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕 它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角 的度数可能是 知识点二设计图案 3.如图，下列4×4的网格图都是由相同的小正 方形组成的，每个网格图中均有4个小正方 形已涂上阴影，请在空白小正方形中，选取2 个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正 方形组成一个中心对称图形。 的图案设计 02综合练 屋关键能力提升·口 4.如图1，图形A是一个小正方形，图形B由三 个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合 要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用 一次)，并分别画在指定的网格中。 (1)在网格甲中画出：拼得图形是中心对称图 形但不是轴对称图形： (2)在网格乙中画出：拼得图形是轴对称图形 但不是中心对称图形； (3)在网格丙中画出：拼得图形既是轴对称图 形又是中心对称图形。 …………… ……… 4 5… B 甲 图1 图2 03素养练 学科素养培育· 5.【新中考·结论开放】请你按要求在图2所示 的两个圆内分别画出与图1中的图案不相同 的图案（草图），并配上一两句解说词。要求： 图(a)是轴对称图形，但不是中心对称图形； 图(b)既是轴对称图形，又是中心对称图形。 ①一石击起千层浪 ②汽车方向盘 ③铜钱 图1 图2 助学助教优质高效56 跨单元整合 模型构建专题旋转中的几何模型 模型一“手拉手”模型【针对教材P108习题T10】 直线BD与直线CE的夹角为 【模型特点】两个等腰三角形共顶点。 (4)如图5，△ABC和△ADE是等腰直角三 模型展示 角形，AB<AD,∠BAC=∠DAE=90 (∠DAC<90),连接BE,CD,F是线段 BE的中点，连接AF。若DC=4,请你求 出AF的长。 结论： (1)△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等)； (2)EO平分∠AED: (3)∠AEB=∠AOB 【针对练习】 1.(1)如图1，△ABC和△ADE是等腰直角三 角形，AB<AD,∠BAC=∠DAE=90°，连接 BD,CE,构建“手拉手”模型，得到了BD= ;在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图 2的划斜线部分，得到了BDI 图 图5 模型二“对角互补”模型 (2)如图3，△ABC和△ADE是等边三角形， 模型展示 AD<AB,连接BD,CE,BD的延长线与 CE相交于点F。请猜想BD与CE的大 小关系，求∠BFC的度数； 条件：①∠AOB=∠DCE=90°； (3)如图4，在△ABC和△ADE中，AB= ②OC平分∠AOB: AC,AD=AE,AD<AB,BAC= 结论：①CD=CE;②OD+OE=√V2OC: ∠DAE=40°，连接BD,CE。则BD与 CE的数量关系为 ③Sg边w0CE=SAn十SAE= 57 八年级数学下册·BS 2.如图，在△ABC中，AB=BC=1, ∠ABC=90°，把一块30°角的直角 三角板DEF的直角顶点D放在 AC的中点上（直角三角板的短直角边为 DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕 点D按逆时针方向旋转，DE交边AB于点 M,DF交边BC于点N。 (1)求证：DM=DN; (2)在这一旋转过程中，直角三角板DEF与 △ABC的重叠部分为四边形DMBN,请 说明四边形DMBN的面积是否发生变 化。若发生变化，请说明是如何变化的； 若不发生变化，求出其面积。 模型三“半角”模型 【模型特点】有一个角固定，另一个与它的顶点重合的 角等于固定角的一半。 类型一等腰直角三角形中的直角中含45的角 模型展示 在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， ∠DAE=45°，把△ABD绕点A逆时针旋转90°得△ACF 45 B D 结论：①△AEF≌△AED;②△CEF是直角三角 形；③BD+CE2=DE。 3.如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，D,E为BC上 的两点，且∠DAE=45°，若BD BD=1,CE=2,则DE= 类型二120°角中含60°的角 模型展示 如图，四边形ABDC中， ∠BDC=120°，∠A=60°，∠EDF= 60° 60°，BD=DC,把△BDE绕，点D顺B 时针旋转120°得△CDG D G 结论：①△DEF≌△DGF;②EF=BE+CF。 4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD =120°，点E,F分别在BC和DC上，且 ∠EAF=60°=∠C,把△ADF绕点A按顺时 针方向旋转得△ABM,试判断BE,EF,DF 之间的数量关系，并说明理由。 M 助学助教优质高效58第4课时中心对称图形 基础练 1.D2.D3.3524.解：(1)如图所示；(2)如图所示。答案均不唯一。 安五 图① 图② 5.②6.解：如图所示 7.解：是中心对称图形，理由：AB∥CD,.∠A=∠C,∠B=∠D。又AB =CD,,.△AOB≌△COD。,.OA=OC,OB=OD,即此图形绕点O旋转 180°后能与自身重合。所以此图形是中心对称图形 8.解：如图所示 3简单的图案设计 基础练 1.(1)①④(2)②⑤ (3)③2.60°（答案不唯一）3.解：如图所示。 4.解：如图所示。 图2 5.解：答案不唯一，如图所示。 O (a)饱经风霜 (b)中国银行标志 图2 模型构建专题旋转中的几何模型 1.解：(1)CECE(2)BD=CE,∠BFC=60°，理由如下：△ABC和△ADE 是等边三角形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°。∴.∠BAC ∠DAC=∠DAE-∠DAC。即∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE。∴， BD=CE,∠ABD=∠ACE。设BF与AC相交于点G,则∠AGB=∠FGC, ∴.∠BFC=∠BAC=60°；(3)BD=CE(或相等)40°或 140°(4)延长AF到M使FM=FA,连接EM,.M ∠EFM=∠BFA。,FE=FB,∴.△AFB≌△MFE (SAS)。.ME=AB。.∠BAM=∠M,.ME∥AB。 ∠MEA+∠EAB=180°。.∠BAC=∠DAE=90,.∠DAC+∠EAB=180°。 ∴.∠MEA=∠DAC。△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴.AB=AC, AD=AE。.EM=AC。.△AEM≌△DAC(SAS)。∴.AM=DC。,DC =4,AM=4。∴.AF=2.2.解：(1)证明：连接BD,在 △ABC中，AB=BC=1,∠ABC=90°，D为AC的中点，. ∠ABD=∠CBD=∠A=∠C=45°，BD⊥AC。∴.BD=CD ∠BDC=90°=∠EDF。.∠MDB=∠CDN=90° (∠MBD=∠C ∠BDN。在△BMD和△CND中，BD=CD, N∠BDM=∠CDN, ∴.△BMD≌△CND(ASA)。∴.DM=DN。(2)不发生变化，△BMD≌ △CVD,.S△MD=SACND。.SI边形DMBN=S△MD+S△BDN=SACND十S△BDN= Sm=S=××1X1=:3V54解：EF=BE+DF,理由 如下：，∠BAD=120°，∠C=60°，∴.∠ABC+∠D=360°-120°-60°= 180°。，把△ADF绕点A按顺时针方向旋转得△ABM,∴.△ABM≌ △ADF,∠MAF=∠DAB=120°。∴.BM=DF,∠ABM=∠D,AM=AF。 ∴.∠ABM+∠ABC=180°，即点M,B,E共线。，∠EAF=60°，.∠EAM =120°-60°=60°=∠EAF。又AM=AF,AE=AE,∴.△EAM≌△EAF。 .EF=EM=BM+BE=DE+BE. 问题解决活动：最短距离 基础练 1.C2.A3.解：如图所示，路线A一C一D一B即为所求。4.D5.D 6.解：如图，路线C-M-N-D即为所作，其中CM∥DN。 C D B 第3题图 第6题图 第三章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1】解：(1)，BC=1,∠ACB=90°，∠BAC=30°，.AB=2BC=2。∴.AC =√AB一BC=√2一卫=√3。，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到 △DEC,∴.AC=CD,∠ACB=∠ACD=90°。∴.AD=√WAC+CD= √（√3）2+（√3）2=√6。(2)证明：，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转 得到△DEC,∴.△BAC≌△EDC。∴.∠BAC=∠CDE。又∠AEF ∠CED,.∠AFE=∠ECD=90°。.AB⊥DF。【例2】解：(1)△AB1C 如图所示。点A1(3,一3)，B1(4,-1)。(2)△A2B2C2如图所示。(3)如 图，点P即为所求的旋转中心，.旋转中心的坐标为(5,0)。 61 考点过关 1.D2.(3,2)3.244.35.D6.120(答案不唯一)7.90°8.C 9.C10.A11.(-5,-1)12.解：(1)图案设计如图所示。(2)20。 13.(1)①(2,0)②(-1,2)(2)(a+3,a+3)