期末单元复习(3) 图形的平移与旋转-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

期末单元复习（三） 01 知识结构图 图形的坐标变化与平移 图形的平移 定义、性质、画图 图形的旋转 图案设计 中心对称图形一 中心对称 02重难点突破 突破点一平移的性质和坐标系中点的平移 规律 例1将点P(-1,4)先向下平移3个单位长 度，再向左平移2个单位长度后得到点Q,则 点Q的坐标是 反思归纳解答这类题的关键是要掌握坐标系中点的 平移过程中坐标的变化规律：横坐标：向右平移加、向 左平移减；纵坐标：向上平移加、向下平移减。 对点训练 1.(2025·淮安)点P(一1,1)沿y轴向上平移4 个单位长度后的点坐标是 2.如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到 △DEF,若EC=3,BF=11,则BE= 第2题图 第3题图 3.如图，将梯形ABCD沿直线AB的方向平移 到梯形A'B'C'D'的位置，其中AD∥BC, ∠ABC=90°，D'C'交BC于点M。若BM= 5cm,CM=1cm,BB'=2cm,则图中阴影部 分的面积为 cm2。 突破点二图形的旋转 例2如图，在△ABC中，∠C 30°，∠ABC=100°，将△ABC 绕点A按顺时针方向旋转至 △ADE(点B与点D对应)，连接BD,若 BD∥AE,则∠CAD的度数为 度。 图形的平移与旋转 反思归纳解答这类问题的关健是要掌握旋转的性质， 道常利用等腰三角形的性质、平行线的性质和三角形 内角和定理解题。 对点训练 4.如图，将△ABC绕点A按逆 时针方向旋转80°，得到B% △ADE,连接BE,若AD∥BE,则∠CAE的 度数是 ( ) A.20° B.30° C.25 D.35 突破点三中心对称与中心对称图形 例3如图，已知△AOB与 C △DOC成中心对称，△AOB的 面积是6，AB=3,则△DOC中 CD边上的高是 反思归纳根据成中心对称的两个图形全等，得到对应 边相等，面积相等，再通过面积公式计算得出答案。 对点训练 5.若点P(8,一3)，则点P关于原点的对称点的 坐标是 () A.(8,3) B.(-8,-3) C.(-8,3) D.(8,-3) 6.(2025·自贡)起源于中国的围棋深受青少年 喜爱。以下由黑白棋子形成的图案中，为中 心对称图形的是 B 03备考集训(60分钟100分) 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.(2025·内蒙古)下列汽车电子控制装置显示 的图案中，是中心对称图形的为 助学助教优质高效114 2.如图，将一个含30°角的直角三角尺ABC绕 点A旋转，使得点B,A,C在同一条直线上， 则旋转角的度数是 () A.30°B.90° C.120° D.150 30 第2题图 第3题图 3.如图，已知△ABC沿着PQ的方向平移到 △A'BC的位置，则下列结论错误的是() A.AB∥A'B B.AA'=BB' C.AA'∥BB D.AA'=AB 4.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=10,若将 △ABC沿着BC方向平移至△DEF,若平移 的距离是5，则图中阴影部分的面积是() A.25 B.50 C.35 D.70 B E 第4题图 第5题图 5.如图，E,F分别是正方形ABCD的边AB, BC上的点，且BE=CF,连接CE,DF,将 △DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向 旋转到△CBE的位置，则旋转角为 () A.30° B.45° C.609 D.90° 二、填空题（每小题5分，共25分） 6.如图，在△ABC中，D是BC 的中点，若将△ABC沿BC 向右平移得到△A'DC',若点 A平移的距离AA'=4cm,则DC= cm。 7.点M(一2,5)是由点N向上平移3个单位长 度，向右平移2个单位长度得到的，则点N 的坐标是 8.点A(a-2,3)与点B(a+4,b-5)关于原点 对称，则(a+b)2o26的值为 115八年级数学下册·BS 9.如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角 a(0°<a<180),得到△AED,若AC=1, CE=√2，则a的度数为 B∠ 第9题图 第10题图 10.如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对 称，若AC=1,AB=2,∠BAC=90°，则AE 的长是 三、解答题（共50分） 11.(8分)如图所示，方格纸中的每个小方格都 是边长为1个单位长度的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系 后，点C的坐标为(4，一1)。 (1)以原点O为对称中心，画出△ABC关于 原点O对称的△A1B1C1; (2)以点A1为旋转中心，画出把△A1B1C 逆时针旋转90°得到的△A1B2C2。 ⊙…… 12.(10分)如图，△ABC和△DEF关于点O成 中心对称。 (1)找出它们的对称中心； (2)若AC=6,AB=5,BC=4,求△DEF的 周长。 13.(10分)如图，点B,C,D在同一条直线上， △ABC和△ECD都是等边三角形，连接 BE,AD。 (1)求证：△ADC≌△BEC; (2)△ADC可以看作是△BEC旋转得到，请 直接写出旋转中心，旋转方向，旋转角最 小度数。 14.(10分)如图，将△ABC绕点A按逆时针方 向旋转一个角度a,得到△ADE,点B的对 应点D恰好落在边BC上，且点A,B,E在 同一条直线上。 (1)求证：DA平分∠BDE: (2)AC与DE交于点O,∠AOE=95°，求旋 转角a的度数。 15.(12分)如图，点P是等边三角形ABC内一 点，PA=2,PB=2√3，PC=4。 (1)以点A为旋转中心，将△APB顺时针旋 转60°，P的对应点为P',画出旋转后的 图形； (2)指出△APP'的形状是 三角形； (3)△PP'C是直角三角形吗？为什么？ (4)∠APB的度数为 助学助教优质高效116元，每盒B种礼品要120元。(2)设需要购买m盒A种礼品，则购买(40一 m)盒B种礼品。由题意，得100m+120(40-m)≤4500，解得m≥15。答： 最少需要购买15盒A种礼品 对点训练 1.B2.2或-13.x<-14.A5.C 备考集训 1.A2.D3.A4.A5.D6.B7.B8.A9.7x-1≥010.1 11.12.113.514.115.解：去括号，得6x一4>x+1。移项，得6x -x>4+1。合并同类项，得5x>5。两边都除以5，得x>1。 x-22x,① 16.解： x-1<12.@解不等式0，得≥一2，解不等式@，得<4， ∴原不等式组的解集是一2≤x<4。.该不等式组的整数解是一2，一1,0， 1,2,3。,一2十(-1)十0十1十2十3=3，.该不等式组的所有整数解的和 是3.17.解：②-①，得2y=2-2a,∴.y=1-a。把y=1-a代人①，得x =3a。 。0.解得0≤a≤1.18.解：设需要租 “y均是非负数，3a≥0， 用x辆甲种客车，则租用(8一x)辆乙种客车。依题意，得45x+30(8一x)≥ 300。解得x≥4。.x的最小值为4。答：至少需要租用甲种客车4辆。 19.解：(1)设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元。根 据题意.得名3290解得0答：每本甲种词奥的价格为70元，每门 y=50。 本乙种词典的价格为50元。(2)设学校计划购买甲种词典m本，则购买 乙种词典(30-m)本。根据题意，得70m+50(30一m)≤1600，解得m5。 答：学校最多可购买甲种词典5本。 期未单元复习（三）图形的平移与旋转 重难点突破 例1(-3,1)例230例34 对点训练 1.(-1,5)2.43.114.B5.C6.C 备考集训 1.B2.D3.D4.B5.D6.87.(-4,2)8.19.90°10.2√2 11.解：(1)△A1BC1如图1。 (2)△A2B2C2如图2。 图1 图2 12.解：(1)如图，点O即为所求。 (2)由题意，△ABC≌ △DEF,.△DEF的周长=△ABC的周长=6+5+4=15。 13.(1)证明：，△ABC和△ECD都是等边三角形，.CA =CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°。∴.∠ACD= CA=AB ∠BCE。在△ADC和△BEC中，∠ACD=∠BCE, CD-CE. .△ADC≌△BEC(SAS)。 (2)解：△ADC可以看作是△BEC旋转得到， 旋转中心为点C,旋转方向为顺时针方向，旋转角最小度数为60°。 14.(1)证明：'△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,∴.∠ADE=∠B AD=AB。∴.∠ADB=∠B。∴.∠ADE=∠ADB。.DA平分∠BDE。 (2)解：设AC与DE交于点O,:∠AOE=95°，∴.∠E=180°-95°-∠CAE =85°-∠CAE。由旋转得∠CAE=∠BAD=a,∠C=∠E,∴.∠C=∠E= 25 85°-a。∠CAE=∠C+∠B,且∠B=∠ADB=2(180°-∠BAD)=90° a=85°-a十90-a。a=70。∴旋转角a的度数是 1 70°。15.解：(1)如图，△AP'C即为所求。(2)等边。 (3)△PP'C是直角三角形，理由如下：，△APP是等边三角 形，.PP'=PA=2。又△APB≌△AP'C,∴.BP=CP'=2 √3。在△PP'C中，(PP')2+(P'C)2=22+(2√3)2=16，PC=4=16,. (PP')+(P'C)=PC。∴∠CP'P=90°，即△PP'C为直角三角形。(4) :△PAP是等边三角形，.∠AP'P=60°。.∠CP'A=90°+60°=150°。 ∴.∠APB=∠CP'A=150°。故答案为150°。 期末单元复习（四）因式分解 重难点突破 例1D例2490 对点训练 1.(1)a(a-1)(2)(x+3)(x-3)(3)(a-b)2(4)(x+y)(x-6y) 2.C3.424.2027 备考集训 1.B2.A3.A4.C5.C6.2x(3x-2)7.2xy8.3149.±4 10.1011.(1)解：8a3b2+12abc=4ab2(2a2+3bc)；(2)解：2a2-4ab+2b =2(a2-2ab+b2)=2(a-b)2;(3)解：3x-12x3=3.x(1-4x2)=3x(1十 2x)(1-2x);(4)解：x4-y=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x- y)。12.解：(1)原式=(x-2)2+6(x-2)=(x-2)(x-2+6)=(x-2) (x+4)当x=-2时，原式=(-2-2)×(-2+4)=-8。(2)原式=ab (a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,当a+b=3,ab=2时，原式=2×32=18.13. 解：，原来4块地的总面积为(a2+bc十ac+ab)m,∴.a2+bc+ac十ab=a(a+ b)十c(a十b)=(a十b)(a十c)。:此块地的宽为(a十b)m,∴.交换后这块土地 的长为(a十c)m。14.解：(1)S阴影=4S长方形=4ab①，S阴影=S大正方形 S空自小正方形=(a十b)2-(b-a)2②，由①②得(a+b)2-(a-b)2=4ab。故 答案为(a十b)2-(a-b)2=4ab。(2).(2x+y)2-(2x-y)2=8xy,∴.8xy =169-9,∴.xy=20。 期末单元复习（五）分式与分式方程 重难点突破 例1A例2解：原式=m-1÷m十1)(m-1)-m-1.m+1-m十1 (m+1)2 m-1 m 当m=2时原式=岁=是，例3D 对点训练 1.C2.D3.-34.D5.-16x 6 7.解：原式= (a+1)(a-1)-(4a-5).a-1-1=a2-1-4a+5.a(a-1)_(a-2)2,a(a-1) a-1 a(a-1)a-1 a-2 a-1 a-2 =a2-2a.a≠0，且a≠1且a≠2，.a=-2。当a=-2时，原式=a-2a= (-2)2-2×(-2)=8.8.D9.a<1且a≠010.511.解：设肖老师骑 自行车每小时走xkm。根据题意，得5是怎解得x=15。经检验： =15是原方程的根，并符合实际意义。答：肖老师骑自行车每小时走15km。 备考集训 1.D2.C3.B4.B5.D6.A7.B8.C9.110.111.3 -1 2号132142+8=51510解原式=·0+》-2 =a+1_a 2一2二a122)獬：原式=w2·m二2、， m-2‘m-3=m十3。 16.(1)解：方程两边乘(2x+5)(5x-2),得10x2-4x十10x十25=10x2十 26