3 3.2 图形的旋转&方法技巧专题(3) 巧用旋转的性质计算-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

2图形的旋转 第1课时旋转的认识 知识储备 1.定点转动旋转中心旋转角形状大小2.相等旋转角相等 相等 基础练 1.A2.(1)A(2)C,E(3)线段AC,CE,EA(4)∠ACE(5)60°3.C 4.A5.25°6.解：AB'=CB',∠C=16°，∠B'AC=∠C=16°。 ∠ABB=∠B'AC+∠C=32°。：△ABC纯点A按逆时针方向旋转得到 △AB'C',∴.AB=AB。∠B=∠AB'B=32°。旋转角∠BAB'=180°- ∠B-∠ABB=116°。7.点B8.B9.3210.(3,-4) 11.(1)证明：在正方形ABCD中，∠D=∠ABC=90°，∴.∠ABF=90°。 .∴.∠D=∠ABF=90°。又DE=BF,AD=AB,,∴.△ADE≌△ABF(SAS)。 (2)解：将△ADE按顺时针方向旋转90°后与△ABF重合，旋转中心是点A。 12.解：(1)证明：：△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，∴∠ABD ∠CBE=100°，∠ABC=∠DBE=40°，AB=BD,BC=BE。又，BA=BC, BA=BC, ∴.AB=BC=BD=BE。在△ABD和△CBE中，∠ABD=∠CBE, BD=BE. ∴.△ABD≌△CBE(SAS)。 (2)设BC,AD相交于点M,∠ABD= ∠CBE=100°，BA=BC=BD=BE,.∠BAD=∠BCE=40°。又，∠BMA =∠FMC,.∴.∠AFC=∠BAC=40°. 第2课时旅转作图 基础练 1.C2.A3.解：如图所示。4.解：如图所示。5.(-4,3)或(4，一3) 第3题图 第4题图 第8题图 6.互相垂直7.708.解：(1)如图，△A,B1C1和△A2B2C2即为所求 (2)如图，点P的坐标为(4，一2)。 方法技巧专题（三）巧用旋转的性质计算 1.A2.C3.B4.57°5.30°或150°6.A7.√2 8.解：(1)补全图形如图所示。(2)连接OM。,△ABC是等 边三角形，∴.∠ABC=60°。.△BAO旋转得到△BCM,OA= √2，OB=√3，.MC=OA=√2，MB=OB=√3，∠OBM= ∠ABC=60°。.△OBM是等边三角形。∴.OM=OB=√3 .在△OMC中，OC=1,MC=√2，OM=V3,∴.OC2+MC= OP。.∴.∠OCM=90°. 第3课时中心对称 知识储备 1.180°重合对称中心2.对称中心对称中心 基础练 1.D2.(1)≌同一条中点DE∠A(2)D3.解：图 略。4.(2，-3)5.(-a,-b)6.17.a<28.(1)(3, -1)(2)(3,4)9.√210.解：(1)延长AD至E,使DE=AD,连 接CE,则△ECD即为所求。(2)1<AD<11。 第4课时中心对称图形 基础练 1.D2.D3.3524.解：(1)如图所示；(2)如图所示。答案均不唯一。 安五 图① 图② 5.②6.解：如图所示 7.解：是中心对称图形，理由：AB∥CD,.∠A=∠C,∠B=∠D。又AB =CD,,.△AOB≌△COD。,.OA=OC,OB=OD,即此图形绕点O旋转 180°后能与自身重合。所以此图形是中心对称图形 8.解：如图所示 3简单的图案设计 基础练 1.(1)①④(2)②⑤ (3)③2.60°（答案不唯一）3.解：如图所示。 4.解：如图所示。 图2 5.解：答案不唯一，如图所示。 O (a)饱经风霜 (b)中国银行标志 图2 模型构建专题旋转中的几何模型 1.解：(1)CECE(2)BD=CE,∠BFC=60°，理由如下：△ABC和△ADE 是等边三角形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°。∴.∠BAC ∠DAC=∠DAE-∠DAC。即∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE。∴， BD=CE,∠ABD=∠ACE。设BF与AC相交于点G,则∠AGB=∠FGC, ∴.∠BFC=∠BAC=60°；(3)BD=CE(或相等)40°或 140°(4)延长AF到M使FM=FA,连接EM,.M ∠EFM=∠BFA。,FE=FB,∴.△AFB≌△MFE (SAS)。.ME=AB。.∠BAM=∠M,.ME∥AB。 ∠MEA+∠EAB=180°。.∠BAC=∠DAE=90,.∠DAC+∠EAB=180°。 ∴.∠MEA=∠DAC。△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴.AB=AC, AD=AE。.EM=AC。.△AEM≌△DAC(SAS)。∴.AM=DC。,DC =4,AM=4。∴.AF=2.2.解：(1)证明：连接BD,在 △ABC中，AB=BC=1,∠ABC=90°，D为AC的中点，. ∠ABD=∠CBD=∠A=∠C=45°，BD⊥AC。∴.BD=CD ∠BDC=90°=∠EDF。.∠MDB=∠CDN=90°2图形的旋转 第1课时 旋转的认识 知识点二旋转的性质 十“十十”十十 知识储备 3.如图，在△ABC中，将△ABC绕点A按逆时 1.在平面内，将一个图形绕一个 按某个 针方向旋转得到△ADE,点D恰好落在BC 方向 一个角度，这样的图形运动称为 的延长线上，则旋转角是 () 旋转，这个定点称为 ,转动的角称 A.∠BAC B.∠CDA 为 ,旋转不改变图形的 和 C.∠BAD D.∠BAE 0 2.一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点 到旋转中心的距离 ,任意一组对应点与 旋转中心的连线所成的角都等于 B ,对 第3题图 第4题图 应线段 ,对应角 十十 4.如图，△ABC绕点C旋转后得到△EDC。已 01 基础练 知AB=1.5,BC=4,AC=5,则DE的长为 必备知识梳理一 ( 知识点一 旋转的认识 A.1.5 B.3 C.4 D.5 1.【概念辨析】下列现象不是旋转的是 5.如图，△AOB绕点O按逆时针 A.传送带传送货物 方向旋转60°得到△COD,若 B.飞速转动的电风扇 ∠COB=35°，则∠BOA C.钟摆的摆动 D.自行车车轮的运动 6.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得 2.(教材P92随堂练习T1改编) 一材多题 到△AB'C',点B'恰好落在边BC上，且 如图，△ABC是等边三角形，D是边BC的中 AB'=CB'。若∠C=16°，求旋转角的度数。 点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。 (1)旋转中心是点 (2)点B,D的对应点分别是 点 (3)线段AB,BD,DA的对应线段分别是 0 (4)∠B的对应角是 (5)旋转的角度为 助学助教优质高数50 知识点三确定旋转中心 03素养练 7.如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某 净孕丝圭参路直 12.如图，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=40°， 点旋转一定的角度，得到△M1NP,则其旋 将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°得 转中心一定是 到△DBE,连接AD,CE交于点F。 (1)求证：△ABD≌△CBE; (2)求∠AFC的度数。 第7题图 第8题图 02综合练 ?关键能力提升一 8.如图，在△ABC中，∠BAC=56°，将△ABC 绕点A按逆时针方向旋转40°，得到△ADE, DE交AC于点F,点D恰好落在BC上，此 时∠AFE等于 A.80°B.86 C.90° D.96° 9.如图，P是正方形ABCD内一 点，将△ABP绕点B按顺时针 方向旋转与△CBP'重合，若 PB=3,则PP的长是 10.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)， 将点A绕着原点按顺时针方向旋转90°得到 点B,则点B的坐标为 11.如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点， 点F在CB的延长线上，且DE=BF。 (1)求证：△ADE≌△ABF; (2)将△ADE按顺时针方向旋转多少度后 与△ABF重合并指出旋转中心。 D B 可解题妙招 确定旋转中心的方法：先找到旋转前后图形 上的两对对应点，连线后，分别作每对对应点连线 的垂直平分线，它们垂直平分线的交点即为旋转 中心。如T7。 51八年级数学下册·BS 第2课时 旋转作图 01基础练 必备知识梳理· 易错点○ 旋转方向不确定导致漏解 知识点 旋转作图 5.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,4), 1.如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180° 将OA绕坐标原点O旋转90°得到OA',则点 后所得到的图案是 A'的坐标是 ☆女安冬☆ 02综合练 身关键能力提升一 6.如图，Rt△ABC绕着点B按顺时针方向旋转 2.如图，在正方形网格中有△ABC,△ABC绕 90°后得到△EBD,则AC与ED的位置关系 O点按逆时针方向旋转90°后的图案应该是 是 第6题图 第7题图 B 7.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转 40°到△ADE的位置，若点C恰好在DE上， 则∠ACE= 8.(教材P94随堂练习T2改编) 一材多题 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 3.如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心， A(-6,0),B(-2,3),C(-1,0)。 将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转 (1)将△ABC先向上平移2个单位长度，再 后的△ABC1。 向右平移6个单位长度得到△A1B1C,将 △ABC绕坐标原点O按逆时针方向旋转 90°得到△AB2C2,画出△A1B,C和 △A2B2C2; (2)如果△AB,C,通过旋转可以得到 △AzB2C2,请在图中标出旋转中心P并 写出点P的坐标。 4.【教材P93“操作·交流”变式】如图，△ABC 41 绕点O旋转后，顶点A的对应点为点A',试 画出旋转后的△A'B'C'。 ... 助学助教优质高效52 跨单元整合 方法技巧专题（三） 巧用旋转的性质计算 01考点突破 类型二与旋转有关的线段长度的计算 解题技巧 类型一与旋转有关的角度计算 利用旋转的性质发现特殊角，结合全等图形、勾 解题技巧 股定理计算线段的长。 利用旋转前后的两个图形全等、旋转角相等、旋 6.如图，在△AOB中，AO=2,BO=AB=3。将 转中出现的等腰三角形求角度。 △AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=70°， △A'OB',连接AA',BB,则线段BB的长为 将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，点B,C的 () 对应点分别是B和C,连接BB,则∠BB'C'的 A.3√2 B.22 C.2 D.3 度数是 ( A.35° B.40 C.45° D.50° B 第6题图 第7题图 D 第1题图 第2题图 7.【转化思想】如图，将△ABC绕点A按逆时针 2.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到 方向旋转45°得到△ABC',AB=2,则图中阴 △ADE,旋转角为a(0°<a<180),点B的对 影部分的面积为 应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC, 02素养提升 ∠CAD=24°，则旋转角a的度数为 () A.24°B.28° 8.如图，在等边三角形ABC中，O为△ABC内 C.48° D.66 一点，连接OA,OB,OC,将△BAO绕点B旋 3.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转 转至△BCM。 75°得到△ADE,延长BC交DE于点G,则 (1)依题意补全图形； ∠EGB的度数为 () A.75° B.105° C.115° D.125 (2)若OA=√2，OB=√3，OC=1,求∠OCM 的度数。 第3题图 第4题图 4.如图，△COD是△AOB绕点O按顺时针方 向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB 上，∠AOD=90°，则∠B的度数是 5.如图，在△ABC和△ADE中， AB=AC,∠BAC=∠DAE 40°，将△ADE绕点A按顺时 针方向旋转一定角度，当 AD∥BC时，∠BAE的度数是 53八年极数学下册·BS 第3课时 中心对称 知识储备 1.如果把一个图形绕着某一点旋转 t 知识点三关于原点对称的点的坐标 能够与另一个图形 ,那么就说这两个 4.在平面直角坐标系中，点A(一2,3)关于原点 图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫 对称的点的坐标是 作它们的 0 5.在平面直角坐标系中，点(a,b)关于原点对称 2.成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经 进 的点的坐标是 ,且被 平分。 十+十+十+十十十十+十+十+ 6.在平面直角坐标系中，若点P(2,一1)与点 01基础练 增必备知识梳理一 Q(一2，m)关于原点对称，则m的值是 知识点一 中心对称的概念与性质 02综合练 拿关键能力提升一 1.如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角 7.已知点(a一3,2-a)关于原点对称的点在第 形关于点O成中心对称的是 ) 四象限，则a的取值范围是 8.(1)点P(-1,1)关于点(1,0)对称的点Q的 坐标为 B (2)点P(一1,2)关于点(1,3)对称的点Q的 2.(1)【性质辨析】如图，△ABC与△DEC关于 坐标为 点C成中心对称，则△ABC △DEC, 9.如图，△ABC和△DEC关于 点B,C,E在 直线上，点C是BE的 ,AB= ,/D= 点C成中心对称，若AC= 2’B AB=1,∠BAC=90°，则AE的长是 10.如图，AD是△ABC的中线 (1)画出以点D为对称中心，与△ABD成中 第2(1)题图 第2(2)题图 心对称的三角形； (2)【T2(1)变式】如图，△ABC与△A'B'C (2)若AB=10,AC=12,则AD长的取值范 关于点O成中心对称，则下列结论不成立的 围是 是 () A.CO=CO B.∠BAC=∠B'A'C C.点C在直线CO上D.∠ACB=∠CA'B 知识点二画成中心对称的图形 3.【教材P95例2变式】如图，已知四边形 ABCD和点O,画出四边形ABCD关于点O 成中心对称的四边形A'B'C'D'。 助学助教优质高效54 第4课时 中心对称图形 01基础练 必备知识梳理·一 易错点○ 对中心对称图形识别不清 知识点 认识中心对称图形 5.有下列图形：①线段；②三角形；③长方形； 1.(2025·烟台)2025年4月24日，神舟二十号 ④正方形；⑤圆。其中不是中心对称图形的 载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中 是 (填序号)。 国航天日从纪念变为庆祝。下列航天图案是 02综合练 今关健能力提升一 中心对称图形的是 6.如图，是5个全等的小正方形组成的图案，请 ② 用不同的两种方法分别在两幅图中各添加1 个正方形，使整个图案成为中心对称图形。 2.(2025·青岛)围棋是中华民族发明的博弈活 动。下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称 图形，又是中心对称图形的是 7.如图，线段AC,BD相交于点O,且AB∥CD, AB=CD,此图形是中心对称图形吗？试说 明你的理由。 3.如图，是一个中心对称图形， 对称中心是点O,若∠B= 35°，AO=2,则∠D= °，OC= 4.【新中考·结论开放】图①、图②都是由边长 为1的小等边三角形构成的网格，每个小等 边三角形的顶点称为格点，已有两个小等边 8.在“综合与实践”课堂上，同学们经过探索发 三角形涂上了黑色。 现“将中心对称图形面积二等分的直线往往 会经过对称中心”，如：平行四边形ABCD的 (1)在图①中，再涂黑两个小等边三角形，使 对角线交于点O,过O的直线EF,将平行四 得整个涂色部分图形为轴对称图形，但不 边形ABCD等分成面积相等的四边形 是中心对称图形； AEFD和四边形CFEB。 (2)在图②中，再涂黑两个小等边三角形，使 课后，小李想运用课堂上探究的结论，用一条 得整个涂色部分图形为中心对称图形，但 直线将下图的面积等分成两份。请你用三种 不是轴对称图形 方法完成（保留画图痕迹，不写画法）。 备用图 备用图 图① 图② 请完成进阶测评（五） 55八年极数学下册·BS