2 重难点突破专题 利用一元一次不等式(组)解决方案问题-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

重难点突破专题 利用一元 类型一方案选择问题 1.友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台， 最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活 动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九 折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价 销售，若超过5台，超过的部分每台按售价的 八折销售。某公司一次性从友谊商店购买A 型号笔记本电脑x台。 (1)当x=6时，应选择哪种方案，才能使该公 司购买费用最小？ (2)若该公司采用方案二购买更合算，求x的 取值范围。 (答题模板)解：(1)当x=6时， 方案一购买的费用是0.9a×6=5.4a(元)。 方案二购买的费用是5a十0.8a( (元)。 .5.4a .应选择方案一，才能使该公司购买费用最小。 (2)该公司采用方案二购买更合算， ∴.x>5。 则方案一购买的费用是0.9ax(元)。 方案二购买的费用是 5a+0.8a( )= (元)。 该公司采用方案二购买更合算， ∴.0.9ax> .a>0, .x> 当x>时，该公司采用方案二购买更 合算。 次不等式（组）解决方案问题 对点训练 2.假期，某校4位教师和x(x≥1)名学生组 成的旅游团，准备到某地旅游，甲、乙两家 旅行社的服务质量相同，且报价都是每人 1000元。经过协商，甲旅行社表示给予4 位游客全额收费，则其余游客七折优惠；乙 旅行社表示若游客5人以上（含5人）可给 予每位游客八折优惠。 (1)请用含x的代数式分别表示旅游团选择 甲、乙旅行社所需的费用：设选择甲旅行 社所需的费用为y(元)，则y1= 。设选择乙旅行社所需的费用为 y2(元)，则y2= (2)当x=6时，该旅游团选择 (填“甲” 或“乙”)旅行社支付的旅游总费用较少； (3)请算一算，当x为何值时，选择甲旅行社 更合算？ 助学助教优质高数42 类型二方案设计问题 3.“绿水青山，就是金山银山”。某旅游景区为 了保护环境，需购买A,B两种型号的垃圾处 理设备，已知2台A型设备和3台B型设备 日处理能力一共为72吨；3台A型设备和1 台B型设备日处理能力一共为52吨。 (1)求1台A型设备、1台B型设备日处理能 力各为多少吨？ (2)根据实际情况，需购买A,B两种型号的 垃圾处理设备共10台。要求B型设备不 多于A型设备的3倍，且购回的设备日处 理能力不低于144吨。请你利用不等式 的知识为该景区设计购买A,B设备的 方案。 (答题模板)解：(1)设1台A型设备、1台B 型设备日处理能力各为x吨、y吨。 2x+3y=72,, 由题意，得 ,x= 解得{ 3x+y=52, (y= 答：1台A型设备、1台B型设备日处理能力 各为 吨、吨。 (2)设购买A型设备m台，则购买B型设备 (10-m)台。 10-m≤ m, 由题意，得 m (10-m)≥144， m≥ 解得 m ≤m≤ ,m为正整数，.m= 或 .该景区购买方案共有2种： 方案1：购买A型设备 台，购买B型设 备台； 方案2：购买A型设备 台，购买B型设 备台。 43八年极数学下册·BS 对点训练 4.某电器超市销售每台进价分别为 160元、120元的A,B两种型号的 电风扇，下表是近两周的销售 情况： 销售数量 销售时段 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本) (1)求A,B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再 采购这两种型号的电风扇共50台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在(2)的条件下，超市销售完这50台电风 扇能否实现利润超过1850元的目标？ 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请 说明理由。2.解：(1)700x+4000800x十3200(2)乙(3)，选择甲旅行社更合算， .700x+4000<800x十3200，解得x>8。.当x>8时，该旅游团选择甲 旅行社更合算。3.112161216(231216号4号 4 3437464.解：(1)设A,B两种型号电风扇的销售单价分别为x 元元。依题意得十，198解得，6答：A.B两种型号电风 1y=150。 扇的销售单价分别为200元、150元。(2)设采购A种型号电风扇a台，则 采购B种型号电风扇(50一a)台。依题意，得160a十120(50一a)7500,解得a ≤37号。：a是整数，a最大是37。答：超市最多能采购A种型号电风扇 37台。(3)能。设采购A种型号电风扇b台，则采购B种型号电风扇(50 -b)台。根据题意，得(200-160)b+(150-120)(50-b)>1850,解得b> 35。:6<37号，且6应为整数，“在(2)的条件下超市能实现利润超过1 850元的目标。相应方案有两种：当b=36时，采购A种型号的电风扇36 台，B种型号的电风扇14台；当b=37时，采购A种型号的电风扇37台，B 种型号的电风扇13台。 第二章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1)-2(2)0（答案不唯-）(3）x< （4)- 01 (5a≥4 考点过关 1.A2.D3.C4.C5.D6.D7.C8.-2≤a-19.解：去分母 得3(x-1)<2(4x-5)-6。去括号，得3x-3<8x-10-6。移项，得3x 8x<-10-6+3。合并同类项，得-5x<-13。两边都除以-5，得x>13 5 解集在数轴上表示如图。 2-10121334 5 10.解：解不等式①，得x≥1。解不等式②，得x<2。.不等式组的解集为1 ≤x<2.11.八12.解：(1)1618(2)设购买A款材料包m份，则购 买B款材料包(50-m)份。根据题意，得16m+18(50-m)≤830。解得m ≥35。∴.m的最小值为35。答：至少购买A款材料包35份。13.x≥1 14.解：(1)3570(2)设购买m副羽毛球拍，总费用为y元，则选择方案A 所需总费用yA=70m十35(80-2m)=2800(元)。选择方案B所需总费用 =80%X[70m+35(80-m)]=(28m+2240)(元)。当yA>ys,即2800> 28m十2240时，m<20。,m>0,∴.0<m<20;当yA=y,即2800=28m十 2240时，m=20;当ya<y,即2800<28m+2240时，m>20,,m≤40，. 2040。答：当购买羽毛球拍的数量少于20副时，选择方案B更实惠； 当购买羽毛球拍的数量等于20副时，选择两种购买方案所需总费用相同；当 购买羽毛球拍的数量大于20副且不超过40副时，选择方案A更实惠。 15.解：(1)120元和150元（2)设该经销商购进m件A种农产品，则购进 (40一m件B种农产品，依题意得120m十150(40-m)≤5400，解得20≤m ≤30。设两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则=(160一120)m +（200一150)(40一m)=一10m十2000。一10<0，.∴.随m的增大而减 小。∴.当m=20时，心取得最大值，此时40一m=40一20=20。答：当购进 20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多。 20