专题06 动点与角度常考几何问题汇总（12大题型）（期末复习专项训练）六年级数学下学期新教材人教版五四制

**基本信息** 聚焦动点与角度几何问题，以12类题型构建“代数模型-几何变换-动态探究”三阶训练体系，融合数形结合与分类讨论思想，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数轴动点与折叠|10题|坐标表示法、对称性质|从数轴基础到动态折叠，构建代数化几何模型| |绝对值应用|10题|几何意义转化、最值规律|从距离表示到最值探究，强化数形结合思想| |线段问题|10题|中点公式、定值不变模型|从静态中点到动态定值，培养空间观念| |角度计算|20题|角平分线性质、三角板旋转、多结论推理|从基础计算到动态旋转，提升推理与应用意识| |综合探究|10题|分类讨论、运动过程分析|整合代数与几何方法，发展创新思维|

专题06 动点与角度常考几何问题汇总 题型1 数轴上的动点问题 题型7 三角板中的角度计算问题 题型2 数轴上的折叠问题 题型8 几何图形中角度计算问题 题型3 绝对值的几何意义 题型9 实际问题中角度计算问题 题型4 绝对值中的最值问题 题型10 角平分线中角度计算问题 题型5 线段的中点问题 题型11 角的旋转问题 题型6 线段中的定值不变问题 题型12 角度的多结论问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数轴上的动点问题（共5小题） 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查数轴上的数的运算．根据点在线段上和线段上以及的取值范围分别判断出的取值范围，即可求得的最大值和最小值，计算即可． 【详解】解：点在线段上， ， ； 点在线段上， ， ， ， 综上： ∴最大值为，最小值为， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级上·辽宁丹东·期末）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由，可得，即为在数轴上表示的数． 【详解】解：∵表示的数为，表示的数为，表示的数为0，表示的数为，表示的数为，.....， ∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度， ∵， ∴， ∴在数轴上表示的数为， 故选：B． 3．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动．若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（    ） ①小聪：若点P，Q相对而行，当时，点P和点Q重合； ②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当时，点P和点Q重合； ③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当时，点P，Q之间的距离为8； ④小俐：当时，点P，Q之间的距离可能为6 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据4位同学的描述分别列式求解判断即可． 【详解】解：①小聪：若点P，Q相对而行， 当时， P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：， ∴点P和点Q重合， ∴①正确； ②小明：若点P，Q沿x轴向左移动， 当时， P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：， ∴点P和点Q重合， ∴②正确； ③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动， 当时， P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：， ， ∴点P，Q之间的距离为8， ∴③正确； ④小俐：当时， 若点P，Q相对而行， P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：， ， ∴此时点P，Q之间的距离为6， ∴④正确． 综上所述，正确的有①②③④，有4个． 故选：D． 【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，有理数的加减混合运算，解题的关键是根据题意正确列出算式求解． 4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【详解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 题型二 数轴上的折叠问题（共5小题） 6．（23-24七年级上·广东广州·期末）在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示3的点重合，表示数7的点与点A重合，则点A表示的数是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了数轴，有理数的混合运算．先确定折叠处表示的数，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵折叠后点与点3重合， ∴纸面的折叠处是， ∵表示数7的点与点A重合， ∴点A表示的数是． 故选：D． 7．（23-24七年级上·江西上饶·期末）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，图1中的长度13，图2中的，用就是的长度，用两点之间的距离公式得出点C表示的数． 【详解】解：图1：， 图2：，   ， 点C表示的数是：， 故选：C． 8．（24-25七年级上·湖北鄂州·期末）一条数轴，从数轴上面剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【答案】或1或 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：∵三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是，，， ∵到4的距离是6， ， ， 三条线段的长分别为，，3， ①当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或1或． 故答案为：或1或． 9．（23-24七年级上·河北保定·期末）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： 已知点A，B，C表示的数分别为1，，，观察数轴． （1）B，C两点之间的距离为 ． （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是 ． （3）若数轴上P，Q两点间的距离为m（P在Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使得P点与Q点重合时，Q点代表的数是 （用含m，n的式子表示这个数）． 【答案】 【分析】本题考查数轴的性质，关键在理解数轴对称求解对称点及距离的方法． （1）两点之间的距离，可用表示较大点的数减去较小点的数，即可； （2）依据两点重合，可知对称点，然后按照距离相等，即可求解； （3）如图可知中点的数为，又之间距离为即可求解． 【详解】解：①点表示的数为；点表示的数为； ∴、两点之间距离为：； 故答案为：； ②∵ 点A与点C重合，点A表示的数为，点表示的数为； ∴ 点A与点C的对称点表示的数为：； ∴ 与点重合点表示的数为：； 故答案为：； ③由题知，数轴上两点间的距离为； ∵表示数的点到两点的距离相等， ∴  点、中点表示的数为； ∴ 表示数的点到点的距离为：； ∵在左侧， ∴ 点代表的数为：． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③ 【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键． （1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题． （2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题． 【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知， 它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1； 它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2； 它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3； …， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时， ， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时， 可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知， ， 则折点所表示的数为1． 因为， 所以表示5的点与表示的点重合． 故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同， 所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013． 故答案为：，1013． ③由折叠可知， ， 因为点M、N表示的数分别是、8， 所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3， 所以． 因为，， 所以点P表示的数为． 故答案为：． 题型三 绝对值的几何意义（共5小题） 11．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，数轴的单位长度为1，点、、表示的数都是整数，若点和点表示的两个数的绝对值相等，则点表示的数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值，根据数轴找到原点的位置是解题的关键．根据题意可知点和点的中点为原点，再结合数轴得到点和点的距离为8，得到点和点分别表示的数，即可求出点表示的数． 【详解】解：点和点表示的两个数的绝对值相等， 点和点的中点为原点，原点表示的数为0， 由数轴可知，点和点的距离为8， 点表示的数是，点表示的数是4， 由数轴可知，点在点右边，且与点距离1个单位长度， 点表示的数是． 故选：B． 12．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）若，则满足条件的整数x的值有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴上点的距离关系分析方程． 根据绝对值的几何意义，确定的取值范围为，再找出该范围内的整数个数． 【详解】解： 表示数轴上点到点 和点2的距离之和． 在 和2之间（包括端点）时， 即 ， 距离之和恰好为 ，与方程右边的5相等． 整数有：，共 6个． 故答案为：6 13．（24-25七年级上·河南信阳·期末）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，它们对应的数分别是a，b，c，其中，，如图所示． (1)若以B为原点，写出点A，B，C所对应的数： ， ， ；此时中点所表示的数是 ； (2)要使b的绝对值是1，则原点应该在什么位置？ (3)若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求． 【答案】(1)，0，1， (2)原点在C点或中点处 (3) 【分析】（1）根据数轴以及两点之间的距离可得出，，，在表示出中点的数即可． （2）由绝对值的意义可得出或，分两种情况根据两点之间的距离可得出结论． （3）根据题意画出数轴，结合两点之间的距离可得出a，b，c的值，然后在进行有理数的加法即可． 【详解】（1）解：∵点B为原点，点A在点B的左边，点C在点B的右边，， ∴，，， 设此时中点所表示的数是x，中点到A点的距离与到C点的距离相等，且 ∴ ∴ ∴此时中点所表示的数是， 故答案为：，0，1， （2）∵ ∴或 当时，即点B表示的数为1，则原点O在点B左边且到点B的距离为1 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴此时原点是的中点， 当时，即点B表示的数为，则原点O在点B右边且到点B的距离为1 ∴， ∵ ∴此时原点是点C， 综上所述原点是的中点或点C． （3）如下图， 原点O在图中数轴上点C的右边 ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，有理数加法，等知识，掌握实数与数轴的相关知识是解题的关键． 14．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）阅读材料 材料：学习绝对值时，我们知道表示数a的点与原点的距离，即，也可以说表示数轴上数a与数0对应的两点之间的距离，同理，数轴上数a和数b两点间的距离可以表示为或． 例如数轴上表示和3的两点间的距离为或． 发现解题规律： 若，则或； 若，则或，得或； 若，则或，得或． 结合上面的发现解决下列问题． (1)数轴上表示和4两点之间的距离是_______． (2)若，则__________或_______． (3)如图所示，当点A、B所表示的数分别为和2时，是否存在一点P，使得点P到A、B两点的距离之和等于7？若存在，设点P表示的数为x，求x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5； (2)或； (3)x的值为或． 【分析】（1）根据两点间的距离公式计算可得； （2）由表示的意义为：在数轴上到表示和的点的距离为，据此解答可得； （3）由点P到A、B两点的距离之和等于7列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知数轴上表示和4两点之间的距离是， 故答案为：5； （2）解：∵，即在数轴上数轴上表示和的点的距离为， ∴或， 或， 故答案为：或； （3）解：表示在数轴上表示的点到和2的点的距离之和， ∴， 当时，，解得， 当时，，此时方程无解， 当时，，解得， ∴x的值为或． 【点睛】本题考查了整式的加减，数轴，绝对值，一元一次方程的应用，利用了两点间的距离公式，线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离，理解绝对值的意义是解题的关键． 15．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）特殊与一般是重要的数学方法，当我们遇到复杂问题时，可以通过特殊情况下的分析尝试，积累经验再进行一般化的研究． (1)：若，则的值确定吗？若确定，求出确定的值；若不确定，说明理由； 特例分析：当时，__________；当时，__________； 一般化研究：若，则__________； (2)：若，，求的值； (3)：若，且，，，……，，这2024个数中有个正数，则的值为__________（用含的式子表示）． 【答案】(1)1，， (2)，0，2 (3) 【分析】本题考查了根据绝对值的含义化简分式： （1）将数值代入进去即可求得结果； （2）根据关系式分三种情况即可求得结果； （3）根据一般化研究可得到结果； 正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 若，则当时，，当时，， ∴若，则， 故答案为：1，，； （2）解：∵，， ∴，，， 当时，此时且， ∴， 当时，此时且， ∴， 当时，此时且， ∴， 综上的值为，0，2； （3）解：由（1）可得若，则当时，，当时，， ∵，，，……，，这2024个数中有个正数， ∴有个负数， ∴， 故答案为：． 题型四 绝对值中的最值问题（共5小题） 16．（24-25七年级上·广西柳州·期末）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，最小； ②找出满足的的所有值是_________． 【答案】问题1：4，8；问题2：；问题3：①4；；②4，； 【分析】本题考查了绝对值的几何意义及数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 问题1：根据材料直接计算即可； 问题2：根据材料表示出来并化简即可； 问题3：①根据x的范围去掉绝对值符号即可得到最小值；②分三种情况讨论：x在和3之间（包含端点），x在3的右侧，x在左侧． 【详解】解：问题1：A到B的距离是，A到C的距离是， 故答案为：4，8； 问题2：A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； 问题3：①对于， 当的值取在不小于且不大于3的范围时， ； 对于， 当的值取在不小于且不大于2的范围时，的值保持不变，且为其最小值， 这个最小值为； 故答案为：4；； ②设点A、B、C在数轴上分别表示数、、， 则表示A到B的距离与A到C的距离之和为6， 结合数轴可知，当A在B、C之间（包含B、C）时，不符合题意， 当A在B右侧时，，解得； 当A在C左侧时，，解得； 故答案为：4，． 17．（24-25七年级上·四川达州·期末）阅读材料： 数轴上点A，B分别表示有理数a，b，表示A，B两点之间的距离，则．如：4与两数在数轴上对应的两点之间的距离为；又如：可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 解决问题： （1）若，则______，若，则______． （2）表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得： ①； ②． 猜想： （3）对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）或；；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）根据绝对值的意义即可求解； （2）①由绝对值的定义求解即可；②由绝对值的定义求解即可； （3）根据题意，表示到这三点的距离和最小值，则当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴或， ∴或； ∵， 则表示到和的距离相等， ∴； （2）①表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和为5， 如图， ∵， ∴的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为：； ②表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和为7， 如图， ∵， ∴表示x的数在的左侧或在的右侧一个单位时成立， ∴或的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为：； （3）∵表示数的点到表示的点的距离之和， 当时，代数式的最小值为：． 18．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是多少？数轴上表示3和的两点之间的距离是多少？ 【独立思考】： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为？ （3）试用数轴探究：当时，求m的值？ 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？（注意：请画出数轴结合数轴来作答） 【答案】（1）4，4；（2）；（3）4或；（4）最小值为3，x可取整数2，3，4，5 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据定义用代数式表示； （3）分两种情况：点在1的左边；点在1的右边；分别列式计算便可； （4）表示数轴上和2两点之间的距离，表示数轴上和5两点之间的距离， 设表示数x的点为P，表示数2和5的点为A，B，分类讨论即可． 【详解】解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是为，表示3和的两点之间的距离为； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离为：； （3）表示数与1的距离为3， ∴当表示数m的点在1左侧，则， 当表示数m的点在1右侧，则， ∴m的值为4或； （4）表示数轴上和2两点之间的距离，表示数轴上和5两点之间的距离， 设表示数x的点为P，表示数2和5的点为A，B 当时，由绝对值的几何意义得到表示的是，则，如图： 当时，由绝对值的几何意义得到表示的是，则，如图： 当时，由绝对值的几何意义得到表示的是，则，如图： ∴当且仅当时，表示数x的点到表示2和5的点的距离之和最小，此时距离为， 可取的整数有： 2，3，4，5． 19．（24-25七年级上·江苏南通·期末）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)； (2)符合条件的整数为或或或； (3)有最小值，最小值为，理由见解析． 【分析】（）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值即可； （）要找出的整数值可以进行分段计算，令或时，分为段进行计算，最后确定的值； （）根据绝对值的意义，同（）理即可解答； 本题考查了绝对值的意义，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由， 故答案为：； （2）令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，， ∴符合条件的整数为或或或； （3）有最小值，最小值为，理由如下： 令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，的值最小，最小值为． 20．（23-24七年级上·四川南充·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 【答案】(1)， (2)①或；②；③ 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）①利用绝对值的定义可得或，即可求解；②由表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和，根据两点间线段最短即可求解；③该式子表示数轴上点到、、、、的 距 离 之 和，根据两点之间线段最短和绝对值的意义可知：当时，原式有最小值，然后去取绝对值，利用求和公式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 故答案为：，； （2）①若，那么或， 解得：或， 故答案为：或； ②表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和， 由两点间线段最短可知：当时，有最小值，最小值是， 故答案为：； ③的中间一项是， 当时，原式有最小值， 的最小值是． 题型五 线段的中点问题（共5小题） 21．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据点与点重合和点与点重合两种情况解答即可．本题考查了线段的中点，线段的和，分类思想的应用，熟练掌握线段的中点是解题的关键． 【详解】解：∵，，M，N分别是它们的中点， ∴，， 当点与点重合时， ； 当点A与点D重合时， ， 故选：C． 22．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出所对应的数，然后逐项判断即可． 【详解】解析：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，， ∴，正确，①符合题意； ②，， 当时， 或20； 故②不符合题意； ③， 故正确，③符合题意． 故答案为：B． 23．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为，，个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为 秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据点和点的运动速度，表示出秒后点和点的坐标，利用中点公式得到点的坐标表达式，点在线段上往返运动，需根据时间分段讨论点的坐标，并建立方程求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为， 当点为线段的中点时，点表示的数为， 当时， 解得：， 即运动秒时，点，重合时，运动停止， ， 点在线段上往返运动， 解方程， 可得：， 即当运动秒时，点与点重合，此时点与点重合， 当时， 点表示的数为，点表示的数为， 点在上运动， 点表示的数大于， 点不能成为的中点； 当时，点从点向点运动，表示的数为， 点是线段的中点， ， 解得：(不符合题意，舍去)； 当时，点从点向点运动，表示的数为 令， 解得：， 经检验，满足，且运动未停止（点M与点N重合时）． 故答案为 ：． 24．（2025七年级上·四川眉山·期末）如图，点E是线段的中点，C是上一点，且，． (1)求的长； (2)若F为的中点，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，得到，解答即可； （2）根据题意，得，根据F为的中点，得到，故． 本题考查了线段的和差，线段的中点，一元一次方程的应用，熟练掌握中点，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点E是线段的中点， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故的长为． （2）解：∵点E是线段的中点， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴． 25．（24-25七年级上·全国·期末）如图，一直线上有线段，一线段在该直线上运动，且，a，b满足（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧） (1)当点D与点B重合时，求的长； (2)，N分别是线段，的中点，当时，求的长． (3)当线段运动到点B，D间的距离为1时，若有一点P在点D的右侧且位于线段的延长线上，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4或 【分析】本题考查了平方的非负性，线段的和差． （1）根据平方的非负性得到，，根据计算即可； （2）分两种情况结合线段中点的定义根据线段的和差作答即可； （3）分两种情况根据线段的和差作答即可． 【详解】（1）解：因为，，， 所以，， 所以，， 所以， 当点D与点B重合时，如图1所示，所以 （2）解：因为，所以有以下两种情况： ①当点C在点B的左侧时，如图2所示． 因为，， 所以， 因为M，N分别是线段，的中点， 所以，， 所以 ②当点C在点B的右侧时，如图3所示． 因为，， 所以， 因为M，N分别是线段，的中点， 所以， 因为， 所以 综上所述，的长为 （3）解：有以下两种情况： ①当点D在点B的左侧时，，如图4所示． 设， 则，，， 所以； ②当点D在点B的右侧时，，如图5所示． 设， 则，，， 所以 综上所述，的值为4或 题型六 线段中的定值不变问题（共5小题） 26．（24-25七年级上·北京海淀·期末）已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，完全平方非负性，数轴上两点间距离等，根据以上知识解答即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：，即①正确， ∵点O是原点，点A所对应的数是a， ∴点A所对应的数是4， ∵， ∴， ∵当点B与点O重合时， ∴点表示的数为， ∵线段在直线上运动（点B在点C的左侧）， ∴表示的数为，即，即②不正确， ∵当点C与点A重合时， ∴点表示的数为4， ∵点B在点C的左侧，， ∴点B表示的数为2， ∵点P是线段延长线上的点， ∴，， ∴，即③正确； ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为四种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ，； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ，； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ，； 第四种情况：当和都在右边时，如图： ，， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确， 故选：D． 27．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变． 所有结论正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】①根据非负数的性质可得a和b的值，可判断； ②如图1，根据数轴可直观得出； ③如图2，分别计算，的值可判断； ④分四种情况，根据图形分别计算的长即可可判断． 【详解】解：①∵， ∵， ∴， ∴； 故①正确； ②如图1，当点B与点O重合时，； 故②不正确； ③如图2，当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点， ∴， ∴； 故③正确； ④∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴ 分四种情况： 1）当C在O的左侧时，如图3， ； 2）当B，C在O的两侧时，如图4， ； 3）当B，C在线段上时，如图5， ； 4）当B和C都在A的右边时，如图6， ； ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，线段的长度不变． 故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． 28．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 【答案】(1)4；8 (2)①当点从运动到点时，；②当点从运动到点时， (3)①当点从点向点运动时，线段的长度不变，；②或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，线段的和差以及线段中点的有关计算，分情况计算是解题关键． （1）根据题意先得出当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A，然后求出以及时的结果即可； （2）由（1）分析可知：当点从运动到点时以及当点从运动到点时，两种情况下的的长度； （3）①设D是线段的中点，E是线段的中点，根据线段中点的相关计算即可求解；②在若点C从点A向点B运动，时，点C从点B向点A运动，时，两种情况下分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A， 当时，（厘米）， 当时，（厘米）， 故答案为：4，8． （2）解：由（1）可知： 当点从运动到点时，即时，， 当点从运动到点时，即时，． （3）解：设D是线段的中点，E是线段的中点， ①当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化， D是线段的中点，E是线段的中点， ， ， 即的长度为； ②当时， 若点C从点A向点B运动，时， 是线段的中点，E是线段的中点， ， ，即有， ； 若点C从点B向点A运动，时， D是线段的中点，E是线段的中点， ， ，即有， ， 综上可知，当时，t的值为或． 29．（24-25七年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，线段，动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点为的中点，设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示的长______． (2)当点在射线上运动时，出发多少秒后？ (3)当点在线段的延长线上运动时，点为的中点，有下列两个结论：①的长度不变；②的值不变．请判断哪个结论是正确的，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)当点在射线上运动时，出发秒后 (3)①结论正确，见解析 【分析】（1）先表示出，再根据点的位置分别表示出的长即可； （2）根据题意得，根据点的位置分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （3）当点在线段的延长线上运动时，根据线段中点，得到，，再计算线段的和差即可． 【详解】（1）解：设点运动的时间为秒，则， 当点在线段上时，， 当点在的延长线上时，， 综上可知，的长为或． 故答案为：或； （2）解：，点为的中点， ， ①当点在线段上时，此时，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，此时，， ，此方程无解； 即当点在射线上运动时，出发秒后； （3）解：当点在线段的延长线上运动时， ，， 点为的中点，点为的中点， ，， ， ， 的长度不变，①结论正确； ，， ， 的值是变的，②结论错误． 【点睛】本题考查了线段中点以及线段的和差，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 30．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为．    【问题倩境】 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为12，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【基础应用】 （1）完成填空： ①两点间的距离______； ②点是数轴上的一点，它表示的数为，若，则______； 【综合运用】 （2）求当为何值时，； 【拓展提升】 （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．    【答案】（1）①16；②5或；（2）或；（3）线段的长度不变，且为8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式． （1）①根据题目所给的两点距离公式求解即可；②根据绝对值的意义分类讨论求解； （2）秒后，点表示的数，点表示的数为，而，由建立方程，求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点表示的数，点表示的数，即可得出线段的长度． 【详解】（1）解：①由题意得：， ②∵， ∴， 解得：或 故答案为：①；②5或； （2）解：秒后，点表示的数，点表示的数为， ， 又， ∴， 解得：或； （3）解：线段的长度不变，理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ． ∴线段的长度不变，且长度为8． 题型七 三角板中的角度计算问题（共5小题） 31．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图1，已知，点为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 °，的度数为 °； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在的内部时，求的度数． (4)如图4，三角板绕点O旋转到如图位置，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查角平分线有关的计算及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键． （1）由平角的定义可求和的度数，进而可求的度数； （2）由角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可； （3）设，则，，然后作差即可； （4）设，根据图形可得，，，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， ； 故答案为：，； （2）解：恰好平分， ， ； （3）解：，理由如下： 解：设，则，， （4）设，则，， 32．（24-25七年级上·广东江门·期末）【操作拼图】已知一副直角三角板按图中的方式拼接在一起，边OB，OD与直线MN重合，其中，． 【构建联系】 （1）求图1中的度数； （2）如图2，当直角三角板固定不动时，若将直角三角板绕着点O按顺时针方向旋转一个角度，当直角三角板的斜边平分时，求旋转角的度数； 【拓展探究】 （3）如图3，当直角三角板固定不动时，若将直角三角板绕点O按逆时针方向每秒旋转，当边第一次落在射线上时停止旋转，是否存在一个时间t（秒）使？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算： （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差计算即可； （2）由题意得，再根据角平分线定义即可解决问题； （3）分两种情况讨论：①当在内时，②当在外部时，根据旋转角度旋转速度乘以旋转时间以及角的和差列出方程即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意，得：， ∴； （2）由题意得：， ∴， 当直角三角板的斜边平分时， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是； （3）存在时间t，使，理由如下： 由题意得：， ∵， ∴， ①当在内时，如图3.1所示， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意； ②当在外部时，如图3.2， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意； ∴当或时，． 33．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当秒时，___________，___________，___________； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①射线和射线重合前，当时，求出相应的的值； ②整个旋转过程中，当满足时，直接写出相应的的值___________． 【答案】(1)135；120；75 (2)①或；②4或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用各角的度数=初始度数-每秒旋转的度数×旋转时间，即可求出结论； （2）利用时间路程速度，可求出各节点的时间． ①当时，，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； ②分，，及四种情况考虑，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当秒时，； ； ． 故答案为：105，120，75； （2）解：（秒），（秒），（秒），（秒）． ①当时，，， ∴， 即或， 解得：或． 答：t的值为3或； ②当时，，， ∴，舍去； 当时，，， ∴， 即或， 解得：或； 当时，，， ∴，舍去； 当时，，， ∴，舍去． 综上所述，t的值为4或． 故答案为：4或． 34．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺的三个角度数分别是，三角尺的三个角度数分别是． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】本题考查几何图形中角的计算，一元一次方程的应用． （1）用减去的度数，求出的差就是的度数； （2）设，则，根据建立关于的方程，解方程求出的值后即可得到的度数． 【详解】（1）解：依题意得：， 则； （2）解： 设的度数为，则， ， ， 解得：， 的度数为． 35．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为______； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线的情况出现了几次？分别求出作为角平分线时t的值． 【答案】(1) (2) (3)3次；和 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决动角问题以及角平分线的定义和角的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可知，再根据角的和差求解即可； （2），则，再由角平分线的定义求出，再根据平分，表示出，建立方程求解即可； （3）分平分，即，平分时，即时，到达，即平分时，三种情况讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ； （2）解：设，则， 平分， ， ， 平分， ， ， ， 解得：，即； （3）解：3次，的值分别为和， 理由如下： ①当平分时，即， ∵， ∴． ． ②当平分时，即， 由（1）可知， ∴． ． ③当到达，即平分时， 由（1）可知，， ． 综上，作为角平分线的情况出现了3次，的值分别为和． 题型八 几何图形中角度计算问题（共5小题） 36．（24-25七年级上·山东·期末）如图，点、、在同一条直线上，平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．由角平分线，得出，代入数据即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ， 故选：B． 37．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想．分为两种情况，当在内部时，当在外部时，分别求出和度数，即可求出答案． 【详解】解：分为两种情况： 如图1，当在内部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 如图2，当在外部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 综上，的度数是或． 故选:C． 38．（24-25六年级上·上海金山·期末）如图，直线，相交于点O，射线平分，若，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，先求解，再进一步利用角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 39．（24-25七年级上·山东·期末）已知点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若（为锐角），请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，将绕点O顺时针旋转，使得恰好平分，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的运算，角平分线的定义； （1）由可得，平分，可求出，最后根据即可求解； （2）将（1）的过程中的的度数用代替，即可求出的度数； （3）由，可求出，平分，可求出，再由平分，得，列出方程求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴. （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴. （3）解：恰好平分，当在直线下方时，如图所示， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当在直线上方时，如图所示， 同理可得：. 综上：. 40．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）如图，将三个形状、大小完全一样的正方形的一个顶点重合放置，已知，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的计算． （1）利用正方形的角都是直角，根据即可求得； （2）由（1）知，，即可求得的度数，再根据求解即可． 【详解】（1）解：据图可知，三个正方形的顶点A重合放置， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∴ ． 题型九 实际问题中角度计算问题（共5小题） 41．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：C． 42．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一艘轮船行驶到处时，测得小岛的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，再根据平角的定义求解即可. 【详解】解：根据题意可得：， ∴； 故选：D.    【点睛】本题考查了方位角和角的和差计算，正确得出是解题的关键. 43．（24-25七年级上·重庆酉阳·期末）如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间． 【详解】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表： ， 即时针转了24°， ∵分针每转动1°，时针转动 ，由此知： 分针转动： ， 由每一大格对应30°知： ， 即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置： 由此确定此时是10点48分； 故答案为：A． 【点睛】此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键． 44．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 45．（24-25七年级上·广东湛江·期末）大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图1，为了研究方便，两手手心位置分别记为，两点，两脚脚跟位置分别记为，两点，若，，，在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作，，，绕点转动，其中为该平面内的一个定点．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图1，，，三点共线，且，则_____； (2)在第三节腿部运动中，如图2，洋洋发现，、、三点共线，却不在水平方向上．若，，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图3，乐乐发现，在运动前、、三点在同一水平线上，两腿左右等距张开，，平分，且，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止． ①运动停止时，______；（用小于平角的度数表示） ②在运动过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)①105；②当时，存在常数，使得为定值；当时，存在常数，使得为定值 【分析】本题考查了角的运算、一元一次方程的应用、整式加减中的无关型问题，熟练掌握以上知识点，结合图形发现角的和差关系是解题的关键． （1）由，，三点共线可得，再结合，即可求解； （2）由，设，则，结合图形可得，解方程求出的值，即可求出的大小； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论：在点、、共线前，和共线后2种状态，分别用表示出和的度数，再利用整式加减的运算即可求出常数和定值． 【详解】（1）解：，，三点共线， ， 又， ， 解得：． 故答案为：90． （2）解：， 设，则， ，，三点共线， ， ， 解得：， ， ． （3）解：①平分，， ， ， ，， ， 的旋转时间为（秒）， 运动停止时，旋转的角度为， 运动停止时，． 故答案为：105． ②当点、、三点共线时，（秒）， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，存在常数，使得为定值；当时，存在常数，使得为定值． 题型十 角平分线中角度计算（共5小题） 46．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用α，β含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意整体思想应用． （1）先根据，，求出，再根据角平分线定义得出，，从而求出，最后求出结果即可； （2）先根据，，求出，再根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：由条件可知 ， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ， ∴ ； （2）解：由条件可知 ， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 47．（24-25七年级上·广东广州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】 （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，则______． ②请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 【答案】（1）12；（2）不变化，；（3）①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，角的和差，角平分线的定义， 对于（1），先求出，再根据中点的定义得 ，，然后根据 得出答案； 对于 ，先求出，再根据中点的定义得，即可得出，然后根据得出答案； 对于（3）①，先求出 ，再根据角平分线的定义得 ，，即可得，然后根据得出答案； ②根据角平分线的定义得 ，即可得，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：，，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 故答案为：； 解：不变化， ，， ． ，分别是，的中点， ， ， ； ，， ． ，分别平分和， ，， ， ． 故答案为：； ，理由如下： ，分别平分和， ，， ． ， ． ， ， ， ， 即． 48．（24-25七年级上·山西运城·期末）综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，老师给出一个定义，如图1，在内部画出一条射线，得到三个角，分别是，，．若其中两个角之差等于，则称射线是的“和谐线”．（本题中提到的角都是大于且小于的角） 独立思考： （1）若，，请你判断射线是不是的和谐线，并说明理由． 初步探究： （2）如图2，当平分时，试通过计算探究射线是不是的和谐线． 问题解决： （3）若，射线是的和谐线，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）射线是的和谐线，理由见解析；（2）射线是的和谐线；（3），或 【分析】本题主要考查了角的和差倍分，解一元一次方程，解题的关键是掌握角的和差倍分． （1）根据角的和差求出各角的度数，然后根据新定义求解即可； （2）根据角平分线的定义表示出各角，最后根据新定义求解即可； （3）假设，则，分情况进行讨论，根据新定义列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）射线是的和谐线，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴射线是的和谐线； （2）射线是的和谐线，理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∴射线是的和谐线； （3）假设，则， 当时， ， 解得， 即； 当时， ， 解得， 即； 当时， ， 解得， 即； 当时， ， 解得， 即； 综上，的度数为，或． 49．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：图中和都有公共顶点O和一条公共边，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】：（1）如图②，和___________“共边角”（填“是”或“不是”）； （2）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角是___________； （3）若、分别平分“共边角”和，请以图①为例来说明与的数量关系； 【知识迁移】： （4）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：和都有公共端点B，所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为m和n，则这两条线段的中点之间的距离为___________； 【答案】（1）是；（2）或；（3）；（4）或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线、与线段中点有关的计算，熟练掌握角平分线和线段中点的计算是解题关键． （1）根据“共边角”的定义解答即可得； （2）分两种情况，画出图形（见解析），根据角的和差解答即可得； （3）先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据角的和差可得，据此建立等式化简即可得； （4）根据题意设和是两条“共端点线段”，且，点分别为的中点，则，，再分三种情况：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，③当点在线段的延长线上时，根据线段的和差计算即可得． 【详解】解：（1）∵和都有公共顶点和一条公共边， ∴和是“共边角”， 故答案为：是． （2）由题意，设和是“共边角”，且，， 如图，当在的内部时， 则它们非公共边的两边的夹角是； 如图，当在的左侧时， 则它们非公共边的两边的夹角是； 故答案为：或． （3）∵、分别平分“共边角”和， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （4）由题意，设和是两条“共端点线段”，且，点分别为的中点， ∴，． ①如图，当点在线段上时， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∴； ③如图，当点在线段的延长线上时， ∴； 综上，的长度为或， 即这两条线段的中点之间的距离为或， 故答案为：或． 50．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到=，求出的度数即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， =， ． 的度数为． （2）∵从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为， ∵ 与第一次重合的时间为：()； 故答案为：． ②，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：()． （3）旋转时，，， ， ， ． 则的度数为 故答案为：． 题型十一 角的旋转问题（共5小题） 51．（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的大小不会变化，理由见详解． 【分析】本题考查了角的和差计算、角平分线的定义，整体思想等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）根据题目所给条件，结合图形计算，即可得出角度； （2）根据角平分线的定义计算的度数； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系，计算出的度数，即可得出的大小不会变化． 【详解】（1）解： ， ； （2） 射线分别为的平分线， （3） 的大小不会变化，理由如下： 又平分，平分， ． 52．（24-25七年级上·河北唐山·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据相生角的定义求得，再根据计算即可； （2）先根据旋转的性质得，再分别求出和，再根据相生角的定义即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当边在的上方时，设；当边在的下方时，设；分别根据相生角的定义的角的和差列方程计算． 【详解】（1）解：∵是的相生角，， ∴， ∵， ∴； （2）解：不是，理由如下： ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴不是的相生角； （3）解：分以下两种情况讨论： 当边在的上方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 当边在的下方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 综上所述，旋转过程中是的相生角时旋转角的度数为或． 53．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 （1）如图①，已知，为的角平分线，则的度数为__________； 【探索归纳】 （2）如图①，，为的角平分线．猜想的度数（用含、的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，若．若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用，涉及射线的旋转问题，有一定难度，解题的关键是理清角的和差关系，注意分情况讨论，避免漏解． （1）先根据角的和差关系计算出，再由角平分线的定义求出的度数，再根据求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）分①当为，夹角的角平分线，即平分时，此时，②当为，夹角的角平分线，即平分时，，③当为，夹角的角平分线，即平分时，，④当为，夹角的角平分线，即平分时，，四种情况根据角平分线的定义建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设运动时间为t，反向延长到E，如图： 由题意知，旋转了，旋转了，旋转了， ，， ∴，，， ∴经过9秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合， ∴总运动时间为秒， ∴，， 当重合时，则，解得； 当重合时，则，解得； 当重合时，则，解得， ①当为，夹角的角平分线，即平分时，此时，如图： ∴， ； 解得（舍去）； ②当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴， ∴ 解得，符合题意； ③当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴， ∴， 解得，符合题意； ④当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，运动时间为秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 54．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在两条直线、的交点处，且，并使两条直角边落在直线、上，将三角形绕着点顺时针旋转． (1)如图②，若，则___________，___________； (2)若射线是的平分线，且． ①若三角形旋转到图③的位置，的度数为多少（用含的式子表示）？ ②三角形在旋转过程中，若，直接写出此时的值． 【答案】(1)64，180 (2)①，②或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键． （1）根据计算求解即可；根据，求出的度数，再由平角的定义求出，据此求解即可； （2）①先求，再利用平角的定义求解即可； ②分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，解答即可． 【详解】（1）解：∵,， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴ ②当旋转到左侧时，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当旋转到右侧时，如图所示： 设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上分析可知，的值为：或． 故答案为：或． 55．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数； (2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止． ①当时，求t的值； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_______． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】本题考查的是角平分线的定义及角的计算， （1）根据题意得，根据角的和差关系计算得出结论即可； （2）根据角平分线定义得出，再结合旋转速度求出时间即可； （3）①分两种情况：当相遇前或当相遇后，分别求出时间即可；②分两种情况：当在异侧时或当在同侧时，分别先求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：如图2，当秒时，， ， ， ； （2）解：平分，， ， 将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ， 解得：， 故答案为：； （3）①在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转， ， ， 分两种情况：当相遇前时， 解得：； 当相遇后时， 解得：； 综上所述，或； ②，理由如下： 分两种情况：当在异侧时，如图： 由题意得：， ， ； 当在同侧时，如图： 由题意得：， ， ； 综上所述，． 题型十二 角度的多结论问题（共5小题） 56．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题综合考查了角平分线和线段中点的相关计算．根据角的表示方法可得以O为顶点的角的个数，判断①；根据角平分线的定义，以及角之间的和差关系，进行求解，判断②；根据线段的中点，进行求解，判断③；根据，，得到，判断④． 【详解】解：以O为顶点的角有个，故①正确； 由角平分线的定义可得：，， ∵， ∴ ∴， ∴， ， ∴， 故②正确； 由中点定义可得：，， ∴， ∵, ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即，故④错误； 故选：C. 57．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）如图，已知直线，点、分别在直线、上，点是直线与外一点，连接、，点在直线上方且在内部，连接，连接并延长交的角平分线于点，交于点，下列说法中正确的有（    ）个 ①若，则 ②若、分别平分，，则与互补 ③若、分别平分，，则 ④若，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键，利用三角形的外角性质可判断①，利用平行线的性质及三角形的外角性质可判断②③④． 【详解】解：如图， ①∵，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵、分别平分，，平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∴，即与互补，故②正确； ∵，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的个数为个， 故选：． 58．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，由角平分线的定义得出， ， ，结合已知条件可得出，，即可判断①②，再由平角的定义和角度的和差即可得出，即可判断③，由角的等量代换可得出，由即可得出与不互补. 【详解】解：∵平分，平分，平分， ∴， ， ， ∵，， ∴，，， ∴，即，故①②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴与不互补，故④错误． 故答案为：①②③ 59．（24-25七年级上·山东济南·期末）已知是直角，平分，平分．以下结论正确的是：①如图（1），射线在的内部绕点O旋转，若，则；②图（1）中度数不随着射线的位置变化而变化，始终是；③如图（2），若射线是外一射线，其他条件不变，的度数不随着射线的位置变化而变化，始终是．以上选项正确的是 （只填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了角的平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生计算能力和推理能力，准确识图是解题关键．①根据已知可求，再根据角的平分线，求出即可；②根据角的平分线定义，可知；③根据角的平分线定义，可知，． 【详解】①∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故①正确； ②如图1，∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故②正确； ③如图2，∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故③正确； 故答案为：①②③． 60．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，点为直线上一点，，、分别是和的平分线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①③④ 【分析】根据角平分线的定义，垂直的定义，逐一判断即可得出结论． 本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，正确的识别图形是解题的关键． 【详解】①∵是的平分线 ∴，故①正确； ②∵ ∴ ∴，故②错误； ③∵、分别是和的平分线 ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确结论的序号有①③④． 故答案为：①③④． $ 专题06 动点与角度常考几何问题汇总 题型1 数轴上的动点问题 题型7 三角板中的角度计算问题 题型2 数轴上的折叠问题 题型8 几何图形中角度计算问题 题型3 绝对值的几何意义 题型9 实际问题中角度计算问题 题型4 绝对值中的最值问题 题型10 角平分线中角度计算问题 题型5 线段的中点问题 题型11 角的旋转问题 题型6 线段中的定值不变问题 题型12 角度的多结论问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数轴上的动点问题（共5小题） 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（23-24七年级上·辽宁丹东·期末）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动．若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（    ） ①小聪：若点P，Q相对而行，当时，点P和点Q重合； ②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当时，点P和点Q重合； ③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当时，点P，Q之间的距离为8； ④小俐：当时，点P，Q之间的距离可能为6 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 题型二 数轴上的折叠问题（共5小题） 6．（23-24七年级上·广东广州·期末）在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示3的点重合，表示数7的点与点A重合，则点A表示的数是（    ） A．5 B． C． D． 7．（23-24七年级上·江西上饶·期末）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 8．（24-25七年级上·湖北鄂州·期末）一条数轴，从数轴上面剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 9．（23-24七年级上·河北保定·期末）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： 已知点A，B，C表示的数分别为1，，，观察数轴． （1）B，C两点之间的距离为 ． （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是 ． （3）若数轴上P，Q两点间的距离为m（P在Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使得P点与Q点重合时，Q点代表的数是 （用含m，n的式子表示这个数）． 10．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 题型三 绝对值的几何意义（共5小题） 11．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，数轴的单位长度为1，点、、表示的数都是整数，若点和点表示的两个数的绝对值相等，则点表示的数是（    ） A． B． C．1 D．2 12．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）若，则满足条件的整数x的值有 个． 13．（24-25七年级上·河南信阳·期末）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，它们对应的数分别是a，b，c，其中，，如图所示． (1)若以B为原点，写出点A，B，C所对应的数： ， ， ；此时中点所表示的数是 ； (2)要使b的绝对值是1，则原点应该在什么位置？ (3)若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求． 14．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）阅读材料 材料：学习绝对值时，我们知道表示数a的点与原点的距离，即，也可以说表示数轴上数a与数0对应的两点之间的距离，同理，数轴上数a和数b两点间的距离可以表示为或． 例如数轴上表示和3的两点间的距离为或． 发现解题规律： 若，则或； 若，则或，得或； 若，则或，得或． 结合上面的发现解决下列问题． (1)数轴上表示和4两点之间的距离是_______． (2)若，则__________或_______． (3)如图所示，当点A、B所表示的数分别为和2时，是否存在一点P，使得点P到A、B两点的距离之和等于7？若存在，设点P表示的数为x，求x的值；若不存在，请说明理由． 15．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）特殊与一般是重要的数学方法，当我们遇到复杂问题时，可以通过特殊情况下的分析尝试，积累经验再进行一般化的研究． (1)：若，则的值确定吗？若确定，求出确定的值；若不确定，说明理由； 特例分析：当时，__________；当时，__________； 一般化研究：若，则__________； (2)：若，，求的值； (3)：若，且，，，……，，这2024个数中有个正数，则的值为__________（用含的式子表示）． 题型四 绝对值中的最值问题（共5小题） 16．（24-25七年级上·广西柳州·期末）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，最小； ②找出满足的的所有值是_________． 17．（24-25七年级上·四川达州·期末）阅读材料： 数轴上点A，B分别表示有理数a，b，表示A，B两点之间的距离，则．如：4与两数在数轴上对应的两点之间的距离为；又如：可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 解决问题： （1）若，则______，若，则______． （2）表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得： ①； ②． 猜想： （3）对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 18．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是多少？数轴上表示3和的两点之间的距离是多少？ 【独立思考】： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为？ （3）试用数轴探究：当时，求m的值？ 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？（注意：请画出数轴结合数轴来作答） 19．（24-25七年级上·江苏南通·期末）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 20．（23-24七年级上·四川南充·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 题型五 线段的中点问题（共5小题） 21．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 22．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 23．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为，，个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为 秒． 24．（2025七年级上·四川眉山·期末）如图，点E是线段的中点，C是上一点，且，． (1)求的长； (2)若F为的中点，求长． 25．（24-25七年级上·全国·期末）如图，一直线上有线段，一线段在该直线上运动，且，a，b满足（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧） (1)当点D与点B重合时，求的长； (2)，N分别是线段，的中点，当时，求的长． (3)当线段运动到点B，D间的距离为1时，若有一点P在点D的右侧且位于线段的延长线上，求的值． 题型六 线段中的定值不变问题（共5小题） 26．（24-25七年级上·北京海淀·期末）已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 27．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变． 所有结论正确的序号是 ． 28．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 29．（24-25七年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，线段，动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点为的中点，设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示的长______． (2)当点在射线上运动时，出发多少秒后？ (3)当点在线段的延长线上运动时，点为的中点，有下列两个结论：①的长度不变；②的值不变．请判断哪个结论是正确的，并说明理由． 30．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为．    【问题倩境】 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为12，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【基础应用】 （1）完成填空： ①两点间的距离______； ②点是数轴上的一点，它表示的数为，若，则______； 【综合运用】 （2）求当为何值时，； 【拓展提升】 （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．    题型七 三角板中的角度计算问题（共5小题） 31．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图1，已知，点为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 °，的度数为 °； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在的内部时，求的度数． (4)如图4，三角板绕点O旋转到如图位置，请直接写出与的数量关系． 32．（24-25七年级上·广东江门·期末）【操作拼图】已知一副直角三角板按图中的方式拼接在一起，边OB，OD与直线MN重合，其中，． 【构建联系】 （1）求图1中的度数； （2）如图2，当直角三角板固定不动时，若将直角三角板绕着点O按顺时针方向旋转一个角度，当直角三角板的斜边平分时，求旋转角的度数； 【拓展探究】 （3）如图3，当直角三角板固定不动时，若将直角三角板绕点O按逆时针方向每秒旋转，当边第一次落在射线上时停止旋转，是否存在一个时间t（秒）使？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由． 33．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当秒时，___________，___________，___________； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①射线和射线重合前，当时，求出相应的的值； ②整个旋转过程中，当满足时，直接写出相应的的值___________． 34．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺的三个角度数分别是，三角尺的三个角度数分别是． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 35．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为______； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线的情况出现了几次？分别求出作为角平分线时t的值． 题型八 几何图形中角度计算问题（共5小题） 36．（24-25七年级上·山东·期末）如图，点、、在同一条直线上，平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 37．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 38．（24-25六年级上·上海金山·期末）如图，直线，相交于点O，射线平分，若，则的度数为 ． 39．（24-25七年级上·山东·期末）已知点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若（为锐角），请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，将绕点O顺时针旋转，使得恰好平分，求的度数． 40．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）如图，将三个形状、大小完全一样的正方形的一个顶点重合放置，已知，． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型九 实际问题中角度计算问题（共5小题） 41．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 42．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一艘轮船行驶到处时，测得小岛的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 43．（24-25七年级上·重庆酉阳·期末）如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 44．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 45．（24-25七年级上·广东湛江·期末）大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图1，为了研究方便，两手手心位置分别记为，两点，两脚脚跟位置分别记为，两点，若，，，在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作，，，绕点转动，其中为该平面内的一个定点．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图1，，，三点共线，且，则_____； (2)在第三节腿部运动中，如图2，洋洋发现，、、三点共线，却不在水平方向上．若，，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图3，乐乐发现，在运动前、、三点在同一水平线上，两腿左右等距张开，，平分，且，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止． ①运动停止时，______；（用小于平角的度数表示） ②在运动过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数及该定值；若不存在，请说明理由． 题型十 角平分线中角度计算（共5小题） 46．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用α，β含的式子表示） 47．（24-25七年级上·广东广州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】 （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，则______． ②请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 48．（24-25七年级上·山西运城·期末）综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，老师给出一个定义，如图1，在内部画出一条射线，得到三个角，分别是，，．若其中两个角之差等于，则称射线是的“和谐线”．（本题中提到的角都是大于且小于的角） 独立思考： （1）若，，请你判断射线是不是的和谐线，并说明理由． 初步探究： （2）如图2，当平分时，试通过计算探究射线是不是的和谐线． 问题解决： （3）若，射线是的和谐线，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 49．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：图中和都有公共顶点O和一条公共边，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】：（1）如图②，和___________“共边角”（填“是”或“不是”）； （2）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角是___________； （3）若、分别平分“共边角”和，请以图①为例来说明与的数量关系； 【知识迁移】： （4）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：和都有公共端点B，所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为m和n，则这两条线段的中点之间的距离为___________； 50．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 题型十一 角的旋转问题（共5小题） 51．（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 52．（24-25七年级上·河北唐山·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 53．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 （1）如图①，已知，为的角平分线，则的度数为__________； 【探索归纳】 （2）如图①，，为的角平分线．猜想的度数（用含、的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，若．若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 54．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在两条直线、的交点处，且，并使两条直角边落在直线、上，将三角形绕着点顺时针旋转． (1)如图②，若，则___________，___________； (2)若射线是的平分线，且． ①若三角形旋转到图③的位置，的度数为多少（用含的式子表示）？ ②三角形在旋转过程中，若，直接写出此时的值． 55．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数； (2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止． ①当时，求t的值； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_______． 题型十二 角度的多结论问题（共5小题） 56．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 57．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）如图，已知直线，点、分别在直线、上，点是直线与外一点，连接、，点在直线上方且在内部，连接，连接并延长交的角平分线于点，交于点，下列说法中正确的有（    ）个 ①若，则 ②若、分别平分，，则与互补 ③若、分别平分，，则 ④若，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 58．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ． 59．（24-25七年级上·山东济南·期末）已知是直角，平分，平分．以下结论正确的是：①如图（1），射线在的内部绕点O旋转，若，则；②图（1）中度数不随着射线的位置变化而变化，始终是；③如图（2），若射线是外一射线，其他条件不变，的度数不随着射线的位置变化而变化，始终是．以上选项正确的是 （只填写序号）． 60．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，点为直线上一点，，、分别是和的平分线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $