专题05 几何图形初步全章28大常考题型（期末复习专项训练）六年级数学下学期新教材人教版五四制

**基本信息** 以立体到平面的认知逻辑构建几何入门体系，通过28类题型分层突破空间观念与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体图形认知|题型1-9（27题）|含三视图、展开图、截几何体等|从几何体构成到空间想象，渗透欧拉公式等数学模型| |平面图形基础|题型10-14（15题）|直线射线线段辨析与计算|建立从静态到动态（动点）的线段关系认知| |角综合应用|题型17-24（24题）|角平分线、三角板旋转等|通过操作情境培养角的度量与推理能力| |几何综合问题|题型25-28（16题）|新定义、折叠等综合题|整合点线面体知识，发展数学抽象与建模意识|

专题05 几何图形初步 题型1 常见的几何体 题型15 线段之间的数量关系 题型2 组合几何体的构成 题型16 与线段有关的动点问题 题型3 几何体中的点、棱、面 题型17 角的基本概念 题型4 三视图 题型18 角的四则运算 题型5 几何体展开图问题 题型19 方向角相关的计算 题型6 由展开图计算几何体的表面积与体积 题型20 几何图形中的角度计算 题型7 点、线、面、体四者之间的关系 题型21 三角板中的角度计算 题型8 平面图形旋转后所得的立体图形 题型22 实际问题中的角度计算 题型9 截一个几何体 题型23 角平分线的角度计算 题型10 直线、射线、线段的联系与区别 题型24 余角和补角相关的计算 题型11 直线相交问题 题型25 点、棱、面之间关系综合 题型12 尺规作线段 题型26 直线交点问题综合 题型13 线段的和与差 题型27 线段中动点、定值、新定义等问题 题型14 线段中点的有关计算 题型28 角度中动角、定角、角关系、折叠等问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 常见的几何体（共3小题） 1．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）下列各组图形中，都是立体图形的是（　　） A．点、直线、四边形、长方体 B．三角形、长方形、正方体、圆锥 C．线段、相交线、长方体 D．长方体、正方体、圆锥、球 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）下列图形中，是柱体的有 ．（填序号） 3．（24-25七年级上·福建漳州·期末）谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“度辞”或“隐语”．谜语：“正看三条边；侧看三条边；上看圆圈圈，就是没直边．” ．（打一几何体） 题型二 组合几何体的构成（共3小题） 4．（24-25七年级上·广西贵港·期末）下面四个立体图形中，只由一个面就能围成的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示，①~④是由相同的小立方块搭成的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小立方块搭成的长方体，则应选择 ．（填序号即可） 6．（24-25七年级上·山东青岛·期末）观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 题型三 几何体中的点、棱、面（共3小题） 7．（25-26七年级上·陕西·期末）七棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（    ） A．、、 B．、21、 C．、、 D．21、、 8．（24-25七年级下·北京昌平·期末）欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为 ； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是 ． 9．（24-25七年级上·浙江台州·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着有趣的关系（称欧拉公式）．实际上，足球表面的顶点数（V）、皮块数（F）、棱数（E）也满足欧拉公式． (1)图1的正方体面数，顶点数_______，棱数_______； (2)图2的足球表面有60个顶点，每个顶点处分别有3条棱，2个六边形，1个五边形，小明用算式“”得到棱数为90，用算式“”得到六边形有20块，请用两种不同方法计算该足球表面的五边形块数； (3)图3的足球表面由正方形、六边形、八边形拼成，每个顶点处分别有3条棱，1个正方形，1个六边形，1个八边形．求该足球表面的八边形块数． 题型四 三视图（共3小题） 10．（25-26七年级上·广东深圳·期末）一些完全相同的小正方体搭成一个几何体，从正面和左面看到的平面图形都如图所示，小正方体的块数最少为（    ）块． A．5 B．6 C．7 D．8 11．（24-25六年级上·全国·期末）用若干个大小相同的小正方体搭一个几何体，从左面看和从上面看得到的形状图如图所示，则搭一个这样的几何体最少需要 个小正方体 ，最多需要 个小正方体． 12．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)请画出这个几何体从三个方向看的形状图； (2)如果把这个几何体的表面（不含底面）喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则一共需______克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 题型五 几何体展开图问题（共3小题） 13．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列图形经过折叠可以围成棱柱的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数字6重合的数字是 ． 15．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中已经有五个方格涂成阴影，请从①②③④个方格中选一个涂成阴影，使得涂成阴影的部分组成正方体的展开图，则应该涂成阴影的方格是 ．    题型六 由展开图计算几何体的表面积与体积（共3小题） 16．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图 (1)该几何体的名称是 ，其底面半径为 ． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 17．（24-25七年级上·广东佛山·期末）综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个长方体纸盒（无盖，有盖均可），仿照图2，图3的绘图方式，画出2种不同的裁剪设计图． 18．（24-25七年级下·福建厦门·期末）小安假期到某厂参加社会实践，发现该厂有一批长为，宽为的白纸板，可做有盖包装盒．工厂用一块白纸板制作一个包装盒，常见的一种设计方案：如图所示，在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），四边形为盒子底盖，再截取作为顶盖，然后拼成一个长方体包装盒（不考虑连接的重叠部分）． (1)当时，求这种包装盒的容积； (2)工厂需要将一款包装盒竖着放进大箱子里，大箱子的长为，宽为，高为．为了方便大箱子的使用，在大箱子中叠放4层或5层的包装盒，并且要求按同一方向、无缝隙的装满整个大箱子（不考虑包装盒的厚度）．请你设计这款包装盒，若符合要求，计算包装盒的长、宽、高；若不符合要求，说明理由． 题型七 点、线、面、体四者之间的关系（共3小题） 19．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（   ）    A．   B．   C．   D．   20．如图所示的几何体由 个面围成，面与面相交成 条线，其中直线有 条，曲线有 条． 21．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，长方形的长为8，宽为4，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱． (1)这一现象用数学知识可以解释为 ； (2)若用一个平面沿水平方向去截圆柱，所得的截面形状是 ； (3)请通过计算说明，这两个圆柱的体积有什么关系？ 题型八 平面图形旋转后所得的立体图形（共3小题） 22．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，是一个直角三角形，、、的长度分别为、、，分别以三条边所在的直线为轴旋转一周得到三个不同的立体图形，对这三个立体图形的体积大小说法正确的是（   ）． A．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大 B．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大 C．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大 D．三个不同的立体图形的体积一样大 23．（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图，将直角三角形（为直角）的直角边所在直线为轴旋转一周，求所得到立体图形的底面积为 ．（π取3.14） 24．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是一张长方形纸片，的长为，的长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是 ；（填名称） (2)若将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 题型九 截一个几何体（共3小题） 25．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）用一个平面去截六棱柱，截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．四边形 D．六边形 26．（24-25七年级上·江西景德镇·期末）如图所示，用经过A，B，C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为x，顶点数为y，则 ． 27．（24-25七年级上·广东深圳·期末）小深周末带妹妹去坪由少儿图书馆，在那里发现一个有趣的玩具，叫做索玛立方体，把索玛立方体拆分，可以拆成7个立体图形，如图所示． (1)如果用一个平面去截正方体，则截面有可能是________．（回答一种即可） (2)小深发现6号方块从正面看和从左侧看的图形都与7号是一样的，请在下图画出其从正面看和从左侧看的图形． (3)你能帮忙算出1号方块涂色的面积吗？（每个小正方体棱长为1厘米） 题型十 直线、射线、线段的联系与区别（共3小题） 28．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 29．（24-25六年级下·山东泰安·期末）下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（24-25七年级上·河南开封·期末）直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，下列语句：①点A在直线BC上；②直线BC经过点B；③直线AC，BC交于点C；④点C在直线AB外；⑤图中共有12条射线．以上表述正确的有 ．（只填写序号） 题型十一 直线相交问题（共3小题） 31．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若四条不重合的直线在平面内交点的个数为a，则a的最大取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 32．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有 个交点． 33．（24-25七年级上·江西赣州·期末）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 题型十二 尺规作线段（共3小题） 34．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知平面上不共线的三点A，B，C，请按如下要求尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)画直线，射线，线段； (2)在射线上作一点D，使得； (3)比较大小： ． 35．（24-25七年级上·山西临汾·期末）尺规作图：已知，如图线段a和线段b， (1)画出线段（不写作法只保留作图痕迹） (2)延长线段到点 D，使，则线段 ． 36．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，如图线段、，按要求利用直尺和圆规作图： (1)作线段（保留作图痕迹） (2)已知，，、、三点在同一直线上，若为中点，为中点，请画出图形并求出的长度． 题型十三 线段的和与差（共3小题） 37．（24-25七年级上·河北张家口·期末）已知线段，点在的延长线上，且，则线段等于（   ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·全国·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 39．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 题型十四 线段中点的有关计算（共3小题） 40．（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）如图，为线段的中点，点在线段上．若，，求的长． 41．如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为______； (2)的长度为______； (3)若在直线上，且，求的长度． 42．（24-25七年级上·重庆长寿·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，点表示的数为．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)线段的长为 单位长度，点P运动t秒后表示的数为 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？ (3)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 题型十五 线段之间的数量关系（共3小题） 43．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 44．（24-25七年级上·广东汕头·期末）将一根绳子对折成一条线段，点为线段上一点，，在处将绳子剪断，得到的三根短绳中最长的一根长度为，则绳子原长为 ． 45．（24-25七年级上·广西梧州·期末）已知，满足，数轴上点对应的数为，点对应的数为，线段在数轴上移动，点在点右侧，． (1)填空：_____，_____； (2)如图1，当点移动到的中点时，点对应的数是_____； (3)如图2，若线段在点左侧，为中点，为中点，猜想与的数量关系并说明理由． 题型十六 与线段有关的动点问题（共3小题） 46．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 47．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 48．（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 题型十七 角的基本概念（共3小题） 49．（24-25七年级下·山东聊城·期末）下列说法正确的是（   ） A．两条射线组成的图形叫作角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫作角 C．角可以看作一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形 D．角可以看作一条线段绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形 50．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 51．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出 个锐角． 题型十八 角的四则运算（共3小题） 52．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）计算： （1）； （2）． 53．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）已知．求． 54．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）； (2)（结果用度表示）． 题型十九 方向角相关的计算（共3小题） 55．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，小杰家位于点处，小杰从家向北偏东方向行走500米到达学校处，从学校向正东前进200米到达少年宫处（没有道路），已知少年宫在小杰家东偏北方向． (1)小杰家在少年宫的什么方向？ (2)小杰从少年宫怎样原路返回到家呢？ 56．（24-25六年级下·山东威海·期末）如图，货轮航行在处发现灯塔在南偏东方向(即灯塔的方位角，记为射线)，同时发现客轮和海岛分别在北偏东方向、西北(即北偏西)方向． (1)在图中分别画出表示客轮和海岛方向的射线，；(要在图中标记度数，不写作法) (2)货轮在处发现一艘渔船，已知的补角是余角的倍，通过计算写出渔船的方位角． 57．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，一艘渔船从海上点E处开始绕点O航行，已知点E在点O的北偏东方向上，航行到点C时，测得． (1)求的度数； (2)直接写出渔船到达的点C在点O的什么方向？ 题型二十 几何图形中的角度计算（共3小题） 58．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如图，在内部转动，，分别平分和． (1)若，，求的度数； (2)试猜想，和会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 59．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段在同一平面内，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）条件下，若也平分，求的度数； (3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直． 60．（24-25七年级上·福建漳州·期末）点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 题型二十一 三角板中的角度计算（共3小题） 61．（24-25七年级上·山西临汾·期末）将一副三角尺叠放在一起． (1)如图（1），若，求的度数 (2)如图（2），若，求的度数． 62．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 63．（24-25七年级上·河南商丘·期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 题型二十二 实际问题中的角度计算（共3小题） 64．（24-25七年级·江苏泰州·期末）七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 65．（24-25七年级上·湖南·期末）如图1所示，．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转1°．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转5°，当其与射线或射线相遇时，保持运动速度不变但运动方向发生改变，如此往返．当时，运动停止．设运动时间为秒． (1)当时，求与的度数； (2)如图2，当射线还未与射线相遇，且其为的平分线时，求的值； (3)试求出整个运动过程中，射线与射线一共相遇了几次？ 66．（24-25七年级上·海南三亚·期末）如图1，三亚市某学校大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则______； (2)如图3，、、三点共线，且，平分，求，的大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为______； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ①运动停止时， ； ②请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系 题型二十三 角平分线的角度计算（共3小题） 67．（25-26七年级上·全国·期末）如图，是直线上一点，，平分，． (1)求的度数； (2)是否平分?并说明理由． 68．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知射线分别是和的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，直接写出的度数． 69．（24-25七年级上·山东临沂·期末）若同一平面内有三条以点O为公共端点的射线，且满足时，则称是的“关联线”． (1)如图①，已知，射线是的反向延长线，是的三等分线，则射线______是的“关联线”，并说明理由； (2)如图②，已知．若是的“关联线”，求的度数． 题型二十四 余角和补角相关的计算（共3小题） 70．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 71．（25-26七年级上·河北唐山·期末）下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为； ②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 72．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）已知，在内部，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，请说明：； (3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 题型二十五 点、棱、面之间关系综合（共4小题） 73．（24-25七年级上·广东清远·期末）阅读材料题：由平的面围成的立体图形又叫做多面体，有几个面，就叫做几面体．三棱锥有四个面，所以三棱锥又叫四面体；正方体又叫做六面体；有五条侧棱的棱柱又叫做七面体． (1)探索：如果把一个多面体的顶点数记为V，棱数记为E，面数记为F，填表： 多面体 V F E 四面体 4 6 长方体 6 2 五棱柱 10 7 15 2 (2)猜想：由上面的探究你能得到一个什么结论？ (3)应用（2）的结果对所有的多面体都成立，伟大的数学家欧拉证明了这个关系式，这个关系式叫做欧拉公式．根据欧拉公式，想一想会不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点？ 74．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）【阅读】图1是小茗同学在课本上看到的一个有趣的几何体．经过查阅资料，得知该几何体 的名称叫做三棱台、如图2，所有的棱台都可以看作是某个棱锥被平行于底面的平面截去一 个小的棱锥后得到的几何体． 【探究】 (1)在图3中，用一个平行于四棱锥底面的平面去截这个四棱锥，请画出截得的四棱台的平面直观图． （注意看得见的棱画成实线，看不见的棱画成虚线） (2)观察三棱台、四棱台、五棱台的面数（F）、棱数（E）和顶点数（V），分别填入下表中： 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） … 棱数（E） … 顶点数（V） … ①小茗通过观察，猜想，验证，发现所有的棱台都满足等式：， 你认为她 的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例． ②请你写一条关于三个量的等式，使其满足棱锥，但是不满足棱台，并说明理由． 75．（24-25七年级上·全国·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是 ； (2)一个多面体的面数比顶点数小，且有条棱，则这个多面体的面数是 ； (3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有条棱，共有条棱．若该多面体外表面三角形的个数是八边形的个数的倍多，求该多面体外表面三角形的个数． 76．（24-25七年级上·福建泉州·期末）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式．请你观察图1中几种常见的多面体模型，解答下列问题．    正多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 a 4 6 正方体 8 b 12 正八面体 6 8 c 正十二面体 20 12 30 【公式发现】 （1）通过观察上面的多面体模型，写出a，b，c的值，并用等式表示顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系； 【公式应用】 （2）如图2，一个足球由32块黑白皮子缝合而成，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形．我们可以近似把足球看成一个多面体，若正五边形有m个，求这个多面体的棱数（E）（用两个含m的不同代数式表示）． 题型二十六 直线交点问题综合（共4小题） 77．（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 78．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点． (1)请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数； (2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）； (3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？ (4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 79．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系：　 　； (2)如图1，画直线PA； (3)如图1，画射线PB； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 　 　个交点． 80．（24-25七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 题型二十七 线段中动点、定值、新定义等问题（共4小题） 81．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在数轴上，数、所对应的点分别为、，点表示原点，且、满足，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，点从点出发，沿数轴向左运动，点的速度是点速度的，、两点同时出发，相遇后即停止运动． (1)点表示的数是，点表示的数是______； (2)点是线段的一个三等分点，点是的中点，设、两点运动的时间为（）秒，用含的式子表示线段的长，不用写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，在、开始运动时，另一点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当时，求的值，并直接写出此时线段的长度． 82．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知线段，线段，且、满足多项式是关于的二次三项式．已知线段，在数轴上运动，为原点，点在点的左侧，点在点的左侧，运动过程中线段两端点重合记该线段长为． (1)如图1，点与原点重合时，且点为线段的三等分点(点靠近点)，则在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为_________． (2)在(1)的条件下，在数轴正半轴上是否存在点，使得？若存在，求出点表示的数，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点与原点不重合时，线段以每秒个单位的速度沿数轴向正方向运动，同时线段以每秒个单位的速度沿数轴向正方向运动，点始终是线段的中点，点始终是线段的中点，请判断线段的长是否为定值，并说明理由． 83．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 84．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 题型二十八 角度中动角、定角、角关系、折叠等问题（共4小题） 85．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 86．（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 87．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 88．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角）． 【知识储备】 我们在第四章《基本平面图形》中学习了角的平分线，用折纸的方法作角平分线． 如图1，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【问题情境】 动手折叠一张正方形纸片，点E在边上，点F，G分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图2，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是______； （2）如图3，若点落在上，点落在上，则的度数是______； 【问题再探】 （3）若，则的度数是______；（用含的代数式表示） 【问题深探】 （4）若连接，，，且射线，射线，射线都与正方形的边相交．射线，射线，射线，这三条射线中的一条射线是其余两条射线所组成角的角平分线．请画出图形并求出的度数（用含的代数式表示）． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题05 几何图形初步 题型1 常见的几何体 题型15 线段之间的数量关系 题型2 组合几何体的构成 题型16 与线段有关的动点问题（难点） 题型3 几何体中的点、棱、面 题型17 角的基本概念 题型4 三视图（重点） 题型18 角的四则运算（重点） 题型5 几何体展开图问题（常考点） 题型19 方向角相关的计算 题型6 由展开图计算几何体的表面积与体积（重点） 题型20 几何图形中的角度计算（重点） 题型7 点、线、面、体四者之间的关系 题型21 三角板中的角度计算（难点） 题型8 平面图形旋转后所得的立体图形 题型22 实际问题中的角度计算（重点） 题型9 截一个几何体 题型23 角平分线的角度计算（难点） 题型10 直线、射线、线段的联系与区别 题型24 余角和补角相关的计算 题型11 直线相交问题 题型25 点、棱、面之间关系综合（难点） 题型12 尺规作线段（重点） 题型26 直线交点问题综合（难点） 题型13 线段的和与差 题型27 线段中动点、定值、新定义等问题（难点） 题型14 线段中点的有关计算（重点） 题型28 角度中动角、定角、角关系、折叠等问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 常见的几何体（共3小题） 1．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）下列各组图形中，都是立体图形的是（　　） A．点、直线、四边形、长方体 B．三角形、长方形、正方体、圆锥 C．线段、相交线、长方体 D．长方体、正方体、圆锥、球 【答案】D 【分析】此题考查的是立体图形的识别问题，关键在于区分立体图形与平面图形．由平面图形与立体图形的定义可知，平面图形是一个平面，而立体图形是由几个面围起来的，根据立体图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、只有长方体是立体图形，故选项不符合题意； B、只有正方体、圆锥是立体图形，故选项不符合题意； C、只有长方体是立体图形，故选项不符合题意； D、长方体、正方体、圆锥、球都是立体图形，故选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）下列图形中，是柱体的有 ．（填序号） 【答案】②③⑥ 【分析】本题考查了柱体的定义，属于基础题，掌握基本的概念是解题的关键． 根据柱体的分类：棱柱和圆柱，结合图形进行选择即可． 【详解】下列图形中，是柱体的有②长方体③圆柱⑥三棱柱． 故答案为：②③⑥． 3．（24-25七年级上·福建漳州·期末）谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“度辞”或“隐语”．谜语：“正看三条边；侧看三条边；上看圆圈圈，就是没直边．” ．（打一几何体） 【答案】圆锥 【分析】本题主要考查了生活中简单的几何体，解题的关键是熟练掌握圆锥的特点，根据圆锥特点即可解答． 【详解】解：这个几何体为圆锥． 故答案为：圆锥． 题型二 组合几何体的构成（共3小题） 4．（24-25七年级上·广西贵港·期末）下面四个立体图形中，只由一个面就能围成的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据各立体图形的构成逐项判断即可. 【详解】解：A、六棱柱是由8个面构成的，此项不符合题意； B、四面体是由4个面构成的，此项不符合题意； C、球是由一个曲面组成，此项符题意 D、圆柱体是由两个底面和一个侧面组成， 故选：C． 【点睛】本题考查了立体图形的特点，掌握常见几何体的形状以及构成是解题关键. 5．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示，①~④是由相同的小立方块搭成的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小立方块搭成的长方体，则应选择 ．（填序号即可） 【答案】①④/④① 【分析】根据组合后的几何体是长方体且有6个小正方体构成直接判断即可． 【详解】由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小立方块搭成，所以，应选择①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了立体图形的拼搭，根据题意发挥空间想象能力是解题的关键． 6．（24-25七年级上·山东青岛·期末）观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 【答案】 27 【分析】（1）根据规律可以得第④个图中，看不见的小立方体有27个． （2）由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数． 【详解】解：∵当第1个图中，1=1，0=（1-1）3=03； 当第2个图中，8=23，1=13=（2-1）3； 当第3个图中，27=33，8=（3-1）3=23； 当第4个图中，64=43，27=（4-1）3=33； 当第5个图中，125=53，64=（5-1）3=43； ∴当第n个图中，看不见的小立方体的个数为（n-1）3个． 故答案为：（1）27；（2）（n-1）3． 【点睛】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答． 题型三 几何体中的点、棱、面（共3小题） 7．（25-26七年级上·陕西·期末）七棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（    ） A．、、 B．、21、 C．、、 D．21、、 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱的定义．根据棱柱的性质，棱柱的顶点数为，棱数为，面数为，据此即可求解． 【详解】解：∵棱柱的顶点数为，棱数为，面数为， 故七棱柱的顶点数、棱数、面数． 故选：B． 8．（24-25七年级下·北京昌平·期末）欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为 ； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查多面体，总结归纳出多面体的顶点，面，棱的关系是解题的关键． （1）根据图形直接数出顶点个数即可； （2）根据观察表格数据可得，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，即可． 【详解】解：（1）由图或得八面体共有6个顶点， ∴； 故答案为：6． （2）三棱锥中，； 长方体中，； 五棱柱中，； 正八面体中，； ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式为： ． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·浙江台州·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着有趣的关系（称欧拉公式）．实际上，足球表面的顶点数（V）、皮块数（F）、棱数（E）也满足欧拉公式． (1)图1的正方体面数，顶点数_______，棱数_______； (2)图2的足球表面有60个顶点，每个顶点处分别有3条棱，2个六边形，1个五边形，小明用算式“”得到棱数为90，用算式“”得到六边形有20块，请用两种不同方法计算该足球表面的五边形块数； (3)图3的足球表面由正方形、六边形、八边形拼成，每个顶点处分别有3条棱，1个正方形，1个六边形，1个八边形．求该足球表面的八边形块数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查几何体的点、棱、面，有理数的四则运算，一元一次方程的应用等知识，理解多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系并灵活运用． （1）根据正方形的顶点数、面数和棱数直接求解即可； （2）法一：根据多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系求得足球的总块数，进而可求解； 法二：根据一个顶点处有1个五边形求解即可； （3）设该足球表面共有个顶点，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：图1的正方体面数，顶点数，棱数， 故答案为：8，12； （2）解：法1： ， 五边形块数六边形块数（块）； 法2：（块）； （3）解：设该足球表面共有个顶点． ， 解得， ∴八边形块数：． 题型四 三视图（共3小题） 10．（25-26七年级上·广东深圳·期末）一些完全相同的小正方体搭成一个几何体，从正面和左面看到的平面图形都如图所示，小正方体的块数最少为（    ）块． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了已知从不同方向看几何体，求最多或最少的小立方块的个数，旨在考查学生的空间想象能力；根据正面和左面看到的平面图形，可知从“正面”看，最上层只能有 1 个正方体，中下两层各需能看到 2 个正方体；从“左面”看也有同样的层数与个数要求（上 1、下两层各 2），从而得出小正方体最少的块数． 【详解】解：从“正面”看，最上层只能有 1 个正方体，中下两层各需能看到 2 个正方体；从“左面”看也有同样的层数与个数要求（上 1、下两层各 2）； 为同时满足这两个要求，每一层所需的小正方体数分别为： 第三层（顶层）1 个；第二层 2 个； 第一层 2 个． 这样一共摆 1 + 2 + 2 = 5 个小正方体即可满足条件，且不可能再少； 故选：A． 11．（24-25六年级上·全国·期末）用若干个大小相同的小正方体搭一个几何体，从左面看和从上面看得到的形状图如图所示，则搭一个这样的几何体最少需要 个小正方体 ，最多需要 个小正方体． 【答案】 12 20 【分析】本题考查几何体的三视图画法．在从上面看到的图形上结合从左面看到的图形填上对应的数字，再判断最多和最少即可． 【详解】解：如图所示： 由图可得，搭一个这样的几何体从上面看到的图形第一层最少数量，最多数量；第二层最少数量，最多数量；第三层最少数量，最多数量； ∴最少需要需要个小正方体 ，最多需要个小正方体． 故答案为：12；20． 12．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)请画出这个几何体从三个方向看的形状图； (2)如果把这个几何体的表面（不含底面）喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则一共需______克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)256 (3)4 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体、几何体表面积计算以及添加小正方体的问题，熟练掌握几何体表面积的计算方法是解题的关键． （1）需根据几何体的形状，分别从正面、左面、上面观察，确定每行每列小正方形的个数来绘制图形． （2）先计算出几何体表面（不含底面）的正方形面的个数，再结合每个正方形的面积求出表面积，最后根据每平方厘米用漆量求出总用漆量． （3）在保持从上面看和从左面看到的图形不变的前提下，分析每个位置可添加的小正方体个数，进而求出最多可添加的总数． 【详解】（1）解：形状图如图所示； （2）解：这个几何体的表面有38个正方形，去掉底面上的6个，32个面需要喷上红色的漆． ∴表面积为． （克）， ∴共需256克漆． 故答案为：256． （3）解：如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可以再添加个． 故答案为：4． 题型五 几何体展开图问题（共3小题） 13．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列图形经过折叠可以围成棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了展开图折叠成几何体，根据棱柱的特点，进行判断即可． 【详解】解：A、不能围成棱柱，底面少一个，故此选项不符合题意； B、不能围成棱柱，底面应该在两侧，故此选项不符合题意； C、能围成五棱柱，侧面有5个，底面是五边形，故此选项符合题意； D、不能围成棱柱，侧面有5个，底面应该是两个五边形，故此选项不符合题意； 故选：C． 14．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数字6重合的数字是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了正方体的展开图，熟练掌握空间想象能力是解题的关键． 一个点在展开图中“马走日”一次的点是正方体中相对的两个点，再“马走日”一次，就与原数字重合，由此即可求解． 【详解】解：由正方体展开图的特点可得，一个点在展开图中“马走日”一次的点是正方体中相对的两个点， 再“马走日”一次，就与原数字重合． 所以数字6“马走日”一次到数字9，数字9“马走日”一次到2， 所以与数字6重合的是数字2． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中已经有五个方格涂成阴影，请从①②③④个方格中选一个涂成阴影，使得涂成阴影的部分组成正方体的展开图，则应该涂成阴影的方格是 ．    【答案】① 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，解题的关键是熟练掌握正方体的展开图的特点．根据正方体的展开图特点进行求解即可． 【详解】解：若涂成阴影的方格是①，可以折叠成正方体，符合正方体表面展开图的“型”的特征，因此涂方格①可以； 若涂成阴影的方格是②，不能折叠成正方体，正方体表面展开图的“田凹应弃之”，因此涂方格②不可以； 若涂成阴影的方格是③，不能折叠成正方体，正方体表面展开图的“田凹应弃之”，因此涂方格③不可以； 若涂成阴影的方格是④，不能折叠成正方体，正方体表面展开图中不可能出现“型”，因此涂方格④不可以． 故答案为：①． 题型六 由展开图计算几何体的表面积与体积（共3小题） 16．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图 (1)该几何体的名称是 ，其底面半径为 ． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱，1 (2)该几何体的侧面积为，体积为 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的展开图是解题的关键． （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的侧面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为； 故答案为：圆柱；1； （2）解：该几何体的侧面积； 几何体的体积． 17．（24-25七年级上·广东佛山·期末）综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个长方体纸盒（无盖，有盖均可），仿照图2，图3的绘图方式，画出2种不同的裁剪设计图． 【答案】（1）①；（2）①40；②294；（3）见解析 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①根据裁剪方法得出底面是边长为的正方形即可；②得出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积的计算方法进行计算即可； （3）根据棱柱的展开与折叠的方法进行解答即可． 【详解】解：（1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可得，是无盖正方体的表面展开图的是①， 故答案为：①； （2）①图1中的正方体的底面是边长为的正方形，因此底面周长为， 故答案为：40； ②由折叠可知，图2中长方体纸盒的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：294； （3）利用边长为的正方形纸板，利用按照图3的裁剪方法可制作一个有盖的长方体纸盒，利用按照图4的裁剪方法可制作一个无盖的长方体纸盒． 18．（24-25七年级下·福建厦门·期末）小安假期到某厂参加社会实践，发现该厂有一批长为，宽为的白纸板，可做有盖包装盒．工厂用一块白纸板制作一个包装盒，常见的一种设计方案：如图所示，在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），四边形为盒子底盖，再截取作为顶盖，然后拼成一个长方体包装盒（不考虑连接的重叠部分）． (1)当时，求这种包装盒的容积； (2)工厂需要将一款包装盒竖着放进大箱子里，大箱子的长为，宽为，高为．为了方便大箱子的使用，在大箱子中叠放4层或5层的包装盒，并且要求按同一方向、无缝隙的装满整个大箱子（不考虑包装盒的厚度）．请你设计这款包装盒，若符合要求，计算包装盒的长、宽、高；若不符合要求，说明理由． 【答案】(1)这种包装盒的容积为1134 (2)这款包装盒的长为8，宽为7，高为20 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； 对于（1），根据拼接的性质得，再设，依题意列出方程，求出，，，然后根据体积公式得出答案； 对于（2），分两种情况：第一种将包装盒叠放5层；第二种将包装盒叠放4层，分别求出包装盒的长，宽，高，再根据要求从判断即可. 【详解】（1）解：通过拼接可得， ∵， ∴设，依题意可得： 解得 ∴，， 则， 包装盒的容积（）.   答：这种包装盒的容积为1134； （2）解：第一种将包装盒叠放5层， ∵竖着放入包装盒 ∴包装盒高度， 则宽，长. ∵大箱子的长为，宽为, ①；, ∴不满足将包装盒同一方向且无缝隙的装满整个大箱子. ②, ∴满足将包装盒同一方向且无缝隙的装满整个大箱子； 第二种将包装盒叠放4层， ∵竖着放入包装盒 ∴包装盒高度， 则宽，长，   ∵大箱子的长为，宽为， ①， ∴不满足将包装盒同一方向且无缝隙的装满整个大箱子. ②， ∴不满足将包装盒同一方向且无缝隙的装满整个大箱子. 综上所述：这款包装盒的长为，宽为，高为. 题型七 点、线、面、体四者之间的关系（共3小题） 19．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体分别判断各选项即可得到图中所示的立体图形，解题的关键是掌握面动成体． 【详解】解：、绕轴旋转一周，得到的立体图形中间大，两端小，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到图中所示的立体图形，故合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，得不到图中所示的立体图形，故不合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形中间小，两端一样大，得不到图中所示的立体图形，故不合题意； 故选：． 20．如图所示的几何体由 个面围成，面与面相交成 条线，其中直线有 条，曲线有 条． 【答案】 4 6 4 2 【分析】本题考查了几何体的面、线的认识，以及直线和曲线的区分，仔细观察几何体的结构特征是解题的关键．观察几何体的结构，分别确定面的数量线的数量即可． 【详解】解：该几何体由4个面围成，面与面相交成6条线，其中直线有4条，曲线有2条． 故答案为：4，6，4，2 21．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，长方形的长为8，宽为4，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱． (1)这一现象用数学知识可以解释为 ； (2)若用一个平面沿水平方向去截圆柱，所得的截面形状是 ； (3)请通过计算说明，这两个圆柱的体积有什么关系？ 【答案】(1)面动成体 (2)圆 (3)图②中圆柱的体积大 【分析】本题考查了点、线、面、体四者之间的关系，截一个几何体，圆柱的体积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱，得出这一现象用数学知识可以解释为面动成体，即可作答． （2）结合用一个平面沿水平方向去截圆柱，得截面形状是圆，即可作答． （3）分别算出两个圆柱的体积，再比较，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，这一现象用数学知识可以解释为面动成体， 故答案为：面动成体； （2）解：用一个平面沿水平方向去截圆柱，所得的截面形状是圆， 故答案为：圆； （3）解：依题意， 图①中圆柱的体积为：； 图②中圆柱的体积为：． ∵， ∴图②中圆柱的体积大． 题型八 平面图形旋转后所得的立体图形（共3小题） 22．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，是一个直角三角形，、、的长度分别为、、，分别以三条边所在的直线为轴旋转一周得到三个不同的立体图形，对这三个立体图形的体积大小说法正确的是（   ）． A．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大 B．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大 C．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大 D．三个不同的立体图形的体积一样大 【答案】B 【分析】本题主要考查圆锥体积，直角三角形；根据圆锥体积公式分别求出体积比较即可． 【详解】解：以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积：； 以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积： ； 以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积： 设半径为 ∴ ∴ 解得： ∴， ∴以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大； 故选：B． 23．（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图，将直角三角形（为直角）的直角边所在直线为轴旋转一周，求所得到立体图形的底面积为 ．（π取3.14） 【答案】28.26 【分析】本题考查圆锥的底面积，根据题意，得到旋转后的立体图形为底面半径为，高为的圆锥，根据圆的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，所得到立体图形的底面积为； 故答案为：28.26 24．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是一张长方形纸片，的长为，的长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是 ；（填名称） (2)若将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键． （1）根据面动成体的原理，将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解． （2）根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）∵长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，，， ∴为圆柱体的高，为圆柱体底面圆的半径， ∴． 题型九 截一个几何体（共3小题） 25．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）用一个平面去截六棱柱，截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．四边形 D．六边形 【答案】B 【分析】本题考查六棱柱的截面．六棱柱的面是八个平面，截面与六棱柱面相交可得到三至八边形，不可能是圆形． 用平面去截六棱柱时可得到三至八边形，不可能得到圆． 【详解】解：用平面去截六棱柱时， A．平面最少与三个面相交得三角形； B．平面不可能与面相交，不可能得到圆； C．平面与四个面相交得四边形； D．平面与六个面相交得六边形． 故选：B． 26．（24-25七年级上·江西景德镇·期末）如图所示，用经过A，B，C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为x，顶点数为y，则 ． 【答案】14 【分析】本题考查了正方体的截面．明确正方体的面数，顶点数，棱的条数，形数结合，求出截去一个角后得到的几何体的面数，顶点数，棱的条数是解题的关键．截去正方体一角变成一个多面体，这个多面体多了一个面，少了一个顶点． 【详解】解：由图可得，多面体的面数是7；正方体有8个顶点，被截去了1个顶点，故多面体的顶点数是7；． 所以． 故答案为：14． 27．（24-25七年级上·广东深圳·期末）小深周末带妹妹去坪由少儿图书馆，在那里发现一个有趣的玩具，叫做索玛立方体，把索玛立方体拆分，可以拆成7个立体图形，如图所示． (1)如果用一个平面去截正方体，则截面有可能是________．（回答一种即可） (2)小深发现6号方块从正面看和从左侧看的图形都与7号是一样的，请在下图画出其从正面看和从左侧看的图形． (3)你能帮忙算出1号方块涂色的面积吗？（每个小正方体棱长为1厘米） 【答案】(1)三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可） (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图﹣三视图，几何体的表面积，截一个几何体，简单几何体的三视图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）正方体有6个面，截面共有4种情形； （2）从不同方向观察即可画出图形； （3）将正方体从上到下依次标号，则1号方块的三个小正方体分别为编号15，24，27，即可确定有7个面可以涂色． 【详解】（1）解：如果用一个平面去截正方体，则截面有可能三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可）， 故答案为：三角形或四边形或五边形或六边形（一种即可）； （2）解：从正面看和从左侧看的图形如图所示： （3）解：将正方体从上到下依次标号，如图： 则1号方块的三个小正方体分别为编号15，24，27，类似于下图正面所对蓝色区域： ∴1号方块涂色面积为． 题型十 直线、射线、线段的联系与区别（共3小题） 28．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段有关的概念辨析，根据射线，线段，直线的概念对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、点C在线段的延长线上，即线段不经过点，原说法错误，不符合题意； B、射线的端点是点，原说法错误，不符合题意； C、直线与直线相交于点P，原说法正确，符合题意； D、射线和线段没有交点，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 29．（24-25六年级下·山东泰安·期末）下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确判断的关键．根据线段的性质，射线、直线、线段的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）两点确定一条直线，因此（1）正确； （2）由于射线是无限长的，无法度量其长度，因此（2）不正确； （3）线段和线段是同一条线段，因此（3）正确； （4）射线和射线是两条不同的射线，因此（4）不正确； （5）直线和直线是同一条直线，因此（5）正确， 综上所述，错误的结论有（2）（4），共2个， 故选：B． 30．（24-25七年级上·河南开封·期末）直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，下列语句：①点A在直线BC上；②直线BC经过点B；③直线AC，BC交于点C；④点C在直线AB外；⑤图中共有12条射线．以上表述正确的有 ．（只填写序号） 【答案】②③④⑤ 【分析】根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点A在直线BC外，故原说法错误； ②直线BC经过点B，原说法正确； ③直线AC、BC交于点C，故原说法正确； ④点C在直线AB外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线BD、射线BE、射线BA、射线BC、射线CM、射线CN、射线CA、射线CB、射线AH、射线AG、射线AB、射线AC共12条，故原说法正确； ∴以上表述正确的有②③④⑤； 故答案为②③④⑤． 【点睛】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键． 题型十一 直线相交问题（共3小题） 31．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若四条不重合的直线在平面内交点的个数为a，则a的最大取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了直线与直线的交点问题． 根据直线与直线的位置关系，列出所有情况判断即可． 【详解】解：图1：当四条直线平行时，无交点； 图2：当三条平行，另一条与这三条不平行时有3个交点； 图3：当两两直线平行时，有4个交点； 图4：当有两条直线平行，而另两条不平行时有5个交点； 图5：当四条直线同交于一点时，只有1个交点； 图6：当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点； 图7：当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点； 综上所述，a的最大取值为6， 故选D． 32．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有 个交点． 【答案】 【分析】本题主要考查了相交线，掌握此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 根据题意，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有个交点，而，故可猜想，n条直线相交，最多有个交点．据此即可求解答案． 【详解】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点， 而， ∴可猜想，n条直线相交，最多有个交点， ∴八条直线两两相交最多有（个）交点， 故答案为：． 33．（24-25七年级上·江西赣州·期末）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）； 【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场 【分析】[观察发现]根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n−1)个交点；[实践应用] 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=； ②三条直线相交最多有3个交点：3=； ③四条直线相交最多有6个交点：6=；… n条直线相交最多有个交点． 故答案为：6，． [实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入． ∴这一轮共要进行120场比赛． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 题型十二 尺规作线段（共3小题） 34．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知平面上不共线的三点A，B，C，请按如下要求尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)画直线，射线，线段； (2)在射线上作一点D，使得； (3)比较大小： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了直线、射线、线段的概念与尺规作图方法，以及“两点之间，线段最短”的运用，解题的关键是明确直线、射线、线段的不同延伸特性，掌握“作一条线段等于已知两条线段和”的尺规作图步骤，并能运用“两点之间，线段最短”来比较线段大小． （1）根据直线（无端点、向两端无限延伸）、射线（有一个端点、向一端无限延伸）、线段（有两个端点、不延伸）的定义，用尺规分别画出直线、射线、线段； （2）先以为圆心、长为半径画弧确定等长线段，再在射线上从 出发，先截取长，再接着截取长，最终确定点； （3）利用“两点之间，线段最短”，结合，比较与的大小． 【详解】（1）解：如图所示．   （2）解：如图，点即为所求．   （3）解： ∵、、三点不共线， ∴、、可构成；   根据三角形三边关系，得；   又∵， ∴． 故答案为：． 35．（24-25七年级上·山西临汾·期末）尺规作图：已知，如图线段a和线段b， (1)画出线段（不写作法只保留作图痕迹） (2)延长线段到点 D，使，则线段 ． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】题目主要考查作一条线段等于已知线段，线段的比，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据作一条线段等于已知线段作图即可； （2）根据题意作出线段，然后求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 36．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，如图线段、，按要求利用直尺和圆规作图： (1)作线段（保留作图痕迹） (2)已知，，、、三点在同一直线上，若为中点，为中点，请画出图形并求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，的长度为或 【分析】本题考查了尺规作图—作线段，与线段中点有关的计算，线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）作射线，在射线上依次截取，，即可得解； （2）分两种情况：当点在点的左边时，当点在点的右边时，分别画出图形，结合线段的和差计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：线段即为所求， ； （2）解：如图，当点在点的左边时， ， ∵为中点，为中点， ∴，， ∴， 如图，当点在点的右边时， ， ∵为中点，为中点， ∴，， ∴， 综上所述，的长度为或． 题型十三 线段的和与差（共3小题） 37．（24-25七年级上·河北张家口·期末）已知线段，点在的延长线上，且，则线段等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和与差，根据题意得出，代入已知条件可得，由此求解即可． 【详解】解：，，， ∴， ， 故答案为：B． 38．（25-26七年级上·全国·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段折叠问题中的长度计算及比例关系应用，解题的关键是根据不同折点（B或A）确定绳子对折后的线段对应关系，明确剪断P处后最长段的具体来源，再结合“最长段为”列方程求解原长． （1）设，由得、；点B为折点时，剪断后最长段为，结合求，再算原长（原长为． （2）点A为折点时，剪断后得到的三段等长，则最长段为，结合求，再根据“折点A时原长为”计算最终原长． 【详解】（1）解：设，   ∵， ∴，则 ∵点B为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得 绳子原长为．   故答案为：； （2）解：设，   ∵， ∴，则． ∵点A为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得． 绳子原长为．   故答案为：． 39．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决追及问题，解题的关键是利用线段的和差列出方程． （1）根据路程列出一元一次方程求解即可； （2）根据路程列出一元一次方程求解即可； （3）根据路程列出含有绝对值的一元一次方程求解即可，或分两种情况进行分别求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （2）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （3）解：根据题意得， ， 解得，或 ∴或时，P、Q两点之间距离为2时． 题型十四 线段中点的有关计算（共3小题） 40．（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）如图，为线段的中点，点在线段上．若，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，线段中点的定义，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键． 根据线段中点的定义，可得：，再根据，求得，然后即可求解； 【详解】解：∵为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴． 41．如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为______； (2)的长度为______； (3)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)的长度为或 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． （1）直接根据是的中点可得答案； （2）先求出的长，然后根据是的中点求出，根据即可求解； （3）分在点的右侧、在点的左侧两种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点． ∴ 故答案为：； （2）∵，， ∴（）， ∵是的中点 ∴， ∴（）， 故答案为：； （3）当在点的右侧时，（）， 当在点的左侧时，（）， ∴的长度为或． 42．（24-25七年级上·重庆长寿·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，点表示的数为．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)线段的长为 单位长度，点P运动t秒后表示的数为 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？ (3)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【答案】(1)， (2)或 (3)不变，线段的长度为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程，数轴上线段中点的表示方法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用两点间的距离公式求得线段的长，然后结合路程速度时间求得点表示的数； （2）先用含有的式子表示点和点表示的数，然后根据、相距4个单位列出方程，再解方程求得的取值； （3）先利用中点公式求得点和点表示的数，再计算的线段长度． 【详解】（1）解：， 点运动的路程为个单位长度， 点运动秒后表示的数为：， 故答案为：，； （2）由题意得，点运动秒后表示的数为， 点与点相距4个单位， ， 解得：或， 点运动8秒或12秒时与点相距4个单位长度； （3）线段的长度不发生变化，理由如下， 为的中点，点表示的数为8，点表示的数为， 点表示的数为， 为的中点，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， ， 线段的长度为10． 题型十五 线段之间的数量关系（共3小题） 43．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了线段的比例关系、中点及三等分点的性质，解决本题的关键是通过代数方法验证几何结论． 先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 故选：B ． 44．（24-25七年级上·广东汕头·期末）将一根绳子对折成一条线段，点为线段上一点，，在处将绳子剪断，得到的三根短绳中最长的一根长度为，则绳子原长为 ． 【答案】或 【详解】本题考查线段之间的和差倍分，通过分类讨论，是以A或者B为折点进行对折，即可求解，解题关键在于要进行分类讨论，不漏解． 【解答】解：对折后如图所示： 若以为对折点，最长的为， 则，， 绳子原长； 若以为对折点，最长的为， 则， 绳子原长， 故答案为：或． 45．（24-25七年级上·广西梧州·期末）已知，满足，数轴上点对应的数为，点对应的数为，线段在数轴上移动，点在点右侧，． (1)填空：_____，_____； (2)如图1，当点移动到的中点时，点对应的数是_____； (3)如图2，若线段在点左侧，为中点，为中点，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)，9 (2)2 (3)，理由见解析 【分析】本题考查绝对值的非负性，线段中点的有关计算，数轴上的动点问题： （1）根据绝对值和平方的非负性求解； （2）根据中点的定义求出点D对应的数，再根据点在点右侧，，可求出点对应的数； （3）根据中点的定义及线段的和差关系计算出的长度，即可得出． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， 故答案为：，9； （2）解：点移动到的中点时，点D对应的数为：， 点在点右侧，， 点对应的数为：， 故答案为：2； （3）解：，理由如下： ，， ， 为中点，为中点， ， ， ． 题型十六 与线段有关的动点问题（共3小题） 46．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 47．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据“巧点”的定义解答即可； （2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解； （3）根据“巧点”的定义，分为或或，三种情况，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴， ∴点是线段的“巧点”， 故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点， ∴则最长时，满足， 即， ∴， 故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点 ∴或，或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 48．（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 题型十七 角的基本概念（共3小题） 49．（24-25七年级下·山东聊城·期末）下列说法正确的是（   ） A．两条射线组成的图形叫作角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫作角 C．角可以看作一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形 D．角可以看作一条线段绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的概念，熟练掌握角的概念是解题关键． 根据角的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：由两条有公共端点的射线组成的几何图形叫做角，故A、B选项错误； 角可以看作一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形，故C选项正确，D选项错误． 故选：C． 50．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法即可得出结果． 【详解】解：A、与是同一个角，说法正确，故本选项不符合题意； B、不可以用表示，原说法错误，故本选项符合题意； C、，说法正确，故本选项不符合题意； D、可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 51．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出 个锐角． 【答案】2043231 【分析】考查了角的概念，解决该题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是，分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题． 【详解】解：∵在锐角内部，画1条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画2条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画3条射线，可得个锐角， …… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 ∴画2020条不同的射线，可得锐角 故答案为：2043231． 题型十八 角的四则运算（共3小题） 52．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度． （2）两个度数相减时，度与度，分与分对应相减，应先算最后一位，后面的位上的数不够减时向前一位借数． 【详解】解：（1） ； （2） ． 53．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）已知．求． 【答案】 【分析】本题考查的是角度的加减运算，根据，，再进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴ . 54．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）； (2)（结果用度表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满，则转化为度； （2）先将分都转化为度，再进行减法计算，两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是向前一位借数． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十九 方向角相关的计算（共3小题） 55．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，小杰家位于点处，小杰从家向北偏东方向行走500米到达学校处，从学校向正东前进200米到达少年宫处（没有道路），已知少年宫在小杰家东偏北方向． (1)小杰家在少年宫的什么方向？ (2)小杰从少年宫怎样原路返回到家呢？ 【答案】(1)小杰家在少年宫的南偏西方向 (2)小杰从少年宫向正西前进200米到达学校，再从学校向南偏西行走500米回到家 【分析】本题考查了方向角：方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角． （1）过点B作南北方向的直线，求出，然后根据方向角的定义解答即可； （2）过点A作南北方向的直线，求出，然后根据方向角的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作南北方向的直线 由题意得，， 所以小杰家在少年宫的南偏西方向； （2）解：过点A作南北方向的直线， 由题意得，， 所以小杰从少年宫向正西前进200米到达学校，再从学校向南偏西行走500米回到家． 56．（24-25六年级下·山东威海·期末）如图，货轮航行在处发现灯塔在南偏东方向(即灯塔的方位角，记为射线)，同时发现客轮和海岛分别在北偏东方向、西北(即北偏西)方向． (1)在图中分别画出表示客轮和海岛方向的射线，；(要在图中标记度数，不写作法) (2)货轮在处发现一艘渔船，已知的补角是余角的倍，通过计算写出渔船的方位角． 【答案】(1)见解析 (2)南偏西或北偏东 【分析】本题考查方位角以及余角补角的计算， （1）根据方向角的意义画出表示客轮和海岛方向的射线，； （2）根据题意列出方程，解方程求得，进而根据方向角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：如图．，即为所求； （2）由题意可得． 解得． ， 或 所以渔船的方位角是南偏西或北偏东． 57．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，一艘渔船从海上点E处开始绕点O航行，已知点E在点O的北偏东方向上，航行到点C时，测得． (1)求的度数； (2)直接写出渔船到达的点C在点O的什么方向？ 【答案】(1) (2)渔船到达的点C在点O的北偏西方向上 【分析】本题考查的是与方向角有关的计算，解题的关键是熟练掌握方向角之间的大小关系． （1）根据角的和差解答即可； （2）先根据角的和差求出的度数，则点C的位置即可判断． 【详解】（1）解：∵点E在点O的北偏东方向上， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴渔船到达的点C在点O的北偏西方向上． 题型二十 几何图形中的角度计算（共3小题） 58．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如图，在内部转动，，分别平分和． (1)若，，求的度数； (2)试猜想，和会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角平分线定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，分别平分和，则，，则，然后代入即可求解； （）由，分别平分和，则，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ∴． 59．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段在同一平面内，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）条件下，若也平分，求的度数； (3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论； （2）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论； （3）根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过，设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了角的平分线的定义，角的和差计算，解方程，熟练掌握角的平分线，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过， 设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得， 解得． 故经过，与第一次垂直． 60．（24-25七年级上·福建漳州·期末）点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，几何图形中角度的计算． （1）先求出的度数，再根据角平分线得到，平角的定义，求出的度数，即可； （2）根据角平分线平分角推出，再根据平角的定义，求出的度数，即可； （3）分当在右侧和在左侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，找准角度之间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：平分，平分， ，， ， ． ， ． （3）解：①如图，当在右侧时， 平分，， ． 为的平分线， ， ． ②如图，当在左侧时， 平分， ， ， 为的平分线， ， 的度数为或． 题型二十一 三角板中的角度计算（共3小题） 61．（24-25七年级上·山西临汾·期末）将一副三角尺叠放在一起． (1)如图（1），若，求的度数 (2)如图（2），若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，熟知三角板中的角度是解题的关键． （1）由三角板的信息可知，再由角的和差关系即可得出． （2）设，则，由题意可知，即可得出，解出x即可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴，， ∴． （2）解： 设，则， ∵， ∴， 解得， 即， ∴ 62．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)①20秒或200秒，② 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）由，结合，从而可得答案． （2）①当、在直线的同侧时，证明，可得，进一步可得答案，当、在直线的两侧时，如图，求解，可得，进一步可得答案．②求解，即，，进一步可得结论． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ， ， ， ， 平分． （2）解：有两种情况：①当、在直线的同侧时， ， ， 若，则， ， ， 每秒旋转， ∴秒时； 当、在直线的两侧时，如图， ， 若， 则， ， 旋转角， 每秒旋转， ∴秒时， 综上，20秒或200秒时． ②， ， 即， ， ． 63．（24-25七年级上·河南商丘·期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②④；（2）①；②存在，或． 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； ②分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴，不能写成的和或差，故画不出； 故答案为：②④； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②当在的左侧时，如图2所示： 则，， ， ， ； 当在的右侧时，如图3所示： 则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在 题型二十二 实际问题中的角度计算（共3小题） 64．（24-25七年级·江苏泰州·期末）七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②不能 (2)见解析 (3)选用，理由见解析 (4)不一定能，理由见解析 【分析】（1）①用一副三角尺画出角的画图方案，用含的两个角拼接即可求解; ②根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据题意设计一个，一边与射线重合，另一边即为角平分线， （3）根据题目所给的方案，进行设计即可求解； （4）根据角度的四则运算进行判断即可求解． 【详解】（1）解： ①用一副三角尺画出角，如图所示， ②用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数， ∴用一副三角尺能不能画出的角， 故答案为：不能． （2）解：如图所示， （3）选用， 用的角旋转15次，则，与差， 再旋转16次，得到，与周角差， 再旋转16次，得到，超过始边 ∴绕点O逆时针旋转，得， 再将绕点O逆时针旋转， 得，……，如此连续操作47次， 可得的角， 即：． （4）对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板不一定能画出的角 例如，，此时无论如何旋转，都不能得到的角 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，角度的计算，理解题意是解题的关键． 65．（24-25七年级上·湖南·期末）如图1所示，．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转1°．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转5°，当其与射线或射线相遇时，保持运动速度不变但运动方向发生改变，如此往返．当时，运动停止．设运动时间为秒． (1)当时，求与的度数； (2)如图2，当射线还未与射线相遇，且其为的平分线时，求的值； (3)试求出整个运动过程中，射线与射线一共相遇了几次？ 【答案】(1)， (2)或 (3)5次 【分析】本题考查实际问题中角度的计算，一元一次方程在几何图形中的应用，掌握角的和差是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）当时，，．此时射线在射线与之间．即可由，求解； （2）分两种情况：情况一：当时，情况二：当且未与射线相遇（即）时，分别求解即可； （3）运动终止时，时间为秒，设射线与射线某一次相遇时，且下一次相遇时，考虑两次相遇间过程：时，；时，，在该过程中，射线一直逆时针旋转，所花时间为：秒，射线先回到射线，再追到射线，所花时间为：秒，故，即，再由第一次相遇时间为5秒，则可求得第二次相遇时间为秒；第三次相遇时间为秒；第四次相遇时间约为秒；第五次相遇时间约为秒；第六次相遇时间约为，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，，． 此时射线在射线与之间． ， ． （2）解：设射线第一次与射线相遇时运动时间为， 则． ． 情况一：当时， ，， 射线为的角平分线， ， ； 情况二：当且未与射线相遇（即）时， ，， 射线为的角平分线， ， ， 综上，或． （3）解：运动终止时，时间为秒， 设射线与射线某一次相遇时，且下一次相遇时，考虑两次相遇间过程： 时，； 时，， 在该过程中，射线一直逆时针旋转，所花时间为： 秒， 射线先回到射线，再追到射线，所花时间为： 秒， 故，即， 已知第一次相遇时间为5秒，则： 第二次相遇时间：秒； 第三次相遇时间：秒； 第四次相遇时间：秒； 第五次相遇时间：秒； 第六次相遇时间：， 故全过程一共相遇了5次． 66．（24-25七年级上·海南三亚·期末）如图1，三亚市某学校大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则______； (2)如图3，、、三点共线，且，平分，求，的大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为______； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ①运动停止时， ； ②请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系 【答案】(1) (2), (3) (4)；当时，；当时， 【分析】本题考查了角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，根据、O、三点共线，则，得出，再根据，即可求解； （3）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （4）①算出运动停止时间，求出运动的角度，进而求出度数； ②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点，，三点共线前和点，，三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， 设， ∵平分， ∴， ∵、O、三点共线，则， ∴， 解得：， ∴, （3）这个定值是，理由， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴的值为定值，这个定值是； （4）∵， ∴，， 设运动时间为，则，则， ①运动停止时，即时，旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点，，三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 题型二十三 角平分线的角度计算（共3小题） 67．（25-26七年级上·全国·期末）如图，是直线上一点，，平分，． (1)求的度数； (2)是否平分?并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，垂直的定义． （1）根据角平分线的定义可求出，进而根据即可求解； （2）根据角的和差求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：平分，理由如下： 理由：∵，， ∴， ∴， ∴平分． 68．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知射线分别是和的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的有关计算和角平分线定义，能够求出是解此题的关键，求解过程类似． （1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （3）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：射线分别是和的平分线， ， ， ． （2）射线分别是和的平分线， ， ， ． （3）射线分别是和的平分线， ， ， ． 69．（24-25七年级上·山东临沂·期末）若同一平面内有三条以点O为公共端点的射线，且满足时，则称是的“关联线”． (1)如图①，已知，射线是的反向延长线，是的三等分线，则射线______是的“关联线”，并说明理由； (2)如图②，已知．若是的“关联线”，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查与角平分线有关的角度计算，理解新定义，运用分类讨论的思想和数形结合思想是解题的关键． （1）结合图形，直接根据的“关联线”的定义即可求解； （2）当射线在的内部和当射线在的外部两种情况计算即可； 【详解】（1）∵，射线是的反向延长线， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∵， ∴是的“关联线”． （2）①当射线在的内部时， ∵是的“关联线”， ∴ ∴， ②当射线在的外部时， ∵是的“关联线”， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 题型二十四 余角和补角相关的计算（共3小题） 70．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 71．（25-26七年级上·河北唐山·期末）下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为； ②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角的概念及计算．根据余角（和为）和补角（和为）的定义，直接计算或推导即可判断各结论的正确性． 【详解】①若∵，则的余角为，该选项不正确； ②若，则的补角为，正确； ③若与互余， ∴； ∵与互补， ∴； ∴，代入得：， ∴，正确． 故选：B． 72．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）已知，在内部，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，请说明：； (3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，几何图形中角度的计算等知识点，掌握消元的思想将无关的角消除，得到所求角的数量关系是关键． （1）根据即可得出答案； （2）设，根据平分可得，，然后表示出，再进行求解即可； （3）设，则，根据题意得，，结合，即可得出，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：在内部，， ， ， ； （2）解：设， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：，，三者之间的数量关系是：，理由如下： 设，则， ， ， 又， ． 题型二十五 点、棱、面之间关系综合（共4小题） 73．（24-25七年级上·广东清远·期末）阅读材料题：由平的面围成的立体图形又叫做多面体，有几个面，就叫做几面体．三棱锥有四个面，所以三棱锥又叫四面体；正方体又叫做六面体；有五条侧棱的棱柱又叫做七面体． (1)探索：如果把一个多面体的顶点数记为V，棱数记为E，面数记为F，填表： 多面体 V F E 四面体 4 6 长方体 6 2 五棱柱 10 7 15 2 (2)猜想：由上面的探究你能得到一个什么结论？ (3)应用（2）的结果对所有的多面体都成立，伟大的数学家欧拉证明了这个关系式，这个关系式叫做欧拉公式．根据欧拉公式，想一想会不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)不会有 【分析】本题考查了简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律． （1）分析题意，由题中所给的多面体，不难求得多面体的顶点数、棱数、面数，即可完成表格； （2）接下来，观察表格中的数据便不难得到简单多面体中顶点数（V）面数（F）棱数（E）之间的关系； （3）根据已知数据，结合顶点数V、面数F及棱数E间的关系，即可作出判断． 【详解】（1）解：填表如下： 多面体 V F E 四面体 4 4 6 2 长方体 8 6 12 2 五棱柱 10 7 15 2 （2）解：多面体的顶点数V、棱数E、面数F满足关系式：； （3）解：不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点， ∵假如会有， 则， 根据题意：将代入得，，，与矛盾， ∴不会有． 74．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）【阅读】图1是小茗同学在课本上看到的一个有趣的几何体．经过查阅资料，得知该几何体 的名称叫做三棱台、如图2，所有的棱台都可以看作是某个棱锥被平行于底面的平面截去一 个小的棱锥后得到的几何体． 【探究】 (1)在图3中，用一个平行于四棱锥底面的平面去截这个四棱锥，请画出截得的四棱台的平面直观图． （注意看得见的棱画成实线，看不见的棱画成虚线） (2)观察三棱台、四棱台、五棱台的面数（F）、棱数（E）和顶点数（V），分别填入下表中： 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） … 棱数（E） … 顶点数（V） … ①小茗通过观察，猜想，验证，发现所有的棱台都满足等式：， 你认为她 的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例． ②请你写一条关于三个量的等式，使其满足棱锥，但是不满足棱台，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)①结论正确，理由见详解；②，理由见详解 【分析】（1）理解题干三棱台，三棱锥的过程，模仿作图，即可作答． （2）①先观察，分别填写表格，总结规律棱台有个顶点，个棱，个面，……，进行验证，即可作答． ②先观察，分别填写表格，总结规律个顶点，个棱，个面，进行验证，即可作答． 本题考查了几何体中的点、棱、面，用代数式表示数、图形的规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：截得的四棱台，四棱锥的平面直观图如图所示： （2）解：依题意， 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） 5 6 7 … 棱数（E） 9 12 15 … 顶点数（V） 6 8 10 … ①结论正确，理由如下： 结合上表，得出三棱台有个顶点，个棱，个面， 四棱台有个顶点，个棱，个面， 五棱台有个顶点，个棱，个面， 依次类推…… 棱台有个顶点，个棱，个面， 故． 解：②，理由如下： 依题意，如图所示： 三棱锥 四棱锥 五棱锥 … 面数（F） 4 5 6 … 棱数（E） 6 8 10 … 顶点数（V） 4 5 6 … 结合上表，得出三棱锥有个顶点，个棱，个面， 四棱锥有个顶点，个棱，个面， 五棱锥有个顶点，个棱，个面， 依次类推…… 棱锥有个顶点，个棱，个面， 则， 故． 75．（24-25七年级上·全国·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是 ； (2)一个多面体的面数比顶点数小，且有条棱，则这个多面体的面数是 ； (3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有条棱，共有条棱．若该多面体外表面三角形的个数是八边形的个数的倍多，求该多面体外表面三角形的个数． 【答案】(1)6，6，； (2)12； (3)10． 【分析】本题考查欧拉公式，熟记多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系是解题关键． （1）从表格观察发现：顶点数+面数-棱数=2； （2）根据多面体的面数比顶点数小，且有条棱，得到关于E，F，将其代入顶点数+面数-棱数即可求解； （3）设八边形的个数为y个，则三角形的个数为个，由题意可得，解方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：； ； ∵， ∴点数、面数、棱数之间存在的关系式是； 故答案为：6；6；； （2）解：根据题意得，，则有： ， 解得，， ∴； （3）解：因为，所以 又因为， 所以 设八边形的个数为，则三角形的个数为根据题意，得 ， 解得 所以，即该多面体外表面三角形的个数为． 76．（24-25七年级上·福建泉州·期末）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式．请你观察图1中几种常见的多面体模型，解答下列问题．    正多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 a 4 6 正方体 8 b 12 正八面体 6 8 c 正十二面体 20 12 30 【公式发现】 （1）通过观察上面的多面体模型，写出a，b，c的值，并用等式表示顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系； 【公式应用】 （2）如图2，一个足球由32块黑白皮子缝合而成，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形．我们可以近似把足球看成一个多面体，若正五边形有m个，求这个多面体的棱数（E）（用两个含m的不同代数式表示）． 【答案】（1）；；；；（2）或． 【分析】本题考查的知识点是欧拉公式，规律探索，列代数式，解题的关键是熟练的掌握欧拉公式． （1）观察图形即可得出a，b，c的值；观察可得顶点数面数棱数即可得出等量关系式； （2）根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，黑皮有块，则白皮有块，直接表示出棱数；另外借助欧拉公式表示出棱数即可． 【详解】解：（1）观察图形可知，，，； 顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系为：． （2）根据题意可知，面数，黑皮有块，则白皮有块， ∵五边形的每条棱都与六边形的棱重合，六边形的三条棱与五边形重合，另外三条棱是六边形的棱和六边形的棱重合， ∴条； ∵共有顶点数为，面数， ∴根据欧拉公式可得，棱数条， 综上分析可知，或． 题型二十六 直线交点问题综合（共4小题） 77．（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【答案】5050个交点，见解析 【分析】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律． 根据两直线“两两相交”有1个交点，三直线“两两相交”有个交点，四条直线“两两相交”有个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，由此进行求解即可 【详解】解：当有2条直线“两两相交”时，有1个交点； 当有3条直线“两两相交”时，有个交点； 当有4条直线“两两相交”时，有个交点； ……， ∴一般地，n条直线“两两相交”有个交点 ∴当有101条直线“两两相交”时，有个交点． 所以有101条直线“两两相交”时，有5050个交点． 78．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点． (1)请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数； (2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）； (3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？ (4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 【答案】(1)图见解析，有6个 (2)见解析 (3)见解析 (4)①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这时交点最少，②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多 【分析】（1）画出满足条件的图形即可； （2）根据题意画出与解析（1）交点个数不同的图形即可； （3）根据题意要求画出交点个数分别为6，21，15的图形即可； （4）从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出，从画出的图形中归纳规律即可得到答案． 【详解】（1）解：解：如图1所示；交点共有6个， （2）解：如图2，3所示： （3）解：当时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4所示： 当时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5所示： 当时，如图6所示． （4）解：当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律： ①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这时交点最少， ②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多． 【点睛】本题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形，再再根据图形归纳规律． 79．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系：　 　； (2)如图1，画直线PA； (3)如图1，画射线PB； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 　 　个交点． 【答案】(1)P在直线l外； (2)见解析 (3)见解析 (4)7 【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空； （2）根据直线的定义即可画直线PA； （3）根据射线的定义即可画射线PB； （4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的交点个数． 【详解】（1）点P与直线l的关系：P在直线l外； 故答案为：P在直线l外； （2）如图1，直线PA即为所求； （3）如图1，射线PB即为所求； （4）如图2，新增的两条直线使得平面内最多新增7个交点． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质． 80．（24-25七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【答案】（1）10；（2）29；（3）没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛 【分析】本题主要考查了直线交点问题、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 （1）根据题干分析n条直线，最多有个交点，直接代入即可得解； （2）代入公式求出交点最多个数，当8条直线交于同一点时，个数最少； （3）根据单循环赛制的特点，以及各班级已赛场次的信息，逐步推理出班级之间的比赛关系，进而求出未与七6班比赛的班级以及剩余比赛场数． 【详解】解：（1）5条直线相交，最多有个交点， 故答案为：10； （2）根据题意，最多有个交点，此时， 当8条直线交于同一点时，交点最少，此时， 所以； （3）分析各班级比赛场次信息： 单循环赛制意味着每个班级都要和其余5个班级各赛一场，所以每个班级最多比赛5场， ①七1班赛了5场，这表明七1班与七2、七3、七4、七5、七6班都进行了比赛； ②七5班只赛了1场，由于七1班与所有班级都比赛过，所以七5班这一场比赛就是和七1班进行的，七5班没有和其他班级比赛； ③确定七2班比赛对象：七2班比赛了4场，因为七5班只和七1班比赛，所以七2班除了和七5班没比赛，与七1、七3、七4、七6班都比赛了； ④确定七4班比赛对象：七4班赛了2场，根据前面的推理，七4班的两场比赛是和七1、七2班进行的； ⑤确定七3班比赛对象：七3班比赛了3场，已知七1、七2班与七3班比赛，七5班没和七3班比赛，所以七3班的三场比赛是和七1、七2、七6班进行的（与七4班没有比赛）；通过以上分析可知，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班． 已比赛的场数为： ①七1班与七2、七3、七4、七5、七6班比赛5场； ②七2班与七4、七3、七6班比赛3场（与七1已算在七1班场次中）； ③七3班与七6班比赛1场（与七1、七2重复场次已算）； ④七4班与七1、七2班赛比2场；（全部为重复场次，已算过） ⑤七5班与七1班赛1场；（全部为重复场次，已算过） ⑥七6班与七1、七2、七3班赛3场（全部为重复场次，已算过），总共已赛9场； 6个班级进行单循环比赛，总场数为场，所以还剩下的比赛场数为场； 综上，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛． 题型二十七 线段中动点、定值、新定义等问题（共4小题） 81．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在数轴上，数、所对应的点分别为、，点表示原点，且、满足，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，点从点出发，沿数轴向左运动，点的速度是点速度的，、两点同时出发，相遇后即停止运动． (1)点表示的数是，点表示的数是______； (2)点是线段的一个三等分点，点是的中点，设、两点运动的时间为（）秒，用含的式子表示线段的长，不用写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，在、开始运动时，另一点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当时，求的值，并直接写出此时线段的长度． 【答案】(1)， (2)当点表示时，，当点表示时， (3)当或时，，此时线段的长度为或 【分析】本题考查数轴上的动点问题、解一元一次方程，解题的关键是掌握两点间距离公式、中点公式． （1）根据绝对值的非负性求出a，b即可 （2）分情况讨论，根据题意得出点表示或，根据两点间距离公式表示出即可求解； （3）分当点在的右侧时和当点在的左侧时两种情况，分别计算出的值，进而求得点表示的数，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， 即点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：， 点运动的速度为每秒个单位， 根据题意知，点表示的数为，表示的数为， 设表示的数为， 是的中点， ， ， ， 点是的三等分点，， 点表示或， 当点表示时，， 当点表示时，， 即当点表示时，，当点表示时，； （3）解：根据题意知，点表示的数为， 由（2）知，， 当点在的右侧时，， ， 即 解得， ∴点表示的数为，点表示的数为 此时 当点在的左侧时，， ， 即， 解得， ∴点表示的数为，点表示的数为 此时 综上所述，当或时，，此时线段的长度为或． 82．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知线段，线段，且、满足多项式是关于的二次三项式．已知线段，在数轴上运动，为原点，点在点的左侧，点在点的左侧，运动过程中线段两端点重合记该线段长为． (1)如图1，点与原点重合时，且点为线段的三等分点(点靠近点)，则在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为_________． (2)在(1)的条件下，在数轴正半轴上是否存在点，使得？若存在，求出点表示的数，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点与原点不重合时，线段以每秒个单位的速度沿数轴向正方向运动，同时线段以每秒个单位的速度沿数轴向正方向运动，点始终是线段的中点，点始终是线段的中点，请判断线段的长是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)点P表示的数为 (3)线段的长是定值，理由见解析 【分析】（1）由二次三项式的定义求出，，求出，，，则可得出答案； （2）分四种情况讨论，得出点在线段上时设点表示的数为，列出方程可得出答案； （3）由题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，得出，表示的数，则可得出答案． 【详解】（1）解：，满足多项式是关于的二次三项式， ，， ，， ，， 点为线段的三等分点， ， ， ， 数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，，； （2）解：①经判断，点不在点的右侧，因为； ②经判断，点不在线段上，因为； ③经判断，点不在线段上，因为； ④当点在线段上时设点表示的数为， ， ， 解得： 点P表示的数为 （3）解：线段的长是定值， 理由：在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点始终是线段的中点，点始终是线段的中点， 在数轴上表示的数：， 在数轴上表示的数：， ， 即线段的长是定值． 【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段的和差，整式的加减，列代数式、数轴、一元一次方程的应用，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 83．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【答案】(1)是 (2)①或或 ②或或 【分析】（1）若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义，由此即可得出答案； （2）①由及绝对值非负性可得，，解方程即可求出、的值，若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求解，即可求出点表示的数；②当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为，当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义， 一条线段的中点是这条线段的“巧点”， 故答案为：是； （2）解：①， ，， 解得：，， 若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论： ）当时， 此时， 点表示的数是：； ）当时， 此时， 点表示的数是：； ）当时， 此时， 点表示的数是：； 综上，点表示的数是或或， 答：点表示的数是或或； ②如图， 当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为， 当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论： ）当时， ， 解得：； ）当时， ， 解得：； ）当时， ， 解得：； 综上，当或或时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用（几何问题），用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值非负性，有理数四则混合运算的实际应用，线段中点的定义等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 84．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 题型二十八 角度中动角、定角、角关系、折叠等问题（共4小题） 85．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，7.5秒或30秒或150秒或172.5秒 【分析】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， 解得， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； （3）解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ∴综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为7.5秒或30秒或150秒或172.5秒． 86．（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的大小不会变化，理由见详解． 【分析】本题考查了角的和差计算、角平分线的定义，整体思想等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）根据题目所给条件，结合图形计算，即可得出角度； （2）根据角平分线的定义计算的度数； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系，计算出的度数，即可得出的大小不会变化． 【详解】（1）解： ， ； （2） 射线分别为的平分线， （3） 的大小不会变化，理由如下： 又平分，平分， ． 87．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)20 (2) (3)，理由见解析 (4)的度数为或 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． （4）先画出图形，分两种情况讨论：当在的上方，当在的下方，再结合角的和差运算计算即可． 【详解】（1）解：，， ， （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． （4）解：如图，当在的上方，，    ∴， ∴； 如图，当在的下方，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 88．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角）． 【知识储备】 我们在第四章《基本平面图形》中学习了角的平分线，用折纸的方法作角平分线． 如图1，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【问题情境】 动手折叠一张正方形纸片，点E在边上，点F，G分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图2，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是______； （2）如图3，若点落在上，点落在上，则的度数是______； 【问题再探】 （3）若，则的度数是______；（用含的代数式表示） 【问题深探】 （4）若连接，，，且射线，射线，射线都与正方形的边相交．射线，射线，射线，这三条射线中的一条射线是其余两条射线所组成角的角平分线．请画出图形并求出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）或（4）或或 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，正方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． (1)根据折叠可得，即可求解； (2)根据折叠可得，进而即可求解； (3)分两种情况：先表示出的度数，再根据 和进行求解即可； (4)分别将射线，射线，射线作为角平分线进行分类讨论即可得解． 【详解】（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得:，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）如图，当射线为角平分线时，当与不重叠时， ，， ， ， 由(3)①知，， 当射线为角平分线时，当与重叠时， ，， ， ， 由(3)②知，， 如图，当射线为角平分线时，当与不重叠时， ，， ， 由(3)①知，， 如图，当射线为角平分线时，当与重叠时， ，， ， 由(3)②知，， 如图，当射线为角平分线时，当与不重叠时， ，， ， ， 由(3)①知，， 如图，当射线为角平分线时，当与重叠时， ，， ， ， 由(3)②知，， 综上所述：的度数为或或． $