专题02 有理数的运算16大常考题型（期末复习专项训练）六年级数学下学期新教材人教版五四制

**基本信息** 聚焦有理数运算全章16类常考题型，以分层训练构建从基础运算到综合应用的完整方法体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|题型1-8（40题）|含四则混合、简便计算、乘方等技法，如凑整法、倒数转化|从概念（倒数、乘方）到运算规则，形成“定义-法则-技巧”链条| |综合应用|题型9-16（40题）|实际问题建模、规律探究、新定义运算等，如24点凑数法、进制转换|关联数轴、绝对值，实现“运算-应用-拓展”的逻辑进阶，培养应用意识|

专题02 有理数的运算全章16大常考题型 题型1 有理数的四则混合运算（常考点） 题型9 算24点 题型2 有理数四则混合运算的实际应用（重点） 题型10 科学记数法（常考点） 题型3 有理数运算中简便计算 题型11 近似数 题型4 省略加法和括号的形式 题型12 有理数中的规律计算问题（难点） 题型5 倒数 题型13 进制运算（难点） 题型6 根据点在数轴的位置判断式子的正负（重点） 题型14 有理数运算中的新定义问题（难点） 题型7 有理数的乘方运算及应用 题型15 有理数混合运算的实际应用压轴（难点） 题型8 程序流程图与有理数计算 题型16 有理数运算与数轴、绝对值综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 有理数的四则混合运算（共5小题） 1．（25-26六年级上·上海普陀·期末）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 2．（24-25七年级上·云南玉溪·期末）计算： (1)； (2) 3．（24-25七年级上·四川德阳·期末）计算 (1)； (2)； (3)． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算： (1)． (2)． 5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）计算： (1)； (2)． 题型二 有理数四则混合运算的实际应用（共5小题） 6．（25-26七年级上·陕西西安·期末）“大唐诗人”主题盲盒受到年轻消费者青睐．某商店购进一批盲盒，每个盲盒进价为30元．为测试市场反应，前五天试行浮动定价，以40元为标准价，超出部分记为正，不足部分记为负．销售记录如下表： 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标准价（元） 售出数量（个） 25 40 15 30 10 (1)这五天中，单个盲盒最高售价是多少元？最高售价比最低售价多多少元？ (2)求前五天该店出售这批盲盒的总利润． 7．（25-26七年级上·湖南·期末）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行全科目测试，分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 已知该产品的数学测试分数为分． (1)请补全上表； (2)在本次测试的各科目中，该产品所得最高分为 分，最低分为 分； (3)求该产品在本次测试中全科目的总分． 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 8．（24-25七年级上·河南南阳·期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km (1)这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶______； (2)小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了多少？ (3)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航里程的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 9．（24-25七年级上·福建泉州·期末）一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表：（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)利用数轴，判断快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的______方，距离公司______千米处； (2)在第______次记录时快递小哥距公司地最远； (3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥这七次投递完需要花汽油费多少元？ 10．（24-25七年级下·福建南平·期末）我们知道，一年四季中白昼时长和正午时刻都不是固定不变的．不同地点每天日出、日落的时刻各不相同，白昼时长是指从日出到日落的时间长度．理论上，一个地区日出、日落相对于当天的正午时刻应该是对称的，于是我们就能得到一个简单的白昼时长计算公式∶白昼时长=（正午时刻－日出时刻） （日落时刻－正午时刻）． 表1是2025年5月23日南平市四个县市的日出时刻与日落时刻 表1 县市 延平 建阳 邵武 浦城 日出时刻 日落时刻 白昼时长 13小时37分 表2 日出时间 日落时间 6月21日（夏至） 12月21日（冬至） (1)分别求出延平、邵武、浦城这一天的白昼时长，并按表格样式填入上表； (2)求延平区这一天的正午时刻； (3)表2是南平市某年冬至与夏至的日出与日落时刻，求夏至与冬至当天白昼时长的差． 题型三 有理数运算中简便计算（共5小题） 11．（24-25七年级上·广东佛山·期末）用简便方法计算： (1) (2) 12．（24-25七年级上·吉林·期末）用简便方法计算：． 13．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）用简便方法计算：． 14．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）怎样简便就怎样算． (1)； (2)． 15．（24-25七年级上·江苏常州·期末）简便计算： (1) (2) 题型四 省略加法和括号的形式（共5小题） 16．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）下列省略加号和括号的形式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）把算式：写成省略括号的形式，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·广西北海·期末）把（﹣8）+（﹣5）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是 ． 20．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）将式子改写成省略括号和加号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五 倒数（共5小题） 21．（25-26六年级上·上海·期末）已知某数的等于与的和的倒数，那么这个数是多少？ 22．（24-25七年级上·海南儋州·期末）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值等于2，n是最大的负整数． (1)直接写出，，m，n的值； (2)求的值 23．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 24．（24-25七年级上·云南红河·期末）观察下面的解题过程，并解决问题．求的值． ． ． ． ＝﹣2+1． ． ∴． 请用上述方法计算：． 25．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期末）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 题型六 根据点在数轴的位置判断式子的正负（共5小题） 26．（25-26七年级上·湖北·期末）已知a，b两个数在数轴上的对应点A，B如图所示，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 27．如图所示，数轴上点、对应的有理数分别为、，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 28．已知点A，B在数轴上的位置如图所示，其表示的数分别是a和b，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 29．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）已知三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断①；②；③；④；正确的个数是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型七 有理数的乘方运算及应用（共5小题） 31．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列说法中正确的是（   ） A．在中，底数是7 B．若，则 C．在中，指数是8 D．若，则 32．（24-25七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 33．（25-26七年级上·湖南·期末）计算： (1) (2) 34．（24-25七年级上·广西梧州·期末）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为（规定）．如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．图3中表示学生所在班级序号是（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 35．（24-25七年级上·河北保定·期末）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1： C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算： 题型八 程序流程图与有理数计算（共5小题） 36．（25-26七年级上·浙江·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去，……，第2027次输出的结果是 ． 37．（25-26七年级上·四川·期末）任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 38．（24-25七年级下·四川成都·期末）任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 39．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“F运算”的结果是11．则若，则第449次“F运算”的结果是 ． 40．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 题型九 算24点（共5小题） 41．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 42．（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 43．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式： ． 44．（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 45．（24-25六年级上·山东淄博·期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式． 题型十 科学记数法（共5小题） 46．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．若一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“32400000”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级上·广东汕头·期末）稀土元素有独特的性能和广泛的应用，我国稀土资源总储藏量为10.5亿吨，是全世界稀土资源最丰富的国家，用科学记数法表示为（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 48．（24-25八年级下·云南丽江·期末）据预测，2024年，中非贸易额达到2956亿美元，同比增长，中国连续16年保持非洲第一大贸易伙伴．将数据“2956亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 49．（25-26七年级上·吉林长春·期末）历史告诉我们，在历时近3年的抗美援朝战争中，中国人民志愿军毙伤敌人、俘虏敌人、劝降敌人共计718477人，其中美军约290000人．将290000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 50．（24-25七年级下·山东青岛·期末）连接青岛、黄岛、红岛的海湾大桥，该项目总投资达到9938000000元 ，将投资金额用科学记数法表示为 元 题型十一 近似数（共5小题） 51．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）将圆周率精确到是 ． 52．（24-25七年级上·全国·期末）按括号内的要求，用四舍五入法，对取近似值，其中错误的是（　　） A．（精确到） B．（精确到） C．（精确到十位） D．（精确到千分位） 53．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）把精确到百分位得 ，此时有 位有效数字． 54．（24-25七年级上·吉林白城·期末）下列语句中给出的数字，是近似数的是（   ） A．小王所在班有50人 B．一本书186页 C．小张的身高是厘米 D．小李数学考试成绩是115分 55．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列对1598000取近似数，其中描述正确的是 ．（填序号） ①取近似数是精确到万位； ②取近似数是精确到个位； ③精确到十万位得到的近似数为； ④精确到百位得到的近似数为． 题型十二 有理数中的规律计算问题（共5小题） 56．观察下列等式：，…．归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是 ． 57．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）符号“f”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（   ） A． B． C． D． 58．（24-25七年级上·河南周口·期末）观察下列算式． …… 按照上面的规律完成下列各题： (1)第四个算式：________； (2)第五个算式为__________； (3)计算：． 59．（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道：，…，那么 ． 利用上面的规律计算： ． 60．（24-25八年级上·广东湛江·期末）观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 题型十三 进制运算（共5小题） 61．（24-25七年级上·河南南阳·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天． 62．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．为了区分不同的进位制，常将数字放上括号并在括号外的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数．若，则代表的数是 ． 63．（24-25七年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：（1101），就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为b，第三位上的数字为a．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为n进制数时，把十进制数表示成0，1，2，…，与基数n的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为．根据上述材料，把十进制数21转换为二进制数是 ． 64．（24-25七年级上·四川自贡·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)二进制数转换为十进制数___________； (2)十进制数25转换为二进制数___________； (3)把十进制数79转换为四进制数． 65．（24-25七年级上·广西柳州·期末）阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数5678可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．三进制数转换为十进制数为 根据上述材料，解答下列问题： (1)二进制数转换为十进制数为：__________； (2)若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，请判断与是否互为“久久数”，并说明理由． 题型十四 有理数运算中的新定义问题（共5小题） 66．（25-26七年级上·湖南永州·期末）若a，b是有理数，定义一种新运算*：计算的值为 ． 67．（25-26七年级上·山西晋城·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：；； 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算： ． 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有． …… 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分： ． (2)根据材料，计算与． (3)请你补全小宇日记中的探究过程． 68．（24-25七年级上·福建福州·期末）小芳在学了《有理数的运算》后，对运算产生了浓厚兴趣．她借助所学知识，定义了一种新运算“”，其规则如下：．根据此定义，解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 69．（24-25七年级上·四川乐山·期末）对任意有理数、，定义新运算“”如下：．例：．若、满足，则 ． 70．（24-25八年级上·江苏南通·期末）定义：若正整数a，b，c满足，则称为梦想数.例如，，，则15，40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（   ） A．98 B．87 C．76 D．65 题型十五 有理数混合运算的实际应用压轴（共5小题） 71．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读以下材料，解决生活中的数学问题： 材料1：我国个人所得税起征点为每月5000元，具体规则如下： ①免税条件：月收入低于5000元的居民个人无需缴纳个人所得税； ②计税方式：超出5000元的部分按超额税率计算应纳税额． 应纳税所得额月工资收入元（起征点）-专项扣除金额； ③税率参考：具体适用税率见个人所得税税率表． 个人所得税税率表 应纳税所得额 税率 0至3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 ．．． ．．． 材料2：我国个人所得税专项附加扣除项目及金额主要有以下几个部分： ①子女教育专项：每个子女受教育阶段可享受2000元定额扣除； ②住房贷款利息专项：首套住房贷款可享受1000元定额扣除； ③赡养老人专项：每个独生子女赡养两位老人可扣除金额3000元； ④其它法定扣除项：如各类保险、公益捐赠等． 问题1：某公司员工小张扣除各项费用后的应纳税所得额为1800元，请直接写出小张缴纳的税额为___________元． 问题2：某公司员工小李除有首套住房贷款外，其他不满足专项附加扣除项目，小李月工资收入为8500元，求小李税后工资为多少元． 问题3：小刘与妻子均为独生子女，需共同赡养四位老人（双方父母各两位）并养育一个在读中学的孩子．小刘每月工资收入为14000元，已申报赡养两位老人；妻子每月工资收入为9000元，已申报赡养两位老人．子女教育专项附加扣除可选择由小刘或妻子一方申报．请通过计算说明，由谁申报此项扣除能使小刘家庭缴纳的税费较少． 72．（24-25七年级上·福建泉州·期末）小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向0.5千米处有公交专线直达公园． 出行方式 等待上车时间（分钟） 速度（千米/小时） 费用 出租车 2 30 不超过3千米 超过3千米部分 10元 里程费：2元/千米 时长费：0.5元/分钟 公交专线 3 20 票价共3元 便民自行车 0 15 每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算 步行 0 5 0元 (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶35同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 73．（24-25七年级上·北京海淀·期末）年月日，北京马拉松暨全国马拉松锦标赛在北京开赛，如下是关于这场比赛的部分信息． ．比赛共吸引了名选手参赛，比赛路线全长公里； ．组委会在沿途共设置个补给站，自公里起，每隔公里设置一个； ．组委会在起点、终点、处、处、处均设立固定医疗站．赛事沿途自公里起，至公里，每隔公里设置固定医疗站；自公里，每隔公里设置固定医疗站． 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全如下补给站的信息表（在设置补给站的公里点打勾）； 公里点 补给站 (2)下列说法中，所有合理说法的序号是______． ①不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置个； ②同时拥有补给站和固定医疗站的地点离起点最远为公里； ③自公里起至公里的路线中，固定医疗站的数量是补给站数量的两倍． 74．（24-25七年级上·重庆·期末）一条山路，从地到地是下坡路，从地到地是上坡路．小张从地出发经地到地所用的时间，比从地出发经地回到地的时间多分钟，已知小张上坡的速度是下坡的，两地的路程与两地的路程的比是．那么，小张在这条山路上往返一次要 小时． 75．（24-25七年级上·北京海淀·期末）甲、乙两人在两条生产线上加工产品．在生产线，甲第一天能加工件产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少件）比前一天少件，乙第一天能加工件产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少件）比前一天少件；在生产线，甲每天加工件产品，乙每天加工件产品．在一天内，甲和乙只能选择在中的一条产品线工作（甲和乙的选择不能相同），且在一条产品线连续工作少于天时不可改变产品线． ①甲在产品线连续工作天能加工产品 件； ②一件产品、一件产品组成一套产品，则天最多能加工 套产品． 题型十六 有理数运算与数轴、绝对值综合（共5小题） 76．若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 77．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 ___________ B点在数轴上的位置 ___________ 12 20 (2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________； (3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）． ①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？ ②A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出第二次提示？ 78．（24-25七年级上·北京东城·期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称（即）． ①______； ②比较，，的大小（用“＜”连接）； (2)数轴上的点M满足，求M； (3)数轴上的点P表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______． 79．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，在一条不完整的数轴上有三个不同的点M，N，P，且满足，设点M，N，P所对应数的和为a． (1)若点P为原点，，求点M，N对应的数； (2)若点N为原点，，求a的值； (3)若原点O到点P的距离为6，且，求a的值． 80．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 81．（24-25七年级上·广东深圳·期末）有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义为数a、b的中点数为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料 (1)______，______； (2)已知 ，求的值； (3)当时，求． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题02 有理数的运算全章16大常考题型 题型1 有理数的四则混合运算（常考点） 题型9 算24点 题型2 有理数四则混合运算的实际应用（重点） 题型10 科学记数法（常考点） 题型3 有理数运算中简便计算 题型11 近似数 题型4 省略加法和括号的形式 题型12 有理数中的规律计算问题（难点） 题型5 倒数 题型13 进制运算（难点） 题型6 根据点在数轴的位置判断式子的正负（重点） 题型14 有理数运算中的新定义问题（难点） 题型7 有理数的乘方运算及应用 题型15 有理数混合运算的实际应用压轴（难点） 题型8 程序流程图与有理数计算 题型16 有理数运算与数轴、绝对值综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 有理数的四则混合运算（共5小题） 1．（25-26六年级上·上海普陀·期末）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除运算法则求解即可； （3）化简绝对值，然后根据有理数的加减运算法则求解即可； （4）先计算括号内的，再计算乘除，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 2．（24-25七年级上·云南玉溪·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)30 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数四则运算法泽和运算顺序计算即可； （2）先根据乘法分配律去括号，再计算乘法，最后算加减运算，即可得到结果； 【详解】（1）解：      （2）解： ． 3．（24-25七年级上·四川德阳·期末）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）根据有理数的加减运算法则即可求解； （2）根据有理数的加减运算法则即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： （2） = （3） ． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）先计算绝对值及除法，再计算乘法，最后再相加减即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式= = = 5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）把减法化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）利用分配律先计算小括号内的运算，再计算中括号内的运算，最后计算除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 题型二 有理数四则混合运算的实际应用（共5小题） 6．（25-26七年级上·陕西西安·期末）“大唐诗人”主题盲盒受到年轻消费者青睐．某商店购进一批盲盒，每个盲盒进价为30元．为测试市场反应，前五天试行浮动定价，以40元为标准价，超出部分记为正，不足部分记为负．销售记录如下表： 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标准价（元） 售出数量（个） 25 40 15 30 10 (1)这五天中，单个盲盒最高售价是多少元？最高售价比最低售价多多少元？ (2)求前五天该店出售这批盲盒的总利润． 【答案】(1)单个盲盒最高售价是最高46元，最高售价比最低售价多9元 (2)1220元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、正负数的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）由表格可得第一周该店出售这批盲盒，单价最高的是星期五，再利用有理数的加法和减法计算即可得解； （2）根据题意列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由表格可得，该店前五天出售这批盲盒中，最高售价是元， 最高单价比最低单价多元． （2）解：由题意得 （元）， 前五天该店出售这批盲盒的总利润为1220元． 7．（25-26七年级上·湖南·期末）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行全科目测试，分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 已知该产品的数学测试分数为分． (1)请补全上表； (2)在本次测试的各科目中，该产品所得最高分为 分，最低分为 分； (3)求该产品在本次测试中全科目的总分． 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 【答案】(1)表格见解析 (2)92，57 (3)671分 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，熟练掌握正负数的应用和有理数的运算法则是解题的关键． （1）求出数学的相对分数，再补全表格即可； （2）先找出相对分数中的最高分和最低分，再用基准分数加上相对分数的最高分即可求出该产品所得的最高分，用基准分数加上相对分数的最低分即可求出该产品所得的最低分； （3）先根据题意列式，然后再按照有理数的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：该产品的数学测试分数为61分，数学的相对分数为（分）， 补全表格如下： 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 （2）解：在相对分数中，最高分为，最低分为， 该产品所得最高分为（分），最低分为（分）， 故答案为：，； （3）解： ， 该产品在本次测试中全科目的总分是671分． 8．（24-25七年级上·河南南阳·期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km (1)这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶______； (2)小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了多少？ (3)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航里程的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)50 (2)这七天一共行驶了 (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数减法的实际应用，有理数混合运算的实际应用．理解题意，正确列出等式是解题关键． （1）由表格可得出这七天里路程最多的一天和最少的一天，再相减即可； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）求出剩余续航里程所占百分比和比较即可． 【详解】（1）解：由表格可知最多的一天为第七天，最少的一天为第三天， 所以最多的一天比最少的一天多行驶； （2）解：， 答：小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了； （3）解：， 所以行车电脑不会发出充电提示． 9．（24-25七年级上·福建泉州·期末）一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表：（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)利用数轴，判断快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的______方，距离公司______千米处； (2)在第______次记录时快递小哥距公司地最远； (3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥这七次投递完需要花汽油费多少元？ 【答案】(1)西，3 (2)五 (3)25.92元 【分析】本题考查的是绝对值的性质，有理数的加减和乘法，大小比较等知识，关键在于要求学生对有理数相关知识的熟练掌握． （1）利用有理数的加减法，求七个数之和，得出的数是正数，表示在公司东，若是负数，就在公司西； （2）从第一个数开始，绝对值最大的就是最远距离； （3）首先算出走过的路，即各数的绝对值的和，乘以每千米的耗油量，再乘以单价即可． 【详解】（1）解：（千米）， 即最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司P的西边，距离公司3千米． （2）解：（千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， ∴第五次快递小哥距公司P最远． 故答案为：五． （3）解：（千米）， ∴（升），（元）， 即快递小哥工作一天需要花汽油费25.92元． 10．（24-25七年级下·福建南平·期末）我们知道，一年四季中白昼时长和正午时刻都不是固定不变的．不同地点每天日出、日落的时刻各不相同，白昼时长是指从日出到日落的时间长度．理论上，一个地区日出、日落相对于当天的正午时刻应该是对称的，于是我们就能得到一个简单的白昼时长计算公式∶白昼时长=（正午时刻－日出时刻） （日落时刻－正午时刻）． 表1是2025年5月23日南平市四个县市的日出时刻与日落时刻 表1 县市 延平 建阳 邵武 浦城 日出时刻 日落时刻 白昼时长 13小时37分 表2 日出时间 日落时间 6月21日（夏至） 12月21日（冬至） (1)分别求出延平、邵武、浦城这一天的白昼时长，并按表格样式填入上表； (2)求延平区这一天的正午时刻； (3)表2是南平市某年冬至与夏至的日出与日落时刻，求夏至与冬至当天白昼时长的差． 【答案】(1)13小时34分；13小时38分；13小时40分，见表格 (2)12时04分 (3)3小时21分 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据“白昼时长日落时刻日出时刻”解答即可； （2）根据“正午时刻白昼时长日出时刻” 解答即可； （3）分别求出夏至与冬至当天白昼时长，再作差即可得出结论． 【详解】（1）解：延平这一天的白昼时长为18时51分时17分=13时34分； 邵武这一天的白昼时长为18时56分时18分=13时38分； 邵武这一天的白昼时长为18时53分时13分=13时40分； 填表如下： 县市 延平 建阳 邵武 浦城 日出时刻 日落时刻 白昼时长 13小时34分 13小时37分 13小时38分 13小时40分 （2）解：∵白昼时长＝（正午时刻－日出时刻） ∴正午时刻白昼时长日出时刻     ∴延平区这一天的正午时刻为： 13小时34分时17分 6小时47分时17分 12时04分； （3）解：夏至日白昼时长时03分时14分小时49分 ，   冬至日白昼时长时19分时51分小时28分， 13小时49分小时28分小时21分 ， 答：夏至与冬至当天白昼时长的差为：3小时21分． 题型三 有理数运算中简便计算（共5小题） 11．（24-25七年级上·广东佛山·期末）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数乘法分配律： （1）根据加法的交换律和结合律把原式变形为，据此计算求解即可； （2）根据乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级上·吉林·期末）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，直接利用乘法的分配律进行简便运算即可．掌握乘法的分配律是解本题的关键． 【详解】解： ． 13．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法的运算律．先利用乘法的交换律和结合律，再利用乘法的分配律计算即可求解． 【详解】解： ． 14．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）怎样简便就怎样算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直接利用乘法分配律逆运算计算即可； （2）先把除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律逆运算计算即可． 【详解】（1）， ， ， ， （2）， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了运算定律与简便运算，解题的关键是灵活运用运算律进行简便计算． 15．（24-25七年级上·江苏常州·期末）简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数乘法的简便运算求解即可； （2）根据有理数乘法运算律求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查了有理数的乘法运算律，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法运算律． 题型四 省略加法和括号的形式（共5小题） 16．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 利用去括号法则省略括号后即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 17．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）下列省略加号和括号的形式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则判断即可. 【详解】解：. 故选：B. 【点睛】本题考查了有理数的加法，属于基本题目，掌握有理数的加法法则是关键. 18．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）把算式：写成省略括号的形式，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用有理数加减法混合运算法则计算得出答案． 【详解】解:原式=-5+4-7-2 故选C. 【点睛】本题主要考查了有理数加减法混合运算，正确去括号是解题关键． 19．（24-25七年级上·广西北海·期末）把（﹣8）+（﹣5）﹣（﹣2）写成省略括号的和的形式是 ． 【答案】﹣8﹣5+2． 【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案． 【详解】原式＝﹣8﹣5+2， 故答案为﹣8﹣5+2． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型． 20．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）将式子改写成省略括号和加号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数加减法的符号化简，关键掌握“减正得负，减负得正”的原则． 根据有理数加减法则，减去一个正数等于加上一个负数，减去一个负数等于加上一个正数，省略括号和加号后，需保留运算符号． 【详解】解：， 故选：A． 题型五 倒数（共5小题） 21．（25-26六年级上·上海·期末）已知某数的等于与的和的倒数，那么这个数是多少？ 【答案】这个数是 【分析】本题考查分数的乘除运算，熟练掌握分数除法的运算法则是解题的关键．先计算与的和，再求与的和的倒数，最后得到这个数是，根据分数除法的运算法则，除以一个分数等于乘以它的倒数即可求解． 【详解】解：， ， ， 答：这个数是． 22．（24-25七年级上·海南儋州·期末）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值等于2，n是最大的负整数． (1)直接写出，，m，n的值； (2)求的值 【答案】(1)；；； (2)或0 【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值以及有理数的加减混合运算等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据题意即可求解； （2）分类讨论当时，当时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵a，b互为倒数， ∴； ∵c，d互为相反数， ∴； ∵m的绝对值等于2， ∴； ∵n是最大的负整数， ∴ （2）解：当时， ； 当时， ； 23．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 【答案】(1)更喜欢张明的解法，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律： （1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； （2）仿照题意先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：更喜欢张明的解法，理由如下： 观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便， ∴更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数为： ， ． 24．（24-25七年级上·云南红河·期末）观察下面的解题过程，并解决问题．求的值． ． ． ． ＝﹣2+1． ． ∴． 请用上述方法计算：． 【答案】 【分析】仿照阅读材料中的方法先求其倒数，然后根据倒数关系求解即可． 【详解】解：， =， =， =， =-2， ∴． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期末）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：因为，所以和互为倒数， 故选：C． 题型六 根据点在数轴的位置判断式子的正负（共5小题） 26．（25-26七年级上·湖北·期末）已知a，b两个数在数轴上的对应点A，B如图所示，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，熟练掌握数轴的知识点是解题的关键． 先根据数轴判断数的大小，进而判断出式子的符号即可． 【详解】解：由图可知，且， A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，计算不正确，符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：C． 27．如图所示，数轴上点、对应的有理数分别为、，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴特点，绝对值意义，由数轴可知，，，然后通过运算逐一判断即可，知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴可知，，则，原选项说法错误，不符合题意； 、由数轴可知，，，则，原选项说法错误，不符合题意； 、由数轴可知，，原选项说法错误，不符合题意； 、由数轴可知，，则，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 28．已知点A，B在数轴上的位置如图所示，其表示的数分别是a和b，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值意义，根据有理数的运算法则判断结果符号.观察数轴上点A，B的位置，得出，，，再对每个结论进行判断. 【详解】解：∵观察数轴上点A，B的位置，得出，，， ∴，，， ∴②③正确. 故选：B． 29．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）已知三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断①；②；③；④；正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的点的位置和数的关系，以及有理数大小比较，先根据在数轴上，右边的数总比左边的数大，得出，再由相反数、绝对值的定义以及有理数的加减法法则即可作出判断，解题的关键是熟练掌握正数大于，负数小于；负数的绝对值越大，这个数越小． 【详解】解：①由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴， ∴，故结论②错误； ③∵，，， ∴，故结论③错误； ④∵， ∴，故结论④正确， ∴正确的个数是个． 答案：B． 30．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，由数轴可得，，进而根据有理数的运算法则逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，，， ∴结论正确的有①③④⑥，共个， 故选：C． 题型七 有理数的乘方运算及应用（共5小题） 31．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列说法中正确的是（   ） A．在中，底数是7 B．若，则 C．在中，指数是8 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查幂运算中底数和指数的概念，以及绝对值的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、在中，底数是，故该选项不符合题意； B、若，则，故该选项不符合题意； C、在中，指数是8，故该选项符合题意； D、若，则或，故该选项不符合题意； 故选：C 32．（24-25七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的应用，通过连乘计算总鸟巢数即可． 【详解】解：∵堤坝有9座，每座堤坝有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝有9个鸟巢， ∴ 总鸟巢数个 因此，文中的鸟巢共有个， 故选：C． 33．（25-26七年级上·湖南·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算； （1）先计算乘方和小括号里的计算，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 34．（24-25七年级上·广西梧州·期末）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为（规定）．如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．图3中表示学生所在班级序号是（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，图3中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，据此根据题意计算出对应的序号即可得到答案． 【详解】解：如图3，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，即表示该生为9班的学生， 故选：B． 35．（24-25七年级上·河北保定·期末）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1： C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算： 【答案】（1）1，；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查含乘方有理数的混合运算、新定义，理解除方的定义是解题关键． （1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：（1）， ； 故答案为：1，． （2）A、∵，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B、∵多少个1相除都等于1，对于任何正整数，1的圈n次方都等于1；正确； C、，故，错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．正确； 故选C； （3）， 故答案为：； （4） ． 题型八 程序流程图与有理数计算（共5小题） 36．（25-26七年级上·浙江·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去，……，第2027次输出的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式的运算以及周期规律的探究，解题的关键是找出运算结果的周期规律． 按照运算程序依次计算输出结果，找出周期规律，再根据周期计算第2027次输出的结果． 【详解】解：根据运算程序，依次计算输出结果： 第1次输入（非负数），输出， 第2次输入（非负数），输出， 第3次输入（负数），输出， 第4次输入（非负数），输出， 第5次输入（负数），输出， 第6次输入（非负数），输出， 第7次输入（非负数），输出， 第8次输入（负数），输出， 从第3次开始，输出结果以为一个周期循环， 除去前2次的次数：， 一个周期有3个结果，，刚好整除， 说明第2027次输出的结果是周期的最后一个数4． 故答案为：4． 37．（25-26七年级上·四川·期末）任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 【答案】 1（答案不唯一） 961 【分析】本题主要考查程序流程图与有理数的计算，解题的关键是围绕三位数按特定规则运算． 本题围绕三位数按特定规则运算展开，第一空需通过举例验证找出可能的重复输出结果；第二空要从最大三位数开始，依据运算规则，判断经过3次运算能输出结果的最大三位数． 【详解】解：第一空： 选取三位数100进行运算， ……1，不是3的倍数， 按照规则，计算其各位数之和：，再对和进行平方：， 后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数， 最后输出的结果可能是（答案不唯一，还可能是169等）； 第二空：从最大的三位数999开始依次验证 999：①999是3的倍数，根据规则，下一个数为，②333是3的倍数，下一个数为，③111是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 998：①998不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②676不是3的倍数，下一个数为，③361不是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 同理，运算次数都超过3次； 961：①961不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②256不是3的倍数，下一个数为，③169不是3的倍数，下一个数为，与第一次运算结果相同，输出结果；经过3次运算便输出结果，符合幸运数定义． 所以，最大的幸运数为961， 故答案为：1（答案不唯一）；961． 38．（24-25七年级下·四川成都·期末）任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 【答案】 答案不唯一 961 【分析】本题主要考查对题意的理解，解题的关键是围绕三位数按特定规则运算． 本题围绕三位数按特定规则运算展开，第一空需通过举例验证找出可能的重复输出结果；第二空要从最大三位数开始，依据运算规则，判断经过3次运算能输出结果的最大三位数． 【详解】解：第一空： 选取三位数100进行运算， ……1，不是3的倍数， 按照规则，计算其各位数之和：，再对和进行平方：， 后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数， 最后输出的结果可能是答案不唯一，还可能是169等 第二空：从最大的三位数999开始依次验证 999：①999是3的倍数，根据规则，下一个数为，②333是3的倍数，下一个数为，③111是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 998：①998不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②676不是3的倍数，下一个数为，③361不是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 同理，运算次数都超过3次； 961：①961不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②256不是3的倍数，下一个数为，③169不是3的倍数，下一个数为，与第一次运算结果相同，输出结果；经过3次运算便输出结果，符合幸运数定义． 所以，最大的幸运数为961， 故答案为：1（答案不唯一）；961． 39．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“F运算”的结果是11．则若，则第449次“F运算”的结果是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的运算能力，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴含了次数、结果规律探索问题，解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，从而求出答案． 【详解】解：当，为奇数，第1次进行F①运算，即（偶数）， 第2次进行F②运算，即（奇数）， 第3次进行F①运算，即（偶数）， 第4次进行F②运算，即（奇数）， 第5次进行F①运算，即（偶数）， 第6次进行F②运算，即（奇数）， 第7次进行F①运算，即（偶数）， 即从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1， 第449次“F运算”，得到的结果是8， 故答案为：8． 40．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【答案】2或7或37 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可． 【详解】解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217， 则； ； ； 故答案为：2或7或37． 题型九 算24点（共5小题） 41．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【答案】或或（答案不唯一，任选一个） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 42．（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．根据有理数的混合运算可进行求解． 【详解】解：． 故答案为：． 43．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式： ． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 运用有理数的混合运算进行计算使其等于即可． 【详解】解：四张牌的点数分别是3、4、1、7， ∴，， 故答案为：或（答案不唯一） ． 44．（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答； （2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 45．（24-25六年级上·山东淄博·期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式． 【答案】， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键．根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， 故答案为，． 题型十 科学记数法（共5小题） 46．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．若一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“32400000”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的形式为，其中，为整数．据此将原数32400000转换为科学记数法，即可作答 【详解】解：依题意，， 故选：C． 47．（24-25七年级上·广东汕头·期末）稀土元素有独特的性能和广泛的应用，我国稀土资源总储藏量为10.5亿吨，是全世界稀土资源最丰富的国家，用科学记数法表示为（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿吨吨， 故选：． 48．（24-25八年级下·云南丽江·期末）据预测，2024年，中非贸易额达到2956亿美元，同比增长，中国连续16年保持非洲第一大贸易伙伴．将数据“2956亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：2956亿， 故选：D． 49．（25-26七年级上·吉林长春·期末）历史告诉我们，在历时近3年的抗美援朝战争中，中国人民志愿军毙伤敌人、俘虏敌人、劝降敌人共计718477人，其中美军约290000人．将290000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：290000用科学记数法表示为． 故选：A． 50．（24-25七年级下·山东青岛·期末）连接青岛、黄岛、红岛的海湾大桥，该项目总投资达到9938000000元 ，将投资金额用科学记数法表示为 元 【答案】 【分析】本题主要考查了利用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握科学记数法的形式． 利用科学记数法的形式进行表示即可，即表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十一 近似数（共5小题） 51．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）将圆周率精确到是 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数，解题的关键是掌握用四舍五入法求近似数的方法．将万分位的根据四舍五入法求出近似数． 【详解】解：． 故答案为：． 52．（24-25七年级上·全国·期末）按括号内的要求，用四舍五入法，对取近似值，其中错误的是（　　） A．（精确到） B．（精确到） C．（精确到十位） D．（精确到千分位） 【答案】B 【分析】本题考查四舍五入取近似值，涉及精确位数、科学记数法、四舍五入法取近似值等知识，熟记四舍五入法求解是解决问题的关键．按照精确度四舍五入取值，逐项分析验证即可得到答案． 【详解】解：A、对（精确到）取近似值为，故此选项正确，不符合题意； B、对（精确到）取近似值为，故此选项错误，符合题意； C、对（精确到十位）取近似值为，故此选项正确，不符合题意； D、对（精确到千分位）取近似值为，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 53．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）把精确到百分位得 ，此时有 位有效数字． 【答案】 四 【分析】本题考查了近似数和有效数字，经过四舍五入得到的数为近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位；有效数字是从左边第一个不是0的数字起，所有的数字．取近似数的时候，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 根据近似数和有效数字的定义作答即可． 【详解】把精确到百分位得，此时有四位有效数字． 故答案为：，四． 54．（24-25七年级上·吉林白城·期末）下列语句中给出的数字，是近似数的是（   ） A．小王所在班有50人 B．一本书186页 C．小张的身高是厘米 D．小李数学考试成绩是115分 【答案】C 【分析】此题考查了近似数的概念，解题的关键是熟练掌握近似数的概念．近似数：用四舍五入法表述，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位． 根据近似数的概念求解即可． 【详解】解：A．小王所在班有50人中的50为准确数，所以A选项不符合题意； B．一本书186页中的186为准确数，所以B选项不符合题意； C．小张的身高是厘米中的为近似数，所以C选项符合题意； D．小李数学考试成绩是115分中115为准确数，所以D选项不符合题意． 故选：C． 55．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列对1598000取近似数，其中描述正确的是 ．（填序号） ①取近似数是精确到万位； ②取近似数是精确到个位； ③精确到十万位得到的近似数为； ④精确到百位得到的近似数为． 【答案】① 【分析】本题主要考查近似数，根据近似数的概念求解即可． 【详解】解：①取近似数是精确到万位，正确； ②取近似数是精确到亿位，且该数不是的近似数，原说法错误； ③精确到十万位得到的近似数为，错误； ④精确到百位得到的近似数为．错误； 所以，描述正确的是①． 故答案为：①． 题型十二 有理数中的规律计算问题（共5小题） 56．观察下列等式：，…．归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是 ． 【答案】4 【分析】根据题意，得出的个位数字的变化规律即可解决问题. 【详解】解：由题意可得： 所以的个位数字按循环. 又因为 所以的个位数字是4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了数字变化规律及尾数特征，解题的关键是根据题意得到个位数字按照循环. 57．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）符号“f”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，解题的关键理解新定义运算；根据新定义运算进行求解即可 【详解】解：根据题中的新定义得： 原式． 故选D． 58．（24-25七年级上·河南周口·期末）观察下列算式． …… 按照上面的规律完成下列各题： (1)第四个算式：________； (2)第五个算式为__________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意写出第五个算式即可； （3）根据题意可得规律可得，据此把所求式子裂项约分即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， （2）解：由题意得，第五个算式为， （3）解：； ； ； 以此类推可知，， ∴ ． 59．（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道：，…，那么 ． 利用上面的规律计算： ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于利用拆分法得出的规律变形，再计算即可． 根据已知等式得出拆项方法，写出规律；原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果． 【详解】∵，…， ∴； ∴ ． 故答案为：，． 60．（24-25八年级上·广东湛江·期末）观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算：（1）根据题目中给出的算式，可以写出相应的算式； （2）根据题目中给出的算式，可以写出相应的猜想； （3）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可． 【详解】解：（1），． 故答案为：，． （2）若为正整数，． 故答案为：． （3） ． 题型十三 进制运算（共5小题） 61．（24-25七年级上·河南南阳·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天． 【答案】510 【分析】本题考查了有理数乘方的混合运算，解题关键是理解七进制数的表示方法； 根据图中的数学列式计算类比于十进制，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数即可解答． 【详解】解：因为，七进制是满七进一， 所以，从右到左依次排列的绳子，分别代表绳结数乘以，，，的天数， 所以孩子自出生后的天数是：． 故答案为：510． 62．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．为了区分不同的进位制，常将数字放上括号并在括号外的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数．若，则代表的数是 ． 【答案】21 【分析】本题考查了进位制的换算（含乘方的有理数混合运算），熟练掌握进位制的换算方法（含乘方的有理数混合运算）是解题的关键． 先将换算成十进制，然后将其换算成八进制，即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， 即：， 又， ， 故答案为：． 63．（24-25七年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：（1101），就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为b，第三位上的数字为a．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为n进制数时，把十进制数表示成0，1，2，…，与基数n的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为．根据上述材料，把十进制数21转换为二进制数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，混合运算，根据题干信息可得，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴把十进制数21转换为二进制数是； 故答案为： 64．（24-25七年级上·四川自贡·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)二进制数转换为十进制数___________； (2)十进制数25转换为二进制数___________； (3)把十进制数79转换为四进制数． 【答案】(1)18 (2) (3)转换为四进制数为 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意理解十进制数，进行有理数运算即可得到答案； （2）根据十进制转换为二进制的方法列式计算即可； （3）根据十进制转换为四进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：二进制数转换为十进制数， 故答案为：； （2）解：十进制数25转换为二进制数， ， 故答案为：； （3）解：，即， ， 79转换为四进制数为； 65．（24-25七年级上·广西柳州·期末）阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数5678可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．三进制数转换为十进制数为 根据上述材料，解答下列问题： (1)二进制数转换为十进制数为：__________； (2)若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，请判断与是否互为“久久数”，并说明理由． 【答案】(1)11 (2)与互为“久久数”，理由见解析 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可． （2）根据“久久数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：二进制数转换为十进制数为， 故答案为：11； （2）解：与互为“久久数”，理由如下： 因为转换为十进制数为； 转换为十进制数为， ， 所以与互为“久久数”． 题型十四 有理数运算中的新定义问题（共5小题） 66．（25-26七年级上·湖南永州·期末）若a，b是有理数，定义一种新运算*：计算的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新运算的规则并代入计算． 根据新运算的定义，将代入公式计算即可． 【详解】解：根据新运算的定义，当时： ， 故答案为：13． 67．（25-26七年级上·山西晋城·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：；； 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算： ． 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有． …… 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分： ． (2)根据材料，计算与． (3)请你补全小宇日记中的探究过程． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据各式可得； （2）根据新运算的定义列式，先计算乘法、去括号，再计算加减法即可得； （3）根据新运算的定义可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：观察各式可知，， 故答案为：． （2）解： ． ． （3）解：因为，， 所以， 所以这个新定义的运算满足交换律． 68．（24-25七年级上·福建福州·期末）小芳在学了《有理数的运算》后，对运算产生了浓厚兴趣．她借助所学知识，定义了一种新运算“”，其规则如下：．根据此定义，解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解新定义运算法则． （1）根据题意列出算式，然后计算乘法，最后计算加法即可求解； （2）首先计算出，然后代入计算即可． 【详解】（1） ； （2）因为 所以 ． 69．（24-25七年级上·四川乐山·期末）对任意有理数、，定义新运算“”如下：．例：．若、满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据，可以得到、的值，然后根据即可求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ∴ ， 故答案为：． 70．（24-25八年级上·江苏南通·期末）定义：若正整数a，b，c满足，则称为梦想数.例如，，，则15，40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（   ） A．98 B．87 C．76 D．65 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘方，根据新定义，逐一判断即可．熟练掌握有理数的乘方是解题的关键． 【详解】解：A、不能写成两数的平方差，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：A． 题型十五 有理数混合运算的实际应用压轴（共5小题） 71．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读以下材料，解决生活中的数学问题： 材料1：我国个人所得税起征点为每月5000元，具体规则如下： ①免税条件：月收入低于5000元的居民个人无需缴纳个人所得税； ②计税方式：超出5000元的部分按超额税率计算应纳税额． 应纳税所得额月工资收入元（起征点）-专项扣除金额； ③税率参考：具体适用税率见个人所得税税率表． 个人所得税税率表 应纳税所得额 税率 0至3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 ．．． ．．． 材料2：我国个人所得税专项附加扣除项目及金额主要有以下几个部分： ①子女教育专项：每个子女受教育阶段可享受2000元定额扣除； ②住房贷款利息专项：首套住房贷款可享受1000元定额扣除； ③赡养老人专项：每个独生子女赡养两位老人可扣除金额3000元； ④其它法定扣除项：如各类保险、公益捐赠等． 问题1：某公司员工小张扣除各项费用后的应纳税所得额为1800元，请直接写出小张缴纳的税额为___________元． 问题2：某公司员工小李除有首套住房贷款外，其他不满足专项附加扣除项目，小李月工资收入为8500元，求小李税后工资为多少元． 问题3：小刘与妻子均为独生子女，需共同赡养四位老人（双方父母各两位）并养育一个在读中学的孩子．小刘每月工资收入为14000元，已申报赡养两位老人；妻子每月工资收入为9000元，已申报赡养两位老人．子女教育专项附加扣除可选择由小刘或妻子一方申报．请通过计算说明，由谁申报此项扣除能使小刘家庭缴纳的税费较少． 【答案】问题1：54元；问题2：小李税后工资为8425元；问题3：小刘申报“子女专项附加费”缴纳税费更少 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用——纳税问题，熟练掌握分段税率，是解题的关键 （1）应纳税所得额为1800元，乘； （2）根据应纳税所得额=月工资收入为8500元-起征点5000元-首套住房贷款享受1000元元，乘税率得纳税额，8500元减纳税额即得； （3）分别计算由小刘申报“子女教育专项”时，夫妻共纳税额，由妻子申报“子女教育专项”时，夫妻共纳税额，比较即得． 【详解】问题1：（元），54元 问题2：（元） （元） （元） 答：小李税后工资为8425元． 问题3：若小刘申报“子女专项附加费” 小刘纳税：（元） 妻子纳税：（元） 夫妻共纳税：（元） 若妻子申报“子女教育专项” 妻子纳税： ∴妻子不纳税． 小刘纳税：（元） 夫妻共纳税：（元） ∵， ∴小刘申报“子女教育专项”缴纳税费更少． 72．（24-25七年级上·福建泉州·期末）小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向0.5千米处有公交专线直达公园． 出行方式 等待上车时间（分钟） 速度（千米/小时） 费用 出租车 2 30 不超过3千米 超过3千米部分 10元 里程费：2元/千米 时长费：0.5元/分钟 公交专线 3 20 票价共3元 便民自行车 0 15 每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算 步行 0 5 0元 (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶35同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 【答案】(1)分钟； (2)①小明不能按照计划到家，理由见解析；②见解析． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）根据“步行0.5千米的时间乘车的时间等车的时间”列式计算； （2）①根据收费标准计算； ②分别算出各种方式的费用和时间，再比较求解． 【详解】（1）解：（分钟）， 答：小明乘坐公交专线前往，需要花费的时间为分钟； （2）解：①小明不能按照计划到家并支付费用， 理由：所需要的时间为：（分钟），到家的时间为：， 所需要的费用为：（元，， 小明不能按照计划到家并支付费用； ②方案：先乘坐出租车4公里，再乘骑便民自行车2公里； 乘坐出租车时间：（分钟） 乘坐出租车费用：（元） 乘骑便民自行车时间：（分钟） 乘骑便民自行车费用：8分钟分钟，费用1元． 总费用：（元） 总时间：（分钟） 方案一：出租车＋便民自行车，最少时间18分钟，费用14元 方案二：公交车＋出租车，时间20分钟，费用13元 方案三：出租车＋公交＋便民自行车，时间20.5分钟，费用14元 方案四：公交车＋便民自行车，时间最少21.5分钟，费用4元 方案五：出租车＋公交＋走路，时间最少24.5分钟，费用13元 方案六：出租车，时间14分钟，费用19元； 方案七：公交车，时间25.5分钟，费用3元； 73．（24-25七年级上·北京海淀·期末）年月日，北京马拉松暨全国马拉松锦标赛在北京开赛，如下是关于这场比赛的部分信息． ．比赛共吸引了名选手参赛，比赛路线全长公里； ．组委会在沿途共设置个补给站，自公里起，每隔公里设置一个； ．组委会在起点、终点、处、处、处均设立固定医疗站．赛事沿途自公里起，至公里，每隔公里设置固定医疗站；自公里，每隔公里设置固定医疗站． 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全如下补给站的信息表（在设置补给站的公里点打勾）； 公里点 补给站 (2)下列说法中，所有合理说法的序号是______． ①不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置个； ②同时拥有补给站和固定医疗站的地点离起点最远为公里； ③自公里起至公里的路线中，固定医疗站的数量是补给站数量的两倍． 【答案】(1)补表见解析 (2)②③ 【分析】（）根据题意可知补给站的公里点是的整数倍时，需要设置补给站，据此即可求解； （）由题意可得不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置个，即可判断①；由可判断②；分别求出固定医疗站的数量和补给站数量，即可判断③，据此即可求解； 本题考查了有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表知，补给站的第一站的公里点是， ∵自公里起，每隔公里设置一个， ∴补给站的公里点是的整数倍时，需要设置补给站， ∴补全补给站的信息表如下： 公里点 补给站 （2）解：①∵，， ∴不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置个，故选项①说法错误； ②∵， ∴同时拥有补给站和固定医疗站的地点离起点最远为公里，故选项②说法正确； ③自公里起至公里的路线中，固定医疗站的数量为个，补给站数量为个， ∴固定医疗站的数量是补给站数量的两倍，故选项③说法正确； 综上，所有合理说法的序号是②③， 故答案为：②③． 74．（24-25七年级上·重庆·期末）一条山路，从地到地是下坡路，从地到地是上坡路．小张从地出发经地到地所用的时间，比从地出发经地回到地的时间多分钟，已知小张上坡的速度是下坡的，两地的路程与两地的路程的比是．那么，小张在这条山路上往返一次要 小时． 【答案】 【分析】本题考查了路程问题，有理数的混合运算的应用，解题的关键是找出上坡时间与下坡时间差，根据速度和时间的反比关系求出上坡时间．把全程看作份，往返共走了份上坡路和份下坡路，根据题意可知返回时比去时多行了份上坡路，少行了份下坡路，则每份上坡路比每份下坡路多用（分钟），再结合速度和时间的反比关系，即可求解． 【详解】解：上坡用时： （分钟） 下坡用时： （分钟） 往返一次用时：（分钟）， 分钟小时， 故答案为：． 75．（24-25七年级上·北京海淀·期末）甲、乙两人在两条生产线上加工产品．在生产线，甲第一天能加工件产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少件）比前一天少件，乙第一天能加工件产品，每多连续加工一天，加工的件数（最少件）比前一天少件；在生产线，甲每天加工件产品，乙每天加工件产品．在一天内，甲和乙只能选择在中的一条产品线工作（甲和乙的选择不能相同），且在一条产品线连续工作少于天时不可改变产品线． ①甲在产品线连续工作天能加工产品 件； ②一件产品、一件产品组成一套产品，则天最多能加工 套产品． 【答案】 【分析】（）根据题意列出算式计算即可； （）根据题意列出算式解答即可； 本题考查了有理数加法和混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：①由题意可得，甲在生产线连续工作天最多能加工产品个 故答案为：； ②∵一个产品、一个产品组成一套产品， ∴天两种产品要同时生产出的数量最多， ∵甲在生产线连续工作天最多能加工产品个，甲在生产线连续工作天最多能加工产品个；乙在生产线连续工作天最多能加工产品个，乙在生产线连续工作天最多能加工产品个， ∴每天甲、乙轮流生产可使产品的数量相同，为个，最后两天甲生产产品件，乙生产产品件， ∴天最多能加工套， 故答案为：． 题型十六 有理数运算与数轴、绝对值综合（共5小题） 76．若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是有理数的乘方及绝对值的性质，能根据有理数的乘方及绝对值的性质得出、、之间的关系式解答此题的关键． 先根据，，均为整数，得出和均为整数，根据有理数乘方的法则得出关于、、的方程组，求出、、之间的关系，用表示出、，代入原式进行计算． 【详解】解：因为，，均为整数，所以和均为整数， 从而由可得或， 若，则， 从而． 若，则， 从而． 因此，． 故答案为：2． 77．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 ___________ B点在数轴上的位置 ___________ 12 20 (2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________； (3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）． ①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？ ②A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出第二次提示？ 【答案】(1)见解析 (2)3；4 (3)①A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒；②A、B两点开始运动后，经过3.5秒感应器开始发出第二次提示 【分析】（1）根据表格中的数据，得出点A、B运动速度和方向，求出点A在7秒时的位置和点B在0秒时的位置即可； （2）根据A、B两点间的距离和A、B运动速度求出A、B两点相遇时间；根据A、B两点在0秒时的位置，结合运动速度和方向，求出相遇时，A、B点对应的数即可； （3）①根据A、B两点间的距离和A、B运动速度，结合题意列出算式计算即可得出开始运动到发出第一次提示的时间；算出第一次持续振动过程中通过的单位长度，然后根据两个点的速度求出持续振动时间即可； ②根据A、B运动速度，开始运动到第二次振动需要运动的总路程，算出时间即可． 【详解】（1）解：∵0秒时，点A在数轴上的位置为10， 5秒时，点A在数轴上的位置为0， ∴点A向左运动，且运动速度为个单位/秒， ∴7秒时，点A在数轴上的位置为； ∵5秒时，点B在数轴上的位置为12， 7秒时，点B在数轴上的位置为20， ∴点B向右运动，且运动速度为个单位/秒， ∴0秒时，点B在数轴上的位置为， 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 B点在数轴上的位置 12 20 （2）解：根据解析（1）可知，点A向左运动，每秒运动2个单位，点B向右运动，每秒运动4个单位，则A、B两点相遇时间为： （秒）； 相遇时A、B两点对应的数为； 故答案为：3；4． （3）解：①当A、B两点相距8个单位时，发出提示， ∴感应器开始发出提示的时间为：（秒）； ∵当A、B两点相距3个单位时，停止发出提示， ∴持续个单位， ∴第一次提示持续时间为（秒）， 即A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒； ②∵当A、B两点相遇后，再相距3个单位开始第二次提示， ∴A、B两点开始运动后，到第二次发出提示的时间为：（秒）， A、B两点开始运动后，经过3.5秒感应器开始发出第二次提示． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，解题的关键是根据表格中的数据得出A、B两点运动的速度和方向． 78．（24-25七年级上·北京东城·期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称（即）． ①______； ②比较，，的大小（用“＜”连接）； (2)数轴上的点M满足，求M； (3)数轴上的点P表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______． 【答案】(1)①；② (2)或 (3)98 【分析】（1）①先求出点 表示的数为，再根据特征值的定义进行求解即可；②分别求出三个特征值即可得到答案； （2）先求出，再分点M在原点左边和右边两种情况求解即可； （3）根据题意可知是整数，即，分点P在点P左边和右边两种情况求出对应特征值下p的值，由此找到规律求解即可． 【详解】（1）解：①∵点表示的数是，点与关于原点对称（即）， ∴， ∴点 表示的数为， ∴， ∴， 故答案为：； ②由题意得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解： ∵点A表示的数为1， ∴， ∵， ∴， ∴点M表示的数为或； （3）解：∵ 且为整数， ∴是整数， 当时，即点P为的中点， ∴， 当，点P在之间时，则 ∴， 当点P在点A右边时，则， ∴， ∴，p的值为或2； 同理当，p的值为或； 当，p的值为或； … ∴当（n为大于1的整数），p的值为或； ∴所有满足条件的p的倒数之和为： ， 故答案为：98． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，数字类的规律探索，倒数，有理数加减简便计算等等，正确理解题意是解题的关键． 79．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，在一条不完整的数轴上有三个不同的点M，N，P，且满足，设点M，N，P所对应数的和为a． (1)若点P为原点，，求点M，N对应的数； (2)若点N为原点，，求a的值； (3)若原点O到点P的距离为6，且，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)6或 【分析】（1）根据点P为原点，，且，得，，根据点与原点的位置关系，确定数的属性即可； （2）根据题意， ，，得，得到，，结合点N为原点，得到点M表示的数是，N表示的数为0 ，P表示的数为．计算a的值即可； （3）分原点O在点P的左边和右边两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据点P为原点，，且， 得，， M，N都在原点的左边， 故点M表示的数是，N表示的数为． （2）解：根据题意， ，，得， 解得，， 由点N为原点， 故点M表示的数是，N表示的数为0 ，P表示的数为． 故a的值为：． （3）解：根据题意， ，， 得， 故， 当原点O在点P的右边时，，， 故点M表示的数是，N表示的数为 ，P表示的数为． 故a的值为：； 当原点O在点P的左边时，，， 故点M表示的数是，N表示的数为 ，P表示的数为． 故a的值为：； 综上所述，a的值为6或． 【点睛】本题考查了数轴的性质，数轴上的点表示有理数，数轴的构成要素，线段的和差，一元一次方程的应用，分类思想应用，熟练掌握线段和差，方程是解题的关键． 80．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①0或1；②6 (3)0，， 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新定义的含义，并能灵活应用； （1）根据题干中给出的定义进行计算即可； （2）①根据题意可分两种情况：一是为整数时，，，故，二是不是整数时，等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去，故； ②可知不是整数，再由①可知，从而有，列出算式进行计算即可； （3）由时，可知，与的小数部分相同，即的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值，即可解答． 【详解】（1）， ； （2）①， 当为整数时，， ， ， 当不是整数时，由题意得 等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去， ∴ 故答案是：或； ②， ， ； （3）时，， 与的小数部分相同， 的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值， 即的小数部分为或或， 或或． 81．（24-25七年级上·广东深圳·期末）有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义为数a、b的中点数为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料 (1)______，______； (2)已知 ，求的值； (3)当时，求． 【答案】(1)3，2 (2) (3)的值为或 【分析】（1）根据定义，得，，解答即可． （2）根据得，解得，根据定义，得． （3）根据得，整理得到，求得x值后，根据定义计算的值即可． 本题考查了新定义计算，有理数的加法，绝对值的意义，绝对值方程，正确理解定义，熟练掌握运算，解绝对值方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得，， 故答案为：3，2． （2）解：根据， 得， 解得， 根据定义，得． （3）解：根据， 得， 整理得到， 解得或 当时，； 当时，； 故的值为或． $