专题04 整式的加减全章19大常考题型（期末复习专项训练）六年级数学下学期新教材人教版五四制

**基本信息** 以19类分层题型系统覆盖整式加减全章，从概念辨析到综合应用，构建“概念-运算-迁移”三阶训练体系，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|35题|单项式/多项式定义、系数次数辨析|从具体式到抽象概念，建立整式认知框架| |核心运算|20题|合并同类项、去括号、加减运算|遵循“法则-步骤-易错点”递进，强化运算能力| |综合应用|40题|化简求值、无关型问题、规律探索等|结合数轴、几何、新定义，体现应用意识与创新思维|

专题04 整式的加减全章19大常考题型 题型1 单项式相关概念 题型11 整式的加减运算（重点） 题型2 单项式规律问题 题型12 整式加减中的化简求值（重点） 题型3 多项式相关概念 题型13 整式加减中的无关型问题（重点） 题型4 多项式的项、项数或次数 题型14 整式加减的应用（重点） 题型5 多项式系数、指数中字母求值 题型15 整式加减与规律探索相关（难点） 题型6 多项式中的升降幂排列问题（常考点） 题型16 整式加减与数轴、绝对值相关（难点） 题型7 整式的相关概念 题型17 整式加减中几何无关型问题（难点） 题型8 合并同类项（常考点） 题型18 整式加减的实际应用综合（难点） 题型9 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型19 整式加减的新定义运算（难点） 题型10 去括号与添括号 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 单项式相关概念（共5小题） 1．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列式子是单项式的是(   ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）在式子：，，，，，中，单项式有 个． 3．（25-26七年级上·全国·期末）下列各式中，既不是单项式也不是多项式的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·云南昭通·期末）下列说法正确的是（   ） A．不是单项式 B．表示负数 C．的系数是3 D．不是多项式 5．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）下列叙述中，正确的有（   ） A．单项式既没有系数，也没有次数 B．单项式的系数是5 C．不是单项式，因为代数式中出现了加法运算 D．是单项式，它的系数是，次数是3 题型二 单项式规律问题（共5小题） 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）观察按规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）观察下列关于a的单项式，探究其规律：，，，，，…，按照上述规律，第2020个单项式是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·全国·期末）下面是小丽按一定规律写出的一列单项式中的前四个单项式：，，，，按此规律写下去，第 个单项式是 ． 9．（24-25六年级上·山东淄博·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 10．（2024七年级上·全国·期末）观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是 ． 题型三 多项式相关概念（共5小题） 11．（25-26七年级上·河南商丘·期末）下列说法正确的是（    ） A．是二次单项式 B．的次数是4，系数是2 C．的系数是 D．数字0是单项式 12．（24-25七年级下·全国·期末）下列各式：，，，，，中多项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法中正确的是（　　） A．单项式的系数是3，次数是3 B．单项式的系数是，次数是2 C．是二次多项式 D．多项式的常数项是3 14．（24-25七年级上·天津·期末）在下列代数式，，，，，中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．（24-25七年级上·四川达州·期末）在代数式，，，，，，中，有（    ） A．5个整式 B．4个单项式，3个多项式 C．6个整式，4个单项式 D．6个整式，单项式与多项式的个数相同 题型四 多项式的项、项数或次数（共5小题） 16．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）在多项式中，次数最高项的系数是（  ） A．4 B． C．3 D． 17．（25-26七年级上·湖北黄冈·期末）多项式是六次四项式，则的值是 ． 18．（25-26七年级上·河南周口·期末）下列关于多项式的说法正确的是（   ） A．含有、、、1四项 B．是二次三项式 C．可看作、、、的和 D．次数是3 19．（24-25七年级上·全国·期末）单项式的次数为5，多项式的次数为4，则的值为 ． 20．（24-25七年级上·河南郑州·期末）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．各项系数分别是：，，9 C．常数项是9 D．各项分别是，，9 题型五 多项式系数、指数中字母求值（共5小题） 21．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）已知多项式的次数是5，n是四次项的系数，求的值． 22．（25-26七年级上·湖南永州·期末）已知多项式是关于，的四次三项式． (1)求的值； (2)若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 23．（24-25七年级上·全国·期末）要使关于x的多项式不含三次项及一次项，则的值为 ． 24．（24-25七年级上·福建福州·期末）如果是关于、的五次三项式，则 ． 25．（24-25七年级上·陕西西安·期末）若多项式是关于x，y的三次三项式，则有理数a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 题型六 多项式中的升降幂排列问题（共5小题） 26．（24-25七年级上·陕西西安·期末）把多项式，按a的升幂排列为 ． 27．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）若多项式是按字母x降幂排列的，则请写出一个符合条件的整数n的值： ． 28．（24-25七年级上·上海普陀·期末）将整式按降幂排列后，第二项的系数为 ． 29．（24-25七年级上·河南周口·期末）关于多项式，下列说法正确的是（    ） A．次数为 B．按的降幂排列为 C．常数项为 D．按的升幂排列为 30．（24-25七年级上·吉林长春·期末）将多项式按字母y的降幂排列后，从左边数第三项为 ． 题型七 整式的相关概念（共5小题） 31．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）下列各式中，不属于整式的是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·天津宁河·期末）下列说法正确的有（　　） ①的系数是；②不是单项式；③是多项式；④次数是3次；⑤的次数是3次；⑥是代数式但不是整式． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 33．（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列说法：①的系数是2；②多项式是二次三项式；③的常数项为2；④在，，，，0中，整式有3个．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（24-25七年级上·广东广州·期末）下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．多项式的常数项是 C．单项式的系数是，次数是4 D．0不是整式 35．（24-25六年级上·山东烟台·期末）在代数式中，下列说法正确的是（    ） A．有2个多项式，5个单项式 B．有7个整式 C．有2个多项式，4个单项式 D．有5个整式 题型八 合并同类项（共5小题） 36．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）化简： (1)． (2)． 37．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）化简： (1)； (2)． 38．（24-25七年级上·山东青岛·期末）化简 (1)； (2)． 39．（24-25六年级上·山东济宁·期末）化简 (1)； (2)． 40．（24-25七年级上·浙江·期末）化简： (1)； (2)． 题型九 已知同类项求指数中字母或代数式的值（共5小题） 41．（25-26七年级上·陕西西安·期末）若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如果与是同类项，那么m、n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 43．（25-26七年级上·天津河北·期末）若，则的值为 ． 44．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）已知多项式的次数是a，单项式与单项式是同类项，求代数式的值． 45．（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知． (1)化简：； (2)已知与是同类项，求的值． 题型十 去括号与添括号（共5小题） 46．（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 48．（24-25七年级上·全国·期末）下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 49．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 50．（24-25七年级上·山西长治·期末）下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ．                     第一步                 第二步 ．                        第三步 任务： (1)以上化简步骤中，第一步主要依据的运算律是______________． (2)以上化简步骤中，第______________步开始出现错误，这一步错误的原因是______________． (3)请写出该整式正确的化简过程，并计算当，时的值． 题型十一 整式的加减运算（共5小题） 51．（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知关于、的多项式； (1)求；老师展示了一位同学的作业如下： 解：第一步 第二步 第三步 回答问题：这位同学第_____步开始出现错误，错误原因是_____； (2)请你写出正确计算过程，并求出当．时，的值． 52．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知， (1)化简：； (2)当时，求值． 53．（24-25七年级上·河南郑州·期末）小智写了一个关于的整式（其中、为常数），同学们纷纷给、赋予不同的数值，并将该整式进行化简． (1)当，时，对整式进行化简； (2)小慧同学给出了一组数据，若最后计算的结果为．则_____，_____． 54．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）化简： (1)； (2)． 55．（24-25六年级上·山东泰安·期末）阅读材料：“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”我们可以这样来解：原式．把式子两边同乘以2．得．所以代数式的值是6．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 题型十二 整式加减中的化简求值（共5小题） 56．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）先化简，再求值：，其中， 57．（25-26七年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中，． 58．（24-25七年级上·浙江·期末）先化简，再求值：，其中，． 59．（24-25七年级下·全国·期末）【阅读理解】 根据合并同类项法则，得．类似地，如果把看成一个整体，那么．这种解决问题的思想方法被称为整体思想，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 60．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）已知，，求，并求当，时，的值． 题型十三 整式加减中的无关型问题（共5小题） 61．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）若多项式中不含项，则 ． 62．（25-26七年级上·河南新乡·期末）定义：任意两个数a、b，按规则扩展得到一个新数c，称所得的新数c为“理想数”．若，，“理想数”c的值与x的值无关，则y的值为 ． 63．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知关于的整式（为常数）．若整式的取值与无关，则的值为 ． 64．（24-25六年级上·山东烟台·期末）有这样一道计算题∶“计算的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 65．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式，形式如下： (1)设所遮住的整式为A，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式A： (2)在（1）的条件下．设．若的值与x的取值无关，求m的值 题型十四 整式加减的应用（共5小题） 66．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）将两边长分别为a和的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值（   ） A．0 B． C． D． 67．（24-25七年级上·山西临汾·期末）“元旦”期间，某文具店购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价如表所示．设该店售出x只A型号的文具，那么100只文具销售完，该店盈利 元．（用含x的代数式表示） 型号 进价（元／只） 售价（元／只） A型 10 12 B型 15 23 68．（24-25七年级上·河南·期末）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），再依次完成以下三个步骤： 第一步，A 同学拿出二张扑克牌给B 同学； 第二步，C同学拿出三张扑克牌给B 同学； 第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学． 请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为 ． 69．（24-25七年级上·四川泸州·期末）一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 请你用类似的方法表示三位数，并说明前面结论的道理． 解：设一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为m，n，p， 记这个三位数为__________________． 显然______能被3整除，______能被3整除，因此，如果______能被3整除，那么______就能被3整除，即______能被3整除． 70．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的长方形小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为______平方米，种花的面积为______平方米，种草的面积为______平方米；（结果保留π） (2)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积（π取3.14，结果精确到十分位）． 题型十五 整式加减与规律探索相关（共5小题） 71．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 72．（24-25八年级上·福建厦门·期末）观察下列等式： ；；； ；；…… (1)请再写出一个符合上述规律的等式：__________________________________________； (2)有同学说，“任意两个正整数乘积的倒数都符合上述规律”请你证明； (3)设，，求的值． 73．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形。 古希腊科学家把数1，3，6，10，15，21，……称为“三角形数”； 把1，4，9，16，25，……称为“正方形数”． 同样，可以把数1，5，12，22，……，称为“五边形数”， 将三角形、正方形、五边形都整齐地由左到右填在所示表格里： 三角形数 1 3 6 10 15 21 a … 正方形数 1 4 9 16 25 b 49 … 五边形数 1 5 12 22 c 51 70 … (1)按照规律，表格中______，______，______； (2)观察表中规律，第n个“五边形数”是______． 74．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列各式： ；；；；… (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： ； (2)按上面的规律请写出第10个等式：_________； (3)用你发现的规律计算： 75．（24-25七年级上·福建厦门·期末）研究下列式子，你能发现什么规律？ … (1)第⑤个式子是_______，第⑨个式子是________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题：计算． 题型十六 整式加减与数轴、绝对值相关（共5小题） 76．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 77．（24-25七年级上·广东深圳·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． （1）【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是______，点与点之间的距离______，点与点的中点表示的数是______，且在图1的数轴上标出点． （2）【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点M的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点M关于点P的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是______，点关于点的二次跳跃点表示的数是______，线段的长度为______． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点分别表示有理数（其中），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 78．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点、对应的数分别为、，为原点．动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点的运动时间为（秒）． (1)的值为_____，的值为_____，、两点之间的距离为_____． (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_____，点表示的数为_____． (3)当时，通过计算判断两点的位置关系． (4)当点表示的数为正数时，问是否为定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由． 79．（24-25七年级上·北京·期末）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为6，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ； (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 80．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图，，两点在数轴上分别表示有理数，，且满足，点为原点． (1)请直接写出______，______； (2)一动点从出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为（秒）． ①试探究：、两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由； ②若动点从出发后，到达原点后保持原来的速度向右运动，当点在线段上运动时，分别取和的中点，，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 题型十七 整式加减中几何无关型问题（共5小题） 81．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 82．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）阅读理解： 已知；若的值与字母的取值无关，则，解得． 当时，的值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）小华用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系． 83．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知，有个完全相同的边长为，的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为的大长方形（如图），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中. (1)请用含，的代数式表示下面的问题： ①阴影长方形：长为：__________，宽为：__________；②阴影长方形：长为：__________，宽为：__________. (2)阴影、两个长方形的周长之和与有关吗？请说明理由. 84．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）对于题目：整式的值与的取值无关，求的值．通常的解题方法是把x，y看作字母，把看作系数合并同类项．因为整式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，其中，则． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； 【拓展提升】 （2）用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设，则左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系．    85．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，已知点O为数轴原点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且．M、N两点分别从O、B出发以、的速度同时沿数轴负方向迅速运动（M在线段上，N在线段上），P是线段的中点，若M、N运动到任一时刻时，总有为定值，则、满足的数量关系是 ． 题型十八 整式加减的实际应用综合（共5小题） 86．（24-25七年级上·四川成都·期末）下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 87．（24-25八年级下·重庆·期末）我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减2倍数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以579是“方减2倍数”，579分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减2倍数”是 ；把一个“方减2倍数”A进行“方减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B能被19整除，且满足的值最大，则满足条件的正整数A为 ． 88．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10…称为三角形数，第二行的1，4，9，16…称为正方形数，第三行的1，5，12，22…称为五边形数．请你计算三角形数的第3个数字、正方形数的第5个数字和五边形数的第20个数字之和是 ． 89．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 90．（24-25七年级上·广东江门·期末）数学活动−−探究日历中的数字规律 如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．    (1)初步分析：计算图1中的结果为______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以，（______）______ (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 题型十九 整式加减的新定义运算（共5小题） 91．（24-25七年级上·福建厦门·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式）中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式． (2)已知是关于，多项式组（，为常数，），这个多项式组能否为“二元对称关联式”？若可以，分别求出，的值；若不能，说明理由． 92．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 93．（24-25七年级上·福建泉州·期末）定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 94．（24-25七年级上·湖南常德·期末）给定有理数，，对整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则 ①_______，_______； ②_______． (2)当，时，若，，，，且的值与的取值无关，求整数的值． 95．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 96．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）定义：是不为1的有理数．我们把称为的差倒数，如2的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……以此类推，的值是 ． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题04 整式的加减全章19大常考题型 题型1 单项式相关概念 题型11 整式的加减运算（重点） 题型2 单项式规律问题 题型12 整式加减中的化简求值（重点） 题型3 多项式相关概念 题型13 整式加减中的无关型问题（重点） 题型4 多项式的项、项数或次数 题型14 整式加减的应用（重点） 题型5 多项式系数、指数中字母求值 题型15 整式加减与规律探索相关（难点） 题型6 多项式中的升降幂排列问题（常考点） 题型16 整式加减与数轴、绝对值相关（难点） 题型7 整式的相关概念 题型17 整式加减中几何无关型问题（难点） 题型8 合并同类项（常考点） 题型18 整式加减的实际应用综合（难点） 题型9 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型19 整式加减的新定义运算（难点） 题型10 去括号与添括号 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 单项式相关概念（共5小题） 1．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列式子是单项式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的概念判断，解题的关键是依据“单项式是由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式，分母含字母、含加减运算的式子不是单项式”进行区分． 先明确单项式的定义，再逐个分析选项：排除含加减运算的多项式（A、B），排除分母含字母的分式（C），确认单独的数（中是常数）属于单项式． 【详解】解：A、含减法运算，是多项式，不是单项式，此选项不符合题意； B、含加法运算，是多项式，不是单项式，此选项不符合题意； C、分母含字母，是分式，不是单项式，此选项不符合题意； D、中是常数，是单独的数，属于单项式，此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）在式子：，，，，，中，单项式有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握数字与字母的乘积组成的式子是单项式，单个的数字和字母也是单项式是解题的关键．根据单项式的定义，即可求解． 【详解】解：单项式有，，，，共4个． 故答案为：4． 3．（25-26七年级上·全国·期末）下列各式中，既不是单项式也不是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式与多项式的概念，数字和字母的积是单项式，几个单项式的和是多项式，正确理解单项式和多项式的概念是解题的关键. 【详解】解：A、是几个单项式的和，这是个多项式，故A不符合题意； B、是数字与字母的积，是一个单项式，故B不符合题意； C、是与的和，这是个多项式，故C不符合题意； D、是与的商，既不是单项式也不是多项式，故D符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·云南昭通·期末）下列说法正确的是（   ） A．不是单项式 B．表示负数 C．的系数是3 D．不是多项式 【答案】D 【分析】本题可根据单项式、多项式的定义以及单项式系数的定义，对每个选项进行判断．本题主要考查了单项式、多项式的定义以及单项式系数的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． 【详解】解：选项A： 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式 是单项式，选项A错误． 选项B： 当时，；当时， 不一定表示负数，选项B错误． 选项C： 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 的系数是，选项C错误． 选项D： 几个单项式的和叫做多项式，而不是单项式 不是多项式，选项D正确． 故选：D． 5．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）下列叙述中，正确的有（   ） A．单项式既没有系数，也没有次数 B．单项式的系数是5 C．不是单项式，因为代数式中出现了加法运算 D．是单项式，它的系数是，次数是3 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式的有关知识，根据单项式及单项式系数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：A. 单项式系数是1，次数是1，故该选项不正确，不符合题意； B. 单项式的系数是，故该选项不正确，不符合题意； C. 不是单项式，因为代数式中出现了加法运算，故该选项正确，符合题意； D. 是单项式，它的系数是，次数是3，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 题型二 单项式规律问题（共5小题） 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）观察按规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式规律探究，直接利用已知得出数字变化规律，进而得出答案． 【详解】解：观察各单项式的系数，其符号规律为，分母的规律为，字母及指数规律为， ∴依照此规律，第n个单项式为：， 故选：D． 7．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）观察下列关于a的单项式，探究其规律：，，，，，…，按照上述规律，第2020个单项式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的规律探究，熟练掌握通过分析系数和次数的变化找规律的方法是解题的关键．先分析所给单项式的系数和次数规律，再根据规律求出第2020个单项式． 【详解】解：∵所给单项式的系数依次为，是从2开始的连续偶数，第个单项式的系数为； 次数依次为，第个单项式中的次数为． ∴第2020个单项式的系数为，的次数为2020，即第2020个单项式是． 故选：D． 8．（24-25七年级上·全国·期末）下面是小丽按一定规律写出的一列单项式中的前四个单项式：，，，，按此规律写下去，第 个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律题，分别找出单项式的系数和次数的变化规律是解决此题的关键． 观察单项式的正负规律、分子与分母的变化规律以及x的指数变化规律，写出代数式即可． 【详解】解：第1个单项式为：， 第二个单项式为：， 第三个单项式为：， 第四个单项式为：， … 第n个单项式为：． 故答案为：． 9．（24-25六年级上·山东淄博·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据已知单项式可得第个单项式是，即可求解，掌握单项式的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴第个单项式是， 故选：A． 10．（2024七年级上·全国·期末）观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是 ． 【答案】 【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律． 【详解】解：多项式的第一项依次是，，，，， 第二项依次是，，， 则可以得到第2023个多项式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键． 题型三 多项式相关概念（共5小题） 11．（25-26七年级上·河南商丘·期末）下列说法正确的是（    ） A．是二次单项式 B．的次数是4，系数是2 C．的系数是 D．数字0是单项式 【答案】D 【分析】此题考查了单项式和多项式的概念，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的概念．单项式：由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．多项式：由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式．多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．其中多项式中不含字母的项叫做常数项．根据单项式和多项式的概念求解即可． 【详解】解：A、是二次多项式，选项错误； B、的次数是2，系数是4，选项错误； C、的系数是，选项错误； D、数字0也是单项式，选项正确． 故选：D． 12．（24-25七年级下·全国·期末）下列各式：，，，，，中多项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的判断，熟练掌握多项式的识别是解题的关键．由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．根据多项式的定义判断即可． 【详解】解：，是单项式，代数式分母中还有字母，不是整式，不是多项式， 多项式有：，，，共3个． 故选：B． 13．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法中正确的是（　　） A．单项式的系数是3，次数是3 B．单项式的系数是，次数是2 C．是二次多项式 D．多项式的常数项是3 【答案】C 【分析】此题考查了单项式、多项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式、多项式的知识，逐选项进行判断，然后即可求解； 【详解】解：单项式的系数是，次数是3，A选项错误； 单项式的系数是，次数是2，B选项错误； 是二次多项式，C选项正确； 多项式的常数项是，D选项错误． 故选：C． 14．（24-25七年级上·天津·期末）在下列代数式，，，，，中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的定义“几个单项式的和为多项式”．根据多项式的定义即可判断． 【详解】解：代数式，，，，，中，多项式有，，，即多项式有3个， 故选：B． 15．（24-25七年级上·四川达州·期末）在代数式，，，，，，中，有（    ） A．5个整式 B．4个单项式，3个多项式 C．6个整式，4个单项式 D．6个整式，单项式与多项式的个数相同 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的概念及单项式与多项式，根据整式、单项式、多项式的概念即可判断． 【详解】解：，，，，，是整式， 其中，，是多项式， ，，是单项式， 所以，6个整式，单项式与多项式的个数相同 故选：D． 题型四 多项式的项、项数或次数（共5小题） 16．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）在多项式中，次数最高项的系数是（  ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键． 首先计算多项式中各项的次数，次数最高的项是，其系数即为答案． 【详解】解：多项式各项及其次数： ：次数为，系数为； ：次数为，系数为； ：次数为，系数为； ：次数为，系数为； 因此，次数最高项为，系数为， 故选：A． 17．（25-26七年级上·湖北黄冈·期末）多项式是六次四项式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的定义；根据题意可得，多项式的最高次数为6，且项数为4．通过分析各项次数，确定第一项的次数必须为6，从而求解． 【详解】解：多项式是六次四项式，因此最高次项的次数为6． 各项次数如下：第一项的次数为， 第二项的次数为， 第三项的次数为， 第四项的次数为． 由于其他项的次数均小于6， 故第一项的次数， 解得． 故答案为：3． 18．（25-26七年级上·河南周口·期末）下列关于多项式的说法正确的是（   ） A．含有、、、1四项 B．是二次三项式 C．可看作、、、的和 D．次数是3 【答案】C 【分析】本题考查多项式的项、次数等基本概念，熟练掌握多项式有关概念是解题的关键． 多项式由项组成，减号可视为负项，次数是各项中变量的最高次幂，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、多项式是由、、、组成，则A说法错误； 选项B、多项式中，最高次数为，由四项组成，是二次四项式，则B说法错误； 选项C、多项式可以看作、、、的和，则C说法正确； 选项D、多项式中，最高次数为，则D说法错误； 故选：C． 19．（24-25七年级上·全国·期末）单项式的次数为5，多项式的次数为4，则的值为 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了多项式和单项式，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用多项式的次数以及单项式的次数确定方法分别得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵单项式的次数为5， ∴， ∴， ∵多项式的次数为4， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7 20．（24-25七年级上·河南郑州·期末）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．各项系数分别是：，，9 C．常数项是9 D．各项分别是，，9 【答案】D 【分析】本题考查多项式，根据多项式的项，项数，次数，系数逐一进行判断即可． 【详解】解：多项式，有三项，分别，，9，其中常数项为9，次数为4，各项系数分别是：，，9； 综上，错误的是D选项； 故选D． 题型五 多项式系数、指数中字母求值（共5小题） 21．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）已知多项式的次数是5，n是四次项的系数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是多项式的次数，求代数式的值，熟记概念是解本题的关键．根据多项式的最高次项的次数为多项式的次数，结合系数先求解m，n的值，进而可得答案． 【详解】解：因为多项式的次数是5， 所以．     因为是四次项的系数， 所以，     所以． 22．（25-26七年级上·湖南永州·期末）已知多项式是关于，的四次三项式． (1)求的值； (2)若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式及单项式的相关概念，几个单项式的和，叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．熟练掌握相关概念是解此题的关键． （1）根据多项式的定义可得，即可求解； （2）由题意可得，结合，求出即可求解． 【详解】（1）解：多项式是关于，的四次三项式， ， 解得； （2）多项式与单项式的次数相同， ， 又， ， ． 23．（24-25七年级上·全国·期末）要使关于x的多项式不含三次项及一次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的定义，在多项式中不含哪项，即哪项的系数为0．根据已知条件即可得出，进而得出答案． 【详解】解：∵不含三次项及一次项， ∴， ∴， ∴． 故答案为：25． 24．（24-25七年级上·福建福州·期末）如果是关于、的五次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式．根据多项式的定义可得：，，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵是关于x、y的五次三项式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 25．（24-25七年级上·陕西西安·期末）若多项式是关于x，y的三次三项式，则有理数a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的次数与项数确定方法是解题关键．直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的三次三项式， ∴， ∴． 故选：A． 题型六 多项式中的升降幂排列问题（共5小题） 26．（24-25七年级上·陕西西安·期末）把多项式，按a的升幂排列为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式的降幂或升幂排列，解题的关键是熟练掌握在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 先分清多项式的各项，然后按多项式升幂排列的定义排列． 【详解】解：多项式，按a的升幂排列为， 故答案为：． 27．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）若多项式是按字母x降幂排列的，则请写出一个符合条件的整数n的值： ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式，能根据多项式是按字母降幂排列得出是解此题的关键．根据多项式是按字母x降幂排列得出，求出n的范围，再根据为整数求出答案即可． 【详解】解：∵多项式是按字母x降幂排列的， ∴， ∴， ∵n为整数， ∴n可以取1，2，3，4，5， 故答案为：3（答案不唯一） 28．（24-25七年级上·上海普陀·期末）将整式按降幂排列后，第二项的系数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式，先把整式的各项按y降幂排列后，找出第二项，从而找出其系数即可． 【详解】解：整式按y降幂排列为：， ∵第二项是， ∴第二项的系数是， 故答案为：． 29．（24-25七年级上·河南周口·期末）关于多项式，下列说法正确的是（    ） A．次数为 B．按的降幂排列为 C．常数项为 D．按的升幂排列为 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的意义． 若干个单项式的和组成的式子叫做多项式；每个单项式叫做多项式的项；这些单项式中的最高次数就是这个多项式的次数；把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列；由此逐一判断即可． 【详解】解：A、多项式的次数是次，此选项不符合题意； B、按的降幂排列是，此选项符合题意； C、常数项为，此选项不符合题意； D、按的升幂排列是，此选项不符合题意； 故选：B ． 30．（24-25七年级上·吉林长春·期末）将多项式按字母y的降幂排列后，从左边数第三项为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式的排列，正确降幂排列是解题的关键． 【详解】多项式按字母y的降幂排列为， 故从左边数第三项为， 故答案为：． 题型七 整式的相关概念（共5小题） 31．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）下列各式中，不属于整式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的识别，熟练掌握整式的定义是解题的关键．根据整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：为整式，故A不符合题意； B：为整式，故B不符合题意； C：为分式，故C符合题意； D：为整式，故D不符合题意； 故选：C． 32．（24-25七年级上·天津宁河·期末）下列说法正确的有（　　） ①的系数是；②不是单项式；③是多项式；④次数是3次；⑤的次数是3次；⑥是代数式但不是整式． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式、多项式、整式及代数式的概念，正确理解单项式、多项式、整式及代数式的概念是解题的关键．根据单项式、多项式、整式及代数式的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：的系数为，故①错误； 是单项式，故②错误； 是多项式，故③正确； 次数是3次，故④正确； 的次数是2次，故⑤错误； 是代数式但不是整式，故⑥正确； 所以正确的有③④⑥，共3个． 故选：B． 33．（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列说法：①的系数是2；②多项式是二次三项式；③的常数项为2；④在，，，，0中，整式有3个．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查整式的相关概念，根据单项式的系数，多项式的项数和次数，常数项，整式的概念逐一进行判断即可． 【详解】解：的系数是；故①错误； 多项式是三次三项式；故②错误； 的常数项为；故③错误； 在，，，，0中，整式有，，0，共3个；故④正确； 故选A． 34．（24-25七年级上·广东广州·期末）下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．多项式的常数项是 C．单项式的系数是，次数是4 D．0不是整式 【答案】B 【分析】本题考查单项式和多项式、整式，熟知单项式的系数、次数以及多项式的项、次数的定义是解题的关键．数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数，单项式与多项式统称整式，由此判断即可． 【详解】A.是多项式，此选项说法错误，不符合题意； B.多项式的常数项是，此选项说法正确，符合题意； C.单项式的系数是，次数是3，此选项说法错误，不符合题意； D.0是整式，此选项说法错误，不符合题意； 故选：B 35．（24-25六年级上·山东烟台·期末）在代数式中，下列说法正确的是（    ） A．有2个多项式，5个单项式 B．有7个整式 C．有2个多项式，4个单项式 D．有5个整式 【答案】C 【分析】本题考查单项式，多项式和整式的判断，根据单项式，多项式和整式的定义，进行判断即可． 【详解】解：在中，单项式有，共4个，多项式有共2个，整式有共6个； 故选C． 题型八 合并同类项（共5小题） 36．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据合并同类项法则进行即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．（24-25七年级上·山东青岛·期末）化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，涉及去括号、合并同类项等知识，熟练掌握整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．（24-25六年级上·山东济宁·期末）化简 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了合并同类项，合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． （1）将多项式中的同类项合并即可； （2）将多项式中的同类项合并即可． 【详解】（1）解： （2）解： 40．（24-25七年级上·浙江·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，合并同类项： （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九 已知同类项求指数中字母或代数式的值（共5小题） 41．（25-26七年级上·陕西西安·期末）若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，根据同类项的定义，列出方程求出和的值，进而代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 单项式 与 是同类项， ∴ ， ， ∴ ，， ∴ ， 故选：C． 42．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如果与是同类项，那么m、n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义，理解同类项的定义是解题关键．根据同类项的定义（两个单项式含有相同字母且相同字母的指数相同），列出方程求解即可． 【详解】解：与是同类项， ，， 解得：，， 故选：B． 43．（25-26七年级上·天津河北·期末）若，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据多项式相等的条件，左边两项必须为同类项才能合并，从而对应字母的指数相等，系数和等于右边系数，据此进行计算求解即可． 【详解】解：由等式可知，左边两项是同类项， 因此的指数相等，即， 解得； 的指数相等，即， 解得， 代入得：． 故答案为：10． 44．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）已知多项式的次数是a，单项式与单项式是同类项，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数以及同类项的定义，解题的关键是准确理解多项式次数和同类项的概念并据此求出相关字母的值。 先根据多项式次数的定义求出的值，再依据同类项的定义求出和的值，最后代入代数式计算。 【详解】解：多项式的次数是6，即． 因为单项式与单项式是同类项， 所以， 所以． 45．（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知． (1)化简：； (2)已知与是同类项，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及同类项定义、合并同类项等知识，熟练掌握整式加减运算法则及代数式求值方法是解决问题的关键． （1）利用整式的加减运算法则，合并同类项即可得到答案； （2）由同类项定义，列等式求出，将其代入（1）中化简结果即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：与是同类项， ， ， 由（1）中知， ，即． 题型十 去括号与添括号（共5小题） 46．（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，熟记整式加减运算法则是解决问题的关键． 先去掉括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 47．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号，属于基础题目，熟练掌握去括号的法则是解题的关键． 根据去括号的法则逐项判断即得答案． 【详解】解：A、，故本选项变形错误，不符合题意； B、，故本选项变形错误，不符合题意； C、，故本选项变形错误，不符合题意； D、，故本选项变形正确，符合题意； 故选：D． 48．（24-25七年级上·全国·期末）下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号和添括号法则，解题的关键是熟练掌握去括号和添括号时符号的变化规律． 根据去括号和添括号的法则，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】A、根据去括号法则，，而不是，该选项A错误； B、根据去括号法则，，而不是，该选项B错误； C、根据添括号法则，，而不是，该选项C错误； D、根据添括号法则，，选项D正确． 故选：D． 49．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了去括号的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据去括号法则逐一运算判断即可． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D错误； 故选：B． 50．（24-25七年级上·山西长治·期末）下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ．                     第一步                 第二步 ．                        第三步 任务： (1)以上化简步骤中，第一步主要依据的运算律是______________． (2)以上化简步骤中，第______________步开始出现错误，这一步错误的原因是______________． (3)请写出该整式正确的化简过程，并计算当，时的值． 【答案】(1)分配律 (2)三；第2个括号内，合并同类项后，所得项的系数为负数，把负数写成了正数 (3)；30 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则，和化简求值的步骤是解本题的关键． （1）观察第一步变形过程，确定出依据乘法分配律即可； （2）找出出错的步骤三，分析其原因合并同类项符号问题即可； （3）原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第一步主要依据的运算律是乘法分配律． 故答案为：分配律； （2）以上化简步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是第2个括号内，合并同类项后，所得项的系数为负数，把负数写成了正数． 故答案为：三，第2个括号内，合并同类项后，所得项的系数为负数，把负数写成了正数（答案不唯一）； （3）． ， 当，时，原式 ． 题型十一 整式的加减运算（共5小题） 51．（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知关于、的多项式； (1)求；老师展示了一位同学的作业如下： 解：第一步 第二步 第三步 回答问题：这位同学第_____步开始出现错误，错误原因是_____； (2)请你写出正确计算过程，并求出当．时，的值． 【答案】(1)二，去括号时未变号 (2)，过程见解析 【分析】本题考查整式的减法计算，掌握运算法则是解题关键． （1）根据去括号法则可知第二步开始出现错误，原因是去括号时未变号； （2）根据整式的减法计算法则计算即可． 【详解】（1）解：这位同学第二步开始出现错误，错误原因是去括号时未变号； （2） 当时，原式 52．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知， (1)化简：； (2)当时，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把A与B代入中，去括号合并即可得到结果； （2）把a与b的值代入（1）化简结果中计算即可求出值． 【详解】（1）解：， ； （2）当时，． 53．（24-25七年级上·河南郑州·期末）小智写了一个关于的整式（其中、为常数），同学们纷纷给、赋予不同的数值，并将该整式进行化简． (1)当，时，对整式进行化简； (2)小慧同学给出了一组数据，若最后计算的结果为．则_____，_____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接把，代入，然后去括号，合并同类项得出； （2）先整理原式为，结合最后计算的结果为．则，然后计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，当，时， 则 ； （2）解：依题意，， ∵最后计算的结果为． ∴ ∴， ∴； 故答案为：． 54．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （1）去括号，合并同类项即可得出答案； （2）去括号，合并同类项即可得出答案． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ， ． 55．（24-25六年级上·山东泰安·期末）阅读材料：“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”我们可以这样来解：原式．把式子两边同乘以2．得．所以代数式的值是6．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，掌握整体思想，将已知多项式进行变形是解题关键． （1）将整体代入即可求解； （2）根据，即可求解； （3）根据，即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ∵， ∴原式 （3）解：原式 ∵，， ∴原式 题型十二 整式加减中的化简求值（共5小题） 56．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减运算的化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先去括号再合并同类项得，然后把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： 当时 原式． 57．（25-26七年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值．先去括号，再合并同类项，最后将，代入，即可求解． 【详解】解： ． 当，时，原式． 58．（24-25七年级上·浙江·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式加减求值．先根据整式加减运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 59．（24-25七年级下·全国·期末）【阅读理解】 根据合并同类项法则，得．类似地，如果把看成一个整体，那么．这种解决问题的思想方法被称为整体思想，在多项式的化简与求值中，整体思想的应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】（1）（2）（3）5 【分析】（1）利用合并同类项计算即可； （2）变形，代入计算即可； （3）把已知左右分别相加，计算出，化简被求代数式，计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：. （2）解：∵， ∴ . （3）解：∵， ∴ ∴ ∴. 【点睛】本题考查了合并同类项，求代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． 60．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）已知，，求，并求当，时，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．根据整式的加减计算法则进行化简；再把，代入所求结果中进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 当，时， ∴ ． 题型十三 整式加减中的无关型问题（共5小题） 61．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）若多项式中不含项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，将多项式展开再合并，因为式子中不含项，则，据此求出a．解题的关键是将式子展开计算． 【详解】解： ， ∵多项式中不含项， ∴， ∴． 故答案为：． 62．（25-26七年级上·河南新乡·期末）定义：任意两个数a、b，按规则扩展得到一个新数c，称所得的新数c为“理想数”．若，，“理想数”c的值与x的值无关，则y的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式加减中无关类型，根据“理想数”的定义，代入和的表达式，得到关于和的表达式，再根据的值与无关，即的表达式中的项系数必须为零，从而解出的值． 【详解】解：由，， 则 ， ∵的值与无关，故的系数为零， ∴， 解得． 故答案为：． 63．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知关于的整式（为常数）．若整式的取值与无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减法则，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．列出的式子，令含的式子前的系数为求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵整式的取值与无关， ∴，， 解得：，， 则， 故答案为：． 64．（24-25六年级上·山东烟台·期末）有这样一道计算题∶“计算的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先把原式去括号，合并同类项得，根据结果进行说明即可． 【详解】解： ； ∵化简结果中不含x项， ∴小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确； 又∵化简结果中是“”，“1”、“”的平方是一样的， ∴小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的． 65．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式，形式如下： (1)设所遮住的整式为A，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式A： (2)在（1）的条件下．设．若的值与x的取值无关，求m的值 【答案】(1)不正确． (2) 【分析】本题考查了整式的加减，整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键； （1）通过移项再相加减求解即可； （2）先求出，结果整理为，根据与无关，则为0求解即可． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 根据题意得， 小明说法不正确，正确的整式； （2），， 的值与x的取值无关， ， 题型十四 整式加减的应用（共5小题） 66．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）将两边长分别为a和的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据长方形的性质证得，根据周长的计算公式，列出式子，进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，四边形是长方形， 则， ， ， 则， 故选：A． 67．（24-25七年级上·山西临汾·期末）“元旦”期间，某文具店购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价如表所示．设该店售出x只A型号的文具，那么100只文具销售完，该店盈利 元．（用含x的代数式表示） 型号 进价（元／只） 售价（元／只） A型 10 12 B型 15 23 【答案】 【分析】题目主要考查列代数式及整式的加减的应用，理解题意，列出代数式化简即可． 【详解】解：设该店售出x只A型号的文具，则售出 只B型号的文具， 根据题意得：， 故答案为：． 68．（24-25七年级上·河南·期末）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），再依次完成以下三个步骤： 第一步，A 同学拿出二张扑克牌给B 同学； 第二步，C同学拿出三张扑克牌给B 同学； 第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学． 请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减．设每人有牌x张，可得B同学有张牌，A同学有张牌，再根据第三步列出算式进行计算即可求解． 【详解】解：设每人有牌x张， ∵B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后， ∴B同学有张牌，A同学有张牌， ∴给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：． 故答案为：7． 69．（24-25七年级上·四川泸州·期末）一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 请你用类似的方法表示三位数，并说明前面结论的道理． 解：设一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为m，n，p， 记这个三位数为__________________． 显然______能被3整除，______能被3整除，因此，如果______能被3整除，那么______就能被3整除，即______能被3整除． 【答案】，，，，，，， 【分析】本题考查了数的十进制，整式加减的应用，数的整除，能根据题意发现能被3整除的整数的规律是解题的关键．根据例题解答即可． 【详解】解：设一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为m，n，p， 记这个三位数为． 显然能被3整除，能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 故答案为：，，，，，，，． 70．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的长方形小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为______平方米，种花的面积为______平方米，种草的面积为______平方米；（结果保留π） (2)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积（π取3.14，结果精确到十分位）． 【答案】(1)，， (2)长方形场地上种草的面积为27.4平方米 【分析】本题考查整式加减的应用，列代数式，代数式求值，准确识图，弄清题意是解题的关键； （1）根据长方形的面积公式求小路的面积，根据图形可知，种花的面积为半径为a的圆的面积，种草的面积等于两个小长方形的面积和减去圆的面积，列出代数式即可； （2）把当，代入（1）中的代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：小路的面积为平方米，种花的面积为平方米，种草的面积为平方米， 故答案为：，，； （2）解：当，时， 平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为27.4平方米． 题型十五 整式加减与规律探索相关（共5小题） 71．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 【答案】(1)49， (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）解：∵①， ②， ③， ④， …… ∴． （3）解：原式 ． 72．（24-25八年级上·福建厦门·期末）观察下列等式： ；；； ；；…… (1)请再写出一个符合上述规律的等式：__________________________________________； (2)有同学说，“任意两个正整数乘积的倒数都符合上述规律”请你证明； (3)设，，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了数字变化的规律，解题的关键是：得到． （1）观察所给等式，发现各部分变化规律，即可求解， （2）设两个正整数，，据此得出等式并证明，即可求解， （3）根据（2）中发现的规律，代入进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题知，符合上述规律的等式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）设两个正整数，， 即证明：成立， 过程如下：右边左边， 故此等式成立， （3）解： ， ∴ ． 73．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形。 古希腊科学家把数1，3，6，10，15，21，……称为“三角形数”； 把1，4，9，16，25，……称为“正方形数”． 同样，可以把数1，5，12，22，……，称为“五边形数”， 将三角形、正方形、五边形都整齐地由左到右填在所示表格里： 三角形数 1 3 6 10 15 21 a … 正方形数 1 4 9 16 25 b 49 … 五边形数 1 5 12 22 c 51 70 … (1)按照规律，表格中______，______，______； (2)观察表中规律，第n个“五边形数”是______． 【答案】(1)28，36，35 (2) 【分析】此题主要考查了图形的变化类问题． （1）首先根据前6个“三角形数”得出第n个“三角形数”是，据此求出a的值是多少；然后根据前5个“正方形数”可得第n个“正方形数”是，据此求出b的值是多少；最后根据前4个“五边形数”得出c的值即可； （2）根据（1）中五边形的规律，得出第n个“五边形数”是． 【详解】（1）解：前6个“三角形数”分别是： ， 第个“三角形数”是， ， 前5个“正方形数”分别是：， 第个“正方形数”是， ， 前4个“五边形数”分别是： ， ； 故答案为：28，36，35； （2）解：根据（1）中的规律得出：第个“五边形数”是； 故答案为：． 74．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列各式： ；；；；… (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： ； (2)按上面的规律请写出第10个等式：_________； (3)用你发现的规律计算： 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）利用（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， ， ， ， ， 所以第个式子可表示为（为正整数）． 则当时， ， 故答案为：；；； （2）解：由（1）知，当时， 第10个等式为：． 故答案为：； （3）解：原式 ． 75．（24-25七年级上·福建厦门·期末）研究下列式子，你能发现什么规律？ … (1)第⑤个式子是_______，第⑨个式子是________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题：计算． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了规律探究及规律应用； （1）根据已知的几个式子，即可求解； （2）由已知的几个式子找出关于的规律，即可求解； （3）将式子化为，利用规律进行求解即可； 找出规律并能利用规律解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：第⑤个式子：， 第⑨个式子：， 故答案为：，； （2）解：由题意得 ； （3）解：原式 ． 题型十六 整式加减与数轴、绝对值相关（共5小题） 76．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)不变，理由见解析 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）根据题意求出点，，向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式表示，的值，最后再进行计算即可； （）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边，根据数轴上两点间距离公式分别列出代数式即可； 本题考查了列代数式，数轴上两点间距离，整式的加减的应用，掌握数轴上两点间距离公式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：不变，理由如下： ∵经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）解：经过秒后，，两点所对应的数分别是，， 当点追上点时，， 解得， 当时，点在点处， ； 当时，点在点的右边， ； 当时，点在点的右边， ； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 77．（24-25七年级上·广东深圳·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． （1）【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是______，点与点之间的距离______，点与点的中点表示的数是______，且在图1的数轴上标出点． （2）【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点M的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点M关于点P的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是______，点关于点的二次跳跃点表示的数是______，线段的长度为______． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点分别表示有理数（其中），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】（1）1，6，3；（2）①2，8，10；②的值不变，；③ 【分析】本题主要考查了相反数、有理数、数轴两点的距离、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意即可得解； （2）①根据跳跃点的定义可知M和关于原点对称，所以可得到表示的数，再根据二次跳跃点的定义可得表示的数，进而可求的长度； ②由题易知P是和中点，再分类讨论利用数轴上两点距离求解即可； ③同②思路即可得解． 【详解】解：（1）由题易知，点B表示的数是1，，D表示的数是3；如图所示，点D为所求作． 故答案为：1，6，3； （2）①由题可知M和关于原点对称， ∴表示的数是2， ∵点P表示的数为5， ∴， ∵， ∴表示的数是8， ∴线段的长度为， 故答案为：2，8，10； ②解：的值不变，，理由如下： 分类讨论， 依题意知点表示的数是， 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴； 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴， 综上所述：； ③∵点M表示的数是m，则一次跳跃点表示的数是， ∵点与点位于点P的两侧，且， 即点P是的中点， ∵点P表示的数是p， ∴点表示的数是， ∴． 78．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点、对应的数分别为、，为原点．动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点的运动时间为（秒）． (1)的值为_____，的值为_____，、两点之间的距离为_____． (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_____，点表示的数为_____． (3)当时，通过计算判断两点的位置关系． (4)当点表示的数为正数时，问是否为定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由． 【答案】(1)，， (2)， (3)重合 (4)时，不是定值；时是定值， 【分析】本题考查了列代数式，两点间的距离公式，整式的加减运算，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）易得多项式中三次项的系数为，那么可得的值，二次项系数为，则，、两点之间的距离为表示、两点的数的差的绝对值； （2）点表示的数为：点表示的数点的运动路程，点表示的数为：点表示的数点的运动路程； （3）把代入（2）中得到的代数式，计算后即可得到、两点的位置关系； （4）根据点表示的数为正数，当点到达点时停止运动，点也随之停止，可得的大致取值范围，进而表示出所求代数式，根据不同的取值范围可得所求代数式的值是否为定值． 【详解】（1）解：多项式是关于的二次多项式， ， ， 二次项系数为， ， 、两点之间的距离为， 故答案为：，，； （2）解：动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向右运动， 点表示的数为：， 动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向左运动， 点表示的数为：， 故答案为：，； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 点和点重合； （4）解：当时，不是定值，当时，是定值，定值为，理由如下： ， 点表示的数为正数， ， ， 点到达点时停止运动，点也随之停止， ， 解得：， ， ， 当时，， 此时不是定值； 当时，， 此时是定值． 79．（24-25七年级上·北京·期末）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为6，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ； (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是； (2)0或； (3)2；2； (4) 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数a、b（）的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点C的位置，得出满足条件的值； （3）设运动t秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含t的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“n是正整数”求出n、t即可； （4）设点Q表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用m、n、表示的代数式，再由“点Q运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数m、n满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为6，， ，， ， 原点是“关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为6，， ， 若点是“关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动1个单位长度，设运动秒， 则A表示的数，B表示的数， 原点O恰好是“关联点”， 是正整数），即有， ， 是正整数， 而，为4的约数， ，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“关联点”，此时的值为2， 故答案为：2；2； （4）点在A、之间运动，且不与A、两点重合，作“整2关联点”，记为，作“整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上， 设点表示的数为，则 ，， ，， ，， ， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ． 即整数、满足的数量关系是． 80．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图，，两点在数轴上分别表示有理数，，且满足，点为原点． (1)请直接写出______，______； (2)一动点从出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为（秒）． ①试探究：、两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由； ②若动点从出发后，到达原点后保持原来的速度向右运动，当点在线段上运动时，分别取和的中点，，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或12；②的值是一个定值，为2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②先分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动， ∵点A表示的数为，点B表示的数为9， ∴运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为， ∴，， 当时，， 解得或12， 答：点P的运动时间t为或12秒； ②的值是一个定值，理由如下： 当点Q运动到线段上时，中点E表示的数是 ， 当Q从B向O运动时，中点F表示的数是， 则， 所以； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为， 中点F表示的数是， 则， 所以； 故的值是一个定值，为2． 题型十七 整式加减中几何无关型问题（共5小题） 81．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减运算和单项式乘以多项式的应用，解题关键是熟练掌握单项式乘以多项式法则． （1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （2）计算，令，再根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出，的长与宽，求出它们的面积，进而求出的差，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的多项式， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 即 故答案为：． （2），， ， 又的值与的取值无关， ， 即 （3）由题意得，阴影部分的面积， ， 当变化时，的值始终保持不变， ， 即． 82．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）阅读理解： 已知；若的值与字母的取值无关，则，解得． 当时，的值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）小华用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减运算中的无关型问题： （1）先去括号，合并同类项；再根据值与无关，合并同类项后，使的系数为0，进行求解即可； （2）设，分别表示出，，求出的值，根据的值始终保持不变，得到的值与无关，进行求解即可． 【详解】解：（1） ， 又的值与字母的取值无关， ， ； （2）设， 依题意，， ， 当的长发生变化时，的值始终保持不变， ．即． 83．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知，有个完全相同的边长为，的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为的大长方形（如图），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中. (1)请用含，的代数式表示下面的问题： ①阴影长方形：长为：__________，宽为：__________；②阴影长方形：长为：__________，宽为：__________. (2)阴影、两个长方形的周长之和与有关吗？请说明理由. 【答案】(1)①，；②， (2)阴影、两个长方形的周长的和与取值无关，见解析 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． （1）①阴影长方形：长为，宽为；②阴影长方形：长为，宽为：； （2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和即可． 【详解】（1）解：①阴影长方形：长为，宽为； ②阴影长方形：长为，宽为：； 故答案为：①，；②， （2）解：无关； 理由：阴影长方形：长为，宽为；阴影长方形：长为，宽为：； 阴影、两个长方形的周长之和为： ； 阴影、两个长方形的周长之和与无关； 84．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）对于题目：整式的值与的取值无关，求的值．通常的解题方法是把x，y看作字母，把看作系数合并同类项．因为整式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，其中，则． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； 【拓展提升】 （2）用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设，则左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系．    【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了整式加减运算、解一元一次方程等知识点，熟练掌握知识的加减运算法则是解题的关键． （1）先通过合并同类项化简，然后根据多项式的值与的取值无关，列关于m的方程求解即可； （2）观察图形，将和代入进行运算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ∵关于的多项式的值与的取值无关， ∴，解得：． （2）解：∵，， ∴， ∵当的长度发生变化时，的值始终保持不变， ∴，即． 85．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，已知点O为数轴原点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且．M、N两点分别从O、B出发以、的速度同时沿数轴负方向迅速运动（M在线段上，N在线段上），P是线段的中点，若M、N运动到任一时刻时，总有为定值，则、满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、数轴上两点间的距离、整式的加减无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据非负数的和为0，各项都为0即可确定a、b的值，进而确定点A、B表示的数，然后确定点M、N表示的数，再根据P是线段的中点确定点P表示数，然后表示出，最后根据为定值确定、的关系． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴点A、B表示的数分别为、5， 设运动时间为t，则表示，点N表示，点P表示， ∴， ∵为定值， ∴，即． 故答案为：． 题型十八 整式加减的实际应用综合（共5小题） 86．（24-25七年级上·四川成都·期末）下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 【答案】(1)平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍 (2)不能，见解析 (3)不能，见解析 【分析】本题考查了数字类规律题，整式的加减，通过数表，寻找数字间的规律并运用这一规律解决问题． （1）应算出平行四边形框内的九个数之和，进而判断与中间的数的关系； （2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，仿照（1）的算法，进行简单判断；然后设最框中间的数为未知数，左右相邻的两个数相差，上下相邻的两个数相差，得到这个数的和，再判断能否被整除，且一定是奇数才可以． （3）看所给的数能否被整除，再次判断位置，能不能用平行四边形框出符合题意的数． 【详解】（1）解：∵， 平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍； （2）解：这九个数之和不能等于2016，理由如下： 不妨设框中间的数为，这九个数按大小顺序依次为： ，，，，，，，，． ∴． ∴平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍， ∵，是偶数，而数阵所有的数是奇数， ∴这九个数之和不能等于2016； （3）解：不能，理由如下： ∵， ， ∴是第个奇数， ∵数阵每行有个数，， ∴是第行第个数， 而此时无法构成平行四边形框， 因此这九个数之和不能等于18171． 87．（24-25八年级下·重庆·期末）我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减2倍数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以579是“方减2倍数”，579分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减2倍数”是 ；把一个“方减2倍数”A进行“方减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B能被19整除，且满足的值最大，则满足条件的正整数A为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的运算与变形和逻辑推理能力，正确计算是解题的关键． 本题主要分两部分求解．第一部分求最小的“方减2倍数”，根据定义找出最小的满足条件的两位数m和n,进而求出最小的“方减2倍数”．第二部分，先根据“方减2倍数”A的“方减分解”得到新四位数B的表达式，再结合B能被19整除以及的值最大这两个条件，通过分析m、n的取值来确定正整数A． 【详解】解：因为“方减2倍数” m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8， 所以设则， 观察可知，m的值越小，A就越小． 因为m是两位数，最小的两位数是10， 所以A最小时，此时，． 将，代入可得． 那么最小的“方减2倍数” ． ∵将放在的左边组成一个新的四位数B， ∴ ， 因为B能被19整除， 所以能被19整除． ∵，，满足的值最大， ∴尽可能得大， 当时，，由能被19整除可得，解得，不合题意； 当时，，由能被19整除可得，解得不合题意；或，解得， 符合题意； ∴满足的值最大时，，， 此时，， 此时． 故答案为：64，． 88．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10…称为三角形数，第二行的1，4，9，16…称为正方形数，第三行的1，5，12，22…称为五边形数．请你计算三角形数的第3个数字、正方形数的第5个数字和五边形数的第20个数字之和是 ． 【答案】621 【分析】本题主要考查了“三角形数”与“正方形数”，解决问题的关键是探究“三角形数”与“正方形数”的规律，运用规律求数．分别探究“三角形数”与“正方形数”的存在规律，求出第3个“三角形数”与第5个“正方形数”， 第20个“五边形数”，再求第5个“三角形数”与第5个“正方形数”，第20个“五边形数”的和． 【详解】解：第1个“三角形数”：1， 第2个“三角形数”：， 第3个“三角形数”：， …… 第个“三角形数”为； 第1个“正方形数”：1， 第2个“正方形数”：， 第3个“正方形数”：， 第4个“正方形数”：， 第5个“正方形数”：， 第n个“正方形数”为； 第1个“五方形数”：1， 第2个“五方形数”：， 第3个“五方形数”： ， 第4个“五方形数”：， 第5个“五方形数”：， 第n个“五方形数”为， ； 当时，第20个“五方形数”为； ∴三角形数的第3个数字、正方形数的第5个数字和五边形数的第20个数字之和是． 故答案为：． 89．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)元或元或元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，列代数式，整式的加减运算的应用，根据题意正确列出算式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）根据材料提示的计算方法即可求解； （）根据不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费，列式求解即可； （）根据题意，分类讨论，结合（）、（）的计算方法即可求解； 【详解】（1）解：应收水费为（元）， 故答案为：48； （2）解：∵应收水费不超过的部分的水费超出不超出部分的水费， ∴应收水费为元， ∴应收水费为元； （3）解：∵月份用水量超过了月份， ∴月份用水量少于， ①当月份用水量少于时，则月份用水量超过， ∴两个月共交水费元； ②当月份用水量大于或等于但不超过时，则月份用水量不少于但不超过， ∴两个月共交水费元； ③当月份用水量超过但少于时，则月份用水量超过但少于， ∴两个月共交水费元， 综上，两个月共交的水费为元或元或元． 90．（24-25七年级上·广东江门·期末）数学活动−−探究日历中的数字规律 如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．    (1)初步分析：计算图1中的结果为______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以，（______）______ (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 【答案】(1)0，0； (2)，，0； (3)选A时，，理由见解析；选B时，，理由见解析； 【分析】本题考查作图应用与设计作图，有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． （1）先计算括号，再计算减法可得结论； （2）把，代入计算即可； （3）选A时，如图3中，结论：．设，则，，，代入计算即可；选B时，如图4中，结论：．设，则，，，代入计算即可． 【详解】（1）解：． 将图2中的方框移动到图1中的其他位置， 通过计算可以发现的值均为0， 故答案为：0，0； （2）解：设，则，，． ． 的值均为0． 故答案为：，，0； （3）解：选择：A； 如图3中，结论：． 理由：设，则，，， ； 选择：B； 如图4中，结论：． 理由：设，则，，， ． 题型十九 整式加减的新定义运算（共5小题） 91．（24-25七年级上·福建厦门·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式）中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式． (2)已知是关于，多项式组（，为常数，），这个多项式组能否为“二元对称关联式”？若可以，分别求出，的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)多项式可以是，， (2)这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时， 【分析】本题主要考查了整式的加减，读懂题意并进行计算是解题的关键． （1）根据整式的加减分三种情况，计算即可； （2）根据相关运算后的的系数对比可确定符合，利用系数对应相等即可求解． 【详解】（1）解：令，， ①当时， 则； ②当时， 则； ③当时， 则． 综上所述，多项式可以是，，． （2）令，，． 当时， ． ，，． ，． 当时，； 当时，，此时，舍去． ②当时， ． 此时，，，不符合题意，舍去． ③当时， 此时，，，不符合题意，舍去． 综上所述，当时，，这个多项式组能为“二元对称关联式” ． 92．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 【答案】(1)，； (2)， (3)，. 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，理解新定义是解本题的关键； （1）由题意可得，再根据新定义运算法则计算即可； （2）令，，可得，再根据新定义推导即可； （3）由，，可得，结合，，（p、q为正整数，且、）中不含项，可得运算中只考虑项，再进一步利用新定义探索即可. 【详解】（1）解：当，时， ∴， ∵，， ∴ ； ； （2）解：当，时， ∴， ∴ ； （3）解：当，时， ∴， ∵，，（p、q为正整数，且、）中不含项， ∴运算中只考虑项， ∴， ， ； ， ∴ ， ∴（p、q为正整数，且、）中不含项，满足条件的，. 93．（24-25七年级上·福建泉州·期末）定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)M不是N的“平移式”，理由见解析 (2)，； (3)当，时，M是N的“平移式”，“平移值”是5 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，仿照示例，可判断M不是N的“平移式”； （2）根据题意，得到，代入M，N的代数式，化简可得到结果； （3）先表示出N，判断当的条件，从而得到结果． 【详解】（1）解： M不是N的“平移式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴M不是N的“平移式”； （2）解：∵M是N的“平移式”，且“平移值”为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当，则或， ①若， 时，，， ∴，则M是N的“平移式”，“平移值”是5； ②当，时，， ∴，则M不是N的“平移式”， 综上，当， 时，M是N的“平移式”，“平移值”是5． 94．（24-25七年级上·湖南常德·期末）给定有理数，，对整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则 ①_______，_______； ②_______． (2)当，时，若，，，，且的值与的取值无关，求整数的值． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题主要考查了新运算的定义与理解、整式的加减，熟练掌握新运算的理解和指数运算是解题的关键； （1）①根据新定义直接代入化简即可； ②根据新定义的运算，将运算展开，从左往右一次作“”运算，得到，将代数式A代入即可； （2）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴当，，，时， ， ． 故答案为：；． ②∵， ∴当，，时， ． 故答案为： （2）解：∵由（1）同理可得，，， ∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 95．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 96．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）定义：是不为1的有理数．我们把称为的差倒数，如2的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……以此类推，的值是 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查了定义新运算，数字规律，根据差倒数的计算方法，分别求出值，找出规律即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，，， ∴每三个循环一次， ∵， ∴的值为， 故答案为： ． $