专题01 有理数全章17大常考题型（期末复习专项训练）六年级数学下学期新教材人教版五四制

**基本信息** 聚焦有理数全章17类常考题型，通过85道典型例题构建从概念到综合应用的递进式训练体系，强化抽象能力与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|15题|正负数应用、有理数分类|从实际情境抽象数学符号，建立数系概念| |数轴应用|25题|距离计算、点平移、整点覆盖|以数轴为工具，实现数与形的转化| |绝对值综合|20题|非负性、几何意义、最值问题|深化绝对值性质，培养分类讨论思维| |综合拓展|25题|新定义、动点问题、定值探究|结合实际情境，发展推理意识与应用能力|

专题01 有理数全章17大常考题型 题型1 正负数的概念及其应用（常考点） 题型10 绝对值的非负性（重点） 题型2 有理数的概念 题型11 绝对值的几何意义（难点） 题型3 数轴三要素及其画法 题型12 绝对值的应用（难点） 题型4 利用数轴比较有理数的大小 题型13 有理数的大小比较及其应用 题型5 数轴上两点之间的距离（重点） 题型14 有理数的新定义问题（难点） 题型6 数轴上点的平移（重点） 题型15 数轴上的动点问题 题型7 数轴上整点覆盖问题 题型16 绝对值中的最值问题 题型8 相反数的概念与应用 题型17 绝对值中的定值不变问题 题型9 求绝对值 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正负数的概念及其应用（共5小题） 1．（25-26七年级上·全国·期末）填空： （）某校举行“生活中的科学”知识竞赛，若将加分记为分，则扣分记为 分． （）记运入仓库的大米吨数为正，则吨表示 ，吨表示 ． （）规定海平面以上的高度为正，则海鸥在海平面以上米处，可记为 米；鱼在海平面以下米处，可记为 米；海平面的高度可记为 米． 【答案】 运入吨大米 运出吨大米 【分析】本题考查正负数的意义，正数和负数表示具有相反意义的量，掌握知识点是解题的关键． 在具体情境中，正数表示增加、运入或以上，负数表示减少、运出或以下，零表示基准． 【详解】解：(1) 加分记为分，则扣分表示相反意义的量，故记为分． 故答案为：． (2) 运入仓库的大米吨数为正，则吨表示运入吨大米；吨表示相反意义的量，即运出吨大米． 故答案为：运入吨大米， 运出吨大米． (3) 海平面以上的高度为正，则海鸥在海平面以上米处记为米；鱼在海平面以下米处表示相反意义的量，故记为米；海平面作为基准，高度记为米． 故答案为：， ， ． 2．下列说法正确的有（      ）个 ① 0是最小的正数； ② 任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③ 大于0的数是正数； ④ 字母既是正数，又是负数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，解决本题的关键是掌握正负数的相关概念．根据正负数的意义逐一判断即可． 【详解】解：0既不是正数也不是负数；故①错误； 任意一个正数，前面加上一个“”号，就是一个负数，故②正确； 大于0的数是正数，故③正确； 字母a既是正数，又是负数是错误的，如果a是正数，就一定不是负数，故④错误； 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）对于有理数，，如果，，那么的结果是正数还是负数？为什么？ 【答案】正数，理由见详解 【分析】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的定义是解答本题的关键． 由，可得，因为，所以，据此可得答案． 【详解】解：正数； 理由：， ， 又， ， ， 即， 的结果是正数． 4．（25-26七年级上·天津南开·期末）某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 【答案】(1)周三； (2)减少了，减少了吨 (3)吨 (4)元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟悉相反意义的量是解题的关键． （1）根据表格作答即可； （2）把出入数据相加即可； （3）根据每周的变化推导即可； （4）运算出总出入的数量，再乘价钱即可求解． 【详解】（1）解：由表可得：周三水果变化量最大，最大变化量为（吨）； 故答案为：周三；； （2）解：， 答：这一周冷库里的水果减少了，变化了吨； （3）解：每周减少吨，则上周有（吨）， 答：一周前冷库里存有水果吨； （4）解：（元）， 答：这一周共需付元装卸费． 5．（24-25七年级上·全国·期末）小光一边吃零食一边看风景日历，这时妈妈凑了过来，说：“小光，我们一起来研究日历好吗？日历中可是充满了奥秘呀！”小光一听要探索奥秘，立刻来了精神，因为小光最喜欢探究性的问题了，可是从哪儿入手研究呢？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 小光任意翻开了一张日历，如表所示．经过一番观察，小光发现：日历中每一横行相邻的数字都相差1，而每一竖列相邻的数字都相差7．同学们，你们发现了吗？妈妈告诉小光，有了这个发现，就可以解决日历中的所有问题了． 同学们，小光的妈妈说得对吗？解决有关日历中的问题，还需要哪些数学知识呢？ 【答案】不对，见解析 【分析】本题考查了日历中的规律问题．熟练掌握日历表格是解题的关键． 根据日历的排列结构，每月每周天数解答． 【详解】小光的妈妈说得不对， 解决有关日历的问题还需要知道日历中的日期都是正整数，每周7天，以及每个月的天数（28、29、30或31天）等． 题型二 有理数的概念（共5小题） 6．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，求解即可． 【详解】解：在，，，，，中， 有理数有：，，，，，共个； 故选：B． 7．（24-25七年级上·河南周口·期末）把下列各数填入它所属的集合内：． (1)分数集合{_______…}； (2)自然数集合{______…}； (3)非正整数集合{_______…}； (4)非负有理数集合{______…}． 【答案】(1) (2) (3)，0 (4)15，，0，，80%，5 【分析】（1）根据有理数的分类进行作答即可； （2）根据有理数的分类进行作答即可； （3）根据有理数的分类进行作答即可； （4）根据有理数的分类进行作答即可． 【详解】（1）解：分数集合：； 故答案为：； （2）自然数集合：； 故答案为：； （3）非正整数集合：； 故答案为：，0； （4）非负有理数集合： 故答案为：15，，0，，80%，5． 【点睛】本题考查有理数的分类．熟练掌握有理数的分类方法，是解题的关键． 8．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）下列说法正确的是（    ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．是正数 C．正数又可称为非负数 D．有理数中有绝对值最小的数 【答案】D 【分析】根据有理数的性质判断求解． 【详解】解：A选项：有理数包括正有理数、负有理数和0，故A错误，不符合题意； B选项：是非负数，故B错误，不符合题意； C选项：正数和0可称为非负数，故C错误，不符合题意； D选项：有理数中有绝对值最小的数， 故D正确,符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的性质，熟练掌握有理数的性质是解题的关键． 9．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）在下列数中：，0.23，，0，，，，，该正整数的个数为，非负数的个数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据正整数的概念知所给数中，，为正整数，得到；根据非负数的概念知所给数中0.23，，0，，为非负数，得到，代入求值即可． 【详解】解：，0.23，，0，，，，， 正整数有：，，，即， 非负数有：中0.23，，0，，，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，掌握有理数概念及分类是解决问题的关键． 10．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列说法中，不正确的是（    ） A．负分数一定是负有理数 B．可以写成分数形式的数称为有理数 C．是负整数，但不是有理数 D．0是正数和负数的分界 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类．根据有理数的分类逐一进行判断即可． 【详解】解：A、负分数一定是负有理数，本选项不符合题意； B、可以写成分数形式的数称为有理数，本选项不符合题意； C、是负整数，也是有理数，原说法错误，本选项符合题意； D、0是正数和负数的分界，本选项不符合题意； 故选：C． 题型三 数轴三要素及其画法（共5小题） 11．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查数轴的定义，有理数与数轴，根据数轴的定义，以及用数轴表示有理数逐一进行判断即可． 【详解】解：规定了原点、单位长度，正方向的直线是数轴；故①说法错误； 数轴上两个不同的点不能表示同一个有理数；故②说法错误； 有理数在数轴上能表示出来；故③说法错误； 任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点；故④说法正确； 故选A． 12．（24-25六年级上·山东济宁·期末）下列选项中，表示数轴正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答此题的关键． 【详解】解：A、没有遵循正方向向右的数轴上右边的数大于左边的数，数轴不正确，不符合题意； B、没有正方向，数轴不正确，不符合题意； C、单位长度不统一，数轴不正确，不符合题意； D、数轴正确，符合题意； 故选：D． 13．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各图中，是数轴的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 根据数轴的定义即可解答． 【详解】解：A、没有方向，不是数轴，不符合题意； B、单位长度不一致，不是数轴，不符合题意； C、没有原点，不是数轴，不符合题意； D、是数轴，符合题意． 故选D． 14．（24-25七年级上·广东珠海·期末）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（    ）个．    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，结合图形判断即可． 【详解】解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度， 图（1）没有原点，故（1）不正确； 图（2）满足数轴的定义，故（2）正确； 图（3）所画负半轴上的数字排列顺序不对，故（3）错误； 图（4）所画单位长度不一致，故（4）不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答此题的关键． 15．下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 【答案】D 【分析】①根据数轴的定义，可判断①，②数轴上的点与数的关系，可判断②，③根据实数与数轴的关系，可判断③，④根据数轴与有理数的关系，可判断④ 【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故原说法错误； ③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数，利用了数轴与有理数的关系，数轴与无理数的关系，熟练掌握规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键． 题型四 利用数轴比较有理数的大小（共5小题） 16．（24-25七年级上·福建福州·期末），是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴及有理数的大小比较，先在数轴上表示出，，然后根据数轴特点比较大小即可． 【详解】解：，在数轴上的位置，如图所示： 根据数轴可知：， 故选：B． 17．（24-25七年级上·河北邢台·期末）已知有五个有理数，分别是：，，，，0． (1)请把这五个有理数在数轴上表示出来； (2)按照从小到大的顺序用“”把它们连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查用数轴表示有理数，并比较有理数的大小，正确的表示出各数，掌握数轴上的数右边比左边的大，是解题的关键． （1）先求绝对值，化简多重符号，然后在数轴上表示出各数即可； （2）根据数轴上的数右边比左边的大，比较大小即可． 【详解】（1）解：，，如图， （2）由图可知：． 18．（25-26七年级上·浙江·期末）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_____． (2)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为_____． (3)在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 【答案】(1)图见解析；； (2)或； (3)图见解析，． 【分析】本题考查的知识点是在数轴上表示有理数、数轴上两点之间的距离、利用数轴比较有理数的大小，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）点表示的数是可得原点位置，进一步得到点所表示的数； （2）分两种情况讨论求解； （3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大，用“”把这些数按从小到大连接起来即可． 【详解】（1）解：依题意得： 则点所表示的数是， 故答案为：； （2）解：点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：，， 在数轴上表示如下图所示： 由数轴可知，． 19．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列应是 （用“”号连接）． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，由数轴可得，，，即可求解． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， 故答案为：． 20．（24-25七年级上·福建泉州·期末）数、在数轴上的对应点如图所示，则、、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，熟练掌握数轴上点的特点是解本题的关键．根据有理数a、在数轴上对应的点的位置可知：，且，由此判断即可． 【详解】解：由题意可知：，且， ， 故选：B． 题型五 数轴上两点之间的距离（共5小题） 21．（24-25七年级上·云南昆明·期末）数轴上点与表示的点的距离是，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解答本题的关键． 根据数轴上两点间的距离公式解答即可． 【详解】解：数轴上点与表示的点的距离是的点有两个， 或， 点表示的数是或， 故选：D． 22．（24-25七年级上·全国·期末）在数学超市课上，李老师出了这样一道题：点是数轴上一点，一只蚂蚁从点出发爬了个单位长度到了表示的数的点，则点所表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴的动点问题，准确计算是解题的关键． 根据题意，分两种情况讨论即可求解； 【详解】解：从数轴上点出发向左爬了个单位长度到了表示的数的点，则点表示的数是； 从数轴上点出发向右爬了个单位长度到了表示的数的点，则点表示的数是； 综上所述，点所表示的数是或； 故答案为：或 23．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】0或10或20 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是要读懂题目的意思，利用分论讨论的思想求解．分，，，进行讨论求解即可． 【详解】解：， ①当，则，则点C所表示的数为； ②当，则，则点C所表示的数为； ③当，则，则点C所表示的数为； 综上，点在数轴上表示的数为：0或10或20， 故答案为：0或10或20． 24．（24-25七年级上·重庆南川·期末）如图所示，点是数轴的原点，数轴上的点对应的数是，点对应的数是9．点为数轴上的一动点，其对应的数为．用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)12； (2)或； 【分析】（1）本题考查数轴上两点间距离，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值求解即可得到答案； （2）本题考查数轴上两点间距离，分点在、之间与点在点右侧两类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：∵M对应的数是，点N对应的数是， ∴， 答：的值是； （2）解：①当点在、之间时， ∵， ∴， 即， ， ②当点在点右侧时， ∵， ∴， ， 答：x的值是5或． 25．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ ． 【答案】或 【分析】先求出点对应的数为，点对应的数是5，设经过秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴点对应的数为，点对应的数是5， 设经过秒，则， ，， 若时，                         ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化． 故答案为：或． 【点睛】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论． 题型六 数轴上点的平移（共5小题） 26．（25-26七年级上·四川成都·期末）点A在数轴上表示的数是，从A点出发先向右平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度到达点B，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上点的平移规律，熟练掌握“向右平移对应数加，向左平移对应数减”是解题的关键． 根据数轴上点的平移规律“向右平移数加，向左平移数减”，先对起始点进行向右平移操作，再进行向左平移操作，计算最终点表示的数． 【详解】解：∵点表示的数是，向右平移个单位长度， ∴平移后表示的数为， 又∵再向左平移个单位长度， ∴最终点表示的数为， 故答案为：． 27．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是 ； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点 重合． 【答案】 【分析】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． （1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2025表示的点与点B重合； 故答案为：． 28．（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，点M表示的数是4，从M点出发，沿着数轴向某个方向移动5个单位长度到达点N，则点N表示的数是 ． 【答案】9或 【分析】本题考查数轴上点的移动．根据题意分两种情况求解即可． 【详解】解：点M表示的数是4，向右移动5个单位长度，点N表示的数为； 向左移动5个单位长度，点N表示的数为． 故答案为：9或． 29．（25-26七年级上·吉林长春·期末）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 30．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【详解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 题型七 数轴上整点覆盖问题（共5小题） 31．（25-26七年级上·广西南宁·期末）如图，在数轴上被三十六中的吉祥物紫紫所覆盖的数可能是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设在数轴上被覆盖的数是，根据数轴的性质可得，由此即可得． 【详解】解：设在数轴上被覆盖的数是， 由数轴的性质得：， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 32．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键． 根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有，，共2个， 故答案为：2 ． 33．（24-25七年级上·河南南阳·期末）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个， 故选：C 34．（2024七年级上·全国·期末）如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 35．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 题型八 相反数的概念与应用（共5小题） 36．（25-26七年级上·天津西青·期末）下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，通过计算每个选项中的两个数值，根据相反数的定义判断是否互为相反数即可求解． 【详解】相反数的定义是两数只有符号不同，和为0， A、，，3与互为相反数，符合题意； B、，，不是相反数，不符合题意； C、，，不是相反数，不符合题意； D、，，不是相反数，不符合题意； 故选：A． 37．（25-26七年级上·天津南开·期末）请按要求解答下列问题． (1)把，，，，这五个数在如图所示的数轴上表示出来； (2)把，，，，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来： (3)，，，，这五个数中，绝对值等于它的相反数的数有________个； (4)，，，，这五个数在数轴上表示的点中，我们可以计算任意两点之间的距离，则距离的最大值是________． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)3 (4) 【分析】本题考查数轴，绝对值和有理数的分类及比较大小，解题的关键是熟练掌握有理数的相关概念； （1）先在数轴上表示出各个数即可； （2）由（1）的数轴即可得出答案； （3）根据相反数的定义和绝对值的定义得出即可； （4）由（1）的数轴上距离最远的两点作差进行计算即可． 【详解】（1）解：如下图： （2）解：，， ， ； （3）解：根据绝对值等于它的相反数的数是负数或0， ，，，，中，有，，三个数， 故答案为：3； （4）解：由图可知，距离的最大值是：， 故答案为：． 38．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： （1）点，，表示的数分别为 ， ， ； （2）点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点，相反数的定义． （1）直接根据数轴作答即可； （2）直接根据相反数的定义作答即可； （3）先求出点所表示的数，再求其相反数即可； （4）先求出点所表示的数，再求其相反数即可． 【详解】（1）点，，表示的数分别为，，； 故答案为：，， （2）点，，表示的数的相反数分别为，，； 故答案为： ，， （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是； 故答案为： （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是． 故答案为： 39．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 40．（24-25六年级上·山东泰安·期末）数轴上表示、的点分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等．若有理数、表示的数分别是和，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上点的特点，绝对值的意义，相反数的定义，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点，列出关于的方程，求出的值．根据、的点分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等，得出、互为相反数，得出，求出即可． 【详解】解：∵数轴上表示、的点分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等．若有理数、表示的数分别是和， ∴、互为相反数，即， 解得：， 故答案为：． 题型九 求绝对值（共5小题） 41．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）的值是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据负数的绝对值等于它的相反数求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 42．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．根据，，得出，，然后分情况进行讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为1或3． 故选：C． 43．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，数轴，掌握数轴表示数的方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 根据数轴表示数的方法以及点A、点B所表示的数进行计算即可． 【详解】解：由于点A在原点左侧，点A对应整数a，a的最大值是， 又点B在原点右侧，点B对应整数b，而， ， 故选：B． 44．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义和化简绝对值逐项排除即可． 【详解】解：A、，，故和不互为相反数，该选项不符合题意； B、，，故和不互为相反数，该选项不符合题意； C、和不互为相反数，该选项不符合题意； D、，，故和互为相反数，该选项符合题意； 故选：D． 45．（24-25七年级上·重庆南岸·期末）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于进行“绝对运算”，得到：． ①对1，3，5，10进行“绝对运算”的结果是29； ②对进行“绝对运算”的结果为A，则A的最小值是7； ③对进行“绝对运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①根据“绝对运算”的运算方法进行运算即可判定； ②根据“绝对运算”的运算方法进行运算，即可判定； ③首先根据“绝对运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【详解】解：①对1，3，5，10进行“差绝对值运算”得：，故①正确； ②对x，，5， ∵，表示的是数轴上点x到和5的距离之和， ∴的最小值为， ∴x，，5的“绝对运算”的最小值是：，故②不正确； 对a，b，b，c进行“绝对运算”得：， 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，，； a，b，b，c的“绝对运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③正确， 综上分析可知，有2个正确的． 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，熟练掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键． 题型十 绝对值的非负性（共5小题） 46．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，解题的关键是利用非负性求出、的值． 通过分析等式中各项的非负性，得出绝对值项和平方项均为零，进而求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． 47．（24-25七年级上·广东湛江·期末）已知：，，若，求的值． 【答案】84 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值，非负数的性质．先根据非负数的性质可得，再把A，B代入进行化简，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解：∵， ，， 解得：， ∵，， ， 当时， 原式 ． 48．（24-25七年级上·山东济宁·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】，1 【分析】本题考查了整式的化简求值，以及绝对值的非负性，解题的关键是能准确进行化简、计算．先运用整式加减混合运算化简代数式，再运用非负数的知识求得x，y的值，最后代入、计算，即可解题． 【详解】解：原式 ， ， ，， 解得，， ∴原式． 49．（24-25七年级上·云南昭通·期末）已知：，， (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减及求代数式的值，熟练求解整式的加减是解题的关键， （1）把代入，利用整式的加减计算即可； （2）由，得，然后代入化简后的式子求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ，且 ， ， ， ， 50．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）已知多项式，． (1)求； (2)若a，b为有理数，且满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键运用合并同类项的方法和非负数的性质来计算． （1）把A和B的两个多项式相加，进行合并同类项即可； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，求出a和b的值，再代入代数式中求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，． ． 将，代入原式，原式． 题型十一 绝对值的几何意义（共5小题） 51．（25-26六年级上·上海松江·期末）如果点和点在数轴的一部分上的位置如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．点表示的数一定是负数： B．点表示的数一定小于点所表示的数； C．点表示的数与点所表示的数的和一定是正数； D．点表示的数的绝对值一定小于点所表示的数的绝对值； 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，由于不知道原点位置，故不能判断点A和点B所表示的数的正负，且不能判断二者所表示的数的绝对值的大小，而点A在点B左侧，则点A表示的数小于点B表示的数，据此可得答案． 【详解】解：∵不知道原点的位置， ∴点A表示的数不一定是负数，点A表示的数不一定是正数，点A表示的数的绝对值不一定小于点B所表示的数的绝对值， ∵点A在点B左侧， ∴点A表示的数一定小于点B表示的数， ∴四个选项中只有B选项说法正确，符合题意， 故选：B． 52．（24-25七年级上·广西·期末）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，最小； ②找出满足的的所有值是_________． 【答案】问题1：4，8；问题2：；问题3：①4；；②4，； 【分析】本题考查了绝对值的几何意义及数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 问题1：根据材料直接计算即可； 问题2：根据材料表示出来并化简即可； 问题3：①根据x的范围去掉绝对值符号即可得到最小值；②分三种情况讨论：x在和3之间（包含端点），x在3的右侧，x在左侧． 【详解】解：问题1：A到B的距离是，A到C的距离是， 故答案为：4，8； 问题2：A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； 问题3：①对于， 当的值取在不小于且不大于3的范围时， ； 对于， 当的值取在不小于且不大于2的范围时，的值保持不变，且为其最小值， 这个最小值为； 故答案为：4；； ②设点A、B、C在数轴上分别表示数、、， 则表示A到B的距离与A到C的距离之和为6， 结合数轴可知，当A在B、C之间（包含B、C）时，不符合题意， 当A在B右侧时，，解得； 当A在C左侧时，，解得； 故答案为：4，． 53．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数轴上，，，四点，若数轴上有一点，点所表示的数为．且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（   ） A．在点左侧 B．在线段上 C．在线段上 D．在线段上 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应的关系是解答此题的关键．根据、、、四点在数轴上的位置以及绝对值的定义即可得出答案． 【详解】解：点所表示的数为，点所表示的数为，点所表示的数为， 表示点与之间的距离，表示点与点之间的距离， ， ， 点在线段上． 故选：B． 54．（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 55．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离和绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义，明确数轴上的点和有理数的一一对应关系，以及具有数形结合的思想． 根据两点之间的距离和绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：的几何意义数轴上x所对应的点到的距离与x所对应的点到5的距离之和， 当在数与5之间时，的和为7， 当在的左侧或5的右侧时，， 的最小值为7， 故答案为：7． 题型十二 绝对值的应用（共5小题） 56．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）五个新篮球的质量（单位∶克）分别是，，，，，正数表示超过标准质量的克数，负数表示不足标准质量的克数．仅从轻重的角度看，最接近标准的篮球的质量是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数的应用，绝对值的应用，先求出绝对值，再比较大小，绝对值小的最接近标准的篮球的质量，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，，，，， ∵， ∴最接近标准的篮球的质量是， 故选：． 57．（24-25七年级上·吉林·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为 ． 编 号 体重情况 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重． 【详解】解：，，，，，， ， 号同学的体重最接近标准体重． 故答案为： ． 58．（24-25七年级上·全国·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 【答案】 5 / 4 5 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 理解：（1）根据两点之间的距离即可求解； （2）根据两点之间的距离即可求解； （3）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 【详解】解：理解：（1）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 故答案为：． 59．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期末）某仓库管理员连续 7 次对进库、出库的冰箱台数进行统计，将进库的冰箱台数记作正数，出库的冰箱台数记作负数．记录如下表（单位：台）： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这 7 次进库、出库前，仓库管理员结算仓库有 219 台冰箱．那么在这 7 次进库、出库后，仓库存有冰箱多少台？ (2)若每台冰箱进库或出库的搬运费均为 10 元，则这 7 次进库、出库的冰箱搬运费共多少元？ 【答案】(1)在这 7 次进库、出库后，仓库存有冰箱200台 (2)这 7 次进库、出库的冰箱搬运费共1550 元 【分析】本题考查了正负数、有理数运算、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握正负数、有理数运算的性质，从而完成求解． （1）根据正负数和有理数运算的性质，通过记录数据加减计算，即可得到答案； （2）根据绝对值的性质，先求解记录数据的绝对值之和，再乘以10即可得到答案． 【详解】（1）∵ 又∵出库前，仓库管理员结算仓库有 219 台冰箱 ∴在这 7 次进库、出库后，仓库存有冰箱数量为：台． （2）根据题意，这 7 次进库、出库的冰箱搬运费为元． 60．（24-25七年级上·山东济南·期末）出租车司机刘师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，○表示载有乘客，且乘客都不相同）： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 载客 × ○ ○ × ○ ○ ○ ○ (1)刘师傅走完第8次里程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有8升油，若少于2升则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油． (3)已知载客时3千米以内收费15元，超过3千米后，超出部分每千米收费2.8元，问：刘师傅这天上午最高一次的营业额是多少元？ 【答案】(1)他在A地的西边，离A地有1千米； (2)可以不加油； (3)59.8元． 【分析】（1）求出8次里程的和，根据和的符号判断方向，由和的绝对值判断距离； （2）求出8次行驶距离之和，再根据耗油量和油箱内油量情况进行判断； （3）根据数据可知第三次营业额最高，计算即可． 【详解】（1）因为 所以刘师傅走完第8次里程后，他在A地的西边，离A地有1千米； （2）刘师傅这天上午行驶的总路程为： 行驶的总路程：（千米）， 耗油量为：（升），                      因为，                              所以刘师傅这天上午中途可以不加油； （3）由表可知，刘师傅这天上午第3次的里程营业额最高．第3次的营业额为： （元） 答：刘师傅这天上午最高一次的营业额是59.8元． 【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，掌握绝对值的计算方法是解决问题的关键． 题型十三 有理数的大小比较及其应用（共5小题） 61．（25-26七年级上·湖南·期末）比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 62．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）（1）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示． ①填空：（填“”、“”或“”）a__________0；b__________0； ②用“”将a，b，，0连接起来：______________； （2）已知，若，求x，y的值． 【答案】（1）①，；②（2） 【分析】本题考查有理数和数轴，绝对值的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）①根据点在原点的左侧还是右侧即可得出结果；②根据点在数轴上的位置进行判断即可； （2）根据绝对值的意义，结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）①由数轴可知，在原点右侧，在原点左侧， 故； ②∵， ∴， 故； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 63．（24-25七年级上·广东汕头·期末）某年哈尔滨的月平均气温（）如下表所示： 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 请将月份按月平均气温从低到高的顺序重新排列． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较．比较有理数的大小的方法有两种：()利用数轴直观比较有理数的大小．数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；正数大于，负数小于，正数大于负数；()利用绝对值的知识比较有理数的大小：①两个正数，绝对值大的正数大；②两个负数，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵， ∴月份气温由低到高排列如下图所示： 4.1 6.0 14.2 14.7 19.7 21.3 22.3 月 月 月 月 月 10月 月 月 月 月 月 月 64．（24-25七年级上·江苏南通·期末）A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，利用数轴比较大小，熟练掌握数轴上的点的表示方法是解题的关键． 首先 确定点A在原点右侧，点B在原点左侧， 从而得到，又根据 ，得到， 即，即可得出最大的数． 【详解】A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧）， ∴点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∵，所以， ∴； 故选：B． 65．（24-25七年级上·陕西西安·期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法不正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴、有理数的大小比较法则、绝对值等知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 首先判断出，，，，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，，，， A． ∵，， ∴ ∴，故选项A错误，符合题意； B．∵，， ∴，故B选项正确，不符合题意； C．，， ∴，故C选项正确，不符合题意； D．；故选项D正确，不符合题意． 故选：A． 题型十四 有理数的新定义问题（共5小题） 66．（24-25七年级上·北京房山·期末）定义：若，，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点B的距离倍，我们就称点是【，B】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点D就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为 (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是_；写出【，】美好点所表示的数是_． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)1.5，2.25，3，，9，13.5 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，，点P对应的数为， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在点左侧，如图， 当时，， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，， 因此秒， 综上所述，的值为：1.5，2.25，3，，9，13.5． 67．（24-25七年级上·浙江·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为，， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 68．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于线段，点P是线段所在直线上任意一点，将的值定义为点P关于线段的理想值，记作，即． (1)若点G在线段上，则点G关于线段的理想值_______． (2)若点H在射线上，，点H关于线段的理想值，求线段的长． (3)数轴上的三个点M，N，Q，点M、N、Q在数轴上分别表示有理数m、n、t，且m、n满足，点Q关于线段的理想值，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或8 【分析】本题考查了对题干的理解，线段的和差，绝对值和平方式的非负性，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意可得，再由点G在线段上即可解题； （2）根据题意可得，从而得到点H的位置，再根据即可得出，从而求得线段的长； （3）根据即可得出m、n的值，再根据推出点Q不在线段上，再分类讨论当点Q在点M的左侧时和当点Q在点N的右侧时两种情况即可解题． 【详解】（1）解：由题可得：，   点G在线段上，即， ， 故答案为：1； （2）解：如图1，   ，， ， ， ， ； （3） ， ，， ， 又， ， 点Q不在线段上， ①如图2，当点Q在点M的左侧时， ， ，，， ， 点Q在轴的负半轴， ； ②如图3，当点Q在点N的右侧时， ， ，，， ， 点Q在轴的正半轴上， ． 或8． 69．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料，完成下列问题： (1) ______，______； (2)已知，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)3；2 (2)10 (3)或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，数轴上两点的距离计算，数轴上两点中点计算： （1）分别根据数轴上两点的中点计算公式和两点之间距离计算公式计算即可； （2）根据已知等式得到，解方程求出x值，代入中计算即可； （3）根据已知等式得到，解方程求出x值，代入中计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：；， 故答案为：3；2； （2）解：∵， ∴， ∴ 解得：， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴, ∴或， 解得：或， ∴或． 70．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义：若对于某个大于2的正整数n，存在不小于4的整数a，使得，则称该正整数n是一个“和谐数”．例如：13、14、15都是“和谐数”，因为，，．若将和谐数从小到大排列，则第118个和谐数是 ． 【答案】402 【分析】本题主要考查了数字规律探索，绝对值的意义，解题的关键是理解题意，根据题目中给出的信息，得出每个整数a都有7个“和谐数”，根据，得出第118个和谐数在当时的一组数中的第6个数，然后求出结果即可． 【详解】解：∵，，，， ∴当时，“和谐数”为，14，15，16，17，18，19共7个， ∵，，，，，，， ∴当时，“和谐数”为22，23，24，25，26，27，28共7个， 根据以上可知，对于每个整数a都有7个“和谐数” ， ∵， 又∵， ∴第118个和谐数在当时的一组数中的第6个数， ∴第118个“和谐数”为，， 故答案为：402． 题型十五 数轴上的动点问题（共5小题） 71．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，数轴上点A，B表示的数分别是，10，C是线段上的一个动点，以C为圆心，为半径画弧交数轴于点D．若，则点C表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴表示有理数，根据题意得到，以及，再结合分两种情况①当点D在点B左侧时，②当点D在点B右侧时，讨论求解，即可解题． 【详解】解：数轴上点A，B表示的数分别是，10， ， 由题可知， ， ①当点D在点B左侧时， ， ， ， 则点C表示的数是， ②当点D在点B右侧时， ， ， ， 则点C表示的数是， 综上所述，点C表示的数是或； 故答案为：或． 72．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满． (1) ______， ______， ______； (2)点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程数轴上的点的运动问题，涉及绝对值方程、一元一次方程以及点的运动规律．需要通过解析方程和运动状态求解点的位置与时间关系． （1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0 成为解题的关键； （2）由题意可知，，结合两点距离公式求解绝对值方程即可，注意检验点P在点C左侧； （3）根据C到达O点前，以及C到达O点后进行分类讨论，注意转折点对方程产生的影响． 【详解】（1）因为，所以，， 又因为点B为中点，所以． 故答案为：． （2）由题意可得 ，， 因为， 所以， 解得：或． 检验，当时，，满足条件， 当时，，也满足条件， 综上或． （3）由题意，可得： C到达O点前，有： ①当M在O左侧时，此时， 解得； ②当M在O右侧、B左侧时，此时， 解得无解； ③当M在B右侧时，此时， 解得无解； C到达O点后，有： ④当M在B右侧时，此时， 解得； 综上或． 73．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴上，，三点对应的数分别为，，，且，满足，为线段的中点．动点，分别从点，同时出发匀速相向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，点运动至点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)的长为 (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，非负数的性质，掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出，，再根据为线段的中点可求出； （2）由题意可得：，，得到点表示的数为，点表示的数为，进而得到，，根据求出，即可求解； （3）由（2）知，点表示的数为，点表示的数为，得到，，最后根据，列方程即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 为线段的中点， ， 故答案为：，，； （2）由题意可得：，， 点表示的数为，点表示的数为， ，， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， 的长为； （3）由（2）知，点表示的数为，点表示的数为， ，， ， ， 解得：或． 74．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【答案】(1)点C表示的数为5； (2)点表示的数为或1； (3)运动4秒后，点P可以追上点Q． 【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解． （1）、互为相反数，就知道、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数； （2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时； （3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间． 【详解】（1）解：、互为相反数，且，如图： 表示，表示1， 表示的数为5； （2）解：由题意，可知点在点的左边或右边： 当点在点的左边时，如图： 由图可知点表示的数是； 当点在点的右边时，如图： 由图可知点表示的数为1， 故当时，点表示的数为或1； （3）解：、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A， 则点B表示的数为，点C表示的数为， ∴点P追上点Q所用时间为， 答：运动4秒后，点P可以追上点Q． 75．（24-25七年级上·陕西西安·期末）【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点表示的数分别是． (1)点到原点的距离是______，两点之间的距离是______； (2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，5秒后，点表示的数是多少？ (3)已知点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，一动点从点出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点运动的情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位长度，“”表示向右运动4个单位长度），在第几次运动后点与点的距离最远，此时点表示的数是多少？ 第1次 第2次 第3次 第4次 【答案】(1)3，9 (2) (3)第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是 【分析】本题考查数轴上的动点问题，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． （1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，由此计算即可； （2）先求出点B表示的数，再根据点P的运动方向及速度即可求解； （3）先求出点D表示的数，再计算出每次运动后点Q表示的数，进而计算出点与点的距离，即可求解． 【详解】（1）解：点到原点的距离是，两点之间的距离是， 故答案为：3，9； （2）解：因为点和点之间的距离是2，所以点表示的数是． 5秒后点向左运动了个单位长度，， 所以点表示的数是； （3）解：因为点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度， 所以点表示的数是． 第1次运动后点表示的数， 此时点与点的距离：； 第2次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：； 第3次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：； 第4次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：． ， 所以在第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是． 题型十六 绝对值中的最值问题（共5小题） 76．（24-25七年级上·山东济南·期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么________． (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是________． (4)当________时，的值最小，最小值是________． 【答案】(1)3，5；2或 (2)6 (3)12 (4)1，7 【分析】本题考查数轴与绝对值的综合，解题关键在于根据数轴上点的位置化简绝对值，其次注意分类讨论问题，最后计算仔细即可． （1）本题根据数轴上两点距离运算规则直接求解即可． （2）本题首先根据已知判断与的正负，继而化简绝对值运算求解． （3）本题根据x的范围分类讨论，化简绝对值后与7比较大小，进一步确定x的范围，最后在该范围内寻找符合条件的整数点． （4）与（3）同理可得当时，取最小值7，结合当时，取最小值0，即可得解． 【详解】（1）解： 4与1两点间距离：；与2两点间的距离：； 由已知得：，即， 解得或． 故答案为：3，5；2或； （2）解：由已知得：，故，； ∴原式． 故答案为：6； （3）解：当时，，不符题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符题意； 综上：x的取值范围为， 故该范围下整数点为：， 这些整数点的和为：． 故答案为：12； （4）解：与（3）同理可得：当时，取最小值7， 又∵当时，取最小值0， ∴当时，值最小，最小值为7． 故答案为：1，7． 77．（24-25六年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 【答案】（1）3；（2）；（3）8；（4）；（5）2；（6） 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由两点间距离直接求解即可； （2）由两点间距离直接求解即可； （3）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算即可； （4）由两点距离的意义进行求解即可； （5）当时代数式的值最小，即可得到答案； （6）取最中间点即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （3）， ； （4）①如图1，当时，， ②如图2，当时，， ③如图3，当时，， ∴当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （5）∵表示在数轴上数的点与表示数、和3的点的距离之和， ∴当时，取最小值，且最小值为： ； （6）为了使 2023 户居民到快餐店的距离总和最小，快餐店应建在中间位置，即第1012户居民处，即． 78．（24-25七年级上·广东梅州·期末）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离．因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离； （2）若，则的值为______； （3）当的值最小且为整数时，则的取值可以为______； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．鉴于环保之需，现计划在该路段建设一座垃圾中转站，以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾．假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元，试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处，以实现总运输成本的最小化？最低运输成本是多少元？ 【答案】（1），； （2）或； （3），，，，； （4）垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，理清题意是解题的关键． （1）结合、两点之间的距离分析即可； （2）根据题意得到在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为，结合数轴求解，即可解题； （3）根据最小在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离之和最小，结合数轴求解，即可解题； （4）将实际问题抽象为数轴上的动点问题，根据要垃圾中转站实现总运输成本的最小化，即垃圾中转站到居民区、、的距离和最小，推出垃圾中转站的位置，再结合“生活垃圾的清理运输费用为每公里50元”求解，即可解题． 【详解】解：（1）由题意可知，式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：，． （2）， 即，在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为， 所以或， 故答案为：或； （3）在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离之和， 当的值最小且为整数时， 则的取值可以为，，，，， 故答案为：，，，，． （4）根据居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧． 分别记市民广场为原点，向右为正方向，则居民区、、为，，， 要垃圾中转站实现总运输成本的最小化， 即垃圾中转站到居民区、、的距离和最小， 则垃圾中转站应建在居民区处， 此时距离和， 所以最低运输成本是（元）， 答：垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 79．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 80．（24-25七年级上·广东汕头·期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　 　；表示和2两点之间的距离为＝　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求 的值； (3)当　 　时，的值最小，最小值为　 　． (4)当x，y满足时，的最大值为 　 　． 【答案】(1)4，3，2或 (2)8 (3)，8 (4)11 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式进行计算即可； （2）表示数a到和3两点的距离之和，然后根据表示数a的点的位置求解即可； （3）表示x到，，3三个点的距离之和，结合数轴可知， 当时，有最小值，由此可求解； （4）先根据已知式子可得，求出x、y的范围，再求出的最大值即可． 【详解】（1）数轴上表示6和2的两点之间的距离为； 表示和2两点之间的距离为； ∵表示数a和的两点之间的距离是3， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：4；3；2或； （2）表示数a到和3两点的距离之和， ∵表示数a的点位于与3之间， ； （3）表示x到，，3三个点的距离之和， ∵当时，有最小值，且当时，有最小值， ∴当时，有最小值， 最小值为， 故答案为：，8； （4）， ∴， ∵， ， ， ∴当时有最大值， 最大值为， 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了绝对值与数轴的综合运用，解题的关键是理解绝对值的几何意义． 题型十七 绝对值中的定值不变问题（共5小题） 81．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图①，已知线段，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且． (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)17或25 (2) (3)不是定值，理由见解析． 【分析】本题主要考查了非负数的性质，线段的和差关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出m、n的值，分类讨论进行求解即可； （2）根据线段和差关系进行计算即可．； （3）先根据线段和差关系证明，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ①当点C在点B的左侧时， ， ， ， ②当点C在点B的右侧时， ， ， ， 综上所述，的长为17或25． （2）解：∵点M，N分别为线段的中点， ，． ∴； （3）解：不是定值，说明如下： 点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，如图所示： ∴， ∵， ∴ ， ∵点位值不确定， ∴长度不确定， 故不是定值． 82．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段的长是4，线段的长是8 (2)10或2； (3)当时，为定值，定值为6 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）设点B表示的数为x，点C表示的数为y,则点M表示的数是，点N表示的数是，运动后点M表示的数是，点N表示的数是，由解得或，运动后，即可求出答案； （3）根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：设直线为数轴， ∵，， ∴，， 设点B表示的数为x，点C表示的数为y, ∵点M，N分别为中点． ∴点M表示的数是，点N表示的数是， 运动后点M表示的数是，点N表示的数是， ∵， ∴ 解得，或 运动后 ∴或 即线段的长为10或2； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． 83．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，数轴上点A，（点A在点左边）所对应的数，满足．P为数轴上一动点，其对应的数为，为原点． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，当点P在线段的延长线上运动时，的值是否为定值（即确定的值，不因点P位置的变化而变化）？如是，请求出这个定值；如不是，也请说明理由． 【答案】(1)6或4． (2)或 (3)是定值，定值为2 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用．要分类讨论是解题关键． （1）由非负数的性质求出a、b的值，再根据两点距离公式，由，列出方程，求解即可． （2）分两种情况，当点在A，两点之间时，当点在的左边时，根据两点距离公式，由，列出方程求解即可． （3）根据点为线段的中点，得点对应的数为1，则，从而求得，代入计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 所以，． 由题意得：＝1， 所以，或4． （2）解：当点在A，两点之间时， ，解得． 当点在A的左边时， ，解得． 所以，或． （3）解：的值为定值． 因为点为线段的中点， 所以点对应的数为，则 所以， 所以． 84．（24-25七年级上·江西赣州·期末）数轴上有三个点，分别代表的整数是，点在数轴上的位置如图，，满足． (1)______，______，______，点与点之间的距离是______； (2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动，点同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点A对应的数为______；点对应的数为______；点对应的数为______．（用含的式子表示） ②若点A与点之间的距离记为，点与点之间的距离记为，是否存在有理数，使得代数式的值为定值？若存在，求出的值及该定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2，6，10； (2)①，，；②存在，当时，定值为34． 【分析】（1）结合题意，可得；根据绝对值和乘方的性质，通过求解一元一次方程，得到a和b的值；再根据数轴的性质，计算得到点A与点B之间的距离； （2）求得秒时，A对应的数为，B对应的数为， C对应的数为，再根据数轴性质，计算得到和；结合题意，通过代数式计算，得到a的取值，即可完成求解． 【详解】（1）结合题意，得 ∵， ∴， ∴， ∴点A与点B之间的距离是：， 故答案为：，2，，10； （2）①∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动， ∴秒时，A对应的数为：； ∵点以每秒4个单位长度的速度向左运动， ∴秒时，B对应的数为：， ∵点以每秒个单位长度的速度向右运动， ∴秒时，C对应的数为：， 故答案为：；， ②∵，且， ∴， ， ∴， 当时，，为定值 ∴存在有理数，使得代数式的值为定值，，定值为34． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、乘方、代数式、整式的加减等知识；解题的关键是数形结合和准确计算． 85．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）已知二项式中，含字母的项的系数为，多项式的次数为，且，在数轴上对应的点分别为，，点为数轴上任意一点，对应的数为． (1)________，________，并在数轴上标出，； (2)当点为线段的三等分点时，求的值； (3)在（2）的条件下，若点离点较近时，点、、分别从点、、同时向左运动，其速度分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，5，见解析 (2)的值为：1或3 (3)存在， 【分析】（1）含字母的项为，根据单项式的系数、次数即可确定a、b的值，进而在数轴上表示出来； （2）求得线段，则得或，即可求得c的值； （3）设运动时间为，则可表示出点P、Q、M运动t秒后在数轴上表示的数，由为定值即可确定k的值． 【详解】（1）解：二项式中，含字母的项为，其系数为，次数为5， 在数轴上表示如下： 故答案为：，5； （2）解：由（1）知，， 因点为线段的三等分点， 当C靠近A时，，则； 当C靠近B时，，则； 综上，c表示的数为1或3； （3）解：存在 点离点较近时，， 设运动时间为，则：点运动秒后所表示的数为，点运动秒后所表示的数为，点运动秒后所表示的数为，        所以，        要使为定值，则，得：，．       【点睛】本题考查了多项式的项，数轴上动点问题，在数轴上表示有理数，数轴上两点间距离，涉及分类讨论与数形结合思想的运用． $ 专题01 有理数全章17大常考题型 题型1 正负数的概念及其应用（常考点） 题型10 绝对值的非负性（重点） 题型2 有理数的概念 题型11 绝对值的几何意义（难点） 题型3 数轴三要素及其画法 题型12 绝对值的应用（难点） 题型4 利用数轴比较有理数的大小 题型13 有理数的大小比较及其应用 题型5 数轴上两点之间的距离（重点） 题型14 有理数的新定义问题（难点） 题型6 数轴上点的平移（重点） 题型15 数轴上的动点问题 题型7 数轴上整点覆盖问题 题型16 绝对值中的最值问题 题型8 相反数的概念与应用 题型17 绝对值中的定值不变问题 题型9 求绝对值 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正负数的概念及其应用（共5小题） 1．（25-26七年级上·全国·期末）填空： （）某校举行“生活中的科学”知识竞赛，若将加分记为分，则扣分记为 分． （）记运入仓库的大米吨数为正，则吨表示 ，吨表示 ． （）规定海平面以上的高度为正，则海鸥在海平面以上米处，可记为 米；鱼在海平面以下米处，可记为 米；海平面的高度可记为 米． 2．下列说法正确的有（      ）个 ① 0是最小的正数； ② 任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③ 大于0的数是正数； ④ 字母既是正数，又是负数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）对于有理数，，如果，，那么的结果是正数还是负数？为什么？ 4．（25-26七年级上·天津南开·期末）某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 5．（24-25七年级上·全国·期末）小光一边吃零食一边看风景日历，这时妈妈凑了过来，说：“小光，我们一起来研究日历好吗？日历中可是充满了奥秘呀！”小光一听要探索奥秘，立刻来了精神，因为小光最喜欢探究性的问题了，可是从哪儿入手研究呢？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 小光任意翻开了一张日历，如表所示．经过一番观察，小光发现：日历中每一横行相邻的数字都相差1，而每一竖列相邻的数字都相差7．同学们，你们发现了吗？妈妈告诉小光，有了这个发现，就可以解决日历中的所有问题了． 同学们，小光的妈妈说得对吗？解决有关日历中的问题，还需要哪些数学知识呢？ 题型二 有理数的概念（共5小题） 6．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·河南周口·期末）把下列各数填入它所属的集合内：． (1)分数集合{_______…}； (2)自然数集合{______…}； (3)非正整数集合{_______…}； (4)非负有理数集合{______…}． 8．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）下列说法正确的是（    ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．是正数 C．正数又可称为非负数 D．有理数中有绝对值最小的数 9．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）在下列数中：，0.23，，0，，，，，该正整数的个数为，非负数的个数为，则的值为 ． 10．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列说法中，不正确的是（    ） A．负分数一定是负有理数 B．可以写成分数形式的数称为有理数 C．是负整数，但不是有理数 D．0是正数和负数的分界 题型三 数轴三要素及其画法（共5小题） 11．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 12．（24-25六年级上·山东济宁·期末）下列选项中，表示数轴正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各图中，是数轴的是（  ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·广东珠海·期末）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（    ）个．    A．0 B．1 C．2 D．3 15．下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 题型四 利用数轴比较有理数的大小（共5小题） 16．（24-25七年级上·福建福州·期末），是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·河北邢台·期末）已知有五个有理数，分别是：，，，，0． (1)请把这五个有理数在数轴上表示出来； (2)按照从小到大的顺序用“”把它们连接起来． 18．（25-26七年级上·浙江·期末）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_____． (2)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为_____． (3)在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 19．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列应是 （用“”号连接）． 20．（24-25七年级上·福建泉州·期末）数、在数轴上的对应点如图所示，则、、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型五 数轴上两点之间的距离（共5小题） 21．（24-25七年级上·云南昆明·期末）数轴上点与表示的点的距离是，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 22．（24-25七年级上·全国·期末）在数学超市课上，李老师出了这样一道题：点是数轴上一点，一只蚂蚁从点出发爬了个单位长度到了表示的数的点，则点所表示的数是 ． 23．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 24．（24-25七年级上·重庆南川·期末）如图所示，点是数轴的原点，数轴上的点对应的数是，点对应的数是9．点为数轴上的一动点，其对应的数为．用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离． (1)求的值； (2)若，求的值． 25．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ ． 题型六 数轴上点的平移（共5小题） 26．（25-26七年级上·四川成都·期末）点A在数轴上表示的数是，从A点出发先向右平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度到达点B，则点B表示的数是 ． 27．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是 ； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点 重合． 28．（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，点M表示的数是4，从M点出发，沿着数轴向某个方向移动5个单位长度到达点N，则点N表示的数是 ． 29．（25-26七年级上·吉林长春·期末）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 30．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 题型七 数轴上整点覆盖问题（共5小题） 31．（25-26七年级上·广西南宁·期末）如图，在数轴上被三十六中的吉祥物紫紫所覆盖的数可能是（    ） A． B． C． D．5 32．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 33．（24-25七年级上·河南南阳·期末）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 34．（2024七年级上·全国·期末）如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 35．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 题型八 相反数的概念与应用（共5小题） 36．（25-26七年级上·天津西青·期末）下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 37．（25-26七年级上·天津南开·期末）请按要求解答下列问题． (1)把，，，，这五个数在如图所示的数轴上表示出来； (2)把，，，，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来： (3)，，，，这五个数中，绝对值等于它的相反数的数有________个； (4)，，，，这五个数在数轴上表示的点中，我们可以计算任意两点之间的距离，则距离的最大值是________． 38．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： （1）点，，表示的数分别为 ， ， ； （2）点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ． 39．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 40．（24-25六年级上·山东泰安·期末）数轴上表示、的点分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等．若有理数、表示的数分别是和，则 ． 题型九 求绝对值（共5小题） 41．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）的值是（   ） A．2025 B． C． D． 42．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 43．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 44．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 45．（24-25七年级上·重庆南岸·期末）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于进行“绝对运算”，得到：． ①对1，3，5，10进行“绝对运算”的结果是29； ②对进行“绝对运算”的结果为A，则A的最小值是7； ③对进行“绝对运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型十 绝对值的非负性（共5小题） 46．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 47．（24-25七年级上·广东湛江·期末）已知：，，若，求的值． 48．（24-25七年级上·山东济宁·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足． 49．（24-25七年级上·云南昭通·期末）已知：，， (1)化简：； (2)若，求的值． 50．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）已知多项式，． (1)求； (2)若a，b为有理数，且满足时，求的值． 题型十一 绝对值的几何意义（共5小题） 51．（25-26六年级上·上海松江·期末）如果点和点在数轴的一部分上的位置如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．点表示的数一定是负数： B．点表示的数一定小于点所表示的数； C．点表示的数与点所表示的数的和一定是正数； D．点表示的数的绝对值一定小于点所表示的数的绝对值； 52．（24-25七年级上·广西·期末）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，最小； ②找出满足的的所有值是_________． 53．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数轴上，，，四点，若数轴上有一点，点所表示的数为．且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（   ） A．在点左侧 B．在线段上 C．在线段上 D．在线段上 54．（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 55．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ． 题型十二 绝对值的应用（共5小题） 56．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）五个新篮球的质量（单位∶克）分别是，，，，，正数表示超过标准质量的克数，负数表示不足标准质量的克数．仅从轻重的角度看，最接近标准的篮球的质量是（ ） A． B． C． D． 57．（24-25七年级上·吉林·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为 ． 编 号 体重情况 58．（24-25七年级上·全国·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 59．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期末）某仓库管理员连续 7 次对进库、出库的冰箱台数进行统计，将进库的冰箱台数记作正数，出库的冰箱台数记作负数．记录如下表（单位：台）： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这 7 次进库、出库前，仓库管理员结算仓库有 219 台冰箱．那么在这 7 次进库、出库后，仓库存有冰箱多少台？ (2)若每台冰箱进库或出库的搬运费均为 10 元，则这 7 次进库、出库的冰箱搬运费共多少元？ 60．（24-25七年级上·山东济南·期末）出租车司机刘师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，○表示载有乘客，且乘客都不相同）： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 载客 × ○ ○ × ○ ○ ○ ○ (1)刘师傅走完第8次里程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？ (2)已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有8升油，若少于2升则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油． (3)已知载客时3千米以内收费15元，超过3千米后，超出部分每千米收费2.8元，问：刘师傅这天上午最高一次的营业额是多少元？ 题型十三 有理数的大小比较及其应用（共5小题） 61．（25-26七年级上·湖南·期末）比较大小： ．（填“”或“”） 62．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）（1）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示． ①填空：（填“”、“”或“”）a__________0；b__________0； ②用“”将a，b，，0连接起来：______________； （2）已知，若，求x，y的值． 63．（24-25七年级上·广东汕头·期末）某年哈尔滨的月平均气温（）如下表所示： 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 请将月份按月平均气温从低到高的顺序重新排列． 64．（24-25七年级上·江苏南通·期末）A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 65．（24-25七年级上·陕西西安·期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法不正确的是（   ）    A． B． C． D． 题型十四 有理数的新定义问题（共5小题） 66．（24-25七年级上·北京房山·期末）定义：若，，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点B的距离倍，我们就称点是【，B】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点D就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为 (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是_；写出【，】美好点所表示的数是_． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 67．（24-25七年级上·浙江·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（   ） A． B． C． D． 68．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于线段，点P是线段所在直线上任意一点，将的值定义为点P关于线段的理想值，记作，即． (1)若点G在线段上，则点G关于线段的理想值_______． (2)若点H在射线上，，点H关于线段的理想值，求线段的长． (3)数轴上的三个点M，N，Q，点M、N、Q在数轴上分别表示有理数m、n、t，且m、n满足，点Q关于线段的理想值，求的值． 69．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料，完成下列问题： (1) ______，______； (2)已知，求的值； (3)当时，求的值． 70．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义：若对于某个大于2的正整数n，存在不小于4的整数a，使得，则称该正整数n是一个“和谐数”．例如：13、14、15都是“和谐数”，因为，，．若将和谐数从小到大排列，则第118个和谐数是 ． 题型十五 数轴上的动点问题（共5小题） 71．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，数轴上点A，B表示的数分别是，10，C是线段上的一个动点，以C为圆心，为半径画弧交数轴于点D．若，则点C表示的数是 ． 72．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满． (1) ______， ______， ______； (2)点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值． 73．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴上，，三点对应的数分别为，，，且，满足，为线段的中点．动点，分别从点，同时出发匀速相向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，点运动至点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出的值． 74．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 75．（24-25七年级上·陕西西安·期末）【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点表示的数分别是． (1)点到原点的距离是______，两点之间的距离是______； (2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，5秒后，点表示的数是多少？ (3)已知点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，一动点从点出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点运动的情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位长度，“”表示向右运动4个单位长度），在第几次运动后点与点的距离最远，此时点表示的数是多少？ 第1次 第2次 第3次 第4次 题型十六 绝对值中的最值问题（共5小题） 76．（24-25七年级上·山东济南·期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么________． (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是________． (4)当________时，的值最小，最小值是________． 77．（24-25六年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 78．（24-25七年级上·广东梅州·期末）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离．因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离； （2）若，则的值为______； （3）当的值最小且为整数时，则的取值可以为______； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．鉴于环保之需，现计划在该路段建设一座垃圾中转站，以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾．假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元，试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处，以实现总运输成本的最小化？最低运输成本是多少元？ 79．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 80．（24-25七年级上·广东汕头·期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　 　；表示和2两点之间的距离为＝　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求 的值； (3)当　 　时，的值最小，最小值为　 　． (4)当x，y满足时，的最大值为 　 　． 题型十七 绝对值中的定值不变问题（共5小题） 81．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图①，已知线段，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且． (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 82．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 83．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，数轴上点A，（点A在点左边）所对应的数，满足．P为数轴上一动点，其对应的数为，为原点． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，当点P在线段的延长线上运动时，的值是否为定值（即确定的值，不因点P位置的变化而变化）？如是，请求出这个定值；如不是，也请说明理由． 84．（24-25七年级上·江西赣州·期末）数轴上有三个点，分别代表的整数是，点在数轴上的位置如图，，满足． (1)______，______，______，点与点之间的距离是______； (2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动，点同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点A对应的数为______；点对应的数为______；点对应的数为______．（用含的式子表示） ②若点A与点之间的距离记为，点与点之间的距离记为，是否存在有理数，使得代数式的值为定值？若存在，求出的值及该定值，若不存在，请说明理由． 85．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）已知二项式中，含字母的项的系数为，多项式的次数为，且，在数轴上对应的点分别为，，点为数轴上任意一点，对应的数为． (1)________，________，并在数轴上标出，； (2)当点为线段的三等分点时，求的值； (3)在（2）的条件下，若点离点较近时，点、、分别从点、、同时向左运动，其速度分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $