专题03 几何图形初步（期末复习知识清单+7知识&15题型&3易错）六年级数学下学期新教材人教版五四制

专题03 几何图形初步（7知识&15题型&3易错） 【清单01】几何图形相关概念 （1）我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形 （2）几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，我们称这样的图形为_______图形. （3）几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是_______图形. （4）几何图形的分类 （5）①有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图. ②正方体的展开图 （6）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是______.几何体也简称体. 【清单02】点、线、面 （1）点、线、面是构成图形的基本元素 （2）①线与线相交成点，点无大小； ②面与面相交成线，线无粗细，但线有_____和曲线； ③体由面围成，面无厚薄，但面有_____和曲面 （3）点动成线，线动成面，面动成体 【清单03】直线、射线、线段 （1）直线基本事实：两点确定_________ （2）线段基本事实：两点之间__________ （3）连接两点的线段的长度，叫作这两点间的________ （4）直线、射线、线段的联系和区别 【清单04】线段的中点 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫作线段 AB 的中点. 几何语言: ∵ M是线段AB的中点. ∴AM= MB =AB或AB=2AM=2MB. 反之也成立: ∵AM=MB=AB(或AB=2AM=2BM). ∴M是线段AB的中点 线段的三等分点 , 线段的四等分点 , 【清单05】角的有关概念以及表示方法 有公共端点的_________组成的图形，叫作角. 角的表示方法 角度的换算：, 【清单06】角平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 几何语言：∵是的角平分线 ∴(或) 反之也成立:∵(或) ∴是的角平分线 【清单07】余角、补角 余角、补角定义 如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ). 几何语言： ∵∠1与∠2互为余角 ∴∠1+∠2=90°/∠1=90°-∠2/∠2=90°-∠1 如果两个角的和等于180°( 平角 )，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ). 几何语言： ∵∠3与∠4互为补角 ∴∠3+∠4=180°/∠3=180°-∠4/∠4=180°-∠3 余角、补角性质 同角(等角)的余角_______. 同角(等角)的补角_______. 【题型一】几何图形相关概念 【例1】（24-25七年级上·吉林·期末）下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）下列各组图形中，都是立体图形的是（　　） A．点、直线、四边形、长方体 B．三角形、长方形、正方体、圆锥 C．线段、相交线、长方体 D．长方体、正方体、圆锥、球 【变式1-2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）下列图形属于圆柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 【变式1-3】（25-26六年级上·山东泰安·期末）观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：② ；⑥ ； （2）在以上几何体中，是柱体的有 （填序号）；含曲面的有 （填序号）． 【题型二】立体图形的展开图 【例2】（24-25七年级上·福建福州·期末）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（    ） A．圆锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【变式2-1】（24-25七年级上·陕西延安·期末）下列图形中，不是棱柱的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级上·湖南·期末）某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4，这种药品包装盒的体积 ． 【变式2-3】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出了两种不同的长方体纸盒（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．请你动手操作并完成任务（纸板厚度及接缝处忽略不计）．    动手操作1：根据图1所示的方式制作一个无盖的长方体纸盒． 方法1：先在纸板的四角剪去四个边长都为的正方形，再沿虚线折起来． 动手操作2：根据图2所示的方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法2：先在纸板四角剪去两个边长都是的正方形和两个宽为的同样大小的小长方形，再沿虚线折起来． (1)无盖长方体纸盒底面的边长是 ，有盖长方体纸盒的底面积是 （用含，的代数式表示） (2)已知，． ①求该无盖长方体纸盒的底面积； ②求该有盖长方体的体积． 【题型三】正方体的展开图 【例3】（24-25七年级上·云南红河·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，若相对的两个面上的数互为相反数，则的值为 ． 【变式3-1】（23-24七年级上·河北唐山·期末）图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（25-26七年级上·安徽合肥·月考）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【题型四】立体图形的三视图 【例4】1．(1)（25-26七年级上·广东·期末）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． (2) （2025七年级上·全国·专题练习）某几何体看到的图形如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级上·全国·期末）下列几何体中，从正面看到的图形和从左面看到的图形不同的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】(1)（25-26七年级上·山东·期末）如图，是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（    ） （俯视图：第一行2个小正方形，数字分别为1、2；第二行2个小正方形，数字分别为3、1） A． B． C． D． (2)（22-23九年级下·山东临沂·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面和上面看到这个几何体的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个． 【变式4-3】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格内分别画出从正面、左面、上面观察该几何体看到的形状图； (2)若这些小正方体的棱长为，求出该几何体的表面积（包括底面）． 【题型五】几何体中的点、棱、面 【例5】(1)（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱 C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面 (2) （24-25七年级上·宁夏银川·期末）银川承天寺塔（如图），始建于西夏天佑垂圣元年（公元1050年），是宁夏现存古塔中最高的一座砖塔．它是一座八角十一层楼阁式砖塔，它可以近似地看作由十一个八棱柱构成．请问：一个八棱柱一共有 角 条棱， 有 面， 有 个顶点． 【变式5-1】（23-24七年级上·陕西渭南·期末）一个几何体只有一个顶点，一个侧面，一个底面，则这个几何体可能是（    ） A．棱柱 B．球 C．棱锥 D．圆锥 【变式5-2】（24-25七年级上·广东惠州·期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（   ） A．几何体是三棱锥 B．几何体有6条侧棱 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有3个侧面 【变式5-3】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）【阅读】图1是小茗同学在课本上看到的一个有趣的几何体．经过查阅资料，得知该几何体 的名称叫作三棱台、如图2，所有的棱台都可以看作是某个棱锥被平行于底面的平面截去一 个小的棱锥后得到的几何体． 【探究】 (1)在图3中，用一个平行于四棱锥底面的平面去截这个四棱锥，请画出截得的四棱台的平面直观图． （注意看得见的棱画成实线，看不见的棱画成虚线） (2)观察三棱台、四棱台、五棱台的面数（F）、棱数（E）和顶点数（V），分别填入下表中： 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） … 棱数（E） … 顶点数（V） … ①小茗通过观察，猜想，验证，发现所有的棱台都满足等式：， 你认为她 的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例． ②请你写一条关于三个量的等式，使其满足棱锥，但是不满足棱台，并说明理由． 【题型六】点、线、面之间的关系 【例6】(1)（24-25七年级上·全国·期末）下列现象，说明“点动成线”的是（   ） A．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹 B．流星划过夜空留下的痕迹 C．酒店旋转门运动的痕迹 D．在桌面上快速转动一个硬币形成的痕迹 (2)（25-26七年级上·山西运城·期中）随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24六年级上·山东济宁·期末）第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的某个几何体，按要求填空． 图1旋转形成 ，图2旋转形成 ，图3旋转形成 ，图4旋转形成 ，图5旋转形成 ，图6旋转形成 ． 【变式6-2】（24-25七年级上·吉林·期末）在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种现象可以用数学原理“点动成线”解释．那么打开如图“折扇”时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为 ． 【变式6-3】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，直角三角形纸片的两条直角边的长分别为a，b，将它分别绕直线（图1）和直线（图2）旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是_____； (2)若，，则图2中，绕直线旋转一周后形成的几何体的底面积为多少？（结果保留） 【题型七】直线、射线和线段相关概念 【例7】（25-26七年级上·全国·期末）下列几何语句描述正确的是（    ） A．直线和直线是同一条直线 B．射线和射线是同一条射线 C．延长线段到点C，使 D．画直线厘米 【变式7-1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 【变式7-2】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 【变式7-3】（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知A，B，C，D四点，按下列要求作图： (1)画直线； (2)画线段； (3)画射线； (4)延长线段． 【题型八】直线和线段基本事实 【例8】（24-25七年级上·河南郑州·期末）生活中有下列现象，其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象是（   ） A．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上 B．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线 C．把弯曲的河道改直，可以缩短航程 D．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 【变式8-1】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）已知点在直线上，点，点在直线外，过三点中两点画一条直线，那么直线的条数有（    ） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条 【变式8-2】（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）如图所示，在下列四个生活现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-3】（25-26七年级上·全国·期末）小海的爸爸准备开车从A地去往B地，在导航地图上显示两地距离为，导航推荐的三条可选路线长分别为和（如图）．能用来解释这一事实的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点可以画无数条直线 C．点动成线 D．经过两点有且只有一条直线 【题型九】线段、直线的应用 【例9】．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 【变式9-1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】 （2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】 （3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 【变式9-2】（24-25七年级上·广东东莞·期末）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条； （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段； （3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ （4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票． 【变式9-3】（23-24七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【题型十】线段的和差倍分 【例10】（2023七年级上·全国·专题练习）如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则（    ）． A．16 B．12 C．8 D．6 【变式10-1】（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，点在线段上，且是线段的中点，是线段上一点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是： ． 【变式10-2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【变式10-3】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，为线段上一点，在线段上，且，为的中点． (1)若，，求线段、的长； (2)试说明：． 【题型十一】线段的中点 【例11】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点C是线段的中点，，点D在线段上，且，则线段的长为(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 【变式11-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图所示，点C在线段上，，，点M，N分别是，的中点．则的长度是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式11-2】（25-26七年级上·河北衡水·期末）已知点，，在同一条直线上，如果，线段，点为线段的中点，则的长为（   ） A．6或15 B．3或15 C．6或 D．3或 【变式11-3】（24-25七年级上·云南红河·期末）线段，线段，点M是的中点，在上取一点N，点N为线段的三等分点，求线段的长为 ． 【题型十二】角度的换算与计算 【例12】（25-26七年级上·天津·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24七年级上·全国·期末） ′ ″ ， 【变式12-2】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）计算 (1) ． (2) ． (3) (4)； (5)． (6) 【题型十三】方位角 【例13】（24-25七年级上·云南红河·期末）某轮船在O处，测得灯塔A在北偏东的方向上，测得灯塔在南偏东的方向上，则（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26七年级上·全国·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线垂直，则射线的方向是 （    ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏东 【变式13-2】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，是三岛的平面图，则岛在岛的_____ 【题型十四】角的和差倍分 【例14】(1)（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2) （25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【变式14-1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式14-2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【变式14-3】（22-23七年级上·山西太原·期末）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【题型十五】余角与补角 【例15】(1)（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）． A． B． C． D． (2)（22-23七年级上·湖南湘西·期末）互为余角的两个角的差为，求： (1)较大角的补角的度数； (2)较小角的补角与较大角的补角的差． 【变式15-1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（23-24七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（25-26七年级上·山东·期末）一个角的余角比它的补角的还少，求这个角的度数． 【题型一】角的计算与证明 【例1】(1)（25-26七年级上·江西吉安·期末）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． (2)（25-26七年级上·山东·期末）如图，，是的平分线，，求的度数． 【变式1-1】(1)（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． (2)（22-23七年级上·陕西延安·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的平分线． (1)若，求与的度数； (2)若，求的度数． 【变式1-2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 【变式1-3】（22-23七年级上·山东日照·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 【题型二】动点问题 【例2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为，，个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为 秒． 【变式2-1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，E为线段上靠近点A的三等分点，B，D为线段上的两点，且满足． (1)若，求线段的长； (2)若图中所有线段的长度之和是线段长度的5倍，，求线段的长； (3)若，，动点P从A点、动点Q从B点同时出发，分别以，的速度沿直线向右运动，当时，求动点P运动的时间． 【变式2-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）A，B在数轴上，分别表示数，，且． (1)直接写出的值是 ，的值是 ，线段的长度是 ； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 个单位长度/秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒（），当时，求的值． 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·期末）已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　，　　． (2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【题型三】角的动态旋转 【例3】(1)（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图1，已知，点为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 °，的度数为 °； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在的内部时，求的度数． (4)如图4，三角板绕点O旋转到如图位置，请直接写出与的数量关系． (2) （2025七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在内部有两条射线，平分． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，若与互余，（1）问中结论是否仍然成立，并说明理由． (3)在（2）的条件下，如图3，从与重合处开始，绕着点O旋转，若，且满足，求的度数． 【变式3-1】（25-26七年级上·四川达州·期末）将一副直角三角板按如图①摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转． (1)如图②，当____时，平分，此时____． (2)继续旋转三角板，使得，同时在直线的右侧，如图③，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当____时，； ②请直接写出在旋转过程中与之间的数量关系． 【变式3-2】（25-26七年级上·山东·期末）已知点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若（为锐角），请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，将绕点O顺时针旋转，使得恰好平分，求的度数． 【变式3-3】（24-25七年级上·湖南·期末）如图1所示，．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转1°．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转5°，当其与射线或射线相遇时，保持运动速度不变但运动方向发生改变，如此往返．当时，运动停止．设运动时间为秒． (1)当时，求与的度数； (2)如图2，当射线还未与射线相遇，且其为的平分线时，求的值； (3)试求出整个运动过程中，射线与射线一共相遇了几次？ 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 几何图形初步（7知识&15题型&3易错） 【清单01】几何图形相关概念 （1）我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形 （2）几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，我们称这样的图形为立体图形. （3）几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形. （4）几何图形的分类 （5）①有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图. ②正方体的展开图 （6）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体.几何体也简称体. 【清单02】点、线、面 （1）点、线、面是构成图形的基本元素 （2）①线与线相交成点，点无大小； ②面与面相交成线，线无粗细，但线有直线和曲线； ③体由面围成，面无厚薄，但面有平面和曲面 （3）点动成线，线动成面，面动成体 【清单03】直线、射线、线段 （1）直线基本事实：两点确定一条直线 （2）线段基本事实：两点之间线段最短 （3）连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 （4）直线、射线、线段的联系和区别 【清单04】线段的中点 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫作线段 AB 的中点. 几何语言: ∵ M是线段AB的中点. ∴AM= MB =AB或AB=2AM=2MB. 反之也成立: ∵AM=MB=AB(或AB=2AM=2BM). ∴M是线段AB的中点 线段的三等分点 , 线段的四等分点 , 【清单05】角的有关概念以及表示方法 有公共端点的两条射线组成的图形，叫作角. 角的表示方法 角度的换算：, 【清单06】角平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 几何语言：∵是的角平分线 ∴(或) 反之也成立:∵(或) ∴是的角平分线 【清单07】余角、补角 余角、补角定义 如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ). 几何语言： ∵∠1与∠2互为余角 ∴∠1+∠2=90°/∠1=90°-∠2/∠2=90°-∠1 如果两个角的和等于180°( 平角 )，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ). 几何语言： ∵∠3与∠4互为补角 ∴∠3+∠4=180°/∠3=180°-∠4/∠4=180°-∠3 余角、补角性质 同角(等角)的余角相等. 同角(等角)的补角相等. 【题型一】几何图形相关概念 【例1】（24-25七年级上·吉林·期末）下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常见的几何体 【分析】本题主要考查了立体图形的抽象（从实物到几何图形），熟练掌握圆柱等常见立体图形的形状特征是解题的关键． 根据圆柱的形状特征，逐一分析选项中物体对应的几何图形． 【详解】解：∵ 选项A的物体形状抽象为正方体， 选项B的物体形状抽象为球体， 选项C的物体形状抽象为圆柱， 选项D的物体形状抽象为圆锥， ∴ 可以抽象成圆柱的是选项C． 故选：C． 【变式1-1】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）下列各组图形中，都是立体图形的是（　　） A．点、直线、四边形、长方体 B．三角形、长方形、正方体、圆锥 C．线段、相交线、长方体 D．长方体、正方体、圆锥、球 【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】此题考查的是立体图形的识别问题，关键在于区分立体图形与平面图形．由平面图形与立体图形的定义可知，平面图形是一个平面，而立体图形是由几个面围起来的，根据立体图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、只有长方体是立体图形，故选项不符合题意； B、只有正方体、圆锥是立体图形，故选项不符合题意； C、只有长方体是立体图形，故选项不符合题意； D、长方体、正方体、圆锥、球都是立体图形，故选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）下列图形属于圆柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 【答案】C 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查认识立体图形，由圆柱的定义判断即可． 【详解】解：属于圆柱的是第三个图形，有1个． 故选：C． 【变式1-3】（25-26六年级上·山东泰安·期末）观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：② ；⑥ ； （2）在以上几何体中，是柱体的有 （填序号）；含曲面的有 （填序号）． 【答案】 圆锥 五棱柱 ①③④⑤⑥⑧ ①②⑦ 【知识点】常见的几何体、立体图形的分类 【分析】本题考查了常见的几何体，立体图形的分类，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据所给的图形确定图形的名称； （2）先说出各个图形的名称，再归类即可． 【详解】（1）解：②圆锥，⑥五棱柱， 故答案为：圆锥，五棱柱； （2）①是圆柱，②是圆锥，③是长方体，④是正方体，⑤是四棱柱，⑥是五棱柱，⑦是球，⑧是三棱柱， 所以在以上几何体中，是柱体的有①③④⑤⑥⑧；含曲面的有①②⑦． 故答案为：①③④⑤⑥⑧，①②⑦． 【题型二】立体图形的展开图 【例2】（24-25七年级上·福建福州·期末）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（    ） A．圆锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】D 【知识点】常见的几何体、几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知三棱柱的特征是解题的关键．根据侧面为三个长方形，底面为两个三角形，即可得到该几何体为三棱柱． 【详解】解：∵该几何体展开图侧面为三个长方形，底面为两个三角形， ∴该几何体为三棱柱， 故选：D． 【变式2-1】（24-25七年级上·陕西延安·期末）下列图形中，不是棱柱的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了几何体的展开图，结合棱柱的两底面是对面，展开是两个一模一样的方形图，侧面展开是方形图，进行作答即可． 【详解】 解：A、是三棱柱，不符合题意； B、是圆柱，符合题意； C、是四棱柱，不符合题意； D、是四棱柱，不符合题意； 故选：B 【变式2-2】（25-26七年级上·湖南·期末）某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4，这种药品包装盒的体积 ． 【答案】90 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查长方体的展开图，一元一次方程的应用；设长方体宽为x，则长为 ，高为 ，根据题意列方程求解即可. 【详解】解：设长方体宽为x，则长为 ，高为 ， 由题意得， 解得， 则，， ∴药品包装盒的体积为()． 故答案为： 【变式2-3】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出了两种不同的长方体纸盒（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．请你动手操作并完成任务（纸板厚度及接缝处忽略不计）．    动手操作1：根据图1所示的方式制作一个无盖的长方体纸盒． 方法1：先在纸板的四角剪去四个边长都为的正方形，再沿虚线折起来． 动手操作2：根据图2所示的方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法2：先在纸板四角剪去两个边长都是的正方形和两个宽为的同样大小的小长方形，再沿虚线折起来． (1)无盖长方体纸盒底面的边长是 ，有盖长方体纸盒的底面积是 （用含，的代数式表示） (2)已知，． ①求该无盖长方体纸盒的底面积； ②求该有盖长方体的体积． 【答案】(1)， (2)①；② 【知识点】几何体展开图的认识、已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】本题主要考查了认识立体图形，列代数式及已知字母的值求代数式的值，掌握立体图形的特征是正确计算的前提，用代数式是解题关键． （1）根据图1，得底面的边长为；根据图2，得长方体底面的长和宽，根据长方形的面积公式列式即可； （2）①把，代入代数式结合正方形的面积公式求值即可； ②把，代入代数式结合长方体的体积公式求值即可． 【详解】（1）解：无盖长方体纸盒底面的边长是， 有盖长方体纸盒底面的长为，宽为， 故有盖长方体纸盒的底面积是． （2）解：①当，时， 该长方体纸盒的底面边长为， 所以该长方体纸盒的底面积为． ②当，时， 该长方体纸盒的底面积为， 所以该长方体纸盒的体积为． 【题型三】正方体的展开图 【例3】（24-25七年级上·云南红河·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，若相对的两个面上的数互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字、相反数的定义 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，代数式求值，相反数的定义，正方体展开图中相对的面之间必定相隔一个小正方形，据此确定出相对面，再根据相反数的定义得到x与y的关系，z的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得，数字z所在的面与数字2所在的面相对，数字x所在的面与数字y所在的面相对，数字6所在的面与数字所在的面相对， ∵若相对的两个面上的数互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】（23-24七年级上·河北唐山·期末）图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 【变式3-2】（25-26七年级上·安徽合肥·月考）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题主要考查正方体的展开图，关键是把握立体图形相对位置关系．根据正方体中各面的相对位置关系进行判断即可． 【详解】解：根据正方体中各面的相对位置关系可得， 深色正方形，浅色正方形以及带圆的正方形，若相邻，则只有选项D正确． 故选：D． 【变式3-3】（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【题型四】立体图形的三视图 【例4】1．(1)（25-26七年级上·广东·期末）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看几何体；画出从正面看这个印章的平面图形，进行作答即可． 【详解】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示： 故选：B． (2) （2025七年级上·全国·专题练习）某几何体看到的图形如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向上看几何体，根据从前面、左面、上面看到的图形形状，判断该几何体的组成部分，从而即可确定选项，正确识图是解题的关键． 【详解】解：从前面看是三角形和长方形，从左面看是三角形和长方形，从上面看是圆，由此可知该几何体下半部分是圆柱，上半部分是圆锥， 故选：． 【变式4-1】（25-26七年级上·全国·期末）下列几何体中，从正面看到的图形和从左面看到的图形不同的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从三个方向看几何体， 分别判断出从两个方向看几何体得出的平面图形，再解答即可． 【详解】解：从正面看到的图形是两个正方形，从左面看到的也是两个正方形，所以A不符合题意； 从正面看到的图形是长方形，从左面看到的是圆，所以B符合题意； 从正面看到的图形是三角形，从左面看到的也是三角形，所以C不符合题意； 从正面看到的图形是圆，从左面看到的也是圆，所以D不符合题意． 故选：B． 【变式4-2】(1)（25-26七年级上·山东·期末）如图，是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（    ） （俯视图：第一行2个小正方形，数字分别为1、2；第二行2个小正方形，数字分别为3、1） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从正面看第一列有3个正方形，第二列有2个正方形，即可求解． 【详解】解：根据题意知，这个几何体有两行两列，且从正面看第一列有3个正方形，第二列有2个正方形，在这四个选项只有B选项符合． 故选：B (2)（22-23九年级下·山东临沂·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面和上面看到这个几何体的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个． 【答案】 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看立体图形，掌握立体图形的特点，视图的特点是关键． 从正面看有上下两层，从上面看可得下层有4个，由此即可求解． 【详解】解：从正面看有上下两层，上层最少有1个，最多有2个， 从上面看，下层有4个， ∴最多有个， 故答案为：6 ． 【变式4-3】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格内分别画出从正面、左面、上面观察该几何体看到的形状图； (2)若这些小正方体的棱长为，求出该几何体的表面积（包括底面）． 【答案】(1)图见解析 (2) 【知识点】组合几何体的构成、从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体、几何体的表面积，熟练掌握从不同方向看几何体所得到的图形的画法是解题关键． （1）根据从不同方向看几何体，画出所得到的图形即可得； （2）有顺序的计算上下面、左右面、前后面的表面积之和即可得． 【详解】（1）解：在方格内分别画出从正面、左面、上面观察该几何体看到的形状图如下： ． （2）解：该几何体的表面积为， 答：该几何体的表面积为． 【题型五】几何体中的点、棱、面 【例5】(1)（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱 C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面 【答案】B 【知识点】常见的几何体、几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查棱柱、圆锥等立体图形的特征，根据它们的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】A、棱柱的上下底面完全相同，正确，不符合题意； B、∵ 五棱柱的底面是五边形，有2个底面和5个侧面，∴ 总面数为7个； ∵ 上下底面各有5条棱，加上5条侧棱，∴ 总棱数为15条， 故原说法错误，符合题意； C、圆锥的底面是圆，正确，不符合题意； D：长方体与正方体都有六个面，正确，不符合题意 ∴ 不正确的是B， 故选：B． (2) （24-25七年级上·宁夏银川·期末）银川承天寺塔（如图），始建于西夏天佑垂圣元年（公元1050年），是宁夏现存古塔中最高的一座砖塔．它是一座八角十一层楼阁式砖塔，它可以近似地看作由十一个八棱柱构成．请问：一个八棱柱一共有 角 条棱， 有 面， 有 个顶点． 【答案】 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查立体几何的知识，解题的关键是掌握八棱柱的立体图形，根据图形，进行解答，即可． 【详解】解：八棱柱，上下两面各有8个角，侧面有8个矩形，每个矩形4个角，一共是个角；八棱柱是一个有个侧面的棱柱，每个侧面都是矩形，有两个底面，每个底面都是一个八边形，每个底面有个顶点；每个底面有条棱，每个底面的顶点都与另一个底面对应的顶点相连； ∴八棱柱有个角；有条棱；有个面；有个顶点； 故答案为：；；；． 【变式5-1】（23-24七年级上·陕西渭南·期末）一个几何体只有一个顶点，一个侧面，一个底面，则这个几何体可能是（    ） A．棱柱 B．球 C．棱锥 D．圆锥 【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了圆锥，根据圆锥的结构特点即可求解，掌握常见几何体的结构特征是解题的关键． 【详解】解：一个几何体只有一个顶点，一个侧面，一个底面，这个几何体可能是圆锥， 故选：． 【变式5-2】（24-25七年级上·广东惠州·期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（   ） A．几何体是三棱锥 B．几何体有6条侧棱 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有3个侧面 【答案】D 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】根据三棱柱的特征，逐一判断选项，即可．本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键． 【详解】解：∵该几何体是三棱柱， ∴底面是三角形，侧面是四边形，有3条侧棱， ∴D说法正确，A、B、C说法错误， 故选D． 【变式5-3】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）【阅读】图1是小茗同学在课本上看到的一个有趣的几何体．经过查阅资料，得知该几何体 的名称叫作三棱台、如图2，所有的棱台都可以看作是某个棱锥被平行于底面的平面截去一 个小的棱锥后得到的几何体． 【探究】 (1)在图3中，用一个平行于四棱锥底面的平面去截这个四棱锥，请画出截得的四棱台的平面直观图． （注意看得见的棱画成实线，看不见的棱画成虚线） (2)观察三棱台、四棱台、五棱台的面数（F）、棱数（E）和顶点数（V），分别填入下表中： 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） … 棱数（E） … 顶点数（V） … ①小茗通过观察，猜想，验证，发现所有的棱台都满足等式：， 你认为她 的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例． ②请你写一条关于三个量的等式，使其满足棱锥，但是不满足棱台，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)①结论正确，理由见详解；②，理由见详解 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、几何体中的点、棱、面 【分析】（1）理解题干三棱台，三棱锥的过程，模仿作图，即可作答． （2）①先观察，分别填写表格，总结规律棱台有个顶点，个棱，个面，……，进行验证，即可作答． ②先观察，分别填写表格，总结规律个顶点，个棱，个面，进行验证，即可作答． 本题考查了几何体中的点、棱、面，用代数式表示数、图形的规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：截得的四棱台，四棱锥的平面直观图如图所示： （2）解：依题意， 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） 5 6 7 … 棱数（E） 9 12 15 … 顶点数（V） 6 8 10 … ①结论正确，理由如下： 结合上表，得出三棱台有个顶点，个棱，个面， 四棱台有个顶点，个棱，个面， 五棱台有个顶点，个棱，个面， 依次类推…… 棱台有个顶点，个棱，个面， 故． 解：②，理由如下： 依题意，如图所示： 三棱锥 四棱锥 五棱锥 … 面数（F） 4 5 6 … 棱数（E） 6 8 10 … 顶点数（V） 4 5 6 … 结合上表，得出三棱锥有个顶点，个棱，个面， 四棱锥有个顶点，个棱，个面， 五棱锥有个顶点，个棱，个面， 依次类推…… 棱锥有个顶点，个棱，个面， 则， 故． 【题型六】点、线、面之间的关系 【例6】(1)（24-25七年级上·全国·期末）下列现象，说明“点动成线”的是（   ） A．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹 B．流星划过夜空留下的痕迹 C．酒店旋转门运动的痕迹 D．在桌面上快速转动一个硬币形成的痕迹 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查点、线、面、体的关系，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．理解“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”并结合实际问题进行分析是解题关键．根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项的实际意义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹，说明“线动成面”，不合题意； B．流星划过夜空留下的痕迹，说明“点动成线”，符合题意； C．酒店旋转门运动的痕迹，说明“面动成体”，不合题意； D．在桌面上快速转动一个硬币形成的痕迹，说明“面动成体”，不合题意． 故选：B． (2)（25-26七年级上·山西运城·期中）随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】根据面动成体对各选项分析判断利用排除法求解． 本题考查了点、线、面、体，准确识图观察得到的几何体的曲面的形状是解题的关键． 【详解】解：观察四个选项，A选项中的平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶， 故选：A． 【变式6-1】（23-24六年级上·山东济宁·期末）第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的某个几何体，按要求填空． 图1旋转形成 ，图2旋转形成 ，图3旋转形成 ，图4旋转形成 ，图5旋转形成 ，图6旋转形成 ． 【答案】、、、、、 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查了旋转平面图形与立体图形的关系，长方形绕一边旋转成圆柱；直角三角形绕一直角边旋转成圆锥；半圆绕直径旋转成球；直角梯形绕垂直于底的腰旋转成圆台．分析图形的形状与轴线的关系是解题的关键． 根据旋转的特点和各几何图形的特性判断即可． 【详解】解：图1是上下两个直角三角形和中间长方形，旋转所成的图形为； 图2是半圆，旋转所成的图形是； 图3是长方形，旋转所成的图形是； 图4是直角三角形，旋转所成的图形是； 图5是两个直角三角形，旋转所成的图形是； 图6是长方形剪去一个直角三角形，旋转所成的图形是． 故答案为：、、、、、． 【变式6-2】（24-25七年级上·吉林·期末）在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种现象可以用数学原理“点动成线”解释．那么打开如图“折扇”时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为 ． 【答案】线动成面 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的动态关系，熟练掌握“线动成面”的原理是解题的关键．根据“点动成线”的类比，分析扇骨（线）移动形成扇面（面）的数学原理． 【详解】解：打开折扇时，扇骨是线，扇面是面，线的移动形成面，对应的数学原理是“线动成面”． 故答案为：线动成面． 【变式6-3】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，直角三角形纸片的两条直角边的长分别为a，b，将它分别绕直线（图1）和直线（图2）旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是_____； (2)若，，则图2中，绕直线旋转一周后形成的几何体的底面积为多少？（结果保留） 【答案】(1)圆锥 (2) 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形、点、线、面、体四者之间的关系 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，图形的旋转变换，圆锥的定义及圆的面积公式，熟练掌握圆锥的定义及圆的面积公式是解答此题的关键． （1）根据圆锥的定义可知即可得出答案； （2）根据圆锥的底面是圆，运用圆面积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据圆锥的定义可知：旋转所得的几何体都是圆锥． 故答案为：圆锥； （2）绕直线旋转一周后形成的几何体的底面积． 【题型七】直线、射线和线段相关概念 【例7】（25-26七年级上·全国·期末）下列几何语句描述正确的是（    ） A．直线和直线是同一条直线 B．射线和射线是同一条射线 C．延长线段到点C，使 D．画直线厘米 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查几何基本概念，掌握直线、射线和线段的性质是解题的关键． 直线无限长，无长度；射线有端点，有方向；线段有长度，可延长，延长需注意方向． 【详解】A、点、、不一定在同一条直线上直线和直线不一定共线，故A错误，不符合题意； B、射线和射线端点不同，故B错误，不符合题意； C、延长线段到点使是可行操作，故C正确，符合题意； D、直线无限长，不能有长度，故D错误，不符合题意； 故选C． 【变式7-1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段有关的概念辨析，根据射线，线段，直线的概念对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、点C在线段的延长线上，即线段不经过点，原说法错误，不符合题意； B、射线的端点是点，原说法错误，不符合题意； C、直线与直线相交于点P，原说法正确，符合题意； D、射线和线段没有交点，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式7-2】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题主要考查了直线、射线，线段的定义，根据直线、射线，线段的定义进行逐一判断即可，熟知相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、图中有直线共1条，射线共4条，线段共3条，故A错误，不符题意； B、射线还不可以表示为射线，故B错误，不符题意； C、点在直线外，直线经过点，故C正确，符合题意； D、图中线段，则点不一定是线段的中点，故D错误，不符合题意， 故选：C． 【变式7-3】（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知A，B，C，D四点，按下列要求作图： (1)画直线； (2)画线段； (3)画射线； (4)延长线段． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)作图见解析 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了作图复杂作图，直线、射线、线段，延长线，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据直线定义即可画直线； （2）根据线段定义即可画出线段； （3）根据射线定义即可画射线； （4）根据线段定义即可延长线段至． 【详解】（1）过点A、B画直线， 直线即为所求作的图形． （2）连接， 线段，线段即为所求作的图形． （3）以点A为端点过点D画射线，以点C为端点过点D画射线， 射线，射线就是所求作的图形． （4）延长得到射线， 射线即为所求作的图形． 【题型八】直线和线段基本事实 【例8】（24-25七年级上·河南郑州·期末）生活中有下列现象，其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象是（   ） A．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上 B．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线 C．把弯曲的河道改直，可以缩短航程 D．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 【答案】C 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系、两点确定一条直线、两点之间线段最短 【分析】本题考查了经过两点有且只有一条直线、两点之间线段最短、点动成线，据此相关性质内容逐一判断即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：A.打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上，利用了“经过两点有且只有一条直线”，故该选项不符合题意； B.木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，利用了“经过两点有且只有一条直线”，故该选项不符合题意； C.把弯曲的河道改直，可以缩短航程，利用了“两点之间线段最短”，故该选项符合题意； D.把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，利用了“点动成线”， 故该选项不符合题意； 故选C． 【变式8-1】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）已知点在直线上，点，点在直线外，过三点中两点画一条直线，那么直线的条数有（    ） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条 【答案】C 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题主要考查了直线，利用分类讨论思想是解题的关键．根据三点的不同位置分类讨论即可得出结果． 【详解】解：当三点在同一直线上时，如图1所示， 过每两点画一条直线，只能画1条直线； 当三点不在同一直线上时，如图2所示， 过每两点画一条直线，可以画3条直线． 综上所述，直线的条数有1条或3条． 故选：C． 【变式8-2】（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）如图所示，在下列四个生活现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查了基本事实：两点确定一条直线；两点之间，线段最短．理解基本事实的实际应用是解题的关键．根据基本事实逐一判断即可． 【详解】解：木板上弹墨线，建筑工人砌墙，两根钉子固定木条是“两点确定一条直线”的实际应用，符合题意， 弯曲河道改直是“两点之间，线段最短”的实际应用，不符合题意， 故选：C． 【变式8-3】（25-26七年级上·全国·期末）小海的爸爸准备开车从A地去往B地，在导航地图上显示两地距离为，导航推荐的三条可选路线长分别为和（如图）．能用来解释这一事实的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点可以画无数条直线 C．点动成线 D．经过两点有且只有一条直线 【答案】A 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据两点之间，线段最短即可得到答案． 【详解】解：能用来解释这一事实的数学知识是两点之间，线段最短． 故选：A． 【题型九】线段、直线的应用 【例9】．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 【答案】 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了如何求线段的条数的问题，设首尾两站为点，点是线段上的七个点，求出之间的所有线段条数，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设首尾两站为点，点是线段上的七个点， 则图中共有线段条， ∵到与到车票不同， ∴从到的车票共有种， 故答案为：． 【变式9-1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】 （2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】 （3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）他们共握了次手 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索、直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是仔细地观察图形并找到其中的规律． （1）根据图形画出直线即可； （2）根据上面得到的规律用代数式表示即可； （3）将代入公式即可求解． 【详解】解：（1）根据图形得： 如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线； 故答案为：3，6，10； （2）如果平面上有个点，且任意3个点均不在同一条直线上， ∴（条） 那么经过两点最多可以画条直线； 故答案为：； （3）某班级聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次， 把代入，得（次）． 答：他们共握了次手． 【变式9-2】（24-25七年级上·广东东莞·期末）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条； （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段； （3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ （4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票． 【答案】（1）6；（2）；（3）一共要进行场比赛；（4）380 【知识点】图形类规律探索、直线、线段、射线的数量问题 【分析】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． （1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可； （2）根据数线段的特点列出式子化简即可； （3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论． （4）从上述问题得出结论即可求解，注意火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关． 【详解】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段， 以点C为左端点向右的线段有线段， 以点D为左端点的线段有线段， ∴共有（条）． 故答案为：6； （2）解：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则， ∴倒序排列有， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段， 由题知，当时，． 答：一共要进行45场比赛． （4）解：∵火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关， ∴根据上述问题可得，， 故答案为：． 【变式9-3】（23-24七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【答案】（1）10；（2）29；（3）没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛 【知识点】直线相交的交点个数问题、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了直线交点问题、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 （1）根据题干分析n条直线，最多有个交点，直接代入即可得解； （2）代入公式求出交点最多个数，当8条直线交于同一点时，个数最少； （3）根据单循环赛制的特点，以及各班级已赛场次的信息，逐步推理出班级之间的比赛关系，进而求出未与七6班比赛的班级以及剩余比赛场数． 【详解】解：（1）5条直线相交，最多有个交点， 故答案为：10； （2）根据题意，最多有个交点，此时， 当8条直线交于同一点时，交点最少，此时， 所以； （3）分析各班级比赛场次信息： 单循环赛制意味着每个班级都要和其余5个班级各赛一场，所以每个班级最多比赛5场， ①七1班赛了5场，这表明七1班与七2、七3、七4、七5、七6班都进行了比赛； ②七5班只赛了1场，由于七1班与所有班级都比赛过，所以七5班这一场比赛就是和七1班进行的，七5班没有和其他班级比赛； ③确定七2班比赛对象：七2班比赛了4场，因为七5班只和七1班比赛，所以七2班除了和七5班没比赛，与七1、七3、七4、七6班都比赛了； ④确定七4班比赛对象：七4班赛了2场，根据前面的推理，七4班的两场比赛是和七1、七2班进行的； ⑤确定七3班比赛对象：七3班比赛了3场，已知七1、七2班与七3班比赛，七5班没和七3班比赛，所以七3班的三场比赛是和七1、七2、七6班进行的（与七4班没有比赛）；通过以上分析可知，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班． 已比赛的场数为： ①七1班与七2、七3、七4、七5、七6班比赛5场； ②七2班与七4、七3、七6班比赛3场（与七1已算在七1班场次中）； ③七3班与七6班比赛1场（与七1、七2重复场次已算）； ④七4班与七1、七2班赛比2场；（全部为重复场次，已算过） ⑤七5班与七1班赛1场；（全部为重复场次，已算过） ⑥七6班与七1、七2、七3班赛3场（全部为重复场次，已算过），总共已赛9场； 6个班级进行单循环比赛，总场数为场，所以还剩下的比赛场数为场； 综上，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛． 【题型十】线段的和差倍分 【例10】（2023七年级上·全国·专题练习）如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则（    ）． A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】A 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的相关计算，根据的关系，可用表示，表示，根据线段的和差，可得长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由，得． 由线段的和差，得，． 由线段的中点E、F，得： 由线段的和差，得， 解得：， （）， 故选：A． 【变式10-1】（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，点在线段上，且是线段的中点，是线段上一点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是： ． 【答案】①②④ 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的比例关系、中点及三等分点的性质，解决本题的关键是通过代数方法验证几何结论．先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则，故， 点D是的中点，故， ，故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 故答案为：①②④． 【变式10-2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)5 (2)21 【知识点】线段的和与差、线段之间的数量关系 【分析】本题考查两点之间距离的计算方法，理解各条线段之间的和、差、倍、分的关系是解决本题的关键． （1）将，，转化为，进而根据进行计算即可； （2）根据（1）可推出，再代入求解即可． 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以， 所以; （2）由（1）可知， 所以， 即． 因为， 所以． 【变式10-3】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，为线段上一点，在线段上，且，为的中点． (1)若，，求线段、的长； (2)试说明：． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，能根据图形求出各个线段之间的关系是解此题的关键． （1）根据线段中点求出、的长，根据即可求得的长，根据可求出、的长，最后根据即可得解； （2）根据为的中点，，可得到，，结合，，表示出，即可得出答案． 【详解】（1）解：为的中点，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为的中点，， ，， ，， ． 【题型十一】线段的中点 【例11】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点C是线段的中点，，点D在线段上，且，则线段的长为(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是利用中点性质得到线段长度，再通过和差求目标线段． 由中点得，再用计算长度． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴ 又∵， ∴． 故选：C． 【变式11-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图所示，点C在线段上，，，点M，N分别是，的中点．则的长度是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段的和差关系是解题的关键． 根据线段中点的定义得到、的长，根据进行计算求解即可． 【详解】解：，， ， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， 故选：C． 【变式11-2】（25-26七年级上·河北衡水·期末）已知点，，在同一条直线上，如果，线段，点为线段的中点，则的长为（   ） A．6或15 B．3或15 C．6或 D．3或 【答案】B 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的中点的有关运算． 点A、B、C在同一直线上，但位置关系不确定，需分两种情况讨论：当B在线段上时；当A在线段上时，根据线段中点的性质求解即可． 【详解】解：∵，D为中点， ∴． 情况1：当B在线段AC上时， ； 情况2：当A在线段上时， ； 综上，的长为3或15． 故选：B． 【变式11-3】（24-25七年级上·云南红河·期末）线段，线段，点M是的中点，在上取一点N，点N为线段的三等分点，求线段的长为 ． 【答案】或13 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查线段中点的性质，线段和差的数量关系；根据点是中点，可得的值，根据点N为线段的三等分点分两种情况求解得的值，进而根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 又∵点N为线段的三等分点，， 当点N靠近点C的三等分点时，， 此时， 当点N靠近点B的三等分点时，， ∴， 故答案为：或13． 【题型十二】角度的换算与计算 【例12】（25-26七年级上·天津·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算 【分析】本题考查度分秒的换算和运算，需掌握的基本关系． 根据度分秒的换算和运算逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：，计算正确，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D错误； 故选：B． 【变式12-1】（23-24七年级上·全国·期末） ′ ″ ， 【答案】 37 8 42 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查度数之间的运算，解决本题的关键是掌握角度之间的换算以60为进制． 根据1度分，即，1分秒，即进行换算即可． 【详解】解：∵1度分，1分秒， ∴；， ， ， 故答案为：；37，8，42；；，，． 【变式12-2】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）计算 (1) ． (2) ． (3) (4)； (5)． (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了角度的运算． 根据角度单位换算关系进行计算即可． 【详解】解：(1)． (2) ． (3)． (4)； (5)． 【题型十三】方位角 【例13】（24-25七年级上·云南红河·期末）某轮船在O处，测得灯塔A在北偏东的方向上，测得灯塔在南偏东的方向上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查方向角的概念，掌握方向角的定义是解题的关键．方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可求解． 【详解】解：∵轮船在O处，测得灯塔A在北偏东35的方向上，测得灯塔B在南偏东的方向上， ∴． 故选：B． 【变式13-1】（25-26七年级上·全国·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线垂直，则射线的方向是 （    ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏东 【答案】B 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角，方向角的表示方法是北偏东或北偏西，南偏东或南偏西． 根据垂直，可得的度数，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：∵射线与射线垂直， ∴， ∴， 故射线的方向角是北偏西. 故选：B． 【变式13-2】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，是三岛的平面图，则岛在岛的_____ 【答案】北偏西 【知识点】方向角的表示 【分析】本题主要考查了方位角的定义，正确理解方位角的定义是解题的关键． 根据方位角的概念，以B岛为观测点，先确定正北方向，再看A岛的位置，即可求解． 【详解】解：图中B岛的西方向与的夹角为23°， ∴与正北方向的夹角为 ， ∴A岛在B岛的北偏西方向． 【题型十四】角的和差倍分 【例14】(1)（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线定义，角的和差计算，准确识图是解题的关键． 根据角平分线的定义可设，，利用平角等于得出，．再得出，则，，然后分别判断即可． 【详解】解：平分，平分， 可设，， 为直线上一点， ， ， ，即． ， ， ． 平分， ． ①，， ，故本选项结论正确，符合题意； ②，， ，故本选项结论正确，符合题意； ③，， ，故本选项结论正确，符合题意； ④， 当时，，但是题目没有的条件，故本选项结论错误，不符合题意． 综上所述，正确的有：①②③共3个．故选：C． (2) （25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义； （1）根据题意，，，即可得出，再根据计算即可得出答案； （2）根据角平分线求出，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）平分． ， ， ，， ， ． 【变式14-1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知 或． 故选：A． 【变式14-2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【知识点】几何图形中角度计算问题、角n等分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．设，结合已知可求 ，，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：设，则， ， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式14-3】（22-23七年级上·山西太原·期末）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【答案】或 【知识点】角n等分线的有关计算、求一个角的余角 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、角等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 先根据余角的定义可得，再根据是的三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【题型十五】余角与补角 【例15】(1)（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角的定义，三角板中角度的计算，度数之和为90度的两个角互余，据此结合三角板中角度的特点求解即可． 【详解】解：A、由余角性质可得，该选项不合题意； B、由图可得，与互补，该选项不合题意； C、由图可得，该选项不合题意； D、由图可得，与互余，该选项符合题意； 故选：D． (2)（22-23七年级上·湖南湘西·期末）互为余角的两个角的差为，求： (1)较大角的补角的度数； (2)较小角的补角与较大角的补角的差． 【答案】(1) (2) 【知识点】与余角、补角有关的计算、求一个角的补角、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了余角和补角的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设较大角为x，则较小角为，根据题意列方程求解求出较大角的度数为，然后根据补角的定义求解即可； （2）首先求出较小角的度数，然后求出较小角的补角的度数，进而求解即可． 【详解】（1）解：设较大角为x，则较小角为， 根据题意得， 解得， ∴较大角的度数为， ∴较大角的补角的度数为； （2）解：∵较大角的度数为， ∴较小角的度数为， ∴较小角的补角的度数为， ∴较小角的补角与较大角的补角的差为． 【变式15-1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算、求一个角的补角、求一个角的余角 【分析】本题涉及余角和补角的概念；余角是指两个角的和为，补角是指两个角的和为，先根据与互补求出，再根据与互余求出． 【详解】解：∵与互补， ∴，即， ∵， ∴， ∵与互为余角， ∴， ∴． 故选：C． 【变式15-2】（23-24七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题主要考查补角、余角的概念、一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 设这个角为，根据补角和余角的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， 由题意可得：， ， ， ． 故选B． 【变式15-3】（25-26七年级上·山东·期末）一个角的余角比它的补角的还少，求这个角的度数． 【答案】75 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角的计算，设这个角为α，则它的余角为，补角为，根据题意，余角比补角的还少，列出方程求解． 【详解】解：设这个角为α，则余角为，补角为， 根据题意，得：， 解得， 【题型一】角的计算与证明 【例1】(1)（25-26七年级上·江西吉安·期末）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键. （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）证明：， ∴， ∴． (2)（25-26七年级上·山东·期末）如图，，是的平分线，，求的度数． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，几何图形的角度运算，一元一次方程的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设，则又因为，得，再结合，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：设， ∵是的平分线， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 解得 ∴ 【变式1-1】(1)（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，余角性质等，解题的关键是掌握角的和差及角平分线的性质． （1）根据余角性质得出，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）根据角的和差及倍数关系求出相关角的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵射线在直线的上方， ∴， ∴． (2)（22-23七年级上·陕西延安·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的平分线． (1)若，求与的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】此题主要考查了补角，角的计算，角平分线的定义，关键是根据图形，理清角之间的关系是解题的关键． （1）首先由互补求出，然后根据角平分线的定义得到，，进而求解即可； （2）首先根据同角的补角相等得到，求出，然后根据角平分线的定义得到，进而就即可． 【详解】（1）因为与互补，， 所以， 因为为的平分线， 所以， 因为为的平分线， 所以， 所以； （2）因为与互补，， 所以， 所以， 因为为的平分线， 所以， 所以． 【变式1-2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，与互补，详见解析 (3)与不一定互补，详见解析 【知识点】求一个角的补角、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据以及补角的定义即可求值； （2）根据补角的定义和角平分线的定义即可得出答案； （3）根据补角的定义即可做出判断． 【详解】（1）解：， 其补角为． 答：的度数为，其补角的度数为． （2）解：与互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴与互补． 答：，，与互补． （3）解：与不一定互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∵的度数不确定， ∴与不一定互补． 【变式1-3】（22-23七年级上·山东日照·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，与的大小无关 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线、角之间的计算，熟练掌握角平分线是解题的关键． （1）根据题意求出度数，根据角平分线求出和的度数，由求出即可； （2）与（1）同理，求出、和的关系，用表示； （3）与（1）同理，求出、和的关系，用、表示． 【详解】（1）解：是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ； （2）解：，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , , 即； （3）解：，与的大小无关，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ， 即． 【题型二】动点问题 【例2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为，，个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为 秒． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据点和点的运动速度，表示出秒后点和点的坐标，利用中点公式得到点的坐标表达式，点在线段上往返运动，需根据时间分段讨论点的坐标，并建立方程求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为， 当点为线段的中点时，点表示的数为， 当时， 解得：， 即运动秒时，点，重合时，运动停止， ， 点在线段上往返运动， 解方程， 可得：， 即当运动秒时，点与点重合，此时点与点重合， 当时， 点表示的数为，点表示的数为， 点在上运动， 点表示的数大于， 点不能成为的中点； 当时，点从点向点运动，表示的数为， 点是线段的中点， ， 解得：(不符合题意，舍去)； 当时，点从点向点运动，表示的数为 令， 解得：， 经检验，满足，且运动未停止（点M与点N重合时）． 故答案为 ：． 【变式2-1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，E为线段上靠近点A的三等分点，B，D为线段上的两点，且满足． (1)若，求线段的长； (2)若图中所有线段的长度之和是线段长度的5倍，，求线段的长； (3)若，，动点P从A点、动点Q从B点同时出发，分别以，的速度沿直线向右运动，当时，求动点P运动的时间． 【答案】(1) (2) (3)存在，动点P运动的时间为或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了一元一次方程的几何问题，线段的和差倍分，利用一元一次方程的方法求解是解题的关键． （1）根据三等分点的定义求出的长度，然后根据线段的和差关系求解即可； （2）先求出所有线段的和为，结合已知可得出，设，则，，根据三等分点的定义求出，则可得方程，解方程即可求解； （3）分三种情况：①在左边时，；②在右边，在左边时，；③在右边时且在右边时，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵E为线段上靠近点A的三等分点，， ∴， ∴， （2）解：∵以A为端点的线段有，，，；以E为端点的线段有，，；以B为端点的线段有，，以D为端点的线段有， ∴所有线段的和为 ， ， ∵所有线段的长度之和是线段长度的5倍， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， 又， ∴， ∵E为线段上靠近点A的三等分点， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵，，E为线段上靠近点A的三等分点， ∴，， ∴，， ①在左边时，， ，， ∴， 解得； ②在右边，在左边时，， ，， ∴， 解得（舍去）； ③在右边时且在右边时，， ，， ∴， 解得， 综上，存在某个时刻使得成立，此时动点P运动的时间为或． 【变式2-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）A，B在数轴上，分别表示数，，且． (1)直接写出的值是 ，的值是 ，线段的长度是 ； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 个单位长度/秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒（），当时，求的值． 【答案】(1)，21，24 (2)①；②2；③的值是或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、线段的和与差、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴动点问题． （1）根据题意，可知，，即可算出m与n的值，线段用两点间的距离公式即可解出； （2）①设的长度为m，根据题目，我们知道，解这个方程即可； ②根据题目直接计算即可； ③当时，点P对应的数是，点C从P到点Q需要秒，由此开始秒后，点P对应的数是，点Q表示的数是，再根据，，，分四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：，21，24； （2）解：①设的长度为m， 则， 解得， ∴线段； ②∵线段完全经过点A所需的时间为3秒， ∴， 即运动的速度为2个单位长度/秒， 故答案为：2； ③当时，点P对应的数是，点C从P到点Q需要秒， 由此开始秒后，点P对应的数是，点Q表示的数是， 当点Q到达点时，，解得， 分三种情况讨论： 阶段1：当时，点未到达点，点从点出发，未到达点，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得； 阶段2：当时，点未到达点，点到达点，开始返回点，此时点C对应的数是， 当时，点C对应的数是9， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 阶段3：当时，点已经超过点，点到达点，又返回向点运动，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得； 阶段4：当时，点已经超过点，点到达点，又返回向点运动，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上，的值是或． 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·期末）已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　，　　． (2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是，为定值 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、数轴上两点之间的距离、线段的和与差 【分析】本题考查数轴上的动点问题，涉及非负数和为零的条件、中点定义求线段长、数轴上两点之间距离表示等知识，数形结合，求出各个点在数轴上表示的数是解决问题的关键． （1）根据题意，由绝对值的非负性、平方的非负性及非负数和为零的条件列方程求解即可得到答案； （2）①由（1）可知，结合线段中点定义，数形结合表示出线段之间的和差倍分关系后，代值计算即可得到答案；②将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示，令点表示的数为，分别表示出相关点运动后在数轴上表示的数，由点与点相遇秒后与点相遇，列方程求出，进而确定点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点之间的距离表示出计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，且， ，且， 解得， 故答案为：； （2）解：①如图所示： 是线段的中点，是线段的中点， ，， ， ； ②是定值；理由如下： 点与点重合时，如图所示： 由①知，， 点是线段的中点， ， ，， 将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示： 令点表示的数为， 点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，线段以个单位长度/秒的速度向左运动， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点与点相遇秒后与点相遇， 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则， 解得； 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则， 解得； ， 解得， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， 在整个运动过程中，，， 则， 即在整个运动过程中，为定值． 【题型三】角的动态旋转 【例3】(1)（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图1，已知，点为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 °，的度数为 °； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在的内部时，求的度数． (4)如图4，三角板绕点O旋转到如图位置，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查角平分线有关的计算及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键． （1）由平角的定义可求和的度数，进而可求的度数； （2）由角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可； （3）设，则，，然后作差即可； （4）设，根据图形可得，，，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， ； 故答案为：，； （2）解：恰好平分， ， ； （3）解：，理由如下： 解：设，则，， （4）设，则，， 。 (2) （2025七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在内部有两条射线，平分． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，若与互余，（1）问中结论是否仍然成立，并说明理由． (3)在（2）的条件下，如图3，从与重合处开始，绕着点O旋转，若，且满足，求的度数． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）根据题意以及角平分线的定义求解即可； （2）设，根据与互余可得，进而可知，，然后结合角平分线的定义，即可证明结论； （3）设，易得，结合（2）可知，然后分在右侧和在左侧两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：成立，理由如下： 设， 与互余， ， ， ， 平分， ， ， 即（1）问结论成立； （3）解：设， ， ， ∵平分， ∴， ∵从与重合处开始，绕着点O旋转， ∴， 当在右侧时，如下图， ，， ， ， ， ，解得， ； 当在左侧时，如下图， ，， ， ， ， ，解得， ． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度计算、角平分线的定义、余角等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用分情况讨论的思想分析问题． 【变式3-1】（25-26七年级上·四川达州·期末）将一副直角三角板按如图①摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转． (1)如图②，当____时，平分，此时____． (2)继续旋转三角板，使得，同时在直线的右侧，如图③，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当____时，； ②请直接写出在旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 (3)①或12；② 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系、用代数式表示旋转过程中的角是解题的关键． （1）先由角平分线定义求出的度数，结合旋转速度算时间；再利用，通过角的和差求． （2）用表示和，通过角的差得到，再推导其与的数量关系． （3）①用表示和，结合列绝对值方程求解；②用表示旋的角度和，推导数量关系即可． 【详解】（1）解：∵，且平分， ， ∵三角板的旋转速度是每秒， ， 又∵，， ； （2）解：，理由如下： 由旋转可知，且， ， 又∵， ； （3）解：①由旋转可知，，且， ， ∵， ∴， ，即， 当时， 解得； 当时， 解得． ∴当或12时，； ②由旋转可知，，，， ∴转动的角度为，， ， 又∵，即， ． 【变式3-2】（25-26七年级上·山东·期末）已知点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若（为锐角），请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，将绕点O顺时针旋转，使得恰好平分，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角的运算，角平分线的定义； （1）由可得，平分，可求出，最后根据即可求解； （2）将（1）的过程中的的度数用代替，即可求出的度数； （3）由，可求出，平分，可求出，再由平分，得，列出方程求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴. （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴. （3）解：恰好平分，当在直线下方时，如图所示， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当在直线上方时，如图所示， 同理可得：. 综上：. 【变式3-3】（24-25七年级上·湖南·期末）如图1所示，．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转1°．射线从位置出发，绕点每秒逆时针旋转5°，当其与射线或射线相遇时，保持运动速度不变但运动方向发生改变，如此往返．当时，运动停止．设运动时间为秒． (1)当时，求与的度数； (2)如图2，当射线还未与射线相遇，且其为的平分线时，求的值； (3)试求出整个运动过程中，射线与射线一共相遇了几次？ 【答案】(1)， (2)或 (3)5次 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、实际问题中角度计算问题 【分析】本题考查实际问题中角度的计算，一元一次方程在几何图形中的应用，掌握角的和差是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）当时，，．此时射线在射线与之间．即可由，求解； （2）分两种情况：情况一：当时，情况二：当且未与射线相遇（即）时，分别求解即可； （3）运动终止时，时间为秒，设射线与射线某一次相遇时，且下一次相遇时，考虑两次相遇间过程：时，；时，，在该过程中，射线一直逆时针旋转，所花时间为：秒，射线先回到射线，再追到射线，所花时间为：秒，故，即，再由第一次相遇时间为5秒，则可求得第二次相遇时间为秒；第三次相遇时间为秒；第四次相遇时间约为秒；第五次相遇时间约为秒；第六次相遇时间约为，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，，． 此时射线在射线与之间． ， ． （2）解：设射线第一次与射线相遇时运动时间为， 则． ． 情况一：当时， ，， 射线为的角平分线， ， ； 情况二：当且未与射线相遇（即）时， ，， 射线为的角平分线， ， ， 综上，或． （3）解：运动终止时，时间为秒， 设射线与射线某一次相遇时，且下一次相遇时，考虑两次相遇间过程： 时，； 时，， 在该过程中，射线一直逆时针旋转，所花时间为： 秒， 射线先回到射线，再追到射线，所花时间为： 秒， 故，即， 已知第一次相遇时间为5秒，则： 第二次相遇时间：秒； 第三次相遇时间：秒； 第四次相遇时间：秒； 第五次相遇时间：秒； 第六次相遇时间：， 故全过程一共相遇了5次． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $