第5章 图形的轴对称——轴对称的相关性质 训练 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦轴对称作图与性质应用，通过尺规作图、几何推理及实际应用构建“作图-性质-应用”系统方法体系，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |与轴对称有关的作图|5题（含项目式学习）|尺规作垂线、垂直平分线、角平分线；利用对称性质确定位置|从轴对称概念（对称点、对称轴）到作图方法，结合实际情境（信号塔、雕像位置）应用性质| |与轴对称性质有关的计算及证明|9题|对称点连线被对称轴垂直平分；线段转化（OE=ME等）；作辅助线（垂线）；结合平行线、角平分线推理|从性质（垂直平分、对应线段角相等）到计算证明，通过几何推理（如第7题）、线段转化（如第10题）深化理解|

轴对称 类型一 与轴对称有关的作图 1．如图，在△ABC中，点E在BC上，AB＝CE，AD⊥BC，垂足为点D，△ABC的周长为52，AC＝20． （1）过点E作EF⊥AC于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若点F是边AC的中点，求线段CD的长度． 2．如图，点C在∠AOB的平分线OM上，点D在边OB上，且OD＝12，△OCD的面积为24．请利用尺规作图法，在边OA上求作一点）E，使CE＝4．（保留作图痕迹，不写作法） 3．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD． （1）请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记D，E两点； （2）若AE＝6，△BCD的周长为19，求BC的长． 4．电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置，并说明理由． 5．项目式学习 主题 素材 位置要求 设计图 任务 如何确定雕像的位置 如图，要在一个四边形的公园ABCD中建造一个标志性的雕像P 1．到点A和点C的距离相等； 2．到AD和DC边的距离相等 请按要求将图纸绘制，标注出点P的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 类型一 与轴对称性质有关的计算及证明 6．如图，△ABC与△DCB关于直线MN对称．直线MN交AC、BC于点E、F，若AC＝5，DE＝2． （1）求BE的长度； （2）连接AD，AD与BC有什么位置关系？并说明理由． 7．如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E、F分别在AB、AC边上， （1）请用直尺和圆规，过点D作DH∥AC交BC于点H．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若∠1+∠HDC＝180°，∠1＝148°，则： ①证明EF∥CD； ②求∠BHD的度数． 请完成如下的几何推导： 解：∵∠1+∠HDC＝180°， ∴∠HDC＝180°﹣　 　 ＝180°﹣148°＝32°，（等式的性质） ∵DH∥AC， ∴∠2＝∠HDC＝32°，（　 　 ） ∴∠1+∠2＝148°+32°＝180°， ∴EF∥CD，（　 　 ） ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝　 　 ＝2×32°＝64°，（角平分线的定义） ∵DH∥AC， ∴∠BHD＝　 　 ＝64°．（两直线平行，同位角相等） 8．课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知BG，CG是△ABC的角平分线，求证：点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）如图2，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝60°，求∠PAC的度数． 9．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，连接MN，与PA、PB分别相交于点E，F，已知MN＝10cm，求△OEF的周长． 10．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝8，PN＝10，MN＝13，求线段QR的长． 11．如图，点A，B在直线l同侧，点C与点B关于直线l对称，连接AC交直线l于点D，求证：AD+DB＝AC． 12．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，连接MN，与PA、PB分别相交于点E，F，已知MN＝10cm． （1）求△OEF的周长； （2）连接PM，PN，若∠APB＝30°，判定△PMN的形状，并说明理由． 13．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若∠AOB＝56°，则∠BOC＝　 　 °； （2）折叠长方形纸片，BC，BD均为折痕，折叠后，点A落在点A'，点E落在点E'． ①如图2，当点E'在BA'上时，求∠CBD的度数； ②如图3，若∠A'BE'＝42°，求∠CBD的度数； ③如图4，若∠A'CB＝30°，∠A'BE'＝n°，则∠DBE'的度数为　 　 °（用含n的式子表示）． 14．在△ABC中，∠BAC＝α，AB＝AC，CD⊥AB于点D，过点B作BM∥AC，P是线段DB上一点，连接CP，作∠CAQ＝∠APC，交射线BM于点Q． （1）如图1，当∠CAQ＝2α（36°＜α＜60°）时，求∠BCP的度数（用含α的式子表示）； （2）如图2，点E为AP中点，用等式表示DE与BQ的数量关系，并证明． 2026年05月19日试用的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一．解答题（共14小题） 1．【解答】解：（1）根据尺规作图中“过直线外一点作已知直线的垂线”的方法作图如下： （2）连接AE， 设CE＝x，则AE＝CE＝x， ∵AB＝CE＝x， ∴AB＝AE＝x， ∵AD⊥BC， ∴D为BE的中点， ∵△ABC的周长为52，AC＝20， ∴AB+BC＝52﹣20＝32， ∴， ∴CD＝DE+CE＝16﹣x+x＝16． 2．【解答】解：如图所示：点E即为所求作的点，理由如下： 过C作CH⊥OB于H， 由作图知CE⊥OA， ∵OM平分∠AOB， ∴CE＝CH， ∵△OCD的面积OD•CH＝24， ∵OD＝12， ∴CH＝4， ∴CE＝4． 3．【解答】解：（1）如图所示： （2）∵EF垂直平分AB， ∴AD＝BD，AB＝2AE＝2×6＝12， ∴AC＝AB＝12， ∵△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝19， ∴BC＝7． 4．【解答】解：∵发射塔离村庄A、B的距离必须相等，两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等， ∴发射塔应建在线段AB的垂直平分线上且在∠QON的角平分线上， ∴发射塔应建在线段AB的垂直平分线和∠QON的角平分线的交点上， ∴连接AB，作AB的垂直平分线，作∠QON的角平分线交于点D， 则D点即为发射塔修建位置，如图所示： ． 5．【解答】解：作边AC的垂直平分线和∠ADC的平分线，如图，点P即为所求． 6．【解答】解：（1）因为△ABC与△DCB关于直线MN对称， 所以BD＝AC＝5． 又因为DE＝2， 所以BE＝BD﹣DE＝5﹣2＝3； （2）AD∥BC，理由如下： 因为△ABC与△DCB关于直线MN对称， 所以直线MN垂直平分AD，直线MN垂直平分BC， 所以∠MFD＝∠MFC＝90°， 所以AD∥BC． 7．【解答】解：（1）如图所示， DH即为所求作的直线； （2）①∵DH∥AC， ∴∠2＝∠HDC． ∵∠1+∠HDC＝180°， ∴∠1+∠2＝180°， ∴EF∥CD； ②∵∠1+∠HDC＝180°， ∴∠HDC＝180°﹣∠1＝180°﹣148°＝32°，（等式的性质）． ∵DH∥AC， ∴∠2＝∠HDC＝32°，（两直线平行，内错角相等）． ∴∠1+∠2＝148°+32°＝180°， ∴EF∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠2＝2×32°＝64°，（角平分线的定义）， ∵DH∥AC， ∴∠BHD＝∠ACB＝64°．（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：∠1；两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；2∠2；∠ACB． 8．【解答】（1）证明，过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，如图所示： ∵BG，CG是△ABC的角平分线， ∴GE＝GD，GE＝GF， ∴GE＝GD＝GF， ∴点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）解：过点P作PM⊥BD于点M，PN⊥BA，交BA的延长线于点N，如图所示： ∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线， ∴PM＝PN，PM＝PQ， ∴PN＝PQ， 又∵点P在∠NAC的内部，且PQ⊥AC，PN⊥BA， ∴点P在∠NAC的平分线上， ∴AP是∠NAC的平分线， ∴∠PAC∠NAC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠NAC＝180°﹣∠BAC＝120°， ∴∠PAC∠NAC＝60°． 9．【解答】解：由题知， 因为M，N分别是点O关于PA、PB的对称点， 所以ME＝OE，NF＝OF． 因为ME+EF+NF＝MN＝10cm， 所以OE+EF+OF＝10cm， 即△OEF的周长为10cm． 10．【解答】解：由题知， ∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上， ∴MQ＝PM＝8，NR＝PN＝10． ∵MN＝13， ∴QN＝MN﹣MQ＝13﹣8＝5， ∴QR＝QN+NR＝5+10＝15． 11．【解答】证明：∵点C与点B关于直线l对称， ∴DB＝DC， ∴AD+DB＝AD+DC． 又∵AD+DC＝AC， ∴AD+DB＝AC． 12．【解答】解：（1）∵M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，MN＝10cm， ∴PA垂直平分MO，PB垂直平分ON， ∴EM＝EO，FN＝FO， ∴EO+EF+FO＝EM+EF+FN＝MN＝10cm， ∴△OEF的周长为10cm， （2）等边三角形，理由如下： 连接OP，PM，PN， ∵M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，∠APB＝30°， ∴PA垂直平分MO，PB垂直平分ON， ∴PM＝PO，PN＝PO， ∴∠APM＝∠APO，∠BPN＝∠BPO， ∴∠MPN＝∠APM+∠APO+∠BPN+∠BPO， ∴∠MPN＝2（∠APO+∠BPO）＝2∠APB＝60°， 又∵PM＝PO，PN＝PO， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等边三角形． 13．【解答】解：（1）∵∠AOB＝56°， 由折叠知，∠AOC＝∠BOC∠AOB＝28°； 故答案为：28； （2）①由折叠知，∠ABC＝∠A′BC∠ABA′，∠EBD＝∠E′BD∠EBE′， ∴当点E′在BA′上时， ∠CBD＝∠CBE′+∠DBE′（∠ABA′+∠EBE′）＝90°； ②由条件可知∠ABA′+∠EBE′＝180°﹣∠A′BE′＝138°， 由折叠知，∠ABC＝∠A′BC∠ABA′，∠EBD＝∠E′BD∠EBE′， ∴∠A′BC+∠E′BD（∠ABA′+∠EBE′）＝59°， ∴∠CBD＝∠CBA′+DBE′+∠A′BE′＝59°+42°＝111°； ③∵∠A′CB＝30°， ∴由折叠得，∠ACB＝∠A′CB＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝60°， ∴由折叠得，∠ABA′＝2∠ABC＝120°， ∴EBE′＝180°+∠A′BE′﹣∠ABA′＝180°+n°﹣120°＝n°+60°， ∴由折叠得，∠DBE′∠EBE'＝（n+30）°， 故答案为：（n+30）． 14．【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∵∠BAC＝α， ∴． ∵∠CAQ＝2α，∠CAQ＝∠APC， ∴． （2）如图，在AD上取点N，使得DN＝DP，连接CN． ∵CD⊥AB， ∴CP＝CN． ∴∠CNP＝∠APC． ∵∠CAQ＝∠APC， ∴∠CNP＝∠CAQ． ∵AC∥BM， ∴∠AQM＝∠CAQ． ∴∠AQM＝∠CNP． ∵∠CNA+CNP＝180°，∠AQB+∠AQM＝180°， ∴∠AQB＝∠CNA． 在△CNA和△AQB中， ， ∴△CNA≌△AQB（AAS）． ∴AN＝BQ． ∵E是AP的中点， ∴AP＝2PE． ∵PN＝2PD， ∴AN＝AP﹣PN＝2PE﹣2PD＝2DE． ∴BQ＝2DE． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/19 11:32:20；用户：试用；邮箱：hanm@xyh.com；学号：38871860 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $