第八单元 数学广角-找次品（能力提升卷）-2025-2026学年人教版数学五年级下册单元自测闯关练（试题版A4+A3+解析版+答案版）

**基本信息** 人教版五年级下册第八单元“找次品”能力提升卷，通过消毒液、3D打印收纳盒、德化陶瓷等真实情境，系统考查不同数量物品找次品的最优策略，适配单元复习，培养推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|8/16|3-81个物品找次品次数（如13瓶消毒液、81陶瓷杯）|情境生活化，强化“分3份”最优策略| |选择题|5/10|分组策略（26枚金币分组）、异常轻重未知问题（12羽毛球）|突出逻辑推理，考查思维严谨性| |判断题|5/5|验证找次品次数规律（12零件、10瓶水）|巩固模型认知，强化规律应用| |解决问题|13/69|操作过程（15盒糖果）、创新称重（10盒零件1次称出）、数量推导（两堆零件）|综合应用梯度明显，培养跨情境迁移能力|

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 绝密★启用前 2025-2026学年人教版数学五年级下册单元自测闯关练 第八单元 数学广角-找次品•能力提升 考试分数：100分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。 2．选择题、判断题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。 4．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。 一．用心思考，认真填写（共8小题，满分16分） 1．（本题2分）有13瓶消毒液，其中一瓶次品要轻一点，用没有砝码的天平秤，至少要称( )次才能保证找出次品。 2．（本题2分）爷爷酷爱收藏纪念币，他收藏了11枚外观完全相同的香港回归纪念币，其中有一个是假的，质量轻一点。请你用一架天平称，至少称( )次才能保证找出假币。 3．（本题2分）为保护生态环境，某公益组织利用3D打印定制13个可降解文具收纳盒，其中1个因工艺瑕疵是次品，较轻。仅用天平至少称( )次能找出次品。 4．（本题2分）有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有______个。 5．（本题2分）这批零件共28个，只有一个略轻，其余质量相同。如果用天平称，至少称( )次可以保证找出这个略轻的零件。 6．（本题2分）在生产过程中，工人发现：8瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称( )次能保证找出次品钙片；82瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称( )次能保证找出次品钙片。 7．（本题2分）有11个零件，其中10个质量相同，另外1个略轻一些是次品，用天平称，至少称( )次可以保证把次品找出来。 8．（本题2分）泉州市德化县是千年古县、世界陶瓷之都，德化陶瓷款式异彩纷呈。李老板新进了81件同样型号的德化陶瓷杯，其中80件质量相同，1件质量偏轻。如果用没有砝码的天平称，至少要称( )次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。 二．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分） 9．（本题2分）有26枚金币，其中一枚是假的（假金币轻一些）。要找出假金币，第一次用天平称，方法（    ）最好。 A．天平左右两边各放10枚，旁边放6枚 B．天平左右两边各放8枚，旁边放10枚 C．天平左右两边各放9枚，旁边放8枚 10．（本题2分）12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称（    ）次才能找出那个质量异常的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 11．（本题2分）有26盒饼干，其中的25盒质量相同，另有1盒少了几块。如果用天平称，至少称（    ）次就可以保证找出较轻的这盒饼干。 A．2 B．3 C．4 D．12 12．（本题2分）在27个乒乓球中有一个乒乓球的质量不合格（不合格的乒乓球轻一些），用天平秤，至少称（    ）次就一定能找出不合格的乒乓球。 A．3 B．4 C．5 D．6 13．（本题2分）8个球编号是1~8，其中6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球，用天平称了3次，3次情况如图所示，两个轻球编号分别是（    ）。 A．③⑦ B．④⑦ C．③⑧ D．④⑧ 三．仔细斟酌，准确判断（共5小题，满分5分） 14．（本题1分）有12个零件，其中1个次品轻一些，用天平至少称3次就能找出轻一些的次品。( ) 15．（本题1分）有10瓶水，其中九瓶质量相同，另有一瓶水略重一些，用天平称至少称三次，能保证找出这瓶略重的水。( ) 16．（本题1分）有若干瓶某品牌糖果，其中一瓶开盖吃了几颗。如果采用科学的方法用天平称了3次就找到了开盖的那一瓶糖果，那么这些糖果最多有27瓶。( ) 17．（本题1分）有5袋糖，其中4袋质量相同，1袋轻一些，如果用天平称，至少称2次可以找出轻的那一袋。( ) 18．（本题1分）有7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，用天平至少称2次能保证把它找出来。( ) 四.灵活应用，解决问题（共13小题，满分69分） 19．（本题4分）有15盒糖果，其中14盒质量相同，另有1盒少了几颗。如果用天平称，至少称几次能保证找出这盒糖果？请写出过程。 20．（本题4分）近年来我国新能源汽车制造业发展迅速，截止到2022年我国新能源汽车产销连续8年全球第一，这归功于新能源汽车制造企业的科技研发和精益求精。质检员王师傅发现19个零件中有一个不合格的零件，比其他零件轻一些，他用天平至少称几次能保证找到这个不合格的零件？ 21．（本题6分）有3瓶钙片，其中1瓶少了3片，看作次品。你能设法把它找出来吗？ 如果天平平衡，剩下的一瓶就是次品。如果天平不平衡，哪瓶是次品？ 不实际称，你能想办法把用天平找次品的过程清楚地表示出来吗？ 用代表钙片，可以这样记录。 想一想：如果用天平称，需要称几次才能找到次品？ 22．（本题6分）中医，是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病需到中药馆买中药9副，每副药共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。 （1）用天平称几次，能保证找到这副中药？请写出过程。 （2）如果两边各放4副药，称一次，有可能找出来这副药吗？为什么？ 23．（本题5分）为了加强体育训练，五（1）班新购进了11个沙包，其中有一个沙包略轻。用天平至少称几次才能保证找出这个质量较轻的沙包？请你用合适的方法描述出过程。 24．（本题5分）一盒弹力球有27个，其中有一个质量稍轻（属于次品），用天平称，至少几次就一定能找到这个次品弹力球？（用自己喜欢的方式展示出思考过程和方法，并写出答案。） 25．（本题6分）有10盒零件，其中1盒是次品，次品那盒中的每个零件都比标准质量（10克）轻1克；由于管理员粗心，忘记是哪一盒，一时难以分辨；你能用天平称1次就把那盒次品找出来吗？说说你称的过程。 26．（本题6分）有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 27．（本题6分）一个商人有10袋金子，每袋里有10锭金子，有9个袋子里的金子每锭是10两，只有一个袋子里的金子每锭只有9两，你能只用天平称一次，就能称出哪袋装的是每锭9两的金子吗？ 28．（本题6分）（1）如果用天平称，你打算怎样称？用 表示称的过程。 （2）用你的方法称几次可以保证找出来？ （3）你能称2次就保证把它找出来吗？ （4）如果天平两边各放5筐，称一次有可能称出来吗？ 29．（本题5分）小芳和小丽合买了一袋500克的果糖。小芳只要150克。她们准备用一台天平来分，但天平只有一个100克的砝码。如果限你两次就要把糖分好，应该怎样分？ 30． （本题5分）一个古玩商店经理不小心将一枚假铜币混入了10个真铜币中，这10枚真铜币外形、质量完全相同，假铜币外形与真铜币一样，只是质量不一样，但不知道比真铜币轻还是重。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从11枚铜币中找出假铜币？ 31．（本题5分）有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在用天平分别找这两堆零件中的次品，第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4次，才能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？ 第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页 第1页 共8页 ◎ 第2页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 2025-2026学年人教版数学五年级下册单元自测闯关练 ◎。… 第八单元数学广角-找次品·能力提升 考试分数：100分；考试时间：90分钟 注意事项： 1.答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。 2.选择题、判断题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将 答案填写在答题卡规定的位置上。 .: : 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。 4.考试结束后将试卷和答题卡一并交回。 : : 中 . : 一，用心思考，认真填写（共8小题，满分16分） 1.(本题2分)有13瓶消毒液，其中一瓶次品要轻一点，用没有砝码的天平秤，至少要称( )次才能保 : 证找出次品。 : 2.（本题2分)爷爷酷爱收藏纪念币，他收藏了11枚外观完全相同的香港回归纪念币，其中有一个是假的， : 质量轻一点。请你用一架天平称，至少称( )次才能保证找出假币。 3.(本题2分)为保护生态环境，某公益组织利用3D打印定制13个可降解文具收纳盒，其中1个因工艺瑕 : : 疵是次品，较轻。仅用天平至少称( )次能找出次品。 ·: 4.(本题2分)有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就 一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有个。 5.（本题2分)这批零件共28个，只有一个略轻，其余质量相同。如果用天平称，至少称( )次可以 慰 保证找出这个略轻的零件。 : 6.(本题2分)在生产过程中，工人发现：8瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称( : 次能保证找出次品钙片；82瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称( )次能保证找出次 : 品钙片。 . : : 7.（本题2分)有11个零件，其中10个质量相同，另外1个略轻一些是次品，用天平称，至少称( : 剂 次可以保证把次品找出来。 8.（本题2分)泉州市德化县是千年古县、世界陶瓷之都，德化陶瓷款式异彩纷呈。李老板新进了81件同样 型号的德化陶瓷杯，其中80件质量相同，1件质量偏轻。如果用没有砝码的天平称，至少要称( )次， : 才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。 第1页共6页 : : : 二.反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分) 9.(本题2分)有26枚金币，其中一枚是假的（假金币轻一些）。要找出假金币，第一次用天平称，方法() 最好。 A.天平左右两边各放10枚，旁边放6枚 B.天平左右两边各放8枚，旁边放10枚 C.天平左右两边各放9枚，旁边放8枚 10.(本题2分)12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要 称（)次才能找出那个质量异常的羽毛球。 A.4 B.3 C.2 D.1 11.（本题2分)有26盒饼干，其中的25盒质量相同，另有1盒少了几块。如果用天平称，至少称（)次 就可以保证找出较轻的这盒饼干。 A.2 B.3 C.4 D.12 12.（本题2分)在27个乒乓球中有一个乒乓球的质量不合格（不合格的乒乓球轻一些），用天平秤，至少称 ()次就一定能找出不合格的乒乓球。 A.3 B.4 0.5 D.6 13.（本题2分)8个球编号是1~8，其中6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球，用天 平称了3次，3次情况如图所示，两个轻球编号分别是()。 ③X④ ⑦X8 0② ⑤⑥ 0③⑦ ②④⑥ 2 3 A.③⑦ B.④⑦ C.③⑧ D.④⑧ 三.仔细斟酌，准确判断（共5小题，满分5分） 14.（本题1分)有12个零件，其中1个次品轻一些，用天平至少称3次就能找出轻一些的次品。（) 15.(本题1分)有10瓶水，其中九瓶质量相同，另有一瓶水略重一些，用天平称至少称三次，能保证找出 这瓶略重的水。（ 16.（本题1分)有若干瓶某品牌糖果，其中一瓶开盖吃了几颗。如果采用科学的方法用天平称了3次就找到 了开盖的那一瓶糖果，那么这些糖果最多有27瓶。（) 17.（本题1分)有5袋糖，其中4袋质量相同，1袋轻一些，如果用天平称，至少称2次可以找出轻的那一 袋。（ 18.(本题1分)有7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，用天平至少称2次能保证把它找出来。（) 第2页共6页 四.灵活应用，解决问题（共13小题，满分69分） 19.(本题4分)有15盒糖果，其中14盒质量相同，另有1盒少了几颗。如果用天平称，至少称几次能保证 找出这盒糖果？请写出过程。 20.(本题4分)近年来我国新能源汽车制造业发展迅速，截止到2022年我国新能源汽车产销连续8年全球 第一，这归功于新能源汽车制造企业的科技研发和精益求精。质检员王师傅发现19个零件中有一个不合格的 零件，比其他零件轻一些，他用天平至少称几次能保证找到这个不合格的零件？ 21.(本题6分)有3瓶钙片，其中1瓶少了3片，看作次品。你能设法把它找出来吗？ 我用手掂了掂， 可以用天平 ○ 掂不出来。 称一称。 : 如果天平平衡，剩下的一瓶就是次品。如果天平不平衡，哪瓶是次品？ 不实际称，你能想办法把用天平找次品的过程清楚地表示出来吗？ 用 代表钙片，可以这样记录。 平衡，3是次品。 不平衡，轻的是次品。 想一想：如果用天平称，需要称几次才能找到次品？ ○ 第3页共6页 : ..: 22.（本题6分)中医，是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病需到中药 馆买中药9副，每副药共计重200g,但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。 (1)用天平称几次，能保证找到这副中药？请写出过程。 (2)如果两边各放4副药，称一次，有可能找出来这副药吗？为什么？ 23.(本题5分)为了加强体育训练，五（1)班新购进了11个沙包，其中有一个沙包略轻。用天平至少称几 次才能保证找出这个质量较轻的沙包？请你用合适的方法描述出过程。 24.(本题5分)一盒弹力球有27个，其中有一个质量稍轻（属于次品），用天平称，至少几次就一定能找到 这个次品弹力球？（用自己喜欢的方式展示出思考过程和方法，并写出答案。） 25.(本题6分)有10盒零件，其中1盒是次品，次品那盒中的每个零件都比标准质量(10克)轻1克；由 于管理员粗心，忘记是哪一盒，一时难以分辨；你能用天平称1次就把那盒次品找出来吗？说说你称的过程。 第4页共6页 26.（本题6分)有61盒维生素C,其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍 微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程) 27.（本题6分)一个商人有10袋金子，每袋里有10锭金子，有9个袋子里的金子每锭是10两，只有一个 袋子里的金子每锭只有9两，你能只用天平称一次，就能称出哪袋装的是每锭9两的金子吗？ : 灯 .! 28.（本题6分)(1)如果用天平称，你打算怎样称？用 表示称的过程。 我只吃了某一筐里 面的3个桃子。 这11筐桃，你吃的 是哪一筐里面的？ 安 (2)用你的方法称几次可以保证找出来？ (3)你能称2次就保证把它找出来吗？ (4)如果天平两边各放5筐，称一次有可能称出来吗？ 第5页共6页 。 29.（本题5分)小芳和小丽合买了一袋500克的果糖。小芳只要150克。她们准备用一台天平来分，但天平 只有一个100克的砝码。如果限你两次就要把糖分好，应该怎样分？ 30.(本题5分)一个古玩商店经理不小心将一枚假铜币混入了10个真铜币中，这10枚真铜币外形、质量 完全相同，假铜币外形与真铜币一样，只是质量不一样，但不知道比真铜币轻还是重。如果用天平称，至少 称几次，就能保证帮助经理从11枚铜币中找出假铜币？ 31.（本题5分)有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些)， 现在用天平分别找这两堆零件中的次品，第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4 次，才能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？ 第6页共6页…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 绝密★启用前 2025-2026学年人教版数学五年级下册单元自测闯关练 第八单元 数学广角-找次品•能力提升 【全解全析】 考试分数：100分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。 2．选择题、判断题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。 4．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。 一．用心思考，认真填写（共8小题，满分16分） 1．（本题2分）有13瓶消毒液，其中一瓶次品要轻一点，用没有砝码的天平秤，至少要称( )次才能保证找出次品。 【答案】3 【分析】使用没有砝码的天平秤，每次称量有三种可能结果：左边轻、右边轻或平衡。每次称量最多能区分3种情况，将物品分成三组（左盘、右盘、未称）进行比较，每次称量可将问题规模缩小到约三分之一。 第一次将13瓶分为4、4、5三组，称量两组4瓶，若平衡则次品在5瓶中，否则在较轻的4瓶中；第二次根据第一次结果进一步分组（5瓶分2、2、1或4瓶分1、1、2）；第三次即可确定次品。 【详解】根据分析： 第一次：把13瓶消毒液分成4、4、5三组，称量前两组（各4瓶）分别放在天平秤两端，若平衡，次品在5瓶中；若不平衡，次品在天平较高端的4瓶中。 若次品在5瓶中，第二次则分成2、2、1三组再进行称量，先称量前两组（各2瓶）。若平衡，次品为剩余1瓶（2次）；若不平衡，次品在较轻的2瓶中，第三次称量这2瓶即可找出。 若次品在4瓶中，第二次分为1、1、2三组，称量前两组（各1瓶）。若平衡，次品在剩余2瓶中，第三次称量这2瓶即可找出；若不平衡，较轻的即为次品（2次）。 综上，最坏情况下需3次称量才能保证找出次品。 有13瓶消毒液，其中一瓶次品要轻一点，用没有砝码的天平秤，至少要称3次才能保证找出次品。 2．（本题2分）爷爷酷爱收藏纪念币，他收藏了11枚外观完全相同的香港回归纪念币，其中有一个是假的，质量轻一点。请你用一架天平称，至少称( )次才能保证找出假币。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将11枚纪念币分成（4、4、3），先称（4、4），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在4枚中；将4枚分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2枚中；将2枚分成（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。 至少称3次才能保证找出假币。 3．（本题2分）为保护生态环境，某公益组织利用3D打印定制13个可降解文具收纳盒，其中1个因工艺瑕疵是次品，较轻。仅用天平至少称( )次能找出次品。 【答案】3 【分析】把13个可降解文具收纳盒分成3份，即（4，4，5）；第一次称，天平两边各放4个，如果天平不平衡，次品就在较轻的4个中；如果天平平衡，次品在剩下的5个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的5个可降解文具收纳盒分成3份，即（2，2，1），第二次称，天平两边各放2个，如果天平不平衡，次品就是较轻的2个中；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；最后把有次品的2个可降解文具收纳盒分成2份，即（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较轻的那一个。所以用天平至少称3次能找出次品。 【详解】 仅用天平至少称3次能找出次品。 4．（本题2分）有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有______个。 【答案】27 【分析】根据找次品问题的规律，用天平称n次最多可以确定3n个物品中的次品。题目要求至少称3次能保证找到次品，因此最多有33＝27个玻璃球。 【详解】第一次称：将27个玻璃球分成三组，每组9个。称量其中两组： 若天平平衡，次品在第三组； 若不平衡，次品在较重的一组。 第二次称：将含次品的9个玻璃球分成三组，每组3个。称量其中两组： 若天平平衡，次品在第三组； 若不平衡，次品在较重的一组。 第三次称：将含次品的3个玻璃球分成三组，每组1个。称量其中两个： 若天平平衡，次品是未称的玻璃球； 若不平衡，次品是较重的玻璃球。 因此，最多有27个玻璃球时，至少称3次一定能找到次品。 有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有27个。 5．（本题2分）这批零件共28个，只有一个略轻，其余质量相同。如果用天平称，至少称( )次可以保证找出这个略轻的零件。 【答案】4 【分析】把28个零件分成9、9、10这样的3份，在天平的两端各放9个，会出现两种情况： 一、平衡，次品在第3份中，把第3份的10个零件分成3、3、4这样的3份，在天平的两端各放3个，（1）平衡，次品在剩下的4个中，将剩下的4个分成1、1、2这样的3份，在天平的两端各放1个，①平衡，次品在第3份中，把第3份的2个零件在天平的两端各放1个，轻的是次品，②不平衡，轻的1个是次品，（2）不平衡，轻的3个中含有次品，把这3个零件平均分成3份，每份1个，在天平的两端各放1个，①平衡，剩下的1个是次品，②不平衡，轻的1个是次品； 二、不平衡，轻的9个零件中含有次品，把这9个零件平均分成3份，每份3个，在天平的两端各放3个，（1）平衡，次品在第3份中，将第3份的3个零件在天平的两端各放1个，①平衡，次品是剩下的1个，②不平衡，轻的1个是次品，（2）不平衡，轻的3个中含有次品，同样把这3个零件平均分成3份，每份1个，在天平的两端各放1个，①平衡，剩下的1个是次品，②不平衡，轻的1个是次品。 【详解】通过分析可得：如果用天平称，至少称4次可以保证找出这个略轻的零件。 【点睛】本题考查找次品问题，关键是尽量将零件平均分成3份。 6．（本题2分）在生产过程中，工人发现：8瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称( )次能保证找出次品钙片；82瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称( )次能保证找出次品钙片。 【答案】 2 5 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差l。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【详解】把8瓶钙片分成3份，即（3，3，2）； 第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3瓶钙片分成3份，即（1，1，1）； 第二次称，天平两边各放l瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那一瓶； 所以分成3份（3，3，2），用天平称2次，就一定能找出次品。 把82瓶钙片分成3份，即（27，27，28）； 第一次称，天平两边各放27瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的27瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的28瓶中。考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的28瓶钙片分成3份，即（9，9，10）； 第二次称，天平两边各放9瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那9瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那10瓶。考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的10瓶钙片分成3份，即（3，3，4）； 第三次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那3瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那4瓶。考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的4瓶钙片分成2份，即（2，2）； 第四次称，天平两边各放2瓶，天平不平衡，次品就是较轻的那2瓶。再把有次品的2瓶钙片分成2份，即（1，1）； 第五次称，天平两边各放1瓶，天平不平衡，次品就是较轻的那1瓶； 所以，至少称5次能保证找出次品钙片。 【点睛】在找次品问题中，为确保用最少的次数能够找到次品，考虑最不利原则并且每次把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。 7．（本题2分）有11个零件，其中10个质量相同，另外1个略轻一些是次品，用天平称，至少称( )次可以保证把次品找出来。 【答案】3 【分析】把11个零件分成3份，分别为5、5、1，将两个5放在天平两端，分两种情况进行分析；当天平不平衡时，将5分为2、2、1，将两个2放在天平两端，利用与上一步相同的方法分析，直到找到次品为止，据此解答即可。 【详解】第一次称量：把11个零件分成3份，分别为5、5、1，将两个5的放在天平两端，会有两种情况出现： 情况一：左右平衡，则次品就是余下的那一个； 情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上翘的一边的5个中，继续称量。 第二次称量：将5个零件分为2、2、1，将两个2放在天平两端，会有两种情况出现： 情况一：左右平衡，则次品是余下的那一个； 情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上翘的一边的2个中，继续称量。 第三次称量：将2个零件分别放在天平两旁，则次品在托盘上翘的一端。 综上可知，至少称3次可以保证把次品找出来。 【点睛】本题考查了找次品的应用，解答此题的关键是：将11个零件进行合理分组，进而逐步找出次品。 8．（本题2分）泉州市德化县是千年古县、世界陶瓷之都，德化陶瓷款式异彩纷呈。李老板新进了81件同样型号的德化陶瓷杯，其中80件质量相同，1件质量偏轻。如果用没有砝码的天平称，至少要称( )次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。 【答案】4 【分析】在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。先把81件平均分成3组，每组27件，通过称量1次可找出次品所在的组；再把次品所在组的27件平均分成3组，每组9件，通过称量1次可找出次品所在的组；再把次品所在组的9件平均分成3组，每组3件，通过称量1次可找出次品所在的组；再把次品所在组的3件平均分成3组，每组1件，通过称量1次可找出次品。即至少要称4次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。 【详解】81＝3×3×3×3＝34 所以至少要称4次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。 【点睛】测n次可以从[（n－1）个3相乘的积＋1]个物品到（n个3相乘的积）个物品之中找出次品。因为每次称量，都可以把待测物品平均分成三组，确定次品在其中一组当中。 二．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分） 9．（本题2分）有26枚金币，其中一枚是假的（假金币轻一些）。要找出假金币，第一次用天平称，方法（    ）最好。 A．天平左右两边各放10枚，旁边放6枚 B．天平左右两边各放8枚，旁边放10枚 C．天平左右两边各放9枚，旁边放8枚 【答案】C 【分析】根据找次品的方法，要尽量将物品平均分成3份来称，这样能较快找出次品。所以需要判断将26枚金币按各选项的分法，是否符合尽量平均分成3份的原则。 【详解】A．若天平左右两边各放10枚，旁边放6枚，此时分成的三份数量分别为10、10、6。10与6相差10－6＝4，没有做到尽量平均分成3份。 B．若天平左右两边各放8枚，旁边放10枚分成的三份数量是8、8、10。10与8相差10－8＝2，也没有做到尽量平均分成3份。 C．若天平左右两边各放9枚，旁边放8枚，分成的三份数量为9、9、8。9与8相差9－8＝1，符合尽量平均分成3份，能使多的一份与少的一份相差1，这种分法最好。 所以第一次用天平称，天平左右两边各放9枚，旁边放8枚最好。 故答案为：C 10．（本题2分）12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称（    ）次才能找出那个质量异常的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据题意，12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常，但不知轻重，分组称重时，考虑天平平衡或不平衡时的各种情况，逐一讨论，得出至少称的次数。 【详解】第1次称量，将12个羽毛球平均分为三份①②③（每份4个），先把①和②放在天平的两边，如果天平平衡，则③里面有异常球；如果天平不平衡，则①和②中有异常羽毛球，③都是正常羽毛球；第2次称量，把①和②中的任意一份取下来，把③放上去，即可判断异常羽毛球在哪一份里，并且知道异常羽毛球的轻重；第3次称量，把有异常羽毛球的4个球平均分成两份（每份2个），把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球在哪一份里；第4次称量，再把有异常羽毛球的2个球分成两份（每份1个），把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球是哪一个。 所以至少要称4次才能找出那个质量异常的羽毛球。 故答案为：A 11．（本题2分）有26盒饼干，其中的25盒质量相同，另有1盒少了几块。如果用天平称，至少称（    ）次就可以保证找出较轻的这盒饼干。 A．2 B．3 C．4 D．12 【答案】B 【分析】把26盒饼干分成3份，即（9，9，8）；第一次称，天平两边各放9盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的9盒中；如果天平平衡，次品在剩下的8盒中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的9盒饼干平均分成3份，即（3，3，3），第二次称，天平两边各放3盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的3盒中；如果天平平衡，次品在剩下的3盒中；把有次品的3盒饼干分成3份，即（1，1，1），第三次称，天平两边各放1盒，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一盒；如果天平平衡，次品是剩下的那一盒。所以至少称3次保证找出较轻的这盒饼干。 【详解】 如果用天平称，至少称3次就可以保证找出较轻的这盒饼干。 故答案为：B 12．（本题2分）在27个乒乓球中有一个乒乓球的质量不合格（不合格的乒乓球轻一些），用天平秤，至少称（    ）次就一定能找出不合格的乒乓球。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】把27个乒乓球平均分成3份，每份9个，即（9，9，9），第一次称，天平两边各放9个，如果天平不平衡，不合格的乒乓球就在较轻的9个中；如果天平平衡，不合格的乒乓球在剩下的9个中；把有不合格的9个乒乓球平均分成3份，每份是3个，即（3，3，3），第二次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，不合格的乒乓球就在较轻的3个中；如果天平平衡，不合格的乒乓球在剩下的3个中；最后把有不合格的3个乒乓球分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，不合格的乒乓球就是较轻的那1个；如果天平平衡，不合格的乒乓球就是剩下的那1个。所以至少称3次就一定能找出不合格的乒乓球。 【详解】 至少称3次就一定能找出不合格的乒乓球。 故答案为：A 13．（本题2分）8个球编号是1~8，其中6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球，用天平称了3次，3次情况如图所示，两个轻球编号分别是（    ）。 A．③⑦ B．④⑦ C．③⑧ D．④⑧ 【答案】B 【分析】从第一次情况中可知，③和④里面有一个是轻的；如果③和④都是轻的，就不会出现第二种情况。 从第二次情况中可知，⑦和⑧里面有一个是轻的； 结合两种情况，①、②、⑤、⑥肯定是一样重的，①＋③＋⑦＝②＋④＋⑥，假设④是标准的重量，则③是轻的，这个等式就不成立；假设③是标准的重量，则④是轻的，这个等式就不成立；为了保持等式成立，则⑦是轻的。 【详解】①＋②比③＋④重，说明③和④有一瓶矿泉水是次品（不能都是次品，因为若都是次品，那么不会出现：⑤＋⑥比⑦＋⑧重）； ⑤＋⑥比⑦＋⑧重，说明：⑦和⑧有一瓶是次品（同理，不能都是次品）； 根据：①＋③＋⑦与②＋④＋⑥一样重， ④和⑦是轻球。 故答案为：B 【点睛】推理就是由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程。 解答简单推理题时，认真分析题目中的数量关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。 三．仔细斟酌，准确判断（共5小题，满分5分） 14．（本题1分）有12个零件，其中1个次品轻一些，用天平至少称3次就能找出轻一些的次品。( ) 【答案】√ 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将12个零件分成（4、4、4），只考虑最不利的情况，先称（4、4），可确定次品在4个中；将4个分成（1、1、2），称（1、1），可确定次品在2个中；再称1次即可确定次品，共3次，所以原题说法正确。 【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 15．（本题1分）有10瓶水，其中九瓶质量相同，另有一瓶水略重一些，用天平称至少称三次，能保证找出这瓶略重的水。( ) 【答案】√ 【分析】根据找次品的方法， 在用天平找次品时（只含一个次品，已知次品比正品重或轻），所测物品数目与测试的次数有一定的关系： 要辨别的物品数目 保证能找出次品需要测的次数 2~3 1 4~9 2 10~27 3 28~81 4 ⋯ ⋯ 据此关系即可填空。 【详解】据分析知：所测数目是10瓶，在10~27范围内，故至少要3次能保证找出次品。即题中说法是正确的。 【点睛】掌握找次品时所测物品数目与测试的次数之间的关系，这是解决此题的关键。 16．（本题1分）有若干瓶某品牌糖果，其中一瓶开盖吃了几颗。如果采用科学的方法用天平称了3次就找到了开盖的那一瓶糖果，那么这些糖果最多有27瓶。( ) 【答案】√ 【分析】用天平找次品时，所测物品与测试次数有以下关系：在辨别数目是2~3时，保证能找出次品的是1次；4~9时，2次；10~27时，3次；28~81时，4次，依次往后推，据此可得出答案。 【详解】现在用天平称了3次就找到了次品，被检测物品最少有10个，最多是27个。因此，若干瓶某品牌糖果，其中一瓶开盖吃了几颗，这些糖果最多有27颗。故本题正确。 【点睛】本题主要考查的是找次品的方法，解题时需要掌握用天平找次品的规律，进而求出答案。 17．（本题1分）有5袋糖，其中4袋质量相同，1袋轻一些，如果用天平称，至少称2次可以找出轻的那一袋。( ) 【答案】√ 【分析】找次品时尽量把产品平均分成3份，如果不能平均分，也要把多的1份与少的1份最多相差1个，这样称一次排除的个数是最多的。 【详解】把5袋糖分成2、2、1三份，第一次称两个2袋的，如果平衡剩下的1袋就是轻的；如果不平衡，把轻的那两袋左右各1袋再称一次就能找出轻的，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】熟悉找次品的步骤是关键。 18．（本题1分）有7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，用天平至少称2次能保证把它找出来。( ) 【答案】√ 【分析】7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，说明有一瓶是次品，次品比正品轻，采用三分法进行判断。 【详解】将7瓶钙片编号为1~7，分成3组，第一组1~2，第二组3~4，第三组5~7； 先将第一组和第二组进行称量： （1）若平衡，次品在5~7中，再选5和6称量，若平衡，次品是7号，若不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可； （2）若平衡，次品在较轻的一组，假设第一组较轻，那么将1和2称量，肯定不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可； 综上所述，至少称2次能保证把次品找出来； 故答案为：√。 【点睛】本题考查的是找次品的问题，若n个商品中只有一个次品，且比正品轻，当时，至少需要1次，当时，至少需要2次，当时，至少需要3次，依此类推。 四.灵活应用，解决问题（共13小题，满分69分） 19．（本题4分）有15盒糖果，其中14盒质量相同，另有1盒少了几颗。如果用天平称，至少称几次能保证找出这盒糖果？请写出过程。 【答案】见详解 【分析】找次品的最优策略：①把待分物品分成3份；②每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1；据此分析解答。 【详解】第一次：将15盒糖果平均分成3组，每组5盒，天平两边各放一组，若天平平衡，则剩下的那组是较轻的，若天平不平衡，找出较轻的一组再称； 第二次：将较轻的一组（5盒），分成3组（2，2，1），天平两边各放2盒；如果平衡，则剩下的一盒即是所求的，如果不平衡，找出较轻的2盒再称； 第三次：天平两边各放1盒，较轻的即为少了几颗的那一盒。 所以至少称3次，能保证找出少了几颗的那一盒。 20．（本题4分）近年来我国新能源汽车制造业发展迅速，截止到2022年我国新能源汽车产销连续8年全球第一，这归功于新能源汽车制造企业的科技研发和精益求精。质检员王师傅发现19个零件中有一个不合格的零件，比其他零件轻一些，他用天平至少称几次能保证找到这个不合格的零件？ 【答案】3次 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将19个零件分成（6、6、7），先称（6、6），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，即次品在7个中；将7个分成（2、2、3），先称（2、2），考虑最不利的情况，即次品在3个中；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡都可确定次品，共3次。 答：他用天平至少称3次能保证找到这个不合格的零件。 21．（本题6分）有3瓶钙片，其中1瓶少了3片，看作次品。你能设法把它找出来吗？ 如果天平平衡，剩下的一瓶就是次品。如果天平不平衡，哪瓶是次品？ 不实际称，你能想办法把用天平找次品的过程清楚地表示出来吗？ 用代表钙片，可以这样记录。 想一想：如果用天平称，需要称几次才能找到次品？ 【答案】见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 因为次品少了3片，因此次品与正常瓶装钙片比要轻一些，天平平衡，说明天平两边的都是正品，天平不平衡，说明次品在天平较轻的一边，据此分析。 【详解】如果天平平衡，剩下的一瓶就是次品。如果天平不平衡，较轻的一瓶是次品。 因为其中1瓶少了3片（较轻），取任意两瓶称量，若平衡，则剩下那瓶为少3片的；若不平衡，则较轻端为少3片的，所以1次即可找到次品。 22．（本题6分）中医，是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病需到中药馆买中药9副，每副药共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。 （1）用天平称几次，能保证找到这副中药？请写出过程。 （2）如果两边各放4副药，称一次，有可能找出来这副药吗？为什么？ 【答案】（1）2次；见详解；（2）可能；见详解 【分析】（1）把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 （2）称一次是可能找出这副药，因为如果天平两端平衡的话，这8幅中药就没有次品，就说明次品就是没称的那副中药。据此解答。 【详解】（1）答：用天平称2次，能保证找到这副中药。 过程如下： （2）答：有可能找出来这副药，因为如果两边各放4副药，称一次，如果平衡的话，则没有称的一副药是要找的次品。 【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 23．（本题5分）为了加强体育训练，五（1）班新购进了11个沙包，其中有一个沙包略轻。用天平至少称几次才能保证找出这个质量较轻的沙包？请你用合适的方法描述出过程。 【答案】3次，过程见详解 【分析】找次品中，可将11个沙包分为4、4、3共3份，在天平上称相同数量的，如果平衡则在3个沙包一份，再重复上述操作直到天平不平衡时，向上的一端的沙包是轻的。如果第一次称天平不平衡，则较轻的沙包在向上的一端的四个沙包中；再将它分成2、2共两份，再进行上述操作，要进行三次称量得出。 【详解】至少需要称量3次； 过程：将11个分成3份：4，4，3；第一次称重，在天平两边各放4个，手里留3个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的3个分为1，1，1，在天平两边各放1个，手里留1个， a.如果天平平衡，则次品在手里； b.如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘中； （2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的4个中，将这4个中的2个在天平两边各放1个，手里留2个， a.如果天平不平衡，则找到次品在上升的天平托盘中； b.如果天平平衡，则次品在手中的2个中，接下来，将这2个分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 故至少称3次能保证找出次品。 【点睛】本题主要考查的是找次品的方法，解题的关键是熟练掌握找次品的方法，进而得出答案。 24．（本题5分）一盒弹力球有27个，其中有一个质量稍轻（属于次品），用天平称，至少几次就一定能找到这个次品弹力球？（用自己喜欢的方式展示出思考过程和方法，并写出答案。） 【答案】3次；思考过程见详解 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】先把27个弹力球分成（9，9，9），把任意两组的放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平上升的一端中；同理，再把9分成（3，3，3），找出有次品的一组；再把3分成（1，1，1），可找出次品，共需3次。 【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。 25．（本题6分）有10盒零件，其中1盒是次品，次品那盒中的每个零件都比标准质量（10克）轻1克；由于管理员粗心，忘记是哪一盒，一时难以分辨；你能用天平称1次就把那盒次品找出来吗？说说你称的过程。 【答案】见详解 【分析】可以通过一个巧妙的方法来实现这一点。首先，我们给这10盒零件依次编号，然后按照编号取出一定数量的零件。具体来说，从第1盒取出1个零件，从第2盒取出2个零件，以此类推，直到从第10盒取出10个零件，我们一共取出了1＋2＋3＋……＋10＝55个零件。接下来，我们把这55个零件放在天平的左端，然后在天平的右端放上和取出零件相等重量（如果都是标准件）的砝码，即550克。如果天平平衡，那么说明所有零件都是标准件；如果天平不平衡，那么次品就在取出的零件中。 【详解】把10盒零件依次编号①至⑩，然后按编号数分别取对应个数零件，也就是①号盒取1个，②号盒取2个……⑩号盒取10个，一共取出55个零件。把取出的55个零件一起放在天平左端，在天平右端放550克砝码，天平放砝码的一端低，在天平左端一个一个地放1克的砝码，直到天平平衡，放几个1克砝码，那么几号盒中的零件就是次品。 【点睛】解答本题的关键是取零件时，按照编号数取，即几号盒就取几个零件；放几个1克砝码，那么几号盒中的零件就是次品。 26．（本题6分）有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 【答案】4次 【分析】将61盒分成20盒、20盒、21盒，称量同是20盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。若轻的一盒在20盒这份，将20盒分成7盒、7盒、6盒，称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面；同理若轻的一盒在21盒这份，将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。以此类推直到找出次品为止，就能知道至少称量几次能找出轻的一盒。 【详解】第一次称量：将61盒分成20盒、20盒、21盒，找到轻的一盒在哪份里面； 第二次称量：将20盒分成7盒、7盒、6盒，找到轻的一盒在哪份里面；或者将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面； 第三次称量：找到6盒或者7盒里轻的一盒； 第四次称量：找到2盒或者3盒里轻的一盒。 答：至少称量4次能找出轻的一盒。 【点睛】本题考查运用优化策略找次品问题，找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证所称量的次数最少。 27．（本题6分）一个商人有10袋金子，每袋里有10锭金子，有9个袋子里的金子每锭是10两，只有一个袋子里的金子每锭只有9两，你能只用天平称一次，就能称出哪袋装的是每锭9两的金子吗？ 【答案】能 【分析】将每袋金子标号，1、2、3…，1号取1锭金子，2号取2锭金子，……，将取出的金子一起称，少了几两就是第几号袋子。 【详解】由分析可得：将每袋金子标号，1、2、3…，1号取1锭金子，2号取2锭金子，……，将取出的金子一起称，少了几两就是第几号袋子。 答：能一次称出哪袋装的是每锭9两的金子。 28．（本题6分）（1）如果用天平称，你打算怎样称？用 表示称的过程。 （2）用你的方法称几次可以保证找出来？ （3）你能称2次就保证把它找出来吗？ （4）如果天平两边各放5筐，称一次有可能称出来吗？ 【答案】（1）见详解； （2）我的方法称3次可以保证找出来； （3）不能称2次就保证把它找出来； （4）一次有可能称出来 【分析】（1）由图示可知，一共有11筐桃，第一次，把11筐桃分成3份： 4筐、4筐、3筐，取4筐的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一筐在未取的一份中，若天平不平衡， 则取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（ 4筐或3筐）分成3份：1筐、1筐、1筐（或2筐），取1筐的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，可找到较轻的一筐；第三次，取含有较轻的2筐，分别放在天平两侧，即可找到较轻的这筐桃； （2）用（1）的方法至少3次可以保证找到这筐桃； （3）不能保证2次一定把它找出来； （4）如果天平两侧各放5筐， 当天平平衡时，较轻的就是剩余的那一筐，所以称一次，有可能称出这筐桃。 【详解】（1）由图示可知，一共有11筐桃；第一次，把11筐桃分成3份： 4筐、4筐、3筐，取4筐的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一筐在未取的一份中，若天平不平衡，则取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（ 4筐或3筐）分成3份： 1筐、1筐、 1筐（或2筐），取1筐的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，可找到较轻的一筐；第三次，取含有较轻的2筐，分别放在天平两侧，即可找到较轻的这筐桃； 用 代表11筐桃； （答案不唯一） （2）3次是从11筐中保证找出较轻的1筐的最少称量次数； （3）为了保证找出较轻的1筐，就必须考虑各种可能的情况，而不能靠偶然机遇，所以不能称2次就保证把它找出来； （4）只有轻的1筐正好没称，才能保证一次称出来。 【点睛】本题主要考查了找次品的知识点，一定用考虑各种可能的情况，一一分析。 29．（本题5分）小芳和小丽合买了一袋500克的果糖。小芳只要150克。她们准备用一台天平来分，但天平只有一个100克的砝码。如果限你两次就要把糖分好，应该怎样分？ 【答案】第一次：500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果； 第二次：天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，在100克砝码那边加糖，使天平平衡，那么和砝码在一起的糖就为150克。 【分析】由题可知，小芳和小丽合买了一袋500克的果糖，小芳只要150克，但天平只有一个100克的砝码，又限制分糖次数为两次。先将500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果；然后在天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，最后在100克砝码那边加糖，使天平平衡。据此即可解答。 【详解】第一次：500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果； 第二次：天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，在100克砝码那边加糖，使天平平衡，那么和砝码在一起的糖就为250－100＝150（克）。 【点睛】此题考查的是对解决实际问题的能力，理解分两次，利用天平两边平衡，100克的砝码是解题的关键。 30．（本题5分）一个古玩商店经理不小心将一枚假铜币混入了10个真铜币中，这10枚真铜币外形、质量完全相同，假铜币外形与真铜币一样，只是质量不一样，但不知道比真铜币轻还是重。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从11枚铜币中找出假铜币？你能用画图和文字写出你的称法吗？ 【答案】至少称4次； 将11枚硬币分成（4、4、3），先称两个4枚，①平衡，次品在3个中，将3个分成（1、1、1），称两个，平衡剩下一个是次品，不平衡，随便拿下一个与剩下的称，即可找出次品；②不平衡，次品在4个中，随便拿出一个放到3个里，确定在哪4个，再称两次确定次品是轻还是重，再称一次即可。 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将11枚硬币分成（4、4、3），先称两个4枚，①平衡，次品在3个中，将3个分成（1、1、1），称两个，平衡剩下一个是次品，不平衡，随便拿下一个与剩下的称，即可找出次品；②不平衡，次品在4个中，随便拿出一个放到3个里，确定在哪4个，再称两次确定次品是轻还是重，再称一次即可。 答：至少称4次。 【点睛】本题考查了找次品，不知道轻重，要确定次品是轻还是重。 31．（本题5分）有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在用天平分别找这两堆零件中的次品，第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4次，才能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？ 【答案】82个；81个 【分析】因为需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间，所以第一堆零件需要称5次，则第一堆零件的个数在82个与243个之间；第二堆零件需要称4次，则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 【详解】第一堆零件需要称5次。 ＝9×9＋1 ＝81＋1 ＝82（个） ＝9×9×3 ＝81×3 ＝243（个） 第一堆零件的个数在82个与243个之间； 第二堆零件需要称4次。 （个） ＝9×9 ＝81（个） 则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 答：第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 【点睛】此题是灵活考查利用天平找次品的规律，是需要识记的内容。 第 2 页 共 6 页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 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2．（本题2分）爷爷酷爱收藏纪念币，他收藏了11枚外观完全相同的香港回归纪念币，其中有一个是假的，质量轻一点。请你用一架天平称，至少称( )次才能保证找出假币。 3．（本题2分）为保护生态环境，某公益组织利用3D打印定制13个可降解文具收纳盒，其中1个因工艺瑕疵是次品，较轻。仅用天平至少称( )次能找出次品。 4．（本题2分）有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有______个。 5．（本题2分）这批零件共28个，只有一个略轻，其余质量相同。如果用天平称，至少称( )次可以保证找出这个略轻的零件。 6．（本题2分）在生产过程中，工人发现：8瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称( )次能保证找出次品钙片；82瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称( )次能保证找出次品钙片。 7．（本题2分）有11个零件，其中10个质量相同，另外1个略轻一些是次品，用天平称，至少称( )次可以保证把次品找出来。 8．（本题2分）泉州市德化县是千年古县、世界陶瓷之都，德化陶瓷款式异彩纷呈。李老板新进了81件同样型号的德化陶瓷杯，其中80件质量相同，1件质量偏轻。如果用没有砝码的天平称，至少要称( )次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。 二．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分） 9．（本题2分）有26枚金币，其中一枚是假的（假金币轻一些）。要找出假金币，第一次用天平称，方法（    ）最好。 A．天平左右两边各放10枚，旁边放6枚 B．天平左右两边各放8枚，旁边放10枚 C．天平左右两边各放9枚，旁边放8枚 10．（本题2分）12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称（    ）次才能找出那个质量异常的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 11．（本题2分）有26盒饼干，其中的25盒质量相同，另有1盒少了几块。如果用天平称，至少称（    ）次就可以保证找出较轻的这盒饼干。 A．2 B．3 C．4 D．12 12．（本题2分）在27个乒乓球中有一个乒乓球的质量不合格（不合格的乒乓球轻一些），用天平秤，至少称（    ）次就一定能找出不合格的乒乓球。 A．3 B．4 C．5 D．6 13．（本题2分）8个球编号是1~8，其中6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球，用天平称了3次，3次情况如图所示，两个轻球编号分别是（    ）。 A．③⑦ B．④⑦ C．③⑧ D．④⑧ 三．仔细斟酌，准确判断（共5小题，满分5分） 14．（本题1分）有12个零件，其中1个次品轻一些，用天平至少称3次就能找出轻一些的次品。( ) 15．（本题1分）有10瓶水，其中九瓶质量相同，另有一瓶水略重一些，用天平称至少称三次，能保证找出这瓶略重的水。( ) 16．（本题1分）有若干瓶某品牌糖果，其中一瓶开盖吃了几颗。如果采用科学的方法用天平称了3次就找到了开盖的那一瓶糖果，那么这些糖果最多有27瓶。( ) 17．（本题1分）有5袋糖，其中4袋质量相同，1袋轻一些，如果用天平称，至少称2次可以找出轻的那一袋。( ) 18．（本题1分）有7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，用天平至少称2次能保证把它找出来。( ) 四.灵活应用，解决问题（共13小题，满分69分） 19．（本题4分）有15盒糖果，其中14盒质量相同，另有1盒少了几颗。如果用天平称，至少称几次能保证找出这盒糖果？请写出过程。 20．（本题4分）近年来我国新能源汽车制造业发展迅速，截止到2022年我国新能源汽车产销连续8年全球第一，这归功于新能源汽车制造企业的科技研发和精益求精。质检员王师傅发现19个零件中有一个不合格的零件，比其他零件轻一些，他用天平至少称几次能保证找到这个不合格的零件？ 21．（本题6分）有3瓶钙片，其中1瓶少了3片，看作次品。你能设法把它找出来吗？ 如果天平平衡，剩下的一瓶就是次品。如果天平不平衡，哪瓶是次品？ 不实际称，你能想办法把用天平找次品的过程清楚地表示出来吗？ 用代表钙片，可以这样记录。 想一想：如果用天平称，需要称几次才能找到次品？ 22．（本题6分）中医，是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病需到中药馆买中药9副，每副药共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。 （1）用天平称几次，能保证找到这副中药？请写出过程。 （2）如果两边各放4副药，称一次，有可能找出来这副药吗？为什么？ 23．（本题5分）为了加强体育训练，五（1）班新购进了11个沙包，其中有一个沙包略轻。用天平至少称几次才能保证找出这个质量较轻的沙包？请你用合适的方法描述出过程。 24．（本题5分）一盒弹力球有27个，其中有一个质量稍轻（属于次品），用天平称，至少几次就一定能找到这个次品弹力球？（用自己喜欢的方式展示出思考过程和方法，并写出答案。） 25．（本题6分）有10盒零件，其中1盒是次品，次品那盒中的每个零件都比标准质量（10克）轻1克；由于管理员粗心，忘记是哪一盒，一时难以分辨；你能用天平称1次就把那盒次品找出来吗？说说你称的过程。 26．（本题6分）有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 27．（本题6分）一个商人有10袋金子，每袋里有10锭金子，有9个袋子里的金子每锭是10两，只有一个袋子里的金子每锭只有9两，你能只用天平称一次，就能称出哪袋装的是每锭9两的金子吗？ 28．（本题6分）（1）如果用天平称，你打算怎样称？用 表示称的过程。 （2）用你的方法称几次可以保证找出来？ （3）你能称2次就保证把它找出来吗？ （4）如果天平两边各放5筐，称一次有可能称出来吗？ 29．（本题5分）小芳和小丽合买了一袋500克的果糖。小芳只要150克。她们准备用一台天平来分，但天平只有一个100克的砝码。如果限你两次就要把糖分好，应该怎样分？ 30． （本题5分）一个古玩商店经理不小心将一枚假铜币混入了10个真铜币中，这10枚真铜币外形、质量完全相同，假铜币外形与真铜币一样，只是质量不一样，但不知道比真铜币轻还是重。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从11枚铜币中找出假铜币？ 31．（本题5分）有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在用天平分别找这两堆零件中的次品，第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4次，才能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？ 第 2 页 共 6 页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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2．选择题、判断题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。 4．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。 一．用心思考，认真填写（共8小题，满分16分） 1．（本题2分）3 2．（本题2分）3 3．（本题2分）3 4．（本题2分）27 5．（本题2分）4 6．（本题2分） 2 5 7．（本题2分）3 8．（本题2分）4 二．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分） 题号 9 10 11 12 13 答案 C A B A B 三．仔细斟酌，准确判断（共5小题，满分5分） 题号 14 15 16 17 18 答案 √ √ √ √ √ 四.灵活应用，解决问题（共13小题，满分69分） 19．（本题4分）第一次：将15盒糖果平均分成3组，每组5盒，天平两边各放一组，若天平平衡，则剩下的那组是较轻的，若天平不平衡，找出较轻的一组再称； 第二次：将较轻的一组（5盒），分成3组（2，2，1），天平两边各放2盒；如果平衡，则剩下的一盒即是所求的，如果不平衡，找出较轻的2盒再称； 第三次：天平两边各放1盒，较轻的即为少了几颗的那一盒。 所以至少称3次，能保证找出少了几颗的那一盒。 20．（本题4分）将19个零件分成（6、6、7），先称（6、6），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，即次品在7个中；将7个分成（2、2、3），先称（2、2），考虑最不利的情况，即次品在3个中；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡都可确定次品，共3次。 答：他用天平至少称3次能保证找到这个不合格的零件。 21．（本题6分）如果天平平衡，剩下的一瓶就是次品。如果天平不平衡，较轻的一瓶是次品。 因为其中1瓶少了3片（较轻），取任意两瓶称量，若平衡，则剩下那瓶为少3片的；若不平衡，则较轻端为少3片的，所以1次即可找到次品。 22．（本题6分）（1）答：用天平称2次，能保证找到这副中药。 过程如下： （2）答：有可能找出来这副药，因为如果两边各放4副药，称一次，如果平衡的话，则没有称的一副药是要找的次品。 23．（本题5分）至少需要称量3次； 过程：将11个分成3份：4，4，3；第一次称重，在天平两边各放4个，手里留3个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的3个分为1，1，1，在天平两边各放1个，手里留1个， a.如果天平平衡，则次品在手里； b.如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘中； （2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的4个中，将这4个中的2个在天平两边各放1个，手里留2个， a.如果天平不平衡，则找到次品在上升的天平托盘中； b.如果天平平衡，则次品在手中的2个中，接下来，将这2个分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 故至少称3次能保证找出次品。 24．（本题5分）先把27个弹力球分成（9，9，9），把任意两组的放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平上升的一端中；同理，再把9分成（3，3，3），找出有次品的一组；再把3分成（1，1，1），可找出次品，共需3次。 25．（本题6分）把10盒零件依次编号①至⑩，然后按编号数分别取对应个数零件，也就是①号盒取1个，②号盒取2个……⑩号盒取10个，一共取出55个零件。把取出的55个零件一起放在天平左端，在天平右端放550克砝码，天平放砝码的一端低，在天平左端一个一个地放1克的砝码，直到天平平衡，放几个1克砝码，那么几号盒中的零件就是次品。 26．（本题6分）第一次称量：将61盒分成20盒、20盒、21盒，找到轻的一盒在哪份里面； 第二次称量：将20盒分成7盒、7盒、6盒，找到轻的一盒在哪份里面；或者将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面； 第三次称量：找到6盒或者7盒里轻的一盒； 第四次称量：找到2盒或者3盒里轻的一盒。 答：至少称量4次能找出轻的一盒。 27．（本题6分）由分析可得：将每袋金子标号，1、2、3…，1号取1锭金子，2号取2锭金子，……，将取出的金子一起称，少了几两就是第几号袋子。 答：能一次称出哪袋装的是每锭9两的金子。 28．（本题6分）（1）由图示可知，一共有11筐桃；第一次，把11筐桃分成3份： 4筐、4筐、3筐，取4筐的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一筐在未取的一份中，若天平不平衡，则取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（ 4筐或3筐）分成3份： 1筐、1筐、 1筐（或2筐），取1筐的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，可找到较轻的一筐；第三次，取含有较轻的2筐，分别放在天平两侧，即可找到较轻的这筐桃； 用 代表11筐桃； （答案不唯一） （2）3次是从11筐中保证找出较轻的1筐的最少称量次数； （3）为了保证找出较轻的1筐，就必须考虑各种可能的情况，而不能靠偶然机遇，所以不能称2次就保证把它找出来； （4）只有轻的1筐正好没称，才能保证一次称出来。 29．（本题5分）第一次：500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果； 第二次：天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，在100克砝码那边加糖，使天平平衡，那么和砝码在一起的糖就为250－100＝150（克）。 30．（本题5分）将11枚硬币分成（4、4、3），先称两个4枚，①平衡，次品在3个中，将3个分成（1、1、1），称两个，平衡剩下一个是次品，不平衡，随便拿下一个与剩下的称，即可找出次品；②不平衡，次品在4个中，随便拿出一个放到3个里，确定在哪4个，再称两次确定次品是轻还是重，再称一次即可。 答：至少称4次。 31．（本题5分）第一堆零件需要称5次。 ＝9×9＋1 ＝81＋1 ＝82（个） ＝9×9×3 ＝81×3 ＝243（个） 第一堆零件的个数在82个与243个之间； 第二堆零件需要称4次。 （个） ＝9×9 ＝81（个） 则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 答：第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。 第 2 页 共 6 页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $