第八单元 数学广角-找次品（举一反三培优讲义+知识卡片）知识梳理+4个考点讲练+真题演练+难度分层练 共41题-2025-2026学年人教版数学五年级下册

该小学数学单元复习讲义通过思维导图构建“找次品”与“打电话问题”的知识体系，以框架图呈现找次品最优策略（分成3份、尽量均匀）和打电话规律（第n分钟总人数2ⁿ），用表格对比不同分组方案的称量次数，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层训练与推理能力培养，如高频考点三通过9盒月饼不同分组方案的表格分析，引导学生用数学语言描述完整推理过程，培养推理意识。真题演练精选小升初真题，分层训练含20题常考易错压轴题，基础学生可夯实方法，拔尖学生能拓展创新，助力教师实施精准教学。

2025-2026学年人教版数学五年级下册重点难点培优讲练【举一反三】 第八单元 数学广角-找次品『举一反三培优考点讲义』 【原卷版】 （导图+知识梳理+4个考点讲练+真题演练+难度分层练 共41题） 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 目录指引 导图指引 2 知识梳理 2 知识点一 打电话问题 2 知识点二 找次品问题 2 考点讲练 3 高频考点一 基础规律速判（直接问次数） 3 高频考点二 最优分组策略选择 3 高频考点三 完整推理过程描述（解答题/画图题） 4 高频考点四 易错点辨析（“保证”与“可能”） 6 真题演练 6 分层训练 7 基础夯实 能力提升 7 创新拓展 拔尖冲刺 8 知识点一 打电话问题 1. 每增加1分钟，新接到通知的队员人数正好是前一分钟所有接到通知的队员和老师的总人数，也就是到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数是前（n-1）分钟所有接到通知的队员和老师的总人数的2倍。 2. 根据总结发现，从第1分钟到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数看；第1分钟，共有2人，2=21；第2分钟，共有4人，4=22；第3分钟，共有8人，8=23；第4分钟，共有16人，16=24；第5分钟，共有32人，32=25；第6分钟，共有64人，64=26；第7分钟，共有128人，128=27…由此推得：到第n分钟，所有接到通知的队员和老师的总人数为2n人，所有接到通知的队员的总人数为（2n-1）人。 知识点二 找次品问题 1. 从上面的称量过程中可以知道，在3瓶钙片中找岀1瓶次品，可以利用天平平衡的原理 解决。 2. 找次品的最优策略： （1）把待测物品分成3份。 （2）要分的尽量均匀，能平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少 的一份只相差1。 高频考点一 基础规律速判（直接问次数） 【典例精讲】（24-25五年级下·山西忻州·期末）有7瓶酱油，其中有6瓶的质量相同，另一瓶酱油的质量稍微轻些，用天平至少称（    ）次，能保证找出这瓶酱油。 A．1 B．2 C．3 【变式训练1】（24-25五年级下·河南焦作·期末）有5瓶维生素C含片，每瓶100片，后来有1瓶被吃掉5片，用天平设法把这瓶维生素C含片找出来，至少需要称( )次才能保证找出这瓶维生素C含片。 【变式训练2】（23-24五年级下·海南省直辖县级单位·期末）有6袋糖，其中一袋少了10克。用天平称，至少称（    ）次才能保证找到质量轻的那袋糖。 A．1 B．2 C．3 【变式训练3】有8个外观一样的乒乓球，其中1个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少称( )次才能保证找到次品。 高频考点二 最优分组策略选择 【典例精讲】（2023五年级下·全国·专题练习）从8袋盐中找到较轻的1袋，要保证2次能找到，最合理的分组方法是（    ）。 A．（3，3，2） B．（1，1，6） C．（2，2，4） D．（4，4） 【变式训练1】（24-25五年级下·四川凉山·期末）有28盒外观完全相同的饼干，其中27盒质量相同，另一盒是次品，质量稍重一些。如果用天平称，至少称( )次就一定能找出这盒次品。 【变式训练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）有11把锁，其中10把质量相同，另有1把是次品，次品略轻一些。用天平称，至少称（    ）次可以保证把次品找出来。 A．2 B．3 C．4 【变式训练3】（24-25五年级下·全国·课后作业）箱子里有5袋洗衣粉，其中有1袋质量不足（轻一些），完成下面找次品的过程。 （1） 至少要称（    ）次才能保证找出这袋次品。 （2） 至少要称（    ）次才能保证找出这袋次品。 高频考点三 完整推理过程描述（解答题/画图题） 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）有9盒月饼，其中8盒的质量相同，另外1盒轻一些，为次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？ （1）把下表补充完整，并回答下列问题。 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 4 2，2，2，3 3 4，4，1 3 3，3，3 （2）我发现：找次品的最佳策略是把待测物品分成（    ）份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差（    ），这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）若干盒月饼，其中有1盒较轻的是次品。用天平称，如果至少称3次能保证找出这盒较轻的月饼，那么这些月饼可能有几盒？ 【变式训练1】（24-25五年级下·湖南·期末）王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 【变式训练2】（24-25五年级下·全国·单元复习）妈妈买了7袋白糖，有1袋是次品，轻一些。妈妈设计了用天平找次品的方案。 （1）你能帮她填完整吗？ （2）你还有不同的方法吗？用自己的方式表示出来。 【变式训练3】（24-25五年级下·全国·单元复习）汪阿姨买了9袋薯片，其中8袋质量相同，另外1袋质量不足为次品。怎样用天平找出这袋质量不足的薯片？ （1）把下表补充完整。 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 9 3（3，3，3） 9 4（2，2，2，3） （2）表中哪种方法需要称的次数最少？ （3）如果10袋薯片中有1袋是次品（次品轻一些），至少称几次才能保证找出次品？是怎么称的？ （4）我发现：用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成（    ）份，能平均分的要（    ），不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差（    ），这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）用你发现的方法找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看看至少称几次才能保证找出次品。 高频考点四 易错点辨析（“保证”与“可能”） 【典例精讲】（24-25五年级下·河南新乡·期末）有9瓶药品，其中1瓶轻一些，其他的都一样重，用无砝码天平秤，至少称3次就能保证把这瓶找出来。( )（判断对错） 【变式训练1】（24-25五年级下·重庆长寿·期末）如果8个乒乓球中有一个是次品（质量轻一些），下面是聪聪用天平找次品的过程，可以知道③号乒乓球是次品。( )（判断对错） 【变式训练2】（24-25五年级下·江西南昌·期末）有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其它的水略重一些。假如用天平称，至少称4次能保证找出这瓶盐水。( )（判断对错） 【变式训练3】（24-25五年级下·湖北十堰·期末）用天平找次品时，已知待测物品中有一个次品（次品轻一些），要保证3次测出次品，待测物品可能是10~27个。( )（判断对错） 【真题演练1】（2024·湖南常德·小升初真题）9个外观相同的零件中，有一个次品比其他零件要轻，用天平至少称( )次可以保证找出次品。 【真题演练2】（2025·西藏·小升初真题）工人师傅在加工一批同一型号的零件时，不小心将1个不合格的零件（轻一些）混入了9个合格零件中。用天平称，至少称( )次能保证找出这个不合格的零件。 【真题演练3】（2024·重庆渝北·小升初真题）有8个同样的零件，其中有1个次品略轻一些，用天平称至少（    ）次能保证找到次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 【真题演练4】（2024·河北保定·小升初真题）在65件产品中含有一件不合格产品（不合格产品略轻一些），用天平秤，至少称（    ）次，就一定能找出这件不合格产品。 A．3 B．4 C．6 D．5 【真题演练5】（2024·浙江杭州·小升初真题）有8瓶口香糖，其中7瓶质量相同，有一瓶少了2粒，用天平至少称________次一定能找出这瓶少的口香糖。 基础夯实 能力提升 1．（2026五年级下·全国·专题练习）有3支钢笔，其中1支笔杆略轻（次品），用天平称，至少称（    ）次能保证找出次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026五年级下·全国·专题练习）有3盒巧克力，其中1盒少了2块（次品更轻），把3盒分别放在天平上称，下列说法正确的是（    ）。 A．必须称2次才能找到次品 B．称1次一定能找到次品 C．称1次有可能找到次品 D．无法通过天平找到次品 3．（24-25五年级下·河南信阳·期末）有3瓶钙片，其中1瓶少了3片。小明想用天平把次品找出来，他把3瓶分别标记为①②③，将①②分别放在天平的两端，如果天平平衡，那么下面判断正确的是（    ）。 A．①是次品 B．②是次品 C．③是次品 D．无法判断 4．（24-25五年级下·重庆大足·期末）有15个形状一样的小铁球，其中有一个小铁球稍重一点，如果用天平称，至少称_______次能保证找出这个稍重的小铁球。 5．（24-25五年级下·湖南株洲·期末）“双减”后，体育器材的需求增加，某体育用品厂生产的12个羽毛球中有1个轻一些。如果用天平称，那么至少称( )次能保证找到这个羽毛球。 6．（24-25五年级下·湖南娄底·期末）有26枚金币，有一枚金币较轻，是次品，用天平至少称4次才能 7．（2026五年级下·全国·专题练习）有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称3次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）猴妈妈的水果店进了11筐相同质量的桃子，馋嘴的小猴偷吃了某一筐中的3个桃子。怎样找出这筐桃子呢？ （1）给11筐桃子依次编号①，②，…，，填一填。 （2）至少称几次可以保证找出来？ （3）如果天平两边各放5筐，称一次有可能找出来吗？ 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）有6袋咖啡，编号是①~⑥，其中4袋一样重，是合格产品，另外2袋都比标准质量轻10g，是不合格产品。用天平称了三次，结果如下：①＋②比③＋④重，⑤＋⑥和③＋④一样重，⑤＋③比⑥＋④重。这两袋不合格的产品分别是几号？ 10．（24-25五年级下·全国·单元复习）外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级下·广东肇庆·期末）有8瓶水，其中1瓶是盐水（略重一点），至少要称（    ）次才能保证找出这瓶盐水。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025五年级下·浙江杭州·专题练习）有4个大小、颜色均相同的球，其中只有一个是次品（质量不同）。小东称了3次，根据称球情况，可知次品球是（      ）。 A．1号球 B．2号球 C．3号球 D．4号球 3．（24-25五年级下·广西南宁·期末）有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另有1袋比500g轻。用天平称至少称( )次就能保证把轻的那袋找出来。 4．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期末）有10瓶钙片，其中1瓶是次品（较轻），用天平至少称( )次能保证找出次品。 5．（24-25五年级下·贵州黔西南·期末）如果20个零件中有一个是次品（次品轻一些），要保证找出次品，至少要用天平称3次。( )（判断对错） 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）6包瓜子中有5包质量相同，另有1包是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。（圈出括号里的正确答案）。 7．（24-25五年级下·全国·单元复习）有5个砝码，它们的质量分别为100克、101克、102克、104克、107克，但它们的外观完全相同，无法看出轻重。现有一台带指针的台秤，它可以称出300克以内的物体的质量，怎样称至少3次就可以保证找出质量为100克的砝码？请写出操作步骤。 8．（24-25五年级下·全国·单元复习）有10盒零件，其中1盒是次品，次品那盒中的每个零件都比标准质量（10克）轻1克；由于管理员粗心，忘记是哪一盒，一时难以分辨；你能用天平称1次就把那盒次品找出来吗？说说你称的过程。 9．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有几个？ 10．（23-24五年级下·全国·课后作业）有28个乒乓球，其中有1个球是次品，但不知道比正品轻，还是重。如果只利用没有砝码的天平来判断哪个球是次品，至少要称几次能知道这个次品球是轻还是重？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册重点难点培优讲练【举一反三】 第八单元 数学广角-找次品『举一反三培优考点讲义』 【解析版】 （导图+知识梳理+4个考点讲练+真题演练+难度分层练 共41题） 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 目录指引 导图指引 2 知识梳理 2 知识点一 打电话问题 2 知识点二 找次品问题 2 考点讲练 3 高频考点一 基础规律速判（直接问次数） 3 高频考点二 最优分组策略选择 5 高频考点三 完整推理过程描述（解答题/画图题） 7 高频考点四 易错点辨析（“保证”与“可能”） 12 真题演练 14 分层训练 16 基础夯实 能力提升 16 创新拓展 拔尖冲刺 21 知识点一 打电话问题 1. 每增加1分钟，新接到通知的队员人数正好是前一分钟所有接到通知的队员和老师的总人数，也就是到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数是前（n-1）分钟所有接到通知的队员和老师的总人数的2倍。 2. 根据总结发现，从第1分钟到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数看；第1分钟，共有2人，2=21；第2分钟，共有4人，4=22；第3分钟，共有8人，8=23；第4分钟，共有16人，16=24；第5分钟，共有32人，32=25；第6分钟，共有64人，64=26；第7分钟，共有128人，128=27…由此推得：到第n分钟，所有接到通知的队员和老师的总人数为2n人，所有接到通知的队员的总人数为（2n-1）人。 知识点二 找次品问题 1. 从上面的称量过程中可以知道，在3瓶钙片中找岀1瓶次品，可以利用天平平衡的原理 解决。 2. 找次品的最优策略： （1）把待测物品分成3份。 （2）要分的尽量均匀，能平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少 的一份只相差1。 高频考点一 基础规律速判（直接问次数） 【典例精讲】（24-25五年级下·山西忻州·期末）有7瓶酱油，其中有6瓶的质量相同，另一瓶酱油的质量稍微轻些，用天平至少称（    ）次，能保证找出这瓶酱油。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【思路引导】把7瓶酱油分成3瓶、3瓶、1瓶这样三组。将两份3瓶的分别放在天平秤两端。 情况一：若天平平衡，说明剩下的那1瓶就是质量稍轻的，这样仅需称1次就找出了。但这是幸运情况，题目要求“保证找出”，得考虑最不利情形。 情况二：若天平不平衡，那么质量稍轻的那瓶在天平轻的一端的3瓶之中。 第二次称重：针对天平轻的一端的3瓶，任取其中2瓶，分别放在天平秤两端。 情况一：若天平平衡，说明没称的那1瓶就是质量稍轻的。 情况二：若天平不平衡，轻的一端放的就是要找的那瓶质量稍轻的酱油。 【规范解答】第一次将7瓶分成3瓶、3瓶、1瓶，称量两组3瓶：若平衡，剩余1瓶为次品，共1次（但需按最坏情况分析）。若不平衡，次品在较轻的3瓶中。 第二次从较轻的3瓶中取2瓶称量：若平衡，剩余1瓶为次品；若不平衡，轻的一侧为次品。 所以用天平至少称2次，能保证找出这瓶酱油。 故答案为：B 【变式训练1】（24-25五年级下·河南焦作·期末）有5瓶维生素C含片，每瓶100片，后来有1瓶被吃掉5片，用天平设法把这瓶维生素C含片找出来，至少需要称( )次才能保证找出这瓶维生素C含片。 【答案】2/两 【思路引导】通过合理分组，依据天平平衡或不平衡的情况来缩小范围，确定目标物品所在位置。先将物品合理分组，然后根据每次天平称重的结果进行分析判断，逐步找出被吃掉5片的那瓶维生素C含片。 【规范解答】第一次称重 将5瓶维生素C含片分成2瓶、2瓶、1瓶三份。把两份2瓶的分别放在天平秤两端。若天平平衡：说明剩下的那1瓶就是被吃掉5片的那瓶，这样仅需称1次就找到了。若天平不平衡：那么被吃掉5片的那瓶在天平上升一端的2瓶之中。 第二次称重 把天平上升一端的2瓶，分别放在天平秤两端。天平上升一端的那瓶就是被吃掉5片的那瓶。 综上，至少需要称2次才能保证找出这瓶维生素C含片。 【变式训练2】（23-24五年级下·海南省直辖县级单位·期末）有6袋糖，其中一袋少了10克。用天平称，至少称（    ）次才能保证找到质量轻的那袋糖。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【思路引导】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【规范解答】把6袋糖平均分成（2，2，2）三组，第一次任意选两组先称。 ①如果天平平衡，则次品在剩余的一组中；再把剩余一组的2袋糖分成（1，1）两组，第二次称，次品在天平翘起的一端。 ②如果天平不平衡，则次品在天平翘起的一端中；再把翘起的这一端的2袋糖分成（1，1）两组，第二次称，次品在天平翘起的一端。 因此有6袋糖，其中一袋少了10克，用天平称，至少称2次才能保证找到质量轻的那袋糖。 故答案为：B 【变式训练3】有8个外观一样的乒乓球，其中1个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少称( )次才能保证找到次品。 【答案】2 【思路引导】将8个乒乓球分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边放3个，手里留2个；（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；（2）如果天平不平衡，则次品在上翘的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在天平两边各放1个，手里留1个，如果天平不平衡，则找到次品在上翘的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。据此解答即可。 【规范解答】将8个乒乓球分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边放3个，手里留2个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品； （2）如果天平不平衡，则次品在上翘的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在天平两边各放1个，手里留1个，如果天平不平衡，则找到次品在上翘的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中，故至少称2次能可以保证找出次品。 【考点剖析】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 高频考点二 最优分组策略选择 【典例精讲】（2023五年级下·全国·专题练习）从8袋盐中找到较轻的1袋，要保证2次能找到，最合理的分组方法是（    ）。 A．（3，3，2） B．（1，1，6） C．（2，2，4） D．（4，4） 【答案】A 【思路引导】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【规范解答】从8袋盐中找到较轻的1袋，要保证2次能找到，最合理的分组方法是（3，3，2）。 故答案为：A 【考点剖析】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 【变式训练1】（24-25五年级下·四川凉山·期末）有28盒外观完全相同的饼干，其中27盒质量相同，另一盒是次品，质量稍重一些。如果用天平称，至少称( )次就一定能找出这盒次品。 【答案】4/四 【思路引导】把28盒饼干分成3份，即（9，9，10），第一次称，天平两边各放9盒，如果天平不平衡，次品就在较重的9盒中；如果天平平衡，次品在剩下的10盒中；考虑最不利因素，次品在数量多的里面，把有次品的10盒饼干分成3份，即（3，3，4），第二次称，天平两边各放3盒，如果天平不平衡，次品就在较重的3盒中；如果天平平衡，次品在剩下的4盒中；再把有次品的4盒饼干分成（1，1，2），第三次称，天平两边各放1盒，如果天平不平衡，次品就是较重的那个；如果天平平衡，次品就在剩下的2盒中。最后把有次品的2盒饼干分成2份，即（1，1），第四次称，天平两边各放1盒，天平不平衡，次品就是较重的那个。所以至少称4次保证能找出次品。 【规范解答】 如果用天平称，至少称4次就一定能找出这盒次品。 【变式训练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）有11把锁，其中10把质量相同，另有1把是次品，次品略轻一些。用天平称，至少称（    ）次可以保证把次品找出来。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【思路引导】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在较轻的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【规范解答】分析可知： 综上所述，至少称3次可以保证把次品找出来 故答案为：B 【变式训练3】（24-25五年级下·全国·课后作业）箱子里有5袋洗衣粉，其中有1袋质量不足（轻一些），完成下面找次品的过程。 （1） 至少要称（    ）次才能保证找出这袋次品。 （2） 至少要称（    ）次才能保证找出这袋次品。 【答案】（1）5；2； （2）5；2 【思路引导】（1）第一次称1和2，若平衡，次品在3、4、5中；第二次称3和4，若平衡，次品是5；若不平衡，轻的是次品。因此至少称2次。 （2）第一次称两组，分组是1、2和3、4，若平衡，次品是5；若不平衡，取轻的两袋再称一次，轻的是次品。因此至少称2次。 【规范解答】（1），至少需要称2次才能保证找出这袋次品。 （2），至少需要称2次才能保证找出这袋次品。 高频考点三 完整推理过程描述（解答题/画图题） 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）有9盒月饼，其中8盒的质量相同，另外1盒轻一些，为次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？ （1）把下表补充完整，并回答下列问题。 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 4 2，2，2，3 3 4，4，1 3 3，3，3 （2）我发现：找次品的最佳策略是把待测物品分成（    ）份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差（    ），这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）若干盒月饼，其中有1盒较轻的是次品。用天平称，如果至少称3次能保证找出这盒较轻的月饼，那么这些月饼可能有几盒？ 【答案】（1） 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 3 4 2，2，2，3 3 3 4，4，1 3 3 3，3，3 2 （2）3；1 （3）这些月饼可能有10~27盒。 【思路引导】（1）根据分成的份数，用天平称一称，完成表格； （2）找次品的最佳策略是把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差1，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）用天平找次品时，如果只含1个次品，且已知次品比正品轻，所测物品的数量与保证能找出次品至少需要测量的次数之间有以下关系：2~3个物品，1次；4~9个物品，2次；10~27个物品，3次；28~81个物品，4次…… 【规范解答】（1） 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 3 4 2，2，2，3 3 3 4，4，1 3 3 3，3，3 2 （2）我发现：找次品的最佳策略是把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差1，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）若干盒月饼，其中有1盒较轻的是次品。用天平称，如果至少称3次能保证找出这盒较轻的月饼，那么这些月饼可能有10~27盒。 【变式训练1】（24-25五年级下·湖南·期末）王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 【答案】3次；流程图见详解 【思路引导】根据题意，把12瓶钙片分成3份（4瓶、4瓶、4瓶），取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则质量较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（4瓶）分成3份（1瓶、1瓶、2瓶），将1瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的一份就是次品；第三次，取含有较轻的一份（2瓶）分别放在天平两侧，即可找到较轻的；据此解答。 【规范解答】 答：如果用天平称，至少称3次能保证找出次品。 【变式训练2】（24-25五年级下·全国·单元复习）妈妈买了7袋白糖，有1袋是次品，轻一些。妈妈设计了用天平找次品的方案。 （1）你能帮她填完整吗？ （2）你还有不同的方法吗？用自己的方式表示出来。 【答案】见详解 【思路引导】（1）把7袋分成3袋、3袋、1袋，这样有可能第一次就能找出次品；如果不能也把次品缩小到3袋中；这样再称1次就能找出次品； （2）还可以把7袋分成2袋、2袋、3袋，这样称一次把次品缩小到2袋或3袋中，这样再称1次就能找出次品。 【规范解答】（1） （2）答：把7袋糖分成2袋、2袋、3袋。第一次：天平两端各放2袋，如果平衡，次品在剩下的3袋中；如果不平衡，次品在上升那端的2袋中。第二次：如果次品在2袋中，再称一次就能找出次品；如果次品在3袋中，天平两端各放1袋，平衡，剩下的就是次品；不平衡，上升那端的那袋就是次品。 【变式训练3】（24-25五年级下·全国·单元复习）汪阿姨买了9袋薯片，其中8袋质量相同，另外1袋质量不足为次品。怎样用天平找出这袋质量不足的薯片？ （1）把下表补充完整。 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 9 3（3，3，3） 9 4（2，2，2，3） （2）表中哪种方法需要称的次数最少？ （3）如果10袋薯片中有1袋是次品（次品轻一些），至少称几次才能保证找出次品？是怎么称的？ （4）我发现：用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成（    ）份，能平均分的要（    ），不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差（    ），这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）用你发现的方法找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看看至少称几次才能保证找出次品。 【答案】（1）见详解 （2）第二种方法 （3）3次；方法见详解 （4）3；平均分；1 （5）3次 【思路引导】（1）当袋数为9，分成3份（4、4、1）时，首先称重两个4袋的组。若天平平衡，则质量较轻的位于剩下的1袋中，此时仅需一次称重即可确定；若天平不平衡，则质量较轻的在轻的那一侧，随后将这4袋再次分为2份，进行第二次称重，如果平衡则质量较轻的在剩下的2袋中，需要第三次称重来确定具体是哪一袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。 当袋数为9，分成3份（3、3、3）时，首先称重两个3袋的组。若天平平衡，则质量较轻的在剩下的3袋中。将这3袋分为1袋一组，进行第二次称重，即可确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为2次；若天平不平衡，则质量较轻的在轻的一侧，同样将这3袋分为1袋一组进行第二次称重，确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为2次。 当袋数为9，分成4份（2、2、2、3）时，首先称重两个2袋的组。若天平平衡，则质量较轻的在剩下的5袋中，再将这5袋分为2袋、2袋和1袋三组，称重两个2袋的组，如果平衡，则质量较轻的为剩下的1袋；如果不平衡，则继续称轻的2袋组，确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。若天平不平衡，则质量较轻的在轻的一侧，随后将这2袋再次进行第三次称重，即可确定具体是哪一袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。 （2）比较表中三种方法需要称的次数，找出哪种方法称的次数最少。 （3）第一次称重：天平两侧放两个三袋。如果天平平衡，次品在剩下的4袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个2袋如果天平平衡，次品在剩下的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平不平衡，次品在轻的一侧的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋。 如果天平不平衡，次品在轻的一侧的3袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平平衡，次品是剩下的1袋。如果天平不平衡，次品是轻的那一袋。因此，至少需要称3次才能保证找出次品。 （4）在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。 （5）用上述方法将找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看至少称几次才能保证找出次品。 【规范解答】通过分析可得： （1）填表如下： 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 3 9 3（3，3，3） 2 9 4（2，2，2，3） 3 （2）表中第二种方法需要称的次数最少。 （3）至少称3次才能保证找出次品。先分成3份（3，3，4）。第一次称重：天平两侧放两个3袋。如果天平平衡，次品在剩下的4袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个2袋，如果天平平衡，次品在剩下的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平不平衡，次品在轻的一侧的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋。 如果天平不平衡，次品在轻的一侧的3袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平平衡，次品是剩下的1袋。如果天平不平衡，次品是轻的那一袋。因此，至少需要称3次才能保证找出次品。 （4）用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差1，这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）首先，将11袋薯片分成3份（4，4，3）。然后，将其中的两份4袋薯片放在天平的两端进行比较。然后根据天平的平衡情况，确定次品可能存在的范围。如果天平平衡，说明次品在剩下的3袋中；如果天平不平衡，说明次品在较轻的4袋中；最后根据次品可能存在的范围，再次分组和比较，找出次品。如果次品在3袋中，将这3袋薯片分成3份，每份1袋，然后，比较，找出次品。如果次品在4袋中，将这4袋薯片分成2份，每份2袋，然后进行比较，找出次品。12袋的情况相似，所以11袋、12袋都是至少称3次才能保证找出次品。 答：11袋、12袋都是至少称3次才能保证找出次品。 高频考点四 易错点辨析（“保证”与“可能”） 【典例精讲】（24-25五年级下·河南新乡·期末）有9瓶药品，其中1瓶轻一些，其他的都一样重，用无砝码天平秤，至少称3次就能保证把这瓶找出来。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】把9瓶药平均分成3份，每份3瓶，即（3，3，3），第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，较轻的药品就在天平翘起的3瓶中；如果天平平衡，较轻的药品在剩下的3瓶中；再把有较轻药品的3瓶药分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，较轻的药品就是天平翘起的那一瓶；如果天平平衡，较轻的药品是剩下的那1瓶。所以至少称2次就能保证把这瓶找出来。 【规范解答】 有9瓶药品，其中1瓶轻一些，其他的都一样重，用无砝码天平秤，至少称2次就能保证把这瓶找出来。 原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练1】（24-25五年级下·重庆长寿·期末）如果8个乒乓球中有一个是次品（质量轻一些），下面是聪聪用天平找次品的过程，可以知道③号乒乓球是次品。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据题意可知，8个乒乓球中有一个是次品（质量轻一些），聪聪把8个乒乓球分成3组（3，3，2）； 第一步，用天平称量①、②、③和④、⑤、⑥（其余两个球暂不称）。图中可见天平向④、⑤、⑥一侧倾斜，说明①、②、③三个球中有质量更轻的次品。 第二步，把①、②号球放在天平两侧进行比较（③号球先放在一旁）。则1号与2号平衡，因此确定3号球就是次品；据此解答。 【规范解答】根据分析可知，如果8个乒乓球中有一个是次品（质量轻一些），下面是聪聪用天平找次品的过程，可以知道③号乒乓球是次品。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【变式训练2】（24-25五年级下·江西南昌·期末）有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其它的水略重一些。假如用天平称，至少称4次能保证找出这瓶盐水。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据找次品问题的解题策略，将物品尽可能均分三组（9、9、10），先称9瓶的两组，若平衡，盐水在第三组；若不平衡，盐水在重的组，最终通过天平平衡与否逐步缩小盐水所在范围，直至确定盐水。 【规范解答】第一次将28瓶分成9瓶、9瓶、10瓶，先称9瓶的两组：若平衡，盐水在第三组10瓶中；若不平衡，在较重的9瓶中；第二次将较重的9瓶分成3、3、3，称3瓶的两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至3瓶），若不平衡，在较重的3瓶中（将范围缩小至3瓶）；或者将含有盐水的10瓶分成3、3、4，称3瓶的两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至4瓶），若不平衡，在较重的3瓶中（将范围缩小至3瓶）；第三次将较重的3瓶分成1、1、1，称前两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至1瓶）；若不平衡，较重的1瓶是盐水；或者将含有盐水的4瓶分成1、1、2，称前两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至2瓶）；若不平衡，较重的1瓶是盐水；第四次将含有盐水的2瓶分成1、1，较重的1瓶是盐水；因此至少称4次能保证找出这瓶盐水。 故答案为：√ 【变式训练3】（24-25五年级下·湖北十堰·期末）用天平找次品时，已知待测物品中有一个次品（次品轻一些），要保证3次测出次品，待测物品可能是10~27个。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】用天平找次品，把物品尽量平均分成3份来称，能最快找出次品。 保证1次测出次品时，物品最多3个（分成1、1、1）。 保证2次测出次品时，物品最多9个（第一次分成3、3、3，称一次确定在哪3个里，第二次分成1、1、1）。 保证3次测出次品时，第一次把物品分成9、9、9来称，确定在哪9个里；第二次把9个分成3、3、3，确定在哪3个里；第三次把3个分成1、1、1找出次品。所以物品最多27个，最少10个（因为9个及以下2次就能测出，所以10个开始需要3次）。 【规范解答】题目中说待测物品可能是10－27个，符合上述通过分组称量得出的规律，所以该说法正确。 故答案为：√ 【真题演练1】（2024·湖南常德·小升初真题）9个外观相同的零件中，有一个次品比其他零件要轻，用天平至少称( )次可以保证找出次品。 【答案】2 【思路引导】将9个零件平均分成三份，任取其中两份放在天平上称量，结果可能有两种情况，一种情况是天平不平衡，则次品在质量较轻的一边，另一种情况是天平平衡，则次品在第三份中，总之通过第一次称量可以确定次品在哪一份中，接着，将包含次品的3个零件再分成三份，每份1个，任取其中两个进行称量，若天平平衡，则第三个是次品，若天平不平衡，则较轻的是次品。 【规范解答】根据分析： 9个外观相同的零件中，有一个次品比其他零件要轻，用天平至少称2次可以保证找出次品。 【考点剖析】本题主要考查找次品，关键根据物品的个数，对物品进行分份。 【真题演练2】（2025·西藏·小升初真题）工人师傅在加工一批同一型号的零件时，不小心将1个不合格的零件（轻一些）混入了9个合格零件中。用天平称，至少称( )次能保证找出这个不合格的零件。 【答案】3 【思路引导】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【规范解答】1＋9＝10（个） 把10个零件分成三组（3，3，4），把含有3个的两组分别放在天平两端﹑若天平平衡，则轻的在剩下的一组里，把剩下的一组分为两组（2，2），分别放在天平两端，轻的一端当中含有不合格的零件，再分成两组（1，1）放在天平两端，找出轻的一个即为不合格的零件； 若天平不平衡，把轻的一组分成（1，1，1），任选其中两个称量，若天平平衡，则剩余一个就是不合格的零件；若天平不平衡，则轻的一端所放的就是不合格的零件。 所以至少称3次能保证找出这个不合格的零件。 【真题演练3】（2024·重庆渝北·小升初真题）有8个同样的零件，其中有1个次品略轻一些，用天平称至少（    ）次能保证找到次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】把8个零件分成3个，3个，2个三份，第一次：把其中3个的两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品在未取的2个中，第二次再称量剩余2个即可找出；若天平秤不平衡，第二次从天平秤较高端的3个零件中，任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡，则未取即为次品，若不平衡，较高端即为次品，据此即可解答。 【规范解答】把8个零件分成3个，3个，2个三份， 第一次：把其中3个的两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品在未取的2个中，第二次把剩余2个分别放在天平秤两端，较高端的零件即为次品； 若天平秤不平衡，第二次从天平秤较高端的3个零件中，任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡，则未取即为次品，若不平衡，较高端即为次品。 所以用天平称至少2次能保证找到次品。 故答案为：B 【真题演练4】（2024·河北保定·小升初真题）在65件产品中含有一件不合格产品（不合格产品略轻一些），用天平秤，至少称（    ）次，就一定能找出这件不合格产品。 A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】B 【思路引导】把65分成22、22、21，第一次把22和22放在天平两端，如果平衡，就把21分成7、7、7，第二次把任意两个7放在天平两端，如果平衡，就把剩下的7分成2、2、3，第三次把2、2放在天平两端，如果平衡就把3分成1、1、1，第四次把任意两个1放在两端，可找出次品。 如果22、22放在天平两端不平衡，就把较轻的22分成7、7、8，第二次把7、7放在天平两端，如果不平衡就把较轻的7分成2、2、3，第三次把2、2放在两端，如果不平衡，就把较轻的2分成1、1，第四次把1、1放在两端，可找出次品。如果7、7平衡，就把8分成3、3、2，第三次把3、3放天平两端，如果不平衡，就把较轻的3分成1、1、1，第四次把任意1、1放在天平两端，可找出次品。 【规范解答】由分析可知： 在65件产品中含有一件不合格产品（不合格产品略轻一些），用天平秤，至少称4次，就一定能找出这件不合格产品。 故答案为：B 【真题演练5】（2024·浙江杭州·小升初真题）有8瓶口香糖，其中7瓶质量相同，有一瓶少了2粒，用天平至少称________次一定能找出这瓶少的口香糖。 【答案】2 【思路引导】有一瓶少了2粒，看作次品；将8瓶口香糖分成（3、3、2）三组，先称量（3、3）两组，若天平平衡，则次品在2瓶那组里，再称一次即可找出；若天平不平衡，也再需要称一次即可。 【规范解答】第一次称重：把两份3瓶的分别放在天平秤两端。 若天平平衡，则少2粒的那瓶口香糖在未取的2瓶中（再称一次即可找出）。第二次称重：把剩下的2瓶分别放在天平秤两端，较高一端的那瓶即为少2粒的。 若天平不平衡，则少2粒的那瓶口香糖在天平较高一端的3瓶中。 第二次称重：从天平较高一端的3瓶口香糖中，任取2瓶，分别放在天平秤两端。 若天平平衡，则未取那瓶即为少2粒的。 若天平不平衡，较高一端的那瓶即为少2粒的。 用天平至少称2次一定能找出这瓶少的口香糖。 基础夯实 能力提升 1．（2026五年级下·全国·专题练习）有3支钢笔，其中1支笔杆略轻（次品），用天平称，至少称（    ）次能保证找出次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】根据找次品问题的基本策略，对于3个物品，其中1个是次品且较轻（题干明确“笔杆略轻”），通过合理的分组称量，一次称量即可保证找出次品。具体策略是：第一次任取两个物品称量，若平衡则第三个是次品，若不平衡则较轻的是次品。 【规范解答】第一次称量：任取两支钢笔分别放在天平的两端。 若天平平衡，则次品为未称量的第三支钢笔。 若天平不平衡，则次品为较轻一端的那支钢笔。 因此，至少称1次就能保证找出次品。 故答案为：A 2．（2026五年级下·全国·专题练习）有3盒巧克力，其中1盒少了2块（次品更轻），把3盒分别放在天平上称，下列说法正确的是（    ）。 A．必须称2次才能找到次品 B．称1次一定能找到次品 C．称1次有可能找到次品 D．无法通过天平找到次品 【答案】B 【思路引导】解答这道题的核心是通过天平的平衡状态判断哪一盒是次品。3盒巧克力中，1盒较轻（次品），将其中2盒放在天平两端，根据天平是否平衡，可推断次品位置。据此解答。 【规范解答】根据分析： 将3盒巧克力标记为①、②、③，取①和②放在天平两端： 若天平不平衡：较轻的那盒就是次品，此时称1次就找到次品； 若天平平衡：说明①和②都是正品，次品就是③，此时也只称了1次。 所以，称1次一定能找到次品。 故答案为：B 3．（24-25五年级下·河南信阳·期末）有3瓶钙片，其中1瓶少了3片。小明想用天平把次品找出来，他把3瓶分别标记为①②③，将①②分别放在天平的两端，如果天平平衡，那么下面判断正确的是（    ）。 A．①是次品 B．②是次品 C．③是次品 D．无法判断 【答案】C 【思路引导】已知有3瓶钙片，其中1瓶少了3片（即次品），说明次品比正常的要轻。把3瓶分别标记为①②③，将①②分别放在天平的两端，如果天平平衡，说明①和②的质量相同，那么少了3片的次品就是③。 【规范解答】①②分别放在天平的两端，天平平衡，那么少了3片的次品就是③。 所以判断正确的是选项C中的“③是次品”。 故答案为：C 4．（24-25五年级下·重庆大足·期末）有15个形状一样的小铁球，其中有一个小铁球稍重一点，如果用天平称，至少称_______次能保证找出这个稍重的小铁球。 【答案】3 【思路引导】根据找次品的方法，将15个小铁球分成3组，每次称重尽可能缩小范围。每次称重后，问题规模缩小，通过三次称重即可确定稍重的小铁球。 【规范解答】第一次称重：将15个小铁球分成（5，5，5）三组，取两组放在天平两侧。 若平衡，稍重的小铁球在剩余5个中； 若不平衡，稍重的小铁球在较重一侧的5个中。 第二次称重：将确定的5个小铁球分成（2，2，1）三组，取两组各2个放在天平两侧。 若平衡，稍重的小铁球为剩余的1个； 若不平衡，稍重的小铁球在较重一侧的2个中。 第三次称重：若剩下2个小铁球，分别放在天平两侧，较重的一侧即为稍重的小铁球。 至少称3次能保证找出这个稍重的小铁球。 5．（24-25五年级下·湖南株洲·期末）“双减”后，体育器材的需求增加，某体育用品厂生产的12个羽毛球中有1个轻一些。如果用天平称，那么至少称( )次能保证找到这个羽毛球。 【答案】3 【思路引导】第一次称重：把12个羽毛球分成4个，4个，4个三份。把其中两份（4个的两份）分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的羽毛球在未取的那4个中；若不平衡，则较轻的羽毛球在天平秤较高端的4个中。 第二次称重：若第一次称重后较轻的在4个中，把这4个分成2个，2个两份，分别放在天平秤两端，较轻的羽毛球在天平秤较高端的2个中。若第一次称重后较轻的在另外4个中，同样把这4个分成2个，2个两份，放在天平秤两端，较轻的羽毛球在天平秤较高端的2个中。 第三次称重：把第二次称重后较高端的2个羽毛球，分别放在天平秤两端，较高端的那个就是较轻的羽毛球。 【规范解答】第一次称：把12个羽毛球分成3份，每份4个。取两份放天平两端，若平衡，轻的在没称的4个里；若不平衡，轻的在天平高的那4个里。 第二次称：把有轻羽毛球的4个分成2份，每份2个，放天平两端，轻的在天平高的那2个里。 第三次称：把这2个分别放天平两端，天平高的一端就是轻的羽毛球。 至少称3次能保证找到这个羽毛球。 6．（24-25五年级下·湖南娄底·期末）有26枚金币，有一枚金币较轻，是次品，用天平至少称4次才能保证找出这枚次品金币。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】把26枚金币平均分成3份，即（9，9，8）。第一次称，天平两边各放9枚，如果天平不平衡，次品就在较轻的9枚中；如果天平平衡，次品在剩下的8枚中；考虑最不利因素，次品在数量多的里面，把有次品的9枚金币平均分成3份，每份是3枚，即（3，3，3），第二次称，天平两边各放3枚，如果天平不平衡，次品就在较轻的3枚中；如果天平平衡，次品在剩下的3枚中；最后把有次品的3枚金币分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1枚，如果天平不平衡，次品就是较轻的那1枚；如果天平平衡，次品就是剩下的那1枚。所以至少称3次保证能找出这枚次品金币。 【规范解答】 用天平至少称3次才能保证找出这枚次品金币。 原题说法错误。 故答案为：× 7．（2026五年级下·全国·专题练习）有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称3次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 【答案】见详解 【思路引导】观察可知，如平衡，就接着称剩下的5和6，右边下沉，说明左边更轻，左边是几号，几号就是次品；如左边下沉，则右边更轻，次品在3和4之间，就再称3和4，右边下沉，左边更轻，左边是几号，几号就是次品。 【规范解答】根据分析完成填空，如下图： 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）猴妈妈的水果店进了11筐相同质量的桃子，馋嘴的小猴偷吃了某一筐中的3个桃子。怎样找出这筐桃子呢？ （1）给11筐桃子依次编号①，②，…，，填一填。 （2）至少称几次可以保证找出来？ （3）如果天平两边各放5筐，称一次有可能找出来吗？ 【答案】（1）见详解 （2）3次 （3）有可能 【思路引导】（1）第一次，把11筐桃子分成3份（4、4、3），取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一筐在未取的一份中，若天平不平衡，则取较轻的一份继续； 第二次，若天平不平衡，取较轻的一份（4筐）平均分成2份，每份2筐，分别放在天平两侧，若天平不平衡，则可找到较轻的上升一端的2筐中；取另外第三次，把上升一端的2筐分别放在天平的两端，则上升的一端就是被吃了的那筐；若天平平衡，则较轻的一筐在剩下的3筐中；取剩下的3筐，取其中2筐，若天平平衡，则剩下的1筐被吃掉的那框；若天平不平衡，则轻的为被吃的那筐； 第三次，拿出2筐分别放在天平的两端，若平衡，剩下的一筐是被吃了的，若不平衡，则上升的一端是被吃了的那筐，据此即可解答； （2）根据以上叙述，可得，最少可以用3次即可找出被吃了的那筐桃子； （3）根据事件发生的可能性原理可知，如果天平两边各放5筐，如果天平平衡，则较轻的为剩余的1筐，所以有可能称一次就找到这筐桃子. 【规范解答】（1） （2）至少称3次可以保证找出来。 （3）如果此时天平平衡，那么剩下的一筐就是被吃了3个的那筐，即称一次有可能找出来。 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）有6袋咖啡，编号是①~⑥，其中4袋一样重，是合格产品，另外2袋都比标准质量轻10g，是不合格产品。用天平称了三次，结果如下：①＋②比③＋④重，⑤＋⑥和③＋④一样重，⑤＋③比⑥＋④重。这两袋不合格的产品分别是几号？ 【答案】这两袋不合格的产品分别是④⑥。 【思路引导】因为不合格产品轻10克，已知①＋②比③＋④重，说明③和④中有不合格产品，⑤＋⑥与③＋④一样重，说明⑤和⑥中有不合格产品，又因为⑤＋③比⑥＋④重，所以④和⑥是不合格产品。 【规范解答】由分析可得： 这两袋不合格的产品分别是④号和⑥号。 10．（24-25五年级下·全国·单元复习）外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 【答案】88克 【思路引导】由于天平右边的9对中，既有比左边轻的，也有比左边重的，还有与左边一样重的，说明左边的两个球一定不是2个5克，也不是2个4克，则一定是1个4克和1个5克，这样可推出右边较重的3对中都是5克的球，较轻的5对中都是4克的球，一样重的一对中有1个4克和1个5克，进而可求出这些球的总质量。 【规范解答】3×（5＋5）＋5×（4＋4）＋2×（4＋5） ＝3×10＋5×8＋2×9 ＝30＋40＋18 ＝88（克） 答：这20个球的总重量是88克。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级下·广东肇庆·期末）有8瓶水，其中1瓶是盐水（略重一点），至少要称（    ）次才能保证找出这瓶盐水。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路引导】解决“找次品”一类问题，规律是“尽量均分和一分为三”，据此可以找出合适的办法。 【规范解答】把8瓶水分成3瓶，3瓶和2瓶，先在天平两端各放3瓶水，如果天平平衡，说明次品在另外2瓶中，再称一次即可；如果天平不平衡，则把天平下沉的一端的3瓶取出，再分成1瓶，1瓶和1瓶，再称一次，因此共用2次，保证找到次品。 2．（2025五年级下·浙江杭州·专题练习）有4个大小、颜色均相同的球，其中只有一个是次品（质量不同）。小东称了3次，根据称球情况，可知次品球是（      ）。 A．1号球 B．2号球 C．3号球 D．4号球 【答案】A 【思路引导】依据是：天平平衡时，两边物品质量相等；不平衡时，下沉一侧质量更大。我们可以根据三次称量的结果，逐步排除正品，锁定次品。 【规范解答】第一次称量：①号＋②号与③号＋④号不平衡。 由于不知道次品的轻重无法确定是上翘的是次品还是下沉的是次品，只能确定次品在①号和②号或者③号和④号中任意一个。 第二次称量：①号与②号不平衡。 说明次品在①号和②号中其中的一个。 第三次称量：③号与②号平衡。 说明②号和③号是正品，结合第二次的结论，①号也必然是次品。 综上，次品球是①号球 故答案为：A 【考点剖析】利用天平平衡原理，通过三次称量的结果逐步缩小范围，最终锁定次品。 3．（24-25五年级下·广西南宁·期末）有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另有1袋比500g轻。用天平称至少称( )次就能保证把轻的那袋找出来。 【答案】3 【思路引导】有10袋白糖，其中一袋比500g轻，根据寻找次品的最优策略，可以将10袋白糖分成3袋，3袋，4袋三份进行称重，找出次品。 【规范解答】将10袋白糖分成3袋，3袋，4袋。 第一次称量：在天平两端各放3袋白糖，平衡则次品在剩余4袋里面，如果不平衡则次品在轻的这边。 第二次称量：把3袋白糖平均分成3份，取两份分别放在天平两端，如果平衡，则剩余那袋为次品；如果不平衡，则轻的是次品；把4袋白糖平均分成2份，分别放在天平的两端，次品在轻的这边。 第三次称量：把2袋白糖分别放在天平的两端，则次品是轻的那一边。 所以用天平称至少称3次就能保证把轻的那袋找出来。 4．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期末）有10瓶钙片，其中1瓶是次品（较轻），用天平至少称( )次能保证找出次品。 【答案】3 【思路引导】三分法：每次将物品分成三组，利用天平称量的结果（左轻，右轻，平衡）缩小次品范围。 最坏情况分析：需保证在最不利的情况下（次品所在组需要最多次数）仍能完成任务。 【规范解答】第一次称量，将10瓶分成三组：3瓶，3瓶，4瓶。称量两组3瓶： 若平衡，次品在剩余4瓶中。若不平衡，次品在较轻的3瓶中。第二次称量，情况1：次品在3瓶中，将3瓶分成1瓶，1瓶，1瓶，称量两瓶：平衡则剩下一瓶是次品； 不平衡则较轻的一瓶是次品。总次数为2次；情况2：次品在4瓶中，将4瓶分成1瓶，1瓶，2瓶，称量两瓶：平衡则次品在剩余2瓶中，不平衡则较轻的一瓶是次品；总次数：2次后需再称一次，第三次称量（仅针对情况2的剩余2瓶）称量剩余2瓶中的一瓶与正品比较：若轻则是次品，否则为另一瓶。总次数：3次；结论：最坏情况下需称3次，因此至少需要3次。 5．（24-25五年级下·贵州黔西南·期末）如果20个零件中有一个是次品（次品轻一些），要保证找出次品，至少要用天平称3次。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【规范解答】分析可知： 由上可知，如果20个零件中有一个是次品（次品轻一些），要保证找出次品，至少要用天平称3次。 故答案为：√ 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）6包瓜子中有5包质量相同，另有1包是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。（圈出括号里的正确答案）。 【答案】 【思路引导】根据题意可知：第一次的天平称重，可能有两种情况：第一次称重平衡时，即次品出现在未称重的物品之间，再次天平称重能找出次品，第二次一定不平衡，轻的一端的物品是次品；第一次称重不平衡时，会发现轻的一端有次品，再次天平称重轻的一端的物品也能找出次品，第二次一定不平衡，轻的一端的物品是次品；据此解答即可。 【规范解答】根据分析圈出如下： 7．（24-25五年级下·全国·单元复习）有5个砝码，它们的质量分别为100克、101克、102克、104克、107克，但它们的外观完全相同，无法看出轻重。现有一台带指针的台秤，它可以称出300克以内的物体的质量，怎样称至少3次就可以保证找出质量为100克的砝码？请写出操作步骤。 【答案】见详解 【思路引导】先根据砝码的组合进行筛选，确定范围，再继续精确寻找。先写出第一次称2个砝码，质量有10种可能：201克、202克、204克、207克、203克、205克、208克、206克、209克、211克；如果是前4种，那么100克砝码就在这两个砝码中，再称一次就可以找出来；如果是后6种，那么100克砝码就在没有称的三个砝码中，需要进一步称。据此解答即可。 【规范解答】第一次称2个砝码，如果质量是201克、202克、204克、207克，那么100克砝码就在这两个砝码中，再称一次就可以找出来； 如果质量是203克、205克、208克、206克、209克、211克，那么100克砝码就在没有称的三个砝码中，再一个一个称两次，就可以找出100克的砝码。 8．（24-25五年级下·全国·单元复习）有10盒零件，其中1盒是次品，次品那盒中的每个零件都比标准质量（10克）轻1克；由于管理员粗心，忘记是哪一盒，一时难以分辨；你能用天平称1次就把那盒次品找出来吗？说说你称的过程。 【答案】见详解 【思路引导】可以通过一个巧妙的方法来实现这一点。首先，我们给这10盒零件依次编号，然后按照编号取出一定数量的零件。具体来说，从第1盒取出1个零件，从第2盒取出2个零件，以此类推，直到从第10盒取出10个零件，我们一共取出了1＋2＋3＋……＋10＝55个零件。接下来，我们把这55个零件放在天平的左端，然后在天平的右端放上和取出零件相等重量（如果都是标准件）的砝码，即550克。如果天平平衡，那么说明所有零件都是标准件；如果天平不平衡，那么次品就在取出的零件中。 【规范解答】把10盒零件依次编号①至⑩，然后按编号数分别取对应个数零件，也就是①号盒取1个，②号盒取2个……⑩号盒取10个，一共取出55个零件。把取出的55个零件一起放在天平左端，在天平右端放550克砝码，天平放砝码的一端低，在天平左端一个一个地放1克的砝码，直到天平平衡，放几个1克砝码，那么几号盒中的零件就是次品。 【考点剖析】解答本题的关键是取零件时，按照编号数取，即几号盒就取几个零件；放几个1克砝码，那么几号盒中的零件就是次品。 9．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有几个？ 【答案】27个 【思路引导】（1）如果有3个玻璃球，称1次能够找出次品：把3分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要2次才能找出次品； （2）如果有3×3＝9个玻璃球，最少需要2次能够找出次品：把9分成三组（3，3， 3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要3次才能找出次品； （3）如果有3×3×3＝27个玻璃球，最少需要3次能够找出次品：把27分成三组（9，9，9），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（3，3， 3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要4次才能找出次品；据此解答。 【规范解答】当玻璃球个数为9个时，至少需要称2次找出次品，当玻璃球个数为10个时，至少需要称3次找出次品，当玻璃球个数为27个时，至少需要称3次找出次品，如果至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球，这堆玻璃球可能有10~27个。 答：这堆玻璃球最多有27个。 【考点剖析】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 10．（23-24五年级下·全国·课后作业）有28个乒乓球，其中有1个球是次品，但不知道比正品轻，还是重。如果只利用没有砝码的天平来判断哪个球是次品，至少要称几次能知道这个次品球是轻还是重？ 【答案】2次 【思路引导】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。 【规范解答】先把28个分为（9，9，10）：天平两端各放9个，①平衡：则次品在10个中，把10个的放在天平一端，然后把正品的两组9个任意一组添上1个，变成10个，和含有次品的10个分别放在左右两端，就能确定次品的轻重了；②不平衡：则次品在9个中，则余下的10个是正品，把任意一组9个，放在天平一端，再把10个一组的减去1个，变成9个，放在天平另一端，从而确定次品的轻重。所以至少要称2次能知道这个次品球是轻还是重。 【考点剖析】本题主要考查找次品的实际应用，解题时注意本题不是找出次品而是确定次品是轻还是重。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $女3 女 第八单元·数学广角 找次品 核心定义 ②核心方法 次品 方法： 三分法 季 外观与合格品相同，但质 步骤1 把待测物品尽量平均分成3份 量更轻或更重的物品 (若不能均分，使最多与最少的份数差1) 找次品 步骤2 将其中两份放在天平两端称重 称重 比 利用天平称重，通过最少 根据天平状态判断次品所在份： 次数找出次品的方法 步骤3 不平衡→次品在轻重的那份里 平衡→次品在未称的那份里 核心前提 次品数量为1，且已知 步骤4 对次品所在份重复上述步骤，直到只剩 次品是更轻还是更重 1个物品，即为次品 示例 3个物品中有1个次品（更轻） ☑待测物品数为3的幂次（如3、9、27…） 称1次即可找出： 特殊 →可完全均分，次数最少 ·任取2个放天平，轻的是次品； 情况 ☑待测物品数不能均分（如4、5、8…） 若平衡，未称的是次品 →分成“尽量接近”的3份，如8分成3、3、2 3 典型示例 示例18个物品中有1个次品（便轻） 示例29个物品中有1个次品（便重），示例327个物品中有1个次品 最少称几次能保证找到？ 最少称几次能保证找到？ (更轻)，最少称几次 8→3、3、2. 9→3、3、3. 能保证找到？ 1.称3和3： 1.称3和3： 若平衡→次品在2个里，再称1次 不平衡→次品在重的3个里； 27→9、9、 若不平衡→次品在轻的3个里。 平衡→次品在未称的3个里。 3 →3、3、 2.若在3个里： →1、1、 再分成1、1、1，称1次找出 2. 再将3个分成1、1、1，称 共称3次 若在2个里：称1次找出。 1次找出。 +最少称2次 最少称2次 ☆ ④规律总结 ⑤实际应用 称量次数n最多能保证找到次品的物品数 应用1 有15瓶矿泉水，其中1瓶稍轻（次品） 平 称量次数与 1次 3个(3) 用天平称，最少称几次能保证找到次品？ 9, 待测物品数 2次 9个(32) 15→5、5、5→2、2、1→1、1，共3次 的关系 3次 27个(3) 4次 81个(3) 应用2 有10个零件，其中1个是次品（更重） 核心规律 n次称量最多可保证从3n个物品中找到 最少称几次能保证找到次品？ 1个次品 ☆ 易错区分X避免“均分2份” (效率低，次数更多】 10→3、3、4→1、1、1（或1、1），共3次 女