专题04 整式的加减（期末复习课件，知识必备+14大重难题型+过关验收）六年级数学下学期新教材人教版五四制

这是一份初中数学六年级下学期期末复习课件，围绕整式的加减专题，构建“学情分析-知识梳理-题型突破-分层验收”学习支架，涵盖单项式、多项式、合并同类项等核心考点，配套例题与变式练习。 资料特色突出，以核心素养为导向，通过规律探究题培养抽象能力，无关型问题提升推理意识，实际应用题型强化模型观念，分层练习满足不同学情。助力学生夯实基础，教师高效开展复习教学。六年级学生处于小学到初中过渡阶段，需巩固基础概念，提升运算与逻辑思维能力，该资料能系统梳理知识，帮助学生应对期末检测。

专题04 整式的加减 六年级数学下学期 期末复习大串讲 人教版五四制 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 单项式的概念 能正确理解单项式的概念 基础必考点，常出现在小题 多项式的概念 能正确理解多项式的概念 基础必考点，常出现在小题 整式的概念 掌握整式的概念与分类，学会表示整式 重要考点，关键要掌握整式的概念 合并同类项 理解合并同类项的概念，学会对式子进行合并同类项 重要考点，常出现在大题，计算题型为主 添括号、去括号 掌握添括号、去括号的方法和技巧 基础考点，常出现在小题中，做题时需注意括号和负号的添加 核心考点 复习目标 考情规律 整式的加减 掌握整式加减计算规则 核心考点，常出现在解答题中，有计算题型 整式加减中的无关型问题 掌握整式加减中的无关型问题的解决方法与技巧 重要考点，常出现在小题中 整式加减的应用 掌握整式加减的应用，学会用整式表示数量关系 核心考点，常出现在大题中 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 单项式 知识点01 1.单项式的概念 如 ， ，，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 多项式 知识点02 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 整式 知识点03 1.整式的概念 单项式与多项式统称为整式. 注意事项 （1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系： 单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式.   特别注意 合并同类项 知识点04 1.同类项概念 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 注意事项 （1）判断几个项是否是同类项有两个条件： ①所含字母相同； ②相同字母的指数分别相等， 同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； （2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； （3）一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； （4）同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 特别注意 合并同类项 知识点04 易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 2.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 3.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 4.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排） 易错提醒 去括号、添括号 知识点05 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变， 如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变， 如. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号， 如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号， 如．   整式的加减 知识点06 1.整式加减运算的概念 利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 【注意事项】整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 2.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 （3）解决多项式能否被一个数整除类问题   特别注意 整式的化简求值 知识点07 1.整式的化简求值 求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 单项式的相关概念 题型一 解｜题｜技｜巧 数与字母的积称为单项式；注意单项式的系数是除字母外的数字，要看是否有负号； 【例1】单项式的系数是，多项式的次数是，则的值是（     ） A． B．1 C．4 D． 解：∵单项式的系数是，多项式的次数是， ∴， ∴． 故选：B B 【例2】下列说法正确的是（    ） A．25不是单项式 B．的系数是 C．是四次单项式 D．是三次三项式 C 解： A. 25是单独的数字，属于单项式，故A错误； B. 的系数为数字因数，而非，故B错误； C. 中，的指数为3，的指数为1，次数为，是四次单项式，故C正确； D. 由二次项、一次项和常数项组成，最高次数为2， 是二次三项式，故D错误． 故选：C． 【变式1-1】 是关于，的六次单项式，则的值是 ． 解：是关于的六次单项式， ， 解得， 当时，系数， ， 故答案为：． -4 【变式1-2】若互为相反数，互为倒数，的绝对值等于3，是单项式的系数． (1)填空：_____，_____，______，______； (2)求的值． 解： （1）解：由题意得：； 故答案为0，1，，； （2）解：∵，，，， ∴， ∴ ． 0 1 -1 【变式1-3】已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 解： ∵ 是六次四项式， ∴， 解得∶， ∵单项式的次数与这个多项式的次数相同， ∴，即， 解得∶， ． 单项式规律题 题型二 解｜题｜技｜巧 观察单项式的类型，用通过看系数、项、指数的变化，如果出现一正一负这种情况的时候，要用（-1）来进行调节 【例1】按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 解：根据前几项单项式排列可知：各单项式的系数可表示为： ，，，，，， 各单项式字母的部分规律为：． 第个单项式是． 故选：A． A 【例2】以下式子：按照其中的排列规律，第个式子可以表示为（   ） A． B． C． D． C 解： ∵ ， ∴第个式子可以表示为． 故选：C 【变式2-1】按一定规律排列的单项式：，，，，… 第n个单项式是 ． 解：由分子，…，可得第n个单项式的分子为； 由分母3，5，9，17，…，可得第n个单项式的分母为； 由符号是奇数个单项式为正，偶数个单项式为负，可得符号规律为， 所以第n个单项式是，故答案为：． 【变式2-2】列单项式中，相同未知数的次数依次有规律变化：，   你认为第20个单项式为 ． 解：观察可知，第个单项式为：， ∴第20个单项式为；故答案为：． 【变式2-3】观察一组单项式：，，，，…． (1)根据你发现的规律写出第8个单项式． (2)当和时，分别求出前6项的和． 解： （1）解：由，，，，…；可知： …； ∴第8个单项式为； （2）解：由（1）可知：前6项的单项式分别为 ，，，，，， ∴当时，前6项的和为； 当时，前6项的和为． 多项式的相关概念 题型三 解｜题｜技｜巧 几个单项式的和称为多项式； 【例1】下列说法正确的是（   ） A．不是单项式 B．表示负数 C．的系数是3 D．不是多项式 解： A、是单项式，故本选项错误，不符合题意； B、当为负数或0时，表示正数或0，故本选项错误，不符合题意； C、的系数是，故本选项错误，不符合题意； D、不是多项式，故本选项正确，符合题意； D 【例2】下列各式中，既不是单项式也不是多项式的是（    ） A． B． C． D． D 解：A、是几个单项式的和，这是个多项式，故A不符合题意； B、是数字与字母的积，是一个单项式，故B不符合题意； C、是与的和，这是个多项式，故C不符合题意； D、是与的商，既不是单项式也不是多项式，故D符合题意； 【变式3-1】在，，，，，，单项式有 ．多项式有 ，整式有 ． 解： ，是单项式； ，是多项式； ，，，是整式； 故答案为：，；，；，，，． ， ， ，，， 【变式3-2】下列式子①  ②  ③  ④  ⑤  ⑥（说明：填上式子的序号）其中单项式有： ，多项式有： ，整式有： ． 解： ，是分式，不是整式； 单项式：，， 多项式：，； 整式：，，，， 故答案为：①④；②⑥；①②④⑥． ①④ ②⑥ ①②④⑥ 【变式3-3】在代数式、1、、、、、、、、，单项式有 个，多项式有 个． 解：单项式：1， ，，共4个， 多项式：，，，共4个， ，不是整式． 故答案为：4，4． 4 4 【例1】如果是关于的二次三项式，那么应满足的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 解：∵多项式是关于a的二次三项式， ∴且， ∴． 故选：D． D 多项式系数、指数中字母的求值 题型四 【例2】若是关于、的三次二项式，则、的值是（    ） A．， B．， C．， D．， B 解：由题意，得：， ∴，； 故选B． 【变式4-1】如果多项式是关于的三次多项式，则（    ） A．， B．， C．， D．， 解：依题意可得，， 解得，． 故选：D． D 【变式4-2】多项式是关于的二次三项式，则的取值范围为 ． 解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】已知多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的二次项系数相同，求的值． 解：根据多项式是五次四项式， 有，解得， 根据单项式的次数与的二次项系数相同， 即有，解得， 则有：， 即值为6． 多项式升幂（降幂）排列 题型五 解｜题｜技｜巧 多项式的升幂与降幂，要看是哪个字母，只针对这一个字母进行升幂或者降幂排列，其他字母可以不管； 【例1】下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是6 B．多项式是二次三项式 C．多项式是按字母的降幂排列 D．的系数是 解：A．单项式的次数是，故A错误； B．多项式是二次三项式，故B正确； C．多项式是按字母的降幂排列，故C错误； D．单项式的系数是，故D错误． B 【例2】将多项式按的降幂排列的结果为（    ） A． B． C． D． D 解：将多项式按的降幂排列的结果为， 故选：D． 【变式5-1】多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 解：多项式按字母的降幂排列：， 故选：． D 【变式5-2】把多项式按的降幂排列： __________ ． 解：多项式的各项为，，，， 按的降幂排列：． 故答案为：． 【变式5-3】已知为自然数，且多项式是严格按 字母的升幂排列的． (1)求的值； (2)将多项式按字母的升幂排列． 解：（1）∵多项式是严格按字母的升幂排列的， ∴，且为整数， ∴， ∴． （2）当时，多项式为， ∴将多项式按字母的升幂排列为． 整式的相关概念 题型六 解｜题｜技｜巧 记住单项式和多项式合起来称为整式； 【例1】下列说法正确的是（    ） A．单项式既没有系数也没有次数 B．系数是，次数是2次 C．多项式的项是，， D．是整式 解：A、单项式的系数和次数均为1，原说法错误，不符合题意； B、系数是，次数是3次，原说法错误，不符合题意； C、多项式的项是，，，原说法错误，不符合题意； D、是整式，正确，符合题意； 故选D． D 【例2】下列判断： ①单项式的次数是0；②单项式的系数是；③都是单项式； ④是二次三项式；⑤既不是单项式，又不是多项式的，一定也不是整式． 其中，不正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 解：①单项式的次数是1，故不正确； ②单项式的系数是，故不正确； ③都是单项式，正确； ④是三次三项式，故不正确； ⑤既不是单项式，又不是多项式的，一定也不是整式，正确． 故选C． 【变式6-1】在代数式；；；；；中整式的个数有（      ）个． A． B． C． D． 解：、分母中含字母，不是整式， 是多项式、、、是单项式，属于整式， 故整式有，共4个， 故选：D． D 【变式6-2】下列式子中：，，，，，整式有 个． 解：依题意：，，， 都是整式， ∴整式有4个．故答案为：4． 4 【变式6-3】在式子：①，②，③，④中， 单项式有 ，多项式有 ，整式有 ．（填序号） 解：①是多项式，是整式，②是单项式，是整式，③，不是整式，④，是单项式，是整式， ∴单项式有②④；多项式有①；整式有①②④． 故答案为：②④；①；①②④． ②④ ① ①②④ 合并同类项 题型七 解｜题｜技｜巧 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项；合并同类项的时候要注意合并完全，不能出现遗漏； 【例1】下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 解：A、，故A选项错误， B、，故B选项错误， C、，故C选项错误， D、，故D选项正确， D 【例2】下列合并同类项，正确的是（    ） A． B． C． D． D 解：A．与不是同类项，不能合并，不符合题意； B．，此选项错误，不符合题意； C．，此选项错误，不符合题意； D．，此选项正确，符合题意． 故选D． 【变式7-1】若与的和是单项式，则 ． 解：∵与的和是单项式，∴与是同类项， ∴相同字母的指数相等，即，，∴． 故答案为：5． 5 【变式7-2】化简： ． 解： ， 故答案为：0． 0 【变式7-3】化简： (1)． (2)． 解：（1） ． （2） ． 去括号和添括号 题型八 解｜题｜技｜巧 添（去）括号法则：括号外是“”，添(去)括号不变号；括号外是“”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 【例1】去括号填空： ． 解：． 故答案为：． 【例2】下列各式，从左到右的变形，结果正确的是（    ） A． B． C． D． C 解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式8-1】在等式（    ）中，括号里应填（    ） A． B． C． D． 解： ∵ ∴括号里应填：，故选：． A 【变式8-2】 去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 解：． 故选B． B 【变式8-3】化简： 解：原式． 整式的加减运算 题型九 解｜题｜技｜巧 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 【例1】化简： (1) (2) 解： （1）解：原式 （2）解：原式 ． 【例2】计算： 解： ． 【变式9-1】已知，且． (1)求多项式C． (2)当时，求C的值． 解： （1）∵， ∴， ∵， ∴ ； （2）当时， ． 【变式9-2】化简： (1) (2) 解： （1） ； （2） . 【变式9-3】已知， (1)求代数式； (2)若满足，求的值． 解： （1）解：，， ； （2）解：， ， ， ． 整式加减中的化简求值 题型十 解｜题｜技｜巧 整式加减运算，化简求值时一定要先化简，在进行计算求值；顺序不能搞乱，如果直接代入求出的结果是不得分的； 【例1】先化简，再求值： ，其中，． 解：原式． 当，时， 原式． 【例2】先化简，再求值： ，其中， 解：原式 ， 当，时 原式． 【变式10-1】化简求值： ，其中． 解：原式 因为 所以 所以 当时，原式． 【变式10-2】先化简，再求值： ，其中，． 解： ， 当时，原式． 【变式10-3】已知代数式，， ，其中为常数， 当时，；当时，（是常数，且）． (1)求的值； (2)关于的方程的解是， 求的值； (3)当时，代数式的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． （1）解：当，，移项得; （2）解：把代入， 得． 由，即，代入上式: ， 化简得． ; 解： （3）解：是定值，理由如下： 当时，代数式 的值为 5， 即： ， 又当 时，代数式 的值为 m（）， 即： 当 时，代数式 的值为： ， 代数式 A 的值为： ， 由①得，代入：， 分母， ， 当时，代数式的值为． 整式加减中的无关型问题 题型十一 解｜题｜技｜巧 整式加减中的无关型问题主要是涉及到某一项或者某个字母，这时候我们需要把含有这一项或者这个字母的单项式全部合并起来，再令这一项的系数为0，即可求出结果； 【例1】若关于的多项式中不含三次项，则代数式的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 解：， ∵多项式不含三次项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B B 【例2】要使多项式化简后不含有的二次项，则等于（    ） A．0 B．3 C． D．2 C 解： ， 多项式化简后不含有的二次项， 令二次项系数为0，即， 解得， 故选：C． 【变式11-1】已知多项式的值与的取值无关， 代数式的值为 ． 解： 多项式的值与的取值无关， ， ， ， 故答案为：． 2 【变式11-2】若多项式与的差的值与无关，则 ． 解： ； ∵该式子的值与无关， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4050 【变式11-3】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值； （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 解： （1） ， ∵关于的多项式的值与的取值无关， ∴， ∴； 解：（2）∵，， ∴ ∵的值与的取值无关， ∴， ∴； （3）设， 观察图形得：， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 整式加减的应用 题型十二 解｜题｜技｜巧 整式加减的应用，关键在于列出关系式； 【例1】在一个长方形中剪下两个大小相同的正方形，如图所示，留下一个“T”型阴影部分． (1)用含的代数式表示的长度为________，阴影部分的周长为________． (2)“T”型图形的周边需围上单价为每米元的栅栏．若请计算整个施工所需的造价． 解： （1）由题意得：， 阴影部分的周长； （2）当，时， 施工所需的造价（元） 【例2】若表示一个三位数，其百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是． (1)试表示这个三位数为 （用含字母、、的代数式表示）． (2)如果将三位数的个位上的数字与百位上的数字对换，十位上的数字不变，所得新数为，则的差能被11整除．试说明理由． 解： （1）由题意得：这个三位数s为； 故答案为； （2）由题意得： ， ； 和都能被11整除， 也能被11整除，即的差一定能被11整除． 【变式12-1】某水果超市新进了一批秋月梨，为了合理定价，先试行了7天机动价格，售价以每千克10元为标准价，超市记录了这7天秋月梨的销售价和销售量情况： (1)这7天中，秋月梨单价最低的一天是星期 ． (2)从第8天起，超市决定推出两种秋月梨的销售方式： 方式一：每千克售价10元； 方式二：每千克售价12元，若购买超过5千克，则超过部分打8折． 若买（）千克秋月梨，则两种不同的购买方式分别需要多少钱？（用含的代数式表示） 解： （1）由表中数据可知星期日价格低于标准元，即星期日价格最低， 故答案为：日； （2）当顾客买斤秋月梨， 按照方式一应花费：元， 按照方式二应花费：（元）． 日 【变式12-2】如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的长方形（阴影部分）拼成长方形．已知，小正方形的边长为． (1)用含的式子表示的长； (2)用含的式子分别表示阴影部分的周长和长方形的周长． 解： （1）解：；； （2）阴影部分的周长． 长方形的周长， 【变式12-3】为响应国家“乡村振兴”的号召，李峰回家乡承包了一片土地用于种植草莓，土地平面示意图如图（图中长度单位：），请根据示意图回答下列问题： (1)用含，的式子表示出这片土地的总面积． (2)由于草莓品种和各个地块土壤条件存在差异，地块①和地块②平均每平方米可种植株草莓，地块③和地块④平均每平方米可种植株草莓，则李峰总共可种植多少株草莓?（用含，的式子表示） (3)在满足（2）问的条件下，当，时，李峰种植草莓的总数量为多少株? 解： （1）解：这片土地的总面积为： （平方米）． 解：（2）由示意图可得：地块①的面积为：（平方米）， 地块②的面积为：（平方米）， ∴地块①和地块②的总面积为：平方米， ∵地块①和地块②平均每平方米可种植株草莓， ∴地块①和地块②种植的草莓数量为： （株）； 地块③的面积为：（平方米）， 地块④的面积为：（平方米）， ∴地块③和地块④的总面积为：平方米， ∵地块③和地块④平均每平方米可种植株草莓， ∴地块③和地块④种植的草莓数量为：（株）； ∴李峰总共可种植的草莓数量为： （株）． 答：李峰总共可种植的草莓数量为株． （3）解：由（2）可得李峰总共可种植的草莓数量为株 ∴当，时，峰总共可种植的草莓数量为 （株）． 答：峰种植草莓的总数量为株． 带有绝对值字母的化简问题 题型十三 解｜题｜技｜巧 带有绝对值的字母化简问题，要考虑字母式子的取值范围，最后根据绝对值里边的式子的正负性去掉绝对值符号； 【例1】若，则的值为（   ） A．或 B． C．或0 D． 解：∵， ∴， ∴ ， 当时，原式， 当时，原式． 故选B． B 【例2】有理数在数轴上的对应点的位置如图所示．   (1)填空：______0，______0，______0(填“>”或<”)． (2)化简：． 解：（1）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 【变式13-1】已知数在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 ． 解：由数轴得，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【变式13-2】若，化简结果是 ． 解：∵， ∴负因数的个数有0个或2个． ①当负因数的个数有0个时，a，b，c均大于0，原式； ②当负因数的个数有2个时，a，b，c中只有一个大于0时， 不妨设，则，原式． 故答案为：4或0． 4或0 【变式13-3】如图，有理数在数轴上对应的点分别为． (1)____________________________________0 （用“”“”或“”填空） (2)化简：． 解： （1）解：由数轴可知，，，， 则，，， 故答案为：；；； （2）解：由（1）可知，，，， 则 ． 【例1】定义：在数轴上点所表示的数是，点所表示的数是，则称点是点的“伴随点”．已知点是点的伴随点，点是点的伴随点，点是点的伴随点，…，以此类推，若点所表示的数为2，则点所表示的数为（    ） A．2 B． C． D．1 解：由题知， ∵点所表示的数为2，∴，即点所表示的数为；∴，即点所表示的数为；∴即点所表示的数为2；∴即点所表示的数为；∴，即点所表示的数为；∴即点所表示的数为2；依次类推，由此可见，这列数从点所表示的数开始按2，，循环出现，∵，∴点所表示的数为． 故选：B． B 整式加减中的新定义运算 题型十四 【例2】新定义运算“”如下：，例如，则 的结果是（     ） A． B． C． D． C 解： ， 故选：C． 【变式14-1】定义一种新运算“△”，其规则为． 当，，则的值为 ． 解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． 【变式14-2】定义：若，则称与是关于整数的“平衡数”， 比如，则与是关于的“平衡数”，， 则与是关于的“平衡数”． 若，， 则与的是关于 的“平衡数”． 解： ∵，， ∴ ， ∴与的是关于的“平衡数”， 故答案为：． 6 【变式14-3】阅读理解题 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9 (1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______； (2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式 ，求多项式 (3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值” 解： （1）解：∵，， ∴， ∴关于的“雅常值”是1 故答案为： （2）解：多项式是的“雅常式”且“雅常值”是3， ， . （3）解： . 是的雅常式， ， ， ， 关于的“雅常值”是4. 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1．下列各组中的两个项不属于同类项的是（ ） A．和 B．和 C．和14 D．和 解： ∵选项A中，和都含有字母和，且的指数均为2，的指数均为1，符合同类项定义； 选项B中，和都含有字母和，且指数均为1（与相同），符合同类项定义； 选项C中，和14都是常数项，符合同类项定义； 选项D中，含有字母，而是常数项9，没有相同的字母，因此不是同类项． ∴不属于同类项的是D． 故选：D． 期末基础通关练 D 2．单项式的系数和次数是（ ） A．系数是，次数是5 B．系数是，次数是5 C．系数是，次数是3 D．系数是5，次数是 解： ∵单项式的数字因数为， ∴系数是． 又∵字母a的指数为2，b的指数为3， ∴次数为． 故选A． A 3．对于多项式，下列说法错误的是（    ） A．它是二次三项式 B．最高次项的系数是2 C．它的常数项是5 D．它的项分别是，，5 解：A、是二次三项式，故A不符合题意； B、最高次项是系数是2，故B不符合题意； C、的常数项是5，故C不符合题意； D、由三项构成分别为，，5，该选项将的符号漏掉写成了，故D符合题意. 故选：D. D 4．若单项式与的和仍是单项式，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 解：单项式与的和仍是单项式， 这两个单项式是同类项，相同字母的指数相同， ，， ． 故选． D 5．写出一个同时满足以下三个条件的单项式： 系数是负数； 次数是； 至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 解：符合条件的单项式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 6．已知和是同类项，则 ． 解：由于和是同类项，因此的指数相等， 即， 故答案为：2； 2 7．单项式的系数是 ， 多项式是 次 项式． 解：单项式的系数是，多项式是三次四项式． 故答案为：；三；四． 三 四 8．先化简，再求值：，其中． 解：原式， ， 当时， 原式 9．小明在做题时错将题目中的“”看成“”，算得结果 ，已知． (1)求多项式； (2)小强说正确结果的大小与的取值无关，对吗？请说明理由； (3)若，，求正确结果的代数式的值． 解： （1）解：根据题意可知，， ∴， ∵，， ∴， 答：多项式． （2）解：小强说法对，理由： ∵，， ∴， ∵不含， ∴正确结果的大小与的取值无关， 答：小强说法对． （3）解：∵，，∴ 答：正确结果的代数式的值为． 10．对联的一种装裱形式如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要以这种装裱形式装裱一副对联，对联的长为，宽为，若左、右边的宽均为，求： (1)装裱后对联的天头长与地头长； (2)装裱后对联的长与宽的差． 解： （1）解：左、右边的宽均为， 且左、右边均为天头长与地头长的和的， 天头长与地头长的和是， 天头长与地头长的比是， 天头长为， 地头长为； （2）解：装裱后对联的长为， 装裱后对联的宽为， 装裱后对联长与宽的差为． 11．下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．单项式的系数是 C．的系数、次数都是3 D．是4次单项式 解：A、中含有加法运算，不是单项式，故A选项不符合题意； B、是单项式，其系数为 ，故B选项符合题意； C、的系数是3，次数是4，故C选项不符合题意； D、的次数是5，故D选项不符合题意； 故选：B． B 期末重难突破练 12．如图，一个长为、宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（   ） ①小长方形的较长边为 ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值． 解： ①∵大长方形的长为，小长方形的宽为，∴小长方形的长为， 说法①正确； ②∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影的较短边为，阴影的较短边为， ∴阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③∵阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为， 较短边为，∴阴影的周长为，阴影的周长为， ∴阴影和阴影的周长之和为， ∴若为定值，则阴影和阴影的周长之和为定值，说法③正确；综上可知正确的为①③，共2个． 故选：B． B 13．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 解： ，，，，， 第个单项式是 故选：C． C 14．下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（    ） A． B． C． D． 解： ， 所以被墨汁遮住的一项应是， 故选：C． C 15．若单项式与是同类项，则 ． 解： ∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． -1 16．如图是一个日历表，现在用长方形任意框出4个数．若右上角的数用a来表示，则这4个数的和为 ． 解：由图可知， 右上角的数为，则左上角的数为，右下角的数为，左下角的数为， ， 17．若，则多项式的值是 ． 解：∵， ∴原式 故答案为：10． 10 18．定义：任意两个数、，按规则扩展得到一个新数，称所得的新数为“理想数”．若，，“理想数”的值与的值无关，则的值为 ． 解：由，， 则 ， ∵的值与无关，故的系数为零， ∴， 解得． 故答案为：． 19． （1）化简：； （2）化简，并求当时化简结果的值． 解： （1）解：原式； （2）原式 ． 当时， 原式． 20．先化简，后求值：，其中， 解： ， 当，时， 原式． 21．有理数在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 解：（1）解：由数轴可知，则有， ∴； 故答案为＜；＜；＞； （2）解：由（1）可得： ． 期末综合拓展练 22．三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（   ） A．5 B． C．1 D．0 解：根据题意得：，，，， ∴． 故选：D． D 23．按一定规律排列的单项式：，，，，，，如此下去，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 解：观察可知，第个单项式的系数为，指数为， 第个单项式是 ， 第个单项式为． 故选：D． D 24．如图，长方形的边长，．在长方形内，将一张边长为和两张边长为（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为L，若要知道L的值，只要测量图中哪条线段的长（   ） A． B． C． D． 解：图1中阴影部分的周长， 图2中阴影部分的周长， ． 故若要知道L的值，只要测量图中线段的长． 故选：C． C 25．多项式是关于的二次三项式，则取值为 ． 解：由于多项式是关于的二次三项式，因此最高次项的次数必须为2，系数不为0， 即，， 解方程， 得或， 即或， 解得， ∴． 故答案为：． 0 26．观察下列单项式：，，，，……，按此规律，第5个单项式是 ，第个单项式是 ． 解：由给定单项式可知，第个单项式的指数为，系数符号由决定，分子为，分母为， 因此第个单项式为， 当时，符号为负，分子为5，分母为， 故第5个单项式为． 故答案为：，． 27．小刚做了一道数学题：“已知两个多项式为A，B，求的值”，他误将“”看成了“”，结果求出的答案是，若已知，那么原来的值应该是 ． 解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．如图，这是2025年1月的月历，其中“”形，“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠，设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为，当时，用含的式子表示 ，此时的最大值为 ． 解：设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为， 则， 设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为， 则， 当时，则， ， ， 、都是正整数， 由日历表可知，的最大值为，此时，满足“”形阴影图形， 最大值为， 故答案为：，203． 29．学校小卖部新进了一部分学习用品，文具盒每只定价元，笔记本每本元．小卖部在开展促销活动期间，向学生提供两种优惠方案：①文具盒和笔记本都按定价的%付款；②买一只文具盒送一本笔记本．现某班开展学习竞赛要到学校小卖部购买只文具盒，笔记本本数是文具盒只数的倍多． (1)若该班按方案①购买，需付款 元：(用含的代数式表示)；若该班按方案②购买，需付款 元．(用含的代数式表示) (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 解：（1）解：由题意可知：①文具盒和笔记本都按定价的%付款； 则方案①需付款； ②买一只文具盒送一本笔记本． 则方案②需付款； 故答案为：；． （2）把分别代入（1）中两个代数式： 方案①：元；方案②：元； ， 故第②种合算． 30．【数学背景】 幻方是一种中国传统益智游戏，它的规则是将数字安排在正方形格子中，使每行、每列及对角线上的数字和都相等． 【问题提出】 （1）如图1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及每条对角线上的数字和都相等，则这个和是______； 【问题探究】 （2）在图1中填入一种符合（1）要求的方法； 【模型迁移】 （3）图2是显示部分式子的幻方，用含的式子表示； （4）图3是显示部分式子的幻方，求的值． 解：由题意得： ， 这个和是15， 故答案为：15； 15 解： （2） （3）由题意得： ， ， ； （4）由题意得： ， ， ， 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $