专题05 几何图形初步（期末复习课件，知识必备+24大重难题型+过关验收）六年级数学下学期新教材人教版五四制

这是一份初中数学期末复习课件，针对人教版五四制六年级下学期几何图形初步专题，包含期末考情分析、必备知识梳理、重难点题型突破及分层验收模块，构建系统学习支架助力复习。 资料特色突出核心素养培养，通过几何体分类、点线面体关系等内容发展空间观念与抽象能力，结合组合几何体构成、三视图等题型训练逻辑推理，以方向角、齿轮角度计算等实例提升应用意识。分层设计与易错点拨帮助学生巩固基础、突破难点，也为教师提供结构化复习资源。六年级下学期学生处于小学到初中过渡阶段，需重点巩固几何基础概念，培养空间想象与逻辑推理能力，为后续数学学习奠定基础。

专题05 几何图形初步 六年级数学下学期 期末复习大串讲 人教版五四制 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 常见几何体 掌握常见几何体的形状与特征 基础考点，一般在小题考查 几何体中的点、棱、面 掌握几何体中点、棱、面的关系 常考点，牢记公式，小题出现较多 从不同方向看几何体 掌握从不同方向看几何体的画法 必考点，一般会在大题考查，难度不大 几何体展开图的认识 认识几何体的展开图 基础考点，一般出现在小题中 由展开图计算几何体的表面积、体积 学会由展开图还原几何体，并根据展开图计算几何体的表面积、体积 重要考点，一般出现在解答题中 点、线、面、体四者之间关系 掌握点、线、面、体之间的关系 基础考点，一般在小题考查 截一个几何体 学会几何体的截取方式 重要考点，一般在小题考查 直线、射线、线段的联系与区别 掌握直线、射线、线段之间的联系与区别 必考点，一般在小题考查 直线相交的交点个数问题 掌握直线相交的交点个数问题，牢记公式 基础考点，考查频次不高，一般出现在小题中 尺规作线段 掌握尺规作线段的方法 必考点，一般出现在解答题中 线段的和与差 掌握线段和差的计算 必考点，一般出现在解答题中 线段中点计算 掌握线段中点的计算，牢记中点公式 必考点，一般出现在解答题中 两点间的距离 学会找出两点间的距离并表示 常考点，所有题型均会考查 角的相关概念 理解并掌握角的基础概念 必考点，一般出现在小题中 方向角 掌握方向角的表示和计算 常考点，一般出现在小题中 角的单位与计算 掌握角的单位制并会进行角度的计算 必考点，一般出现在解答题中 角平分线计算 掌握角平分线的表示，并会角平分线的度数计算 必考点，一般出现在小题中 余角和补角计算 掌握余角与补角的概念，并会进行余角和补角关联的角度计算 必考点，一般出现在小题中 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 知识点01 几何图形 1.简单几何体的分类： 知识点01 几何图形 圆柱的侧面展开图是长方形， 正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 圆锥的侧面展开图是扇形， 2.点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的 面与面相交构成线 线与线相交构成点 点动成线 线动成面 面动成体 平面 曲面 面 直线 曲线 线 点、线、面的关系 3.图形的展开与折叠 4.常见立体图形的平面展开图 5.三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 知识点01 几何图形 知识点02 直线、射线、线段 【概念】把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线. 【特征】直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量. 【性质】直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线． 简单说成：两点确定一条直线. 【概念】直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点. 【特征】是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长，可以向一个方向无限延伸. 1.直线的相关概念： 2.射线的相关概念： 【概念】 直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点. 【特征】 有两个端点，有长度，无方向. 【性质】 线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短． 简记为：两点之间，线段最短. 知识点02 直线、射线、线段 3.线段的相关概念： 4.线段、射线、直线的区别与联系   线段 射线 直线 图形       表示方法 线段AB或线段BA 或线段a 射线AB或射线a 直线AB或直线BA 或直线a 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线 知识点02 直线、射线、线段 知识点03 线段的画法及长短比较 【概念】在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 3.线段长短的比较 （1）度量法（2）叠合法 1.尺规作图 2.画一条线段等于已知线段 （1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段； （2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于已知线段. 知识点04 线段的中点 如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫作这条线段的中点. 1.中点定义 2.几何语言 ∵点C是线段AB的中点 ∴AC=BC= AB ∴点C是线段AB的中点 ∵AC=BC= AB 知识点05 角的相关概念 【静态定义】 公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 1.角的定义 【动态定义】 角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部． 顶点 边 边 2.角的表示方法 知识点05 角的相关概念 表示方法 图例 记法 适用范围 用三个大写字母表示   ∠AOB 或∠BOA 任何情况下都适用，表示顶点的字母要写在中间 用一个大写字母表示   ∠O 当以某一字母表示的点为顶点的角只有一个时，可用这个顶点的字母来表示 用数字表示   ∠1 在角的内部靠近顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母，任何情况下都适用 用希腊字母表示    ∠a 【注意】在初中阶段，若没有特殊说明，默认的角都是小于平角的角. 知识点05 角的相关概念 1.角的度量单位和换算 常用的角的度量单位 度 把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1° 分 把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1′； 秒 把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1″. 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360° 1平角＝2直角＝180° 角的换算： 知识点05 角的相关概念 3.角的度量方法： 最常用的度量角的工具是量角器，用量角器度量角时要注意三点： （1）对中（2）重合（3）读数 4.比较角的大小 （1）度量法（2）叠合法 5.方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角． 图中射线OA的方向是北偏东60°； 图中射线OB的方向是南偏西30°． 示例 O 北 东 A 3 这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角. 知识点06 角 的 画 法 1.用量角器画： 用量角器可以画出大小在0°到180°之间的任何角. 画角时，先画一条射线，然后让射线与量角器的0°线重合， 射线端点与量角器中心重合， 在画角处画一个点，再过射线端点和这个点画一条射线，即可得到所要的角. 2.用三角尺画： 一副三角尺有30°，45°，60°，90°的角， 能用三角尺画15°的整数倍的角. 知识点06 角的画法 （1）如图1所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； （2）画一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’； （3）以点C’为圆心，CD长为半径画弧，交前一个弧于点D’； （4）过点D’画射线O’B’，则∠A’O’B’就是与∠AOB相等的角. 3.用圆规和直尺作一个角等于已知角 知识点07 角的平分线 射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC就叫做这个角的角平分线. 【注意】（1）角的平分线是一条射线，不是线段或直线. （2）如果一条射线是某一个角的平分线，那么这条射线必定在该角的内部. 1.角平分线定义 2.几何语言 ∴OC是∠AOB的平分线 ∵∠AOC=∠BOC= ∠AOB ∵OC是∠AOB的平分线 ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB 知识点08 余角和补角 【余角概念】一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角. 【补角概念】如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角. 1.余角与补角定义 （1）余角的性质：同角（等角）的余角相等； （2）补角的性质：同角（等角）的补角相等； （3）如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角. 1.余角与补角性质 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 易｜错｜点｜拨 题型一 常见几何体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线； 面与面相交构成线，线与线相交构成点， 点动成线、线动成面、面动成体； 题型一 常见几何体 【典例1】（24-25七年级上•江苏常州•期末）下列四个几何体中，圆锥是（ ） A． B． C． D． 解:下列四个几何体中，圆锥是： C 题型一 常见几何体 【变式1】（24-25七年级上•四川•期末）如图所示的几何体，下列说法正确的是（ ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 解：由题意得，该几何体是三棱柱， 侧面都是长方形，底面是三角形，且共有3条侧棱， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意， C 题型一 常见几何体 【变式2】（24-25七年级上·湖南怀化·期末） 下列图形中，是柱体的有 ．（填序号） ② ③ ⑥ 【变式3】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（　　） A．③⑤⑥ B．①②③ C．①③⑥ D．④⑤ A 易｜错｜点｜拨 题型二 组合几何体的构成 组合几何体的构成，重点要了解几何体的构成，分析清楚组合体的位置关系，尤其要注意的错误是隐藏位置是否有几何体的存在； 题型二 组合几何体的构成 【典例1】（24-25七年级上•山东青岛•单元测试）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（ ）． A． B． C． D． 解：由长方体和第三部分所对应的几何体可知，第三部分所对应的几何体上面有二个正方体，下面有二个正方体，并且与选项C相符． C 题型二 组合几何体的构成 【变式1】（25-26六年级上•山东烟台•期末）分类讨论是一种分析问题、解决问题 的重要策略，如图是由 个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是 ． 解：该大正方体中包含棱长分别为1 ，2 ，3 共 种不同的正方体， 其中： 棱长是1 的正方体有： （个）， 棱长是 2的正方体有： （个）， 棱长是3 的正方体有： （个）， （个）， 该大正方体中包含36 个正方体， 36 题型二 组合几何体的构成 【变式2】（24-25六年级上·山东泰安·期末）在墙角用若干个棱长为1cm 的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为 cm³． 解：由图可知，第1层有1个，第二层有3个，第三层有6个，共10个小正方体， ∴此几何体的体积为 10×1×1×1=10cm³； 10 【变式3】（24-25七年级上·北京海淀·期末）如图，有一块表面刷了红漆的立方体，长为4cm ，宽为 5cm，高为3cm ，现在把它切分成边长为 1厘米的小正方体，能够切出两面刷了红漆的正方体有（ ） A．48 个 B．36 个 C．24 个 D．12 个 C 易｜错｜点｜拨 题型三 几何体中的点、棱、面 几何体中的点、棱、面，要注意的是三者之间的关系，牢记顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间满足关系式V + F - E = 2； 题型三 几何体中的点、棱、面 【典例1】（24-25七年级上•辽宁阜新•期末）一个棱柱共有12个顶点，则它的棱的条数为（ ） A．12条 B．16条 C．18条 D．24条 解：∵棱柱共有12个顶点， ∴棱柱上底面有6个顶点，棱柱下底面有6个顶点， ∴棱柱上底面和下底面各6条棱，侧棱有6条棱， ∴棱的条数为： 条． C 题型三 几何体中的点、棱、面 【变式1】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V) 、面数 (F) 、棱数(E) 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： （1）解：正二十面体的顶点数为20，面数为12，棱数为30 题型三 几何体中的点、棱、面 (2)你发现顶点数(V) 、面数 (F) 、棱数(E)之间存在的关系式是 . (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 . (4)某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， . 20 【变式1】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V) 、面数 (F) 、棱数(E) 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （3）解：由题意得： ， 解得 ； 题型三 几何体中的点、棱、面 (4)某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， . 【变式1】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V) 、面数 (F) 、棱数(E) 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （4）解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； ∴共有 条棱， 即，解得 ， ∴． 易｜错｜点｜拨 题型四 几何体的三视图 画三视图时，应注意： 主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等； 题型四 几何体的三视图 【典例1】（24-25七年级上•贵州贵阳•期末）如图，下列几何体由5个大小相同的正方体组成，从正面看到该几何体的形状图是（ ） A． B． C． D． 解：从正面看到该几何体的形状图是 D 题型四 几何体的三视图 【变式1】（24-25七年级上•贵州六盘水•期末）在综合与实践课上，小颖和同学们在平整的桌面上用大小形状完全相同的若干个小正方体搭建成如图所示的几何体．在这个活动过程中，他们发现并提出了一些数学问题，请帮他们解答． (1)请在方格纸中画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图； (2)按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共有 个． 题型四 几何体的三视图 【变式1】（24-25七年级上•贵州六盘水•期末）在综合与实践课上，小颖和同学们在平整的桌面上用大小形状完全相同的若干个小正方体搭建成如图所示的几何体．在这个活动过程中，他们发现并提出了一些数学问题，请帮他们解答． (2)按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共有 个． （2）根据题意可得， 第1层小正方体的个数为1个， 第2层小正方体的个数为 个， 第3层小正方体的个数为 个， 第4层小正方体的个数为 个， …… 按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共 （个） 39 题型四 几何体的三视图 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从它的正面和上面看到的形状图如图所示，若这个几何体最多由a 个小立方块组成，最少由b 个小立方块组成，则a+b= . 解：观察图形可知，这个几何体最多时，如图： 这个几何体最少时，如图（一种情况）： ∴ 易｜错｜点｜拨 要想掌握展开图相关问题，就要明确展开图与原几何体之间的对应关系，对于空间想象不足的学生可以通过画图的方式来进行解答； 题型五 展开图相关问题 题型五 展开图相关问题 【典例1】（24-25七年级上•河北张家口•期末）如图，胶辊沿从左到右的方向无滑动地滚动，将图案印在墙上，所给的四个图案（如图所示），正确的是（ ） A． B． C． D． 解：根据圆柱的侧面展开图可知， 胶辊滚出的图案是 C 题型五 展开图相关问题 【变式1】（24-25七年级下•福建厦门•期末）在数学实践活动课上，学习小组将一张长方形卡纸裁剪分割成五块，用其中一块作为底面，其余4块作为侧面，然后用胶水将这五块不重叠不留缝隙粘合在一起，恰好得到一个无盖的长方体纸盒，如图1所示．已知长方形卡纸的长为 ，宽为． (1)小明的裁剪分割方法：先在卡纸上裁剪出一个边长为 的正方形作为纸盒的底，再将剩余部分裁剪出4个长方形作为纸盒侧面，请在图2中，画出裁剪的示意图并求出该长方体纸盒的高； (2)请在图3中，再画出一种不同于小明的裁剪方法，并求出按你的裁剪方法做成的无盖长方体纸盒的高． 题型五 展开图相关问题 【变式1】（24-25七年级下•福建厦门•期末）在数学实践活动课上，学习小组将一张长方形卡纸裁剪分割成五块，用其中一块作为底面，其余4块作为侧面，然后用胶水将这五块不重叠不留缝隙粘合在一起，恰好得到一个无盖的长方体纸盒，如图1所示．已知长方形卡纸的长为 ，宽为． (1)小明的裁剪分割方法：先在卡纸上裁剪出一个边长为 的正方形作为纸盒的底，再将剩余部分裁剪出4个长方形作为纸盒侧面，请在图2中，画出裁剪的示意图并求出该长方体纸盒的高； （1）解： ， ∴该长方体纸盒的高为 ； 裁剪的示意图： 44 题型五 展开图相关问题 【变式1】（24-25七年级下•福建厦门•期末）在数学实践活动课上，学习小组将一张长方形卡纸裁剪分割成五块，用其中一块作为底面，其余4块作为侧面，然后用胶水将这五块不重叠不留缝隙粘合在一起，恰好得到一个无盖的长方体纸盒，如图1所示．已知长方形卡纸的长为 ，宽为． (2)请在图3中，再画出一种不同于小明的裁剪方法，并求出按你的裁剪方法做成的无盖长方体纸盒的高． （2）解： 先在卡纸上裁剪出一个宽为3厘米，长为6厘米的长方体作为底， 再将剩余部分裁剪出4个长方形作为纸盒侧面，裁剪方法如图所示， ∴做成的无盖长方体纸盒的高为 ； 底 45 易｜错｜点｜拨 牢记几何体的表面积、体积的计算公式，同时要审清题意，看看计算的结果是否符合要求； 题型六 由展开图计算几何体的表面积、体积 题型六 由展开图计算几何体的表面积、体积 【典例1】（24-25七年级上•山东济宁•期末）如图所示的长方形（长为14，宽为8）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的表面积为 ． 解；∵得到的长方体底面为正方形， ∴底面正方形的边长为 ， ∴长方体箱子的表面积为： ． 题型六 由展开图计算几何体的表面积、体积 【变式1】（24-25六年级上·山东济南·期末）如图是一个食品包装盒的表面展开图． (1)该包装盒的几何体名称是 ； (2)根据图中所标尺寸，用a、b表示这个几何体的表面积S，并计算当 a=1、b=4时，S的值． 长方体 由题意得 当 a=1、b=4时 题型六 由展开图计算几何体的表面积、体积 【变式2】（24-25七年级上•广东东莞•期末）某长方体包装盒的平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴部分（单位：厘米）． (1)求长方体包装盒的容积和表面积．（用含x，y的式子表示） (2)若内部粘贴部分的面积占长方体表面纸板面积的 ，则当 ， 时，制作这样一个长方体包装盒共需要多少平方厘米纸板？ （ 1）解：由题意得： 该长方体的长为厘米，宽为厘米，高为10厘米， 则长方体包装盒的体积为：V= 立方厘米． 长方体包装盒的表面积为：S表面积= 平方厘米. 题型六 由展开图计算几何体的表面积、体积 【变式2】（24-25七年级上•广东东莞•期末）某长方体包装盒的平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴部分（单位：厘米）． (2)若内部粘贴部分的面积占长方体表面纸板面积的 ，则当 ， 时，制作这样一个长方体包装盒共需要多少平方厘米纸板？ （2）解： 由（1）得 S表面积= 𝟐(𝒙𝒚+𝟏𝟎𝒙+𝟏𝟎𝒚) 平方厘米. 又 ∵内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的 ， ∴制作这样一个长方体共需要纸板的面积为： S纸板= （平方厘米） ∵ ， ∴S纸板= （平方厘米）． 答：制作这样一个长方体共需要纸板440平方厘米． 题型七 点、线、面、体四者之间的关系 【典例1】（24-25七年级上•河南郑州•期末）生活中有下列现象，其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象是（ ） A．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上 B．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线 C．把弯曲的河道改直，可以缩短航程 D．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 解：A.打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上，利用了“经过两点有且只有一条直线”，故该选项不符合题意； B.木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，利用了“经过两点有且只有一条直线”，故该选项不符合题意； C.把弯曲的河道改直，可以缩短航程，利用了“两点之间线段最短”，故该选项符合题意； D.把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，利用了“点动成线”， 故该选项不符合题意； C 题型七 点、线、面、体四者之间的关系 【变式1】（24-25七年级上•江西南昌•期末）如图，观察图1和表中对应数值，探究计数的方法并作答． 图 1 2 3 4 顶点数m 4 7 8   边数n 6 9     区域数f 3       (1)数一数，每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出多少区域，完成下表： 根据表中的数值，写出平面图的边数 n、顶点数 m和区域数f 之间的一种关系： ． (2)如果一个平面图有17个顶点和10个区域，那么利用（1）中得出的关系，则这个平面图有______条边． 3 12 5 10  15 6 题型七 点、线、面、体四者之间的关系 【变式1】（24-25七年级上•江西南昌•期末）如图，观察图1和表中对应数值，探究计数的方法并作答． (2)如果一个平面图有17个顶点和10个区域，那么利用（1）中得出的关系，则这个平面图有______条边． 平面图的边数 n、顶点数 m和区域数f 之间的关系： ． （2）解： ∵一个平面图有17个顶点和10个区域， ∴， 代入 中，得： ， 解得：， ∴这个平面图有26条边， 26 易｜错｜点｜拨 常见几何体的截面要记住不同几何体在不同角度和方向下被平面所截，所得到的截面的形状各不相同。 题型八 截一个几何体 题型八 截一个几何体 【典例1】（24-25七年级上•辽宁丹东•期末）用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有（ ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 解：用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球， 截面可能是三角形的几何体有四棱柱、圆锥、五棱柱，共有3个， A 【变式1】（24-25七年级上·北京海淀·期末）用一个平面去截一个正方体，所得的截面的形状不可能是 ．（填序号） ① ③ ④ ⑦ ⑨ ⑧ ⑨ 解：当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形， 当截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形， 当截面为五边形时，不可能出现正五边形，当截面为六边形时，可能出现正六边形． 题型八 截一个几何体 【变式2】（24-25七年级上•重庆•期末）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)结合图形和表格填空：   面数(f ) 顶点数(v) 棱数（e） 图1 7 a 14 图2 b 8 12 图3 7 10 c ______， ______， ______； (3)任意一个多面体都满足（2）中的关系吗？以一种你熟悉，且与图1至图3不同的多面体来验证你的猜想，写出简要的验证过程． (2)猜想 之间的关系式； （2）解：根据图1得： ， 根据图2得： ， 根据图3得： ， 由此猜想 三个数量间为 ． 题型八 截一个几何体 【变式2】（24-25七年级上•重庆•期末）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． (3)任意一个多面体都满足（2）中的关系吗？以一种你熟悉，且与图1至图3不同的多面体来验证你的猜想，写出简要的验证过程． 由此猜想 三个数量间为 3）解：任意一个多面体都满足（2）中的关系．验证过程： 如图所示的多面体：面数 ，顶点数 ，棱数， 满足． 易｜错｜点｜拨 题型九 直线、射线、线段的联系与区别 射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线； 区别的话可以从图形、表示方法、端点个数、延伸情况和度量情况来分析； 题型九 直线、射线、线段的联系与区别 【典例1】（24-25六年级下•山东威海•期末） 下列图示中，直线表示方法正确的有（ ） A．①②③④ B．①② C．②④ D．①④ 解： 用两个点表示直线时，这两个点必须是大写字母，故②③错误，①正确； 用一个字母表示直线时，这个字母必须是小写，且不要在直线上标点，故④正确， 综上，直线表示方法正确的有①④， D 59 题型九 直线、射线、线段的联系与区别 【变式1】（24-25七年级上•河南郑州•期末）如图，下列说法错误的是（ ） A．图中共有10条线段 B．射线与射线是同一条射线 C．点P在直线外 D． 解：A、图中的线段有： 共10条线段，不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，符合题意； C、点P在直线外, 不符合题意； D、由两点之间线段最短可得，，不符合题意； B 题型九 直线、射线、线段的联系与区别 【变式2】（24-25七年级上·山西晋中·期末） 下列说法与下图的几何图形相符的是（   ） A．点D 在直线 n上 B．射线 OD与射线 DO为同一条射线 C．直线AC 与直线 n为同一条直线 D．∠AOB 也可以表示为∠ O C 在直线 m上 射线有方向 角的顶点对对多个角时，不能用一个顶点字母表示角 易｜错｜点｜拨 题型十 直线相交的交点个数问题 直线相交的交点个数公式： 题型十 直线相交的交点个数问题 【典例1】平面内两两相交的6条直线，交点个数最少为m个，最多为n个，则等于（ ） A．12 B．16 C．20 D．22 解：当六条直线相交于一点时，交点最少，则 当任意两条直线相交都产生一个交点时交点最多， ∵且任意三条直线不过同一点 ∴此时交点为： ∴ ∴ 题型十 直线相交的交点个数问题 【变式1】（24-25七年级上•福建漳州•期末）如图，在同一平面内，我们把两条 直线相交的交点个数记为 ，三条直线两两相交最多交点个数记为 ，四条直线两两相交最多交点个数记为 条直线两两相交最多交点个数记为 ，则用含n的代数式表示 为（ ） A． B． C． D． B 解：两条直线相交有1个交点，即 ， 三条直线相交最多有 个交点，即 ， 四条直线相交最多有 个交点，即 ， 以此类推， 条直线相交，最多有 个交点， 即， ∴ 易｜错｜点｜拨 题型十一 尺规作线段 画一条线段等于已知线段 （1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段； （2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于已知线段. 题型十一 尺规作线段 【典例1】（24-25七年级上•陕西汉中•期末） 如图，平面上有A、B、C、D四个点，根据下列语句画出图形： (1)连接； (2)用尺规在线段上作一条线段， 使得． （不写作法，保留作图痕迹） （1）解：如图所示，线段即为所求图形； （2）解：如图所示，以点A为圆心，以为半径画弧，交于点，得， ∴． 题型十一 尺规作线段 【变式1】（25-26七年级上•全国•期末）如图，线段 ． (1)反向延长线段 到点C，使 ； (2)在所画图中，设D是的中点，E是的中点，求的长． （1）解：如图所示： C （2）解：∵ ，由（1）知 ∴， ∵D是的中点，E是的中点， ∵ ， ， ∴ ． 如图所示： 易｜错｜点｜拨 题型十二 线段的和与差 线段的和差计算， 要理解线段的和差表示方法； 【典例1】（24-25七年级上•重庆秀山•期末）三点在同一直线上，线段， ，那么、两点的距离是( ) A． B． C． 或 D．以上答案都不对 题型十二 线段的和与差 解：①如图，当点C在的延长线上时， ∵， ， ∴、两点的距离是； C ②如图，当点C在线段的延长线上时， ∵， ， ∴、两点的距离是； 综上所述：、两点的距离是： 或 ， 题型十二 线段的和与差 【变式1】（24-25七年级上•江西赣州•期末）如图，点分别是线段上两点()，用圆规在线段上截取，若点与点恰好重合， ，则 ． 解：∵，点与点恰好重合， ∴， ∴． 4 题型十二 线段的和与差 【变式2】（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是-20 ，-12 ，8． (1)填空：AB= 　 　，BC= 　 　； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．试探索：BC-AB 的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． （1）解：由图象可知： （2）解：设运动时间为t秒，则t秒后点A表示的数是-20-t ，点B表示的数是-12+2t ，点C表示的数是 8+5t， ∴ BC-AB的值与时间t无关 BC-AB的值不随时间的变化而变化 易｜错｜点｜拨 题型十三 线段中点的有关计算 记住中点公式： 题型十三 线段中点的有关计算 【典例1】（24-25七年级上•辽宁抚顺•期末）如图，线段被点C，D分成 三部分，M，N分别是的中点，若 ，则的值为（ ） A． B． C． D． 解：由题意，设， ∵M，N分别是的中点， ∴， ∵， ∴ ， 解得： ，∴ ； D 题型十三 线段中点的有关计算 【变式1】（24-25七年级上•山东济宁•期末）三点在同一条直线上，且线段 ，点为线段的中点，线段 ，点为线段的中点，则线段的长为 ． 解：①点在线段上时， 点为线段的中点， 点为线段的中点， ， ， ， ②点在线段的延长线上时， 3 或6 点为线段的中点， 点为线段的中点， ， 易｜错｜点｜拨 题型十四 与线段有关的动点问题 线段的动点问题，要学会用含t的代数式表示各个线段长，最后根据数量关系列出方程求解； 【典例1】（24-25七年级上•陕西西安•期末）如图，线段 ，动点P从A出发，以 的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ） ①运动 后， ； ②在点P运动过程中， 值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为 ． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 题型十四 与线段有关的动点问题 解：运动 后， ， ∵为的中点，为的中点， ∴ ， ∴ ，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴ ， ∴， ∴ 的值不变，故②错误； ， ∴ ， 解得： ，故③正确； D 【变式1】（24-25七年级上•天津•期末）如图，线段 ，动点从点出发，以2个单位/秒的速度沿射线运动，为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当点在线段上运动时，试说明为定值； (3)当点在延长线上运动，为的中点时，有下列两个结论： ①的长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． 题型十四 与线段有关的动点问题 （1）解：设出发x秒后， 当点P在点B左边时，， 由题意得， ， 解得： ； 当点P在点B右边时，， 由题意得： ，方程无解； 综上可得：出发6秒后． 【变式1】（24-25七年级上•天津•期末）如图，线段 ，动点从点出发，以2个单位/秒的速度沿射线运动，为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当点在线段上运动时，试说明为定值； (3)当点在延长线上运动，为的中点时，有下列两个结论： ①的长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． 题型十四 与线段有关的动点问题 （2）解：由（1）知 ， ； （3）解：选 ；由（1）知 ， （定值）； （变化） ． 题型十五 两点间的距离 【典例1】（24-25七年级上•山西忻州•期末）已知线段 ，点是直线上一点， ，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（ ） A． B． 或 C． D． 或 解： 是的中点，是的中点， 如图，当点在线段上时， ， ， 当点在线段的延长线上时， ， ， 综上所述，线段的长度是 题型十五 两点间的距离 【变式1】（24-25六年级下•山东泰安•期末） 如图，一条线段 ，点分别是的中点，且 ，则线段的长为（ ） ． A． 8 B．9 C． 10 D． 11 解：∵ ， 可设， ∵点分别是的中点， ∴， ∴ ， A 又∵ ， ∴ ，解得 ， ∴， 即线段的长为 ． 易｜错｜点｜拨 角的度量单位： 度、分、秒是常用的角的度量单位， 题型十六 角的相关概念 题型十六 角的相关概念 【典例1】（24-25七年级上•黑龙江佳木斯•期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． B 题型十六 角的相关概念 【变式1】（24-25七年级上•湖南衡阳•期末）在锐角 内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出 个锐角． 解： ∵在锐角内部，画1条射线， 可得 个锐角， 在锐角内部，画2条射线， 可得 个锐角， 在锐角 内部，画3条射线， 可得 个锐角， …… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是： ∴画2020条不同的射线，可得锐角： 2043231 易｜错｜点｜拨 角的三种画法： 1.用量角器画：用量角器可以画出大小在0°到180°之间的任何角. 画角时，先画一条射线，然后让射线与量角器的0°线重合，射线端点与量角器中心重合，在画角处画一个点，再过射线端点和这个点画一条射线，即可得到所要的角. 2.用三角尺画：一副三角尺有30°，45°，60°，90°的角，能用三角尺画15°的整数倍的角. 3.用圆规和直尺作一个角等于已知角 题型十七 尺规作角 84 题型十七 尺规作角 【典例1】（24-25七年级上•山东德州•期末） 如图，点C在的边上， (1)选择合适的画图工具按要求画图． ①反向延长射线，得到射线； ②画 的角平分线； ③在射线上截取； ④在射线上作一点P，使得最小； (2)写出你完成④的作图依据： ． 解：（1）如图，即为所求的图形； （2）因为两点之间线段最短，所以连结，与的交点P即为所求． 两点之间线段最短 85 题型十七 尺规作角 【变式1】（24-25七年级上•宁夏银川•期末）如图，点C 在 的边上，是 内部的一条射线． (1)在射线上取一点 D，使得（尺规作图）； (2)在射线上确定一点P ，使得最小； (3)写出你完成（2）的作图依据： ； (4)若 ，则______ °． 解：（1）如图所示，点D即为所求； D P （2）如图所示，连结CD交OE于P点，点P即为所求； 题型十七 尺规作角 【变式1】（24-25七年级上•宁夏银川•期末）如图，点C 在 的边上，是 内部的一条射线． (1)在射线上取一点 D，使得（尺规作图）； (2)在射线上确定一点P ，使得最小； (3)写出你完成（2）的作图依据： ； (4)若 ，则______ °． 解：（1）如图所示，点D即为所求； D P （2）如图所示，连结CD交OE于P点，点P即为所求； （3）解：∵ ∴当点C，P，D三点共线时，最小， ∴依据是两点之间，线段最短； 两点之间，线段最短 题型十七 尺规作角 【变式1】（24-25七年级上•宁夏银川•期末）如图，点C 在 的边上，是 内部的一条射线． (1)在射线上取一点 D，使得（尺规作图）； (2)在射线上确定一点P ，使得最小； (3)写出你完成（2）的作图依据： ； (4)若 ，则______ °． D P （4）解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ． 88 题型十八 方向角的计算 【典例1】（24-25六年级下•黑龙江哈尔滨•期末）有公共顶点的两条射线分别表示南偏东15°与北偏东25° ，则这两条射线组成的角的度数为（ ） A． B． C． D． 解：由题意，画出图形如下： 则这两条射线组成的角的度数为 ， A 【变式1】（24-25七年级上•吉林白城•期末）如图，的方向是北偏东 ，的方向是北偏西 ，是的平分线， ． (1)的方向是 ；(2)求的度数． 题型十八 方向角的计算 解：（1）如图， 由图知： ， ∵是 的角平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ 射线在北偏东 方向上； （2） ∵ ． ∴ ． 北偏东 易｜错｜点｜拨 1、在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行. 2、在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60. 题型十九 角度的四则运算 题型十九 角度的四则运算 【典例1】（24-25七年级上•宁夏石嘴山•期末）计算：． 解： ． 度与度、分与分、秒与秒分别相加减 逢60要进位 题型十九 角度的四则运算 【变式1】（24-25七年级上•河北邢台•期末）计算： (1)把 用度表示； (2) ． 解： （1） ， ∴ ． （2） ； 题型十九 角度的四则运算 【变式2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1) (2) （1） （2） 解： 题型二十 三角板中角度计算 【典例1】（24-25七年级上•陕西咸阳•期末）如图，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若 ，求 解：根据题意得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 题型二十 三角板中角度计算 【变式1】（24-25七年级上•辽宁沈阳•期末）【问题发现】 如图1所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点 O处． （1）① 与 的数量关系是__________． ② 与的数量关系是__________． 【问题拓展】 （3）如图3， ，绕点逆转动，在转动过程中和 有重合的部分，直接写出转动过程中 与的数量关系． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图2所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点 处． ① 和有怎样的数量关系？说明理由． ② 和有怎样的数量关系？说明理由． 题型二十 三角板中角度计算 【变式1】（24-25七年级上•辽宁沈阳•期末）【问题发现】 如图1所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点 O处． （1）① 与 的数量关系是 ． ② 与的数量关系是 ． 解（1）①∵ ， ∴ ， ∴ ， ②∵ ， ∴ ， 题型二十 三角板中角度计算 【变式1】（24-25七年级上•辽宁沈阳•期末）【问题发现】 如图1所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点 O处． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图2所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点 处． ① 和有怎样的数量关系？说明理由． ② 和有怎样的数量关系？说明理由． 解：（2）①∵ ， ∴ ， ∴ ； ②∵ ， ∴ ， ， ∴ ； 题型二十 三角板中角度计算 【变式1】（24-25七年级上•辽宁沈阳•期末）【问题发现】 如图1所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点 O处． 【问题拓展】 （3）如图3， ，绕点逆转动，在转动过程中和 有重合的部分，直接写出转动过程中 与的数量关系． （3）如图3所示，当在内部时， ∵ ， ∴ ； 如图4所示，当点在内部时， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 综上所述， ． 题型二十一 几何图形中角度计算 【典例1】（24-25七年级上•广东韶关•期末） 如图平分．则是（ ） A． B． C． D． 解∶∵ ， ∴ ， ∵平分， ∴ ， A 题型二十一 几何图形中角度计算 【变式1】（24-25七年级上•浙江金华•期末）如图，射线在 的内部， ． (1)求 的度数． (2)若另一条射线也在 的内部且满足，求 的度数． （1）解： ， ． （2）解： ， 当在内部时， ． 当在 内部时， ． 综上所述， 的度数为 或 ． 题型二十二 实际问题中角度计算 【典例1】如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若 ，则的度数为（ ） A． B． C． D． 解：依题意得， ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， 题型二十二 实际问题中角度计算 【变式1】（24-25七年级上•河南商丘•期末）“宋韵开封•菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西） 方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则 的度数为 ． 解：如图，根据题意： ， ∴ ， ∴ ， 1 2 3 题型二十二 实际问题中角度计算 【变式2】如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？ 解：∵一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为360°÷15=24°． ∵一个齿轮有22个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为360°÷22≈16.36°≈16°22′ ． ∴轮有15个齿时，相邻两齿中心线的夹角是24° ， 如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为16°22′ ． 易｜错｜点｜拨 角平分线问题，解决此问题关键要会设角的未知数，再用这个未知角去表示其他的角，再搭建关系式； 题型二十三 角平分线的有关计算 题型二十三 角平分线的有关计算 【典例1】（25-26七年级上•陕西西安•期末） 如图， ，平分． (1)求的度数．(2)若 ，求的度数． （1）解： ， ， ， ； （2） 平分 ． ． 题型二十三 角平分线的有关计算 【变式1】（24-25七年级上•江苏苏州•期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使 ，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图1 ，若三角板的直角边在射线上，则 ______ ； (2)绕点转动三角板， ①如图2 ，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究 与 之间的数量关系，并给出证明． （1）解： ∵ ， ， ∴ 题型二十三 角平分线的有关计算 【变式1】（24-25七年级上•江苏苏州•期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使 ，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (2)绕点转动三角板， ①如图2 ，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究 与 之间的数量关系，并给出证明． （2）解：①设 ， ∵恰好平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，∴平分； 题型二十三 角平分线的有关计算 【变式1】（24-25七年级上•江苏苏州•期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使 ，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (2)绕点转动三角板， ②在转动过程中，试探究 与 之间的数量关系，并给出证明． ②当在上方时， ． 证明：如图， ∵ ∴ ； 题型二十三 角平分线的有关计算 【变式1】（24-25七年级上•江苏苏州•期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使 ，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (2)绕点转动三角板， ②在转动过程中，试探究 与 之间的数量关系，并给出证明． ②当在下方且在下方时， ． 证明：如图， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ . 易｜错｜点｜拨 余角的性质：同角（等角）的余角相等； 补角的性质：同角（等角）的补角相等； 题型二十四 余角、补角有关的计算 【典例1】（24-25七年级上•湖南株洲•期末）如图，为直线上一点， 是的角平分线， 是直角 (1)图中与互余的角是 ； (2)是否平分，并说明理由． 题型二十四 余角、补角有关的计算 （1）解： ∵ ， 是 的角平分线， ∴ ， ∵ 是直角， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ 【典例1】（24-25七年级上•湖南株洲•期末）如图，为直线上一点， 是的角平分线， 是直角 (1)图中与互余的角是 ； (2)是否平分，并说明理由． 题型二十四 余角、补角有关的计算 （2）平分，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴平分 ． 题型二十四 余角、补角有关的计算 【变式1】（24-25七年级上•江西赣州•期末）以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注： ）． (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，且 ，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕逆时针转动到某个位置时，若在 的内部且恰好满足 ，且 度，求 的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分 ，请说明所在射线是 ∠𝐵𝑂𝐶的平分线． 题型二十四 余角、补角有关的计算 【变式1】（24-25七年级上•江西赣州•期末）以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注： ）． (2)如图②，将直角三角板绕逆时针转动到某个位置时，若在 的内部且恰好满足 ，且 度，求 的度数； (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，且 ，求的度数； （1）解：∵ ， ∴ ； （2）解：设，则 ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， 即 ， ∴ ； 题型二十四 余角、补角有关的计算 【变式1】（24-25七年级上•江西赣州•期末）以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注： ）． (3)如图③，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分 ，请说明所在射线是 ∠𝐵𝑂𝐶的平分线． （3）解： ∵ ， ∴ ， ∵平分 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 即所在射线是 的平分线． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练 1．（25-26七年级上·广东·期末）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（    ） B． D． A． C． 解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示： B 期末基础通关练 2．（25-26七年级上·河北唐山·期末）下列关于∠A 的结论中，正确的有（　　） ①若∠A＝53° ，则∠A 的余角数为 47°； ②若 ∠A＝105° 32′，则∠A 的补角度数为74°28′ ； ③若 ∠A与∠B 互余， ∠B 与 ∠C互补，则∠A＝ ∠C－90° ． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 解：①若 ∠A＝53°， 则∠A 的余角= 90°－53°=37° ，该选项不正确； ②若 ∠A＝105° 32′， 则∠A 的补角度数=180°－ 105° 32′＝ 74°28′ ，该选项正确； ③若 ∠A与∠B 互余， 则∠A＋∠B ＝90° ∴∠B ＝90°－∠A ∵∠B 与 ∠C互补，则∠B ＋∠C＝180° ∴∠C＝180°－∠B＝ 180°－（ 90°－∠A ）= 90°＋∠A， ∴∠A＝ ∠C－90°，该选项正确 B 期末基础通关练 4．若一个角的补角是它的余角的3 倍，则这个角的度数为 ． 3．（25-26七年级上·内蒙古·期末） . 解： 本题考查角的度、分、秒加法运算，掌握度分秒之间的60进制换算关系是解题关键．先将度与度相加，分与分相加，再以60为进制，把分化成度即可求解． 【分析】 解：设这个角的度数为 ， 则它的补角为 ，余角为 由题意得： 解得： 期末基础通关练 5．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图所示是一个正方体的展开图，它所有相对的面上两数互为相反数，则x的值为 ． 解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“x”与“4”是相对面， ∵所有相对的面上两数互为相反数， ∴ x＋4＝0 ， 解得：x＝－4 ． －4 期末基础通关练 6.（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段AC 、BC 的中点． (1)如图1所示，若C是线段 AB上一点，当AB=14 cm时；求线段MN 的长度 (2)如图2所示，若C为线段 AB延长线上的一点，则 MN与 AB有着怎样的数量关系？请你说明理由． 解（1）∵点M、N分别是线段AC 、BC 的中点 ∴， ∴ ∵ ∴ 期末基础通关练 6.（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段AC 、BC 的中点． (1)如图1所示，若C是线段 AB上一点，当AB=14 cm时；求线段MN 的长度 (2)如图2所示，若C为线段 AB延长线上的一点，则 MN与 AB有着怎样的数量关系？请你说明理由． （2）解： MN＝ AB ，理由如下： ∵点M、N分别是线段AB 、AC 的中点， ∴， ∴ ∵ ∴MN＝ AB 期末重难突破练 7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）将正方体的表面分别标上数字1，2，3，4，5，6，使它的任意两个相对面的数字之和均为7．将它沿某些棱剪开，得到的展开图正确的是（   ） B． D． A． C． 解：A、结合正方体的展开图，得出2,4 是相对面，1,6 是相对面，3,5 是相对面，则不满足任意两个相对面的数字之和均为7，故该选项不符合题意； B、结合正方体的展开图，得出3,4 是相对面，1,6 是相对面，2,5 是相对面，则满足任意两个相对面的数字之和均为7，故该选项符合题意； C、结合正方体的展开图特征，不符合展开图样子，故该选项不符合题意； D、结合正方体的展开图特征，得出6,4 是相对面，1,3 是相对面，2,5 是相对面，则不满足任意两个相对面的数字之和均为7 ，故该选项不符合题意； B 期末重难突破练 8．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣手工店周边还布局了体验工坊和奶茶店．如图，若把湘绣手工店记作点A ，在A 处观察体验工坊（记作点B ）时，点B 在点A 的北偏西 41°18′方向上，在 A处观察奶茶店（记作点 C）时， ∠BAC=90°，则奶茶店在湘绣手工店的（ ） A．南偏东49°42′ 方向上 B．北偏东49°42′ 方向上 C．东偏北49°42′ 方向上 D．北偏东 41°18′方向上 B 解：如图: 点B 在点A 的北偏西 41°18′方向上 ∵∠BAC=90°= ∴ ∴奶茶店在湘绣手工店的北偏东49°42′ 方向上 期末重难突破练 9．（24-25七年级上·山西运城·期末）用一些大小相同的小正方体搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，那么组成这个几何体的小正方体的块数至少为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 解： 从上面看有 5个正方形，最底层有5 个正方体， 从正面看可得第 2层最少有 2个正方体， 从正面看可得第3 层最少有1 个正方体， 该组合几何体最少有5+2+1=8 个正方体， 8 期末重难突破练 10．（24-25七年级上·吉林辽源·期末）已知， O是直线 AB上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠ BOC ． (1)如图①， ∠AOC=45° ，求∠DOE 的度数； (2)在图①， ∠AOC=，直接写出∠DOE 的度数；（用含 的代数式表示） (3)将图①中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究∠AOC 与 ∠DOE的度数之间的关系． （1）解：由已知得: ∵∠COD 是直角，OE 平分∠ BOC （2）解：由（1）得 ∴ 期末重难突破练 10．（24-25七年级上·吉林辽源·期末）已知， O是直线 AB上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠ BOC ． (1)如图①， ∠AOC=45° ，求∠DOE 的度数； (2)在图①， ∠AOC=，直接写出∠DOE 的度数；（用含 的代数式表示） (3)将图①中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究∠AOC 与 ∠DOE的度数之间的关系． （3）解： ∠AOC =2 ∠DOE，理由如下： ∵∠COD 是直角，OE 平分∠ BOC ∴ ∴ 期末综合拓展练 11．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，延长线段AB 至C使 BC=2AB，延长线段BA 至D使AD=3AB ，点E是线段 DB的中点，点F是线段 AC的中点，若 AB=6cm，则EF 的长度为（ ） A． 15cm B． 16cm C． 18cm D．20cm 解： ∵BC=2AB， AD=3AB AB=6cm ∴BC=2AB=12cm， AD=3AB=18cm ∴AC=AB+BC=18cm DB=AB+AD=24cm ∵点E是线段 DB的中点，点F是线段 AC的中点 ∴ ∴ A 期末综合拓展练 12．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，已知O 是直线AC 上一点， OB是一条射线， OD平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，2 ∠BOE= ∠EOC ， ∠DOE=70° ， ∠EOC= ． 解：设∠AOB 为x°，则∠BOC 为 （180-x）°， ∵OD平分∠AOB ∵2 ∠BOE= ∠EOC ∴ 解得 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $