12.2图形的旋转（题型专练）数学新教材青岛版八年级下册

**基本信息** 以图形旋转为核心，通过基础认知、要素计算到综合应用的三层递进设计，覆盖旋转概念、性质及多情境应用，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|生活实例识别、性质判断|选择题为主，如钟表旋转、紫荆花图案变换，强化概念认知| |进阶层|旋转中心/角确定、线段/角度计算|结合网格与坐标系，如网格中旋转中心找点、坐标系内旋转后坐标求解，提升空间观念| |综合层|规律探究、构造证明、最值问题|含2026次旋转规律、利用旋转构造等边三角形证明，发展推理能力与创新意识|

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.2.图形的旋转 A 基础达标题 题型一生活中的旋转 1.【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】C 4.【答案】C 题型二根据旋转的性质进行判断 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】C 题型三确定旋转中心 1.【答案】C 2.【答案】120 3.【答案】(1,1) 题型四求旋转角 1.【答案】20 2. 【详解】(1)解：如图，△AB,C即为所求； B2 (2)解：如图所示，点0即为所求，旋转角∠AOA2=90°，即a的度数为90° 1/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.【答案】 【答案】(1)1，-3)，(4-1)； (2)(0,-1),90° A. 【详解】解：：将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE, ABC≌ADE, .AC=AE. 又：CE=AE, .AC AE=CE, .△ACE是等边三角形， .∠CAE=60°， 5 【详解】(1)解：：三角板中∠B=45°，∠C=30°， ∠A0B=45°，∠C0D=60°， ·∠B0C=180°-∠A0B-∠C0D=180°-45°-60°=75°： (2)解：：△0AB以点O为旋转中心旋转到△OA'B的位置， ·∠A0B=LA'0B'=45°， :LC0D=60°，0B平分∠C0D, :∠C0B'=30°， :∠C0A'=∠A'0B'-∠C0B'=45°-30°=15°， ·∠A'0B=∠B0C-∠C0A'=75°-15°=60°， :∠A'0A=∠A0B+∠A'0B=45°+60°=105°， :当∠A'0A=105°时，OB平分∠C0D; 2/∠2 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：如图，当旋转角小于180°时， B :A'B'∥OD, ∠A'0A=∠A'=45°； 如图，当旋转角大于180°时， :A'B'∥OD, =A" ·∠A'0D=∠A'=45°， ·旋转角为180°+45°=225°， 综上所述，旋转角为45°或225°. 题型五根据旋转的性质求线段长 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】C 【详解】(1)解：由题意可知，旋转中心是点B,旋转角的度数为90°； (2)解：：△ABE逆时针旋转至CBF的位置，四边形ABCD为正方形， ∴.AE=CF=L,∠A=∠D=∠BCD=∠BCF=90°， ∴∠DCF=180°，即D,C,F三点共线 :正方形的边长为3， .AD =CD =3, .DE=AD-AE =2,DF CD+CF=4. 在Rt△DEF中，EF=VDE2+DF2=2√5. 题型六根据旋转的性质求角度 1.【答案】B 3/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.【答案】B 3. 【详解】(1)解：：点A的坐标为(-2,0)， A0=2, :等边△AOC, .∴.∠A0C=60°， :.△AOC沿x轴向右平移得到aOBD,平移的距离是2个单位长度； △AOC与△BOD关于直线对称，根据线段AB被y轴垂直平分可知，对称轴是y轴： △A0C绕原点0顺时针旋转得到△D0B,根据∠B0C=180°-∠A0C=120°可知，旋转角度可以是120°； 故答案为：2；y轴；120°： (2)解：由旋转，得0A=0D,∠A0D=120°. :△AOC为等边三角形， ∴.∠A0C=60°， ∠C0D=∠A0D-∠A0C=60°， .∠C0D=∠AOC. 又：0A=0D, OC⊥AD, ∠AE0=90°. 又 【详解】(1)解：：ABC是等边三角形， .∠ABC=60°. 将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBN. 所以旋转中心是B点，旋转方向是顺时针，旋转角为60°； 故答案为：B点，顺时针，60°： (2)解：由旋转的性质可知：△ABM≌△CBN,∠MBN=∠ABC=60°， 4/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B .BM=BN,∠AMB=∠CNB. :∠MBN=60°， ∴.△BMN是等边三角形， ∴.∠MNB=60°. :∠CNB=∠AMB=150°， ∴.∠MNC=∠CNB-∠MNB=90°. 题型七求旋转后点的坐标 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】0,2) B 能力提升题 题型一题型一 旋转中的探究规律题 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】(-2,0) 5.【答案】2024+675√5 题型二题型二网格中的旋转问题 1. 【详解】(1)解：：ABC经过平移后得到△AB,C,C(-1,1),C(1,-5), :平移方式为向右平移1-(-)=2个单位长度，向下平移1-（-5)=6个单位长度， :A-3,3),B-2,4), 5/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·4-3+2,3-6),B,-2+2,4-6),即A-1,-3),B(0,-2, 如图所示，△ABC即为所求； 4-3-2-10 12345 (2)解：如图所示，△A,B,C即为所求： -5-4-3-2-1012345 B 3引 (3)解：如图所示，旋转中心为点(4，-2). 5 -54-3-2102345 2 【详解】(1)解：如图，△AB,C即为所求； 6/22 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A OB) (2)解：如图，△A,B,C,即为所求； B C A A C2 (3)解：如图，点s即为所求，S(1.5,-1); (B) S、B2 A (4)解：由作图可得P(-2,0). 7/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 3 【详解】(1)解：如图，△AB,C即为所求，点B坐标为6,3，点C坐标为8,4)； 6 5 4 C 3 B 2 1 012345678910x (2)解：如图，BD即为所求 y 6 5 E 4 CL-- 3 2 G F A 012345 678910x 【详解】(1)解：如图所示，△ABC即为所求； C 61 B 5-4-3-2-1012345x 8/∠2 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：如图，△4，B,C2即为所求，A,的坐标为(4，-)； 5-4-3-2-101245x (3)解：如图，作点B关于y轴对称的点B,则B'(-1,1),连接AB,与y轴交点即为点P, .AP+BP=AP+B'P=AB', :两点之间线段最短， 此时AP+BP最小，即为AB'=V3+12+(4-12=5. 4 3 B 5-4-3-2-10 12345 -3 S/ 5. 【详解】(1)解：△A,B,O如图所示： A B B B 9/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解： A,B,0如图所示； (3)解：如图，0C即为所求 题型三利用旋转构造特殊三角形或全等三角形 1.【答案】B 2. 【详解】(1)由题可知S边形cD=SE方形DEr=5=25. 故答案为25。 (2)如图，延长PC至D,取CD=1,连接AD. D :等边ABC中，∠BAC=60°，∠BPC=120°， B .∠BPC+∠BAC=180°， :四边形ABPC中，∠ABP+∠ACP=360°-180°=180°， :∠ABP=∠ACD=180°-∠ACP, 又：AB=AC,BP=CD, .△ABP2△ACD(SAS), ,AP=AP,∠BAP=∠CAP. :∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°， :∠CAD+∠PAC=60°， .△APD为等边三角形且PD=PC+CD=3+1=4, ×42=4V5 4 (3)如图，延长CD至DF=AB,连接EF、BE、CE. D :H B :AB=DF,AE=DE,∠BAE=∠FDE=90°， 丙 10/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AABE≌△DFE(SAS), :EB EF. CD+AB=CD+DF=4,BC=4, :CD+DF=CF=BC, ∴AEBC≌AEFC(SSS), 1 S五边形HcDE=S四边形BCFE=2S,ECr=2×)×4×6=24. 3. 【详解】(1)解：由旋转的性质可得∠ADB=∠APC=150°，PC=BD=4,AD=AP=3,∠DAP=60°， .△ADP为等边三角形， ∠ADP=60°，DP=AD=3, ∠BDP=150°-60°=90°， .PB=VDP2+BD2=V32+42=5; (2)解：如图2，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD,连接DP, D 图2 由旋转性质可知BD=PA=5,CD=CP=2√2，LPCD=90°， .△PCD是等腰直角三角形，PD=VCD2+CD2=4, ∴.∠CDP=∠CPD=45°， :∠BPC=135°， ∴∠DPB=135°-45°=90°， .PB=VBD2-PD2=V52-42=3; (3)解：如图所示，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得到△CBD',连接ED',作DH⊥BE于点H, E H 图3 由旋转的性质可得AD=BD'=4,CD=CD',LACD=∠BCD',LA=∠CBD', 11/∠2 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ACB=1209,∠DCE=60°， LECD'=LBCD'+LECB=LACD+LBCE=60°， ∴.∠ECD=LECD', 又：EC=EC, .△ECD≌△ECD'SAS), ∴DE=ED', .CA=CB,∠ACB=1209, .∠A=∠CBA=30°， ∴∠EBD'=∠ABC+∠CBD'=30°+30°=60°， 在RtaBHD'中，：BD'=4,∠BHD'=90°，∠BD'H=90°-60°=30°， :BH=1BD=2, 2 D'H=√D'B2-BH2=25,EH=5-2=3, ÷ED'=EH2+D'H2=32+25=21 .DE=√21. 题型四根据旋转的旋转进行证明 1. 【详解】(1)解：△ABD可以由△ACE绕点A逆时针旋转90°得到， :旋转中心是点A,旋转角是90°； (2)①解：BD⊥CE, 理由如下， 由旋转可知△ABD≌△ACE, .∠ABD=∠ACE, :∠BNM=∠ANC, :∠ABD+∠BNM=∠ACE+∠ANC, 在△ANC中，∠NAC=90°，∠ACE+∠ANC=90°， :LABD+∠BNM=∠ACE+∠ANC=90°， 在aBMN中，∠BMN=180°-（∠ABD+∠BNM）=180°-90°=90°， 12/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BD⊥CE; B MN E A ②证明：如下图所示，过点B作BP‖CE,交DF的延长线于点P, 则有∠PBF=LECF, :点F是BC的中点， :BF=CF, ∠PBF=∠ECF 在△BPF和△CEF中， BF=CF ∠BFP=∠CFE △BPF≌△CEF, :EF =PF,BP=CE :∠DAE=∠BAC, :∠DAE-LBAE=∠BAC-∠BAE, ∠BAD=∠CAE, AD=AE 在△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE, AB=AC △ABD≌△ACE, .∠ABD=LACE,BD=CE, :BD BP, ∠BDP=∠P, :ZABD+/CBP ZACE+ZBCE ACB, :∠DBP=∠ABD+∠ABC+∠CBP=∠ABC+∠ACB=90°， ∠BDP=∠P=45°， :∠BDP=∠AED=45°， ∴.BDI AE. 13/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E 2. 【详解】(1)解：证明如下： :边CA绕点C旋转到CE的位置， .CA=CE, :∠ECA=∠DCB, :∠ECA+∠ACD=∠DCB+∠ACD, .∠ACB=∠ECD, 在△ECD和△ACB中， BC=DC ∠ACB=∠ECD, CA=CE :△ECD≌△ACB(SAS), :AB=ED. (2)解：：aECD≌aACB, .∠E=∠A=10°， BC=DC, ∠B=∠CDB=70°， :∠CDB=∠ACD+∠A, 70°=∠ACD+10°， .∠ACD=60°. 3. 【详解】(1)证明：将△ADM顺时针旋转90°，得到△ABE, 14/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D 45 M B 则AE=AM,BE=DM,∠EAM=90°.ABE=∠D=90°=LABC, 点E、B、C共线， :∠MAN=45°， :.∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN. 在△EAN和△MAN中， AE=AM ∠EAN=∠MAN, AN=AN .△EAN≌△MAN (SAS. :EN M N EN BE +BN :M N DM BN (2)解：由(1)得，MN=DM+BN; :C.CMN MN +CM +CN=CM +DM +CN+BN BC+CD, :正方形的边长为4， .C.CMN =BC+CD=4+4=8 拓展培优题 题型一最值问题 1.【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】2 5.【答案】√5+3 15/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型二旋转综合题 1. 【详解】(1)解：EF=FC,EF⊥FC,理由如下， :∠ACB=90°，F是BD的中点， .FC-BD, :DE⊥AB, .∠DEB=90°， :EF=FC; AC=BC, ∠ABC=45°， :∠DEB=∠DCB=90°， :点B,C,D,E在以F为圆心，BD为直径的圆上， ∠EFC=2LEBC=90°， EF⊥FC; (2)解：成立，理由如下， 如图，取AB中点M,AD中点N,连接CM、FM、EN、NF, ∠AED=∠ACB=90°，AC=BC, :Ex=号4D,CM-4a :F是BD的中点， .FM是△ABD的中位线，NF是△ABD的中位线， FM=方4D,=CM=54B, .NE=FM,由旋转得∠DAE=∠CAB=45°， ∠ADE=∠DAE=45°， LEND=90°=∠ENF+∠DNF, :CM⊥AB, :∠CMB=90°=∠FMC+∠BMF, :MF‖AD,NF II AB, 1b/∠2 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BMF=∠DAB,LDNF=LDAB, .∠ENF=∠FMC, ∴△ENF≌△FMC(SAS, .EF=FC,LMCF=∠NFE, CM⊥AB,NF I AB, CM⊥NF, .∠MCF+∠CFN=90°， :∠CFN+∠NFE=90°， EF⊥FC; C M E (3)解：如图，取AB中点M,AD中点N,BD中点F,作DG⊥AB,连接CM、FM、EN、NF, FM=4D,BN=4D,CM=F=B,CI⊥A8,EY1MD,FW∥AD,NF∥A, ∠CMB=∠END=90°，∠BMF=∠BAD,∠FND=∠BAD, ∠BMF=∠FND, :∠CMB+∠BMF=∠END+∠FND,即∠CMF=∠FNE, △CMF≌aFNE(SAS), EF=FC,∠MCF=∠NFE, :CM⊥AB,NF I AB, CM⊥NF, .∠MCF+∠CFN=90°， :.∠CFN+∠NFE=90°， 由旋转得∠BAD=75°-∠CAB=30°， :BD⊥BC, ∠ABD=90°-∠ABC=45°， :DG=BG, 17/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设DG=BG=x,则AG=V3x,BD=√x, AB=√2AC=4V2, :.AG+BG=42,x+x=42, x=2√6-22， BD=4V3-4, ·.BF=1BD=25-2, 2 FC2=BF2+BC2=32-8V5, SBe=CF2=16-4W5. 2 〉B D 2. 【详解】(1)解：由旋转的性质可得，∠ACA为旋转角， 则∠ACA'=90°+∠ACB'=110°， 故答案为：110； (2)解：根据旋转的性质可得，∠B=∠A'B'C,BC=CB', ∠B=∠CB'B, :A'B'∥BC, .∠AB'A'=LB, 由题意可得，∠CB'B+∠CB'A'+∠A'B'A=180°，即3∠B=180°， 解得∠B=60°， ∠A=90°-60°=30°； (3)解：连接CP,如图： 18/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B C 由旋转的性质可得，BC=B'C=2,AC=A'C=4, 由勾股定理可得，A'B'=V22+4=25, :点P为AB的中点， 0p5, “点P在以C为圆心，以√5为半径的圆上运动， 从而得到BP的最大值为BC+CP=V5+2,BP的最小值为CP-BC=√5-2. 3. 【详解】(1)解：当CE在AC的右侧时，如图1，当△DCE绕点C顺时针旋转30°时，CE⊥AC,此时 △ACE的边AC上的高最大，最大值为CE的长， MB 图1 所以，此时△ACE面积最大. 因为，30÷3=10(s), 当CE在AC的左侧时，如图2，当△DCE绕点C顺时针旋转210°时，CE⊥AC,此时△ACE的边AC上的 高最大，最大值为CE的长， M B D E 图2 所以，此时△ACE面积最大. 19/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 因为，210÷3=70(s, 所以，当△ACE面积最大时，t=10或70. (2)解：如图3， D M B F 图3 :在Rt△ABC中，LBAC=60°，∠ABC=90°，AF平分∠BAC, .∠BAF=30°， ∠AFB=60°. 当DE∥AF时，设DE交直线MN于点G, ∴∠DGC=∠AFB=60°. ∠D=45°， .LDCG=180°-∠DGC-∠D=75°， .∠DCM=180°-∠DCG=105°. .3t=105, 解得1=35. 如图4： B 图4 当DE∥AF时，设DE交直线MN于点G, .∠AFB=LFGE=LE+LECG=60°. ∠E=45°， ∠ECG=15°， ∴∠DCG=∠DCE-∠ECG=75°， 20/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△DCE绕点C再旋转360°-75°=285°， .1=285÷3=95 综上所述，当t的值为35或95时，DE∥AF. (3)解：LPCg的度数为定值，∠PCQ=60°.理由如下： 当AC和DC重合时，如图5， D M B N 图5 则1+30=31，解得1=15， :CP平分∠BCD,CQ平分∠ACE, ·∠ACP= ∠ACB=15,∠DCQ=1∠DCE=450, :.∠PCQ=∠ACP+∠DCQ=60°； 当AC和DC重合前时，如图6， P D M 图6 由题意，可知旋转后∠BCM=1°，∠DCM=31°，∠ACE=60°+2t°，∠BCD=31°-t°=21°. :CP平分LBCD,CQ平分∠ACE, ∴.∠BCP=∠DCP=t°，∠ECQ=∠ACQ=30°+t°， ∴∠PCM=∠BCM+∠BCP=21°. :∠MCE=90°+31°， ∠PCQ=∠MCE-∠PCM-∠ECQ=90°+31°-21°-30°+1）=60°； 当AC和DC重合时，如图7， 21/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P M C 图7 由题意，可知旋转后∠BCM=1°，∠DCM=31°，∠ACE=60°+21°，∠BCD=31°-1°=21°. :CP平分∠BCD,CO平分∠ACE, :.∠BCP=∠DCP=t°，∠ECQ=∠ACQ=30°+t°， .∠PCM=∠BCM+∠BCP=21°. :∠MCE=90°+31°， ∴.∠PCQ=∠MCE-∠PCM-∠ECQ=90°+31°-21°-30°+1)=60°. 综上，∠PCQ=60°. 22/22 12.2图形的旋转 题型一  生活中的旋转  1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期末）香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 题型二 根据旋转的性质进行判断  1．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·天津红桥·一模）如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 题型三 确定旋转中心 1．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图在小正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 2．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在等边三角形网格中，将格点逆时针旋转，得到格点，则旋转角为______． 3．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点的坐标为，点的坐标为，线段绕某点旋转一个角度得到对应线段，点的对应点为点，其中点的坐标为，则这个旋转中心的坐标为__________． 题型四 求旋转角 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，已知，则旋转角 ______． 2．（2026·安徽合肥·二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转（）得到，请在图中画出旋转中心点，且的度数为______． 3．（25-26九年级上·广东湛江·期末）将经过平移后得到，若点的坐标为，在图中画出三角形． (1)顶点坐标为______，的坐标为______． (2)将绕点沿顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是______，旋转角的度数是______． 4．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，且，求旋转角的度数． 5．（21-22七年级下·甘肃庆阳·月考）如图①，我们把一副三角板如图摆放在一起，其中在一条直线上，，． (1)的度数； (2)如图②，将图①中的以点O为旋转中心旋转到的位置，当的度数为多少度时，平分； (3)如图③，两个三角尺的直角边摆放在同一条直线上，另一条直角边也在同一条直线上，将绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当时，旋转角的度数可能是______． 题型五 根据旋转的性质求线段长 1．（辽宁沈阳市沈北区2025—2026学年度下学期八年级联合阶段性数学学科质量诊断）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（   ） A．8 B． C． D． 2．（2026·天津南开·二模）如图，正方形绕点C逆时针旋转得到正方形，点B，A，D的对应点分别为G，F，E，连接．若，则边的长为（   ） A． B．2 C． D． 3．（2026年天津市和平区中考二模考试数学试题）如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（   ） A．2 B． C． D． 4．（25-26九年级下·河南安阳·月考）如图，是正方形的边上的一点，将逆时针旋转至的位置． (1)旋转中心是点 ，旋转角的度数为 ． (2)若正方形的边长为3，，求的长． 题型六 根据旋转的旋转求角度 1．（辽宁沈阳市沈北区2025—2026学年度下学期八年级联合阶段性数学学科质量诊断）如图，中，，，将绕着点逆时针旋转得到，点A、C的对应点分别为、，点恰好落在边上，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，绕点逆时针旋转，得到（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），点恰好落在边上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，等边经过平移或旋转都可以得到． (1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是______个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是_______；绕原点顺时针旋转得到，则旋转的角度是______； (2)连接，交于点，求的度数． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图， 是等边三角形，将 旋转一定角度后得到 连接． (1)旋转中心是 ，旋转方向是 （填顺时针或逆时针），旋转角度为 （取最小旋转角度）； (2)若求 的度数； 题型七 求旋转后点的坐标 1．（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，点的坐标为，点的坐标为，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，使点恰好落在上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）已知，将点绕点顺时针旋转至点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西长治·一模）如图，在等腰直角三角形中，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，且．将绕原点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）将绕原点旋转，再向右平移个单位长度得到点坐标为______． 题型一 旋转中的探究规律题   1．（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是等边三角形，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，，依此类推，则旋转次后得到的等边三角形的顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川绵阳·一模）如图，矩形中，点与轴正半轴的夹角为．若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2026秒时，矩形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是________． 5．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，中，，，点A与数轴上表示的点重合，将沿数轴正方向旋转一次使得点B落在数轴上，第二次旋转使得点C落在数轴上，依此类推，第2025次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是____________________ ． 题型二 网格中的旋转问题   1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 2．（25-26八年级下·四川·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标； (4)x轴上有，两点如图所示，若网格内x轴上有一点，使得，请直接写出点P的坐标． 3．（2026·安徽·模拟预测）如图，在边长都为的小正方形网格中，的顶点，，均在格点上，为平面直角坐标系的原点，点在轴上． (1)画出以点为旋转中心将顺时针旋转后得到的（点，的对应点分别为，），并写出点和点的坐标； (2)借助网格，利用无刻度直尺，过点作出的垂线，交于点． 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称后得到的； (2)请画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出的坐标______； (3)在轴上有一个动点，连接、，则最小值为______． 5．（2026·安徽池州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)画出向下平移2个单位，向左平移3个单位后所得的图形； (2)画出绕着O点顺时针旋转后所得的图形； (3)借助网格，利用无刻度直尺作出的角平分线． 题型三 利用旋转构造特殊三角形或全等三角形 1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 2．（23-24九年级上·广东汕头·期中）综合探究： (1)问题背景：如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．       请直接写出四边形 ABCD的面积； (2)类比迁移：如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积； (3)拓展延伸：如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 3．（2026·山东泰安·一模）阅读下面材料，解决下列问题： (1)【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系．即能求_____： (2)【学以致用】如图2，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长； (3)【能力拓展】如图3，等腰三角形中，，D、E是底边上的两点且，若，，求的长． 题型四 根据旋转的旋转进行证明 1．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，，在边的延长线上，在边上，，连接． (1)如图1，连接，，可以由通过逆时针旋转变换得到，请写出旋转中心及旋转角的大小． (2)将图1中的绕点旋转，连接，，如图2． ①探究与的位置关系，并说明理由； ②当直线经过的中点时，求证：． 2．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 3．（25-26八年级下·重庆綦江·期中）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且， (1)证明： (2)如果正方形的边长是4，求的周长． 题型一  最值问题 1．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）如图，点是直线上的一个动点，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，是边长为8的等边三角形，是射线上一动点（点在点的右侧），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，F为的中点，连接，在点运动的过程中，线段长度的最小值是__________．    4．（25-26九年级下·广东深圳·月考）如图，已知矩形，点N是边上一点，且，将矩形绕A顺时针旋转α（），得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G，连接．点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为____________________ ． 5．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，D、E分别为、上的动点，且，，P为内一点，连接、、、．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型二 1．（25-26九年级下·重庆永川·月考）如图，中，，，为射线上一点，过点作于点，是的中点． (1)如图1，与有何关系，并说明理由； (2)如图2，将绕点顺时针旋转，使点落在内部，判断（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明； (3)将绕点顺时针旋转，若，且，连接，请直接写出的面积． 2．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）将一副三角板按如图1所示放置在直线上，，，．若三角板固定不动，三角板绕点C以每秒顺时针旋转一周，旋转时间为． (1)当面积最大时，求t的值． (2)如图2，是的平分线，当t的值为____________时，． (3)若在三角板旋转的同时，三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.2图形的旋转 题型一  生活中的旋转  1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 【答案】A 【详解】解：A．钟表上的时针运动，属于旋转，符合题意； B．国旗上升的过程，属于平移，不符合题意； C．传输带运输的东西，属于平移，不符合题意； D．飞驰的火车沿轨道移动，属于平移，不符合题意． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题． 根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可． 【详解】∵ ①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转； ②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转； ③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转； ④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转． ∴ 属于旋转的是①和④． 故选：D． 3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期末）香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【答案】C 【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握旋转的概念． 根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转， 故选：C． 题型二 根据旋转的性质进行判断  1．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意逐项分析． 【详解】解：A、旋转前后图像全等，对应线段相等，即，选项说法正确，不符合题意； B、旋转前后图像全等，对应角相等，即，选项说法正确，不符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法错误，符合题意； D、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法正确，不符合题意． 2．（2026·天津红桥·一模）如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质及判定、平行线的判定逐一判断即可. 【详解】解：∵以为边向外作等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由旋转可知：， ∴C错误； ，， ∴即：三点共线， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴A错误； ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴B正确； ∵不一定相等， ∴不一定垂直于， ∴D错误. 3．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 题型三 确定旋转中心 1．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图在小正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】C 【分析】本题考查了旋转中心的定义，在平面内，图形绕某一点旋转时，该点到对应点的距离相等，因此旋转中心是对应点所连线段的垂直平分线的交点，分别连接两组对应点作其垂直平分线，确定两条垂直平分线的交点，该交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图：分别作线段和的垂直平分线， ， 由图可得，旋转中心为点， 故选：C． 2．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在等边三角形网格中，将格点逆时针旋转，得到格点，则旋转角为______． 【答案】120 【详解】解：利用等边三角形的对称性作和的垂直平分线，它们的交点为，则点为旋转中心， ∵网格为等边三角形网格， ∴， ∴旋转角为． 故答案为：120． 3．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点的坐标为，点的坐标为，线段绕某点旋转一个角度得到对应线段，点的对应点为点，其中点的坐标为，则这个旋转中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据的坐标建立平面直角坐标系，连接，利用网格分别作的垂直平分线，两垂直平分线相交于点，点即为所求． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，下图点即为所求，点坐标为． 题型四 求旋转角 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，已知，则旋转角 ______． 【答案】 【分析】先利用旋转的性质得到，，再利用四边形内角和计算出，然后利用互余计算出，从而得到的值． 【详解】解：矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·安徽合肥·二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转（）得到，请在图中画出旋转中心点，且的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案． （2）根据网格的特点作的垂直平分线的交点即为，旋转角，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求，旋转角，即的度数为 3．（25-26九年级上·广东湛江·期末）将经过平移后得到，若点的坐标为，在图中画出三角形． (1)顶点坐标为______，的坐标为______． (2)将绕点沿顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是______，旋转角的度数是______． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查了平移的性质和旋转的性质，能正确得出各个点的坐标是解答此题的关键． （1）根据点和点的坐标得出平移方式，再画出图形即可解答； （2）先作线段和的垂直平分线，得出交点即为旋转中心；根据勾股定理及其逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为， 又将经过平移后得到，点的坐标为，且，， 将先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的． ，， ，， 即，． 故答案为：，． （2）解：如图所示，连接，， 分别作线段和的垂直平分线，交点即为旋转中心， 由作图可知，旋转中心点的坐标是； 如图，连接，， 由勾股定理可得，，， ， ， 是直角三角形， ， 即旋转角的度数是． 故答案为：，． 4．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，且，求旋转角的度数． 【答案】 【分析】此题考查了图形的旋转、等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质证明是等边三角形，则，即可得到答案． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴≌， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴旋转角的度数为． 5．（21-22七年级下·甘肃庆阳·月考）如图①，我们把一副三角板如图摆放在一起，其中在一条直线上，，． (1)的度数； (2)如图②，将图①中的以点O为旋转中心旋转到的位置，当的度数为多少度时，平分； (3)如图③，两个三角尺的直角边摆放在同一条直线上，另一条直角边也在同一条直线上，将绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当时，旋转角的度数可能是______． 【答案】(1) (2)当时，平分； (3)或 【分析】（1）先求出，，再由平角的定义即可得解； （2）由旋转的性质可得，再由角的数量关系即可求解； （3）分为旋转角小于和大于两种情况，根据平行线的性质和角的数量关系即可求解． 【详解】（1）解：三角板中，， ，， ； （2）解：以点O为旋转中心旋转到的位置， ， ，平分， ， ， ， ， 当时，平分； （3）解：如图，当旋转角小于时， ， ； 如图，当旋转角大于时， ， ， 旋转角为， 综上所述，旋转角为或． 题型五 根据旋转的性质求线段长 1．（辽宁沈阳市沈北区2025—2026学年度下学期八年级联合阶段性数学学科质量诊断）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于点，由旋转可得，，，为等边三角形，垂直平分，根据勾股定理可得，，即可得的长． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵绕点逆时针旋转得到，，， ∴，，， ∴为等边三角形，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴． 2．（2026·天津南开·二模）如图，正方形绕点C逆时针旋转得到正方形，点B，A，D的对应点分别为G，F，E，连接．若，则边的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，易得为等边三角形，再利用勾股定理求． 【详解】解：连接， 由旋转可知，， 为等边三角形， ， 在正方形中，， 则，解得． 3．（2026年天津市和平区中考二模考试数学试题）如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由旋转性质得到相关边与角的等量关系，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理得出是直角三角形，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转性质可得，，，， ， 则， ，， ， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得． 4．（25-26九年级下·河南安阳·月考）如图，是正方形的边上的一点，将逆时针旋转至的位置． (1)旋转中心是点 ，旋转角的度数为 ． (2)若正方形的边长为3，，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据旋转的定义填写即可； （2）先判定三点共线，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，旋转中心是点，旋转角的度数为； （2）解：∵逆时针旋转至的位置，四边形为正方形， ∴， ∴，即三点共线． ∵正方形的边长为3， ∴， ∴． 在中，． 题型六 根据旋转的性质求角度 1．（辽宁沈阳市沈北区2025—2026学年度下学期八年级联合阶段性数学学科质量诊断）如图，中，，，将绕着点逆时针旋转得到，点A、C的对应点分别为、，点恰好落在边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形的性质求出等腰两个底角的度数，再根据旋转的性质，结合等边对等角求出，进而可求出的度数，问题随之得解． 【详解】解：∵中，，， ∴， 根据旋转的性质有：， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，绕点逆时针旋转，得到（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），点恰好落在边上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由平行四边形的性质求出，再由旋转可得，然后利用等边对等角以及平角的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 由旋转可得， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，等边经过平移或旋转都可以得到． (1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是______个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是_______；绕原点顺时针旋转得到，则旋转的角度是______； (2)连接，交于点，求的度数． 【答案】(1)2，轴， (2) 【分析】（1）平移的距离为对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小，据此判断即可； （2）可得顶角为的等腰三角形，进而根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵等边， ∴， ∴沿x轴向右平移得到，平移的距离是2个单位长度； 与关于直线对称，根据线段被y轴垂直平分可知，对称轴是y轴； 绕原点顺时针旋转得到，根据可知，旋转角度可以是； 故答案为：2；y轴；； （2）解：由旋转，得，． 为等边三角形， ， ， ． 又， ， ． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图， 是等边三角形，将 旋转一定角度后得到 连接． (1)旋转中心是 ，旋转方向是 （填顺时针或逆时针），旋转角度为 （取最小旋转角度）； (2)若求 的度数； 【答案】(1)B点；顺时针； (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定， 对于（1），根据旋转的定义可得答案； 对于（2），先根据旋转的性质得，即可说明是等边三角形，进而得出，再结合已知条件根据得出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． 将绕点B顺时针旋转得到． 所以旋转中心是B点，旋转方向是顺时针，旋转角为； 故答案为：B点，顺时针，； （2）解：由旋转的性质可知：， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 题型六 求旋转后点的坐标 1．（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作轴于点B，过点作轴于点C，证明，得到，则点的坐标为． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点B，过点作轴于点C， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为． 2．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，点的坐标为，点的坐标为，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，使点恰好落在上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转得，，过点D作于E，构造，推出，再根据是含30度角的直角三角形，计算出的长度，进而计算出的长度，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于E， 点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ， ∴． ∵将绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）已知，将点绕点顺时针旋转至点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，过作轴，过作轴交于点，过作于，由旋转可得，，即可证明，得到，，据此求得． 【详解】解：如图，过作轴，过作轴交于点，过作于，则， ∵， ∴，， ∵将点绕点顺时针旋转至点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴横坐标为，纵坐标为， ∴， 故选：D． 4．（2026·山西长治·一模）如图，在等腰直角三角形中，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，且．将绕原点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设交于点，根据旋转的性质，得到，，进而得到为等腰直角三角形，最后利用勾股定理定理进行求解即可． 【详解】解：交于点， ∵绕原点顺时针旋转得到，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， 由图可知，位于第三象限， ∴． 5．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）将绕原点旋转，再向右平移个单位长度得到点坐标为______． 【答案】 【分析】先利用绕原点旋转的点的坐标性质得到旋转后的点坐标，再根据平移的坐标变化规律计算得到最终点的坐标即可． 【详解】解：∵将绕原点旋转， ∴旋转后的坐标为， ∴向右平移个单位长度得到点坐标为． 题型一 旋转中的探究规律题   1．（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 2．（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是等边三角形，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，，依此类推，则旋转次后得到的等边三角形的顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到旋转后点的坐标变化规律，进行解答即可． 【详解】解：在等边中，，， ∴， 过点作轴，则 ∴， ∴ 根据旋转的性质可以得出点的横坐标，纵坐标为， 由图形规律可得，点的横坐标为，纵坐标为， 由图形规律可得，点的横坐标为，纵坐标为， ……， 综上可知，点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为，即为． 3．（2026·四川绵阳·一模）如图，矩形中，点与轴正半轴的夹角为．若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2026秒时，矩形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，每秒旋转，8次一个循环，，第2026秒时，矩形的对角线交点D与第2次的点D的坐标相同，第2次点D落在第二象限的对角线上，由此可得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵每秒旋转，8次一个循环，， ∴此时点D与第2次的点D的坐标相同，如图所示： 过点作轴于点E，由旋转的性质可知：， ∴， ∴点D的坐标为． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据正六边形的特点分别求出每个内角的度数，根据等腰三角形的性质求出，，即可求出，再根据旋转的性质得出旋转次，正六边形回到起始位置，进而得出时，点所在位置，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，未旋转时，连接，， ∵正六边形的边长为， ∴每个内角的度数为，， ∵， ∴， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵正六边形绕点顺时针旋转个，， ∴旋转次，正六边形回到起始位置， ∵， ∴时，旋转周后，再次旋转了， ∴点在轴的负半轴上， ∵， ∴点的坐标是． 5．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，中，，，点A与数轴上表示的点重合，将沿数轴正方向旋转一次使得点B落在数轴上，第二次旋转使得点C落在数轴上，依此类推，第2025次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是____________________ ． 【答案】 【分析】旋转3次的总长度恰为三角形的周长，旋转过程中每三次一个循环，确定2025次需要的循环次数，计算总距离，根据点A与数轴上表示的点重合，距离为旋转的总距离，解答即可． 本题考查了旋转的性质，规律的探索，勾股定理，正确探索规律是解题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴． ∴的周长为． ∵有三个顶点， ∴2025次旋转中每三次一个循环． ∵， ∴2025次旋转共经历675个循环． ∴2025次旋转后共经历的总长为． ∵第一次的起点为， ∴右边的点表示的数是， 故答案为：． 题型二 网格中的旋转问题   1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点C和点的坐标可得平移方式，再由平移方式可得点和点的坐标，据此作图即可； （2）根据网格的特点和旋转方式找到点的位置，再作图即可； （3）旋转中心一定在对应点的连线的垂直平分线上，据此结合网格的特点求解即可． 【详解】（1）解：∵经过平移后得到，，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴，即， 如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，旋转中心为点． 2．（25-26八年级下·四川·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标； (4)x轴上有，两点如图所示，若网格内x轴上有一点，使得，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点即为所求，； （4）解：由作图可得． 3．（2026·安徽·模拟预测）如图，在边长都为的小正方形网格中，的顶点，，均在格点上，为平面直角坐标系的原点，点在轴上． (1)画出以点为旋转中心将顺时针旋转后得到的（点，的对应点分别为，），并写出点和点的坐标； (2)借助网格，利用无刻度直尺，过点作出的垂线，交于点． 【答案】(1)画图见解析，点坐标为，点坐标为 (2)画图见解析 【分析】（1）根据旋转的性质描出点和点，连接成，并结合网格写出点和点的坐标； （2）取点，连接交于点，取点，，容易证明，则，因此，即，符合题意． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点坐标为，点坐标为； （2）解：如图，即为所求． 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称后得到的； (2)请画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出的坐标______； (3)在轴上有一个动点，连接、，则最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3) 【分析】（1）分别作出点关于轴对称后的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点绕点顺时针旋转后得到的点，即可得到的坐标，再顺次连接即可作图； （3）作点关于轴对称的点，则连接，与轴交点即为点，则，由两点之间线段最短可得此时最小，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，即为所求，的坐标为； （3）解：如图，作点关于轴对称的点，则，连接，与轴交点即为点， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即为． 5．（2026·安徽池州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)画出向下平移2个单位，向左平移3个单位后所得的图形； (2)画出绕着O点顺时针旋转后所得的图形； (3)借助网格，利用无刻度直尺作出的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用平移的性质作出图形即可； （2）利用旋转的性质作出图形即可； （3）利用网格的特点作出等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得到的角平分线． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示； （3）解：如图，即为所求． 题型三 利用旋转构造特殊三角形或全等三角形 1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】解题的核心思路是旋转构造．将绕点顺时针旋转至，连接、．首先利用证明，从而得到，并推导出．再证明，得到．这样，在中，由勾股定理得，即．最后代入已知数值，即可求出的长度． 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到，连接． 由旋转可知，，且． ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴，． ∵中，，， ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得：． 又∵， ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴． ∴，即． 已知，， 代入得：． 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转法构造全等三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是成功构造旋转全等，并利用角证明第二次全等，从而将转移到． 2．（23-24九年级上·广东汕头·期中）综合探究： (1)问题背景：如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．       请直接写出四边形 ABCD的面积； (2)类比迁移：如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积； (3)拓展延伸：如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 【答案】(1)25 (2) (3) 【分析】（1）根据四边形的面积等于正方形的面积计算即可； （2）如图乙中，延长至，取，连接．只要证明，即可推出四边形的面积等于的面积； （3）如图丙中，延长至，连接、、．只要证明五边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】（1）由题可知． 故答案为25． （2）如图，延长至，取，连接．   等边中，，， ， 四边形中，， ， 又，， ， ，． ， ， 为等边三角形且， ． （3）如图，延长至，连接、、．   ，，， ， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 3．（2026·山东泰安·一模）阅读下面材料，解决下列问题： (1)【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系．即能求_____： (2)【学以致用】如图2，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长； (3)【能力拓展】如图3，等腰三角形中，，D、E是底边上的两点且，若，，求的长． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，证明为等边三角形，得到，则可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转性质可知，，，则可证明是等腰直角三角形，可求出，，再利用勾股定理求解即可； （3）将绕点C逆时针旋转得到，连接，作于点H，由旋转的性质可得，，，，证明，得到，求出，得到，则可得到，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，把绕点C逆时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，作于点H， 由旋转的性质可得，，，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴，， ∴   ∴． 题型四 根据旋转的旋转进行证明 1．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，，在边的延长线上，在边上，，连接． (1)如图1，连接，，可以由通过逆时针旋转变换得到，请写出旋转中心及旋转角的大小． (2)将图1中的绕点旋转，连接，，如图2． ①探究与的位置关系，并说明理由； ②当直线经过的中点时，求证：． 【答案】(1)旋转中心是点，旋转角是 (2)①，理由见解析 ②见解析 【分析】(1)由旋转的性质得到旋转中心和旋转角； (2)由旋转可知，根据全等三角形的性质可知，由三角形内角和定理可得，可得：，可知； (3)过点作，交的延长线于点，可证，由全等三角形的性质可得，，从而可证，由可知，，由角之间的关系可得，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立． 【详解】（1）解：可以由绕点逆时针旋转得到， 旋转中心是点，旋转角是； （2）①解：， 理由如下， 由旋转可知， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ； ②证明：如下图所示，过点作，交的延长线于点， 则有， 点是的中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形、平行线的判定，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找对应边、角之间的关系． 2．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查旋转，全等三角形，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据旋转的性质，可得，根据全等三角形的判定，即可； （2）根据全等三角形的性质，则，根据等边对等角，三角形的外角，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵边绕点旋转到的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·重庆綦江·期中）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且， (1)证明： (2)如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转（或截长补短）可得到即可得到答案； （2）由（1）的结论结合正方形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：将顺时针旋转，得到， 则， ∴点E、B、C共线， ， ． 在和中， ， ． ， ， ； （2）解：由（1）得，； ， ∵正方形的边长为4， ． 题型一  最值问题 1．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）如图，点是直线上的一个动点，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B和点分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，证明，得到，设，则，可得点在直线上，故当与直线垂直时，有最小值，求出直线与坐标轴的两个交点的坐标，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B和点分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴点在直线上， ∴当与直线垂直时，有最小值， 设直线与x轴，y轴分别交于点E，点F，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题为利用旋转求最短距离问题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质等知识，综合性强，难度较大﹒根据题意得到， ，根据等边三角形性质得到，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接﹒证明是等边三角形，得到﹒证明，得到，进而得到，从而得到点Q在经过定点R且的定直线上运动，即可得到当，线段的值最小，结合，求出，得到的最小值为1． 【详解】解：∵，点D是边的中点，点P是边上一个动点， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴， 如图，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在经过定点R且的定直线上运动， ∴当，即时，线段的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 3．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，D、E分别为、上的动点，且，，P为内一点，连接、、、．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合三角形内角和得到，连接，把绕点顺时针旋转到，使与重合，连接，，得到，，，，即可推出，，再证明，得到，，当在上时，最小，最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴连接，把绕点顺时针旋转到，使与重合，连接，，， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小，最小值为． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，是边长为8的等边三角形，是射线上一动点（点在点的右侧），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，F为的中点，连接，在点运动的过程中，线段长度的最小值是__________．    【答案】2 【分析】连接，取的中点，连接，先由旋转的性质及等腰三角形的性质得，再由三角形中位线定理得，则，得点的轨迹为射线，且，当时，最短，即可求解 ． 【详解】解：如图所示，连接，取的中点，连接，      线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 为等腰三角形， ， 点为的中点，点为的中点， 是的中位线， ， ， 点的轨迹为射线，且， ∴当时，最短， 是边长为的等边三角形， ， 点为的中点， ， ∵在中，， ， 线段长度的最小值为2． 5．（25-26九年级下·广东深圳·月考）如图，已知矩形，点N是边上一点，且，将矩形绕A顺时针旋转α（），得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G，连接．点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为____________________ ． 【答案】/ 【分析】如图，连接交于点O，连接，可证，得点M在以O为圆心，以为半径的圆上运动，进而根据点到圆上的距离即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，过点O作于点T，连接， ∵是矩形， ∴, ∵点M是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以O为圆心，以为半径的圆上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴, 在中，， ∴线段的最大值为． 故答案为：． 【点睛】连接交于点O，连接，过点O作于点T，连接，构造三角形中位线和直角三角形． 题型二 旋转综合题 1．（25-26九年级下·重庆永川·月考）如图，中，，，为射线上一点，过点作于点，是的中点． (1)如图1，与有何关系，并说明理由； (2)如图2，将绕点顺时针旋转，使点落在内部，判断（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明； (3)将绕点顺时针旋转，若，且，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)，，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据题意得到，，；，同时可以得到点在以为圆心，为直径的圆上，得出，； （2）成立，取中点，中点，连接、、、，证明，得到，，推出； （3）取中点，中点，中点，作，连接、、、，证明，得到，，证明，设，则，，求出， ，得到，继而得到． 【详解】（1）解：，，理由如下， ，是的中点， ， ， ， ， ； ， ， ， 点在以为圆心，为直径的圆上， ， ； （2）解：成立，理由如下， 如图，取中点，中点，连接、、、， ，， ， 是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ,由旋转得， ， , ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，取中点，中点，中点，作，连接、、、， ，，，，，，， ，，， ， ，即， ， ，， ， ， ， ， 由旋转得， ， ， ， 设，则，， ， ，即， ， ， ， ， ． 2．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）将一副三角板按如图1所示放置在直线上，，，．若三角板固定不动，三角板绕点C以每秒顺时针旋转一周，旋转时间为． (1)当面积最大时，求t的值． (2)如图2，是的平分线，当t的值为____________时，． (3)若在三角板旋转的同时，三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1)10或70 (2)35或95 (3)的度数为定值， 【分析】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握它们的性质，能进行分类讨论是解题的关键． （1）分在的左侧和右侧两种情况讨论，根据当，此时的边上的高最大，最大值为的长，用旋转度数除以旋转速度即可； （2）根据平分求出和的度数，当时，分旋转度数小于和大于两种情况讨论； （3）分、重合；、重合前；、重合后讨论，用含t的代数式分别表示出旋转后，，，的度数，再根据平分，平分，求出，，，，再求出的度数，即可求出的度数为定值． 【详解】（1）解：当在的右侧时，如图1，当绕点C顺时针旋转时，，此时的边上的高最大，最大值为的长， 所以，此时面积最大． 因为，， 当在的左侧时，如图2，当绕点C顺时针旋转时，，此时的边上的高最大，最大值为的长， 所以，此时面积最大． 因为，， 所以，当面积最大时，或70． （2）解：如图3， ∵在中，，，平分， ∴， ∴． 当时，设交直线于点G， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， 解得． 如图4： 当时，设交直线于点G， ∴． ， ∴， ∴， ∴绕点C再旋转， ∴． 综上所述，当t的值为35或95时，． （3）解：的度数为定值，．理由如下： 当和重合时，如图5， 则，解得， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 当和重合前时，如图6， 由题意，可知旋转后，，，． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴； 当和重合时，如图7， 由题意，可知旋转后，，，． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 综上，． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $