专题04 线段与角计算中的思想方法（5大题型）（专项训练）数学新教材人教版五四制六年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04线段与角计算中的思想方法 月录 A题型建模·专项突破 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用1 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用… .5 题型三、分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题.…10 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题… .17 题型五、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题… .2l B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 1.已知直线1上有A、B、C三点，AB=10,BC=4,则AC= 2.已知点C是线段AB上的点，AC-号4B,D是直线CB上一点，点E是DB的中点，若CE=4, 4D=2AB,则线段AB的长为一 3 3.已知点C在线段AB上，且AC=AB,点D是AC的中点，AD=4,已知点P从点B出发，以2个单位 长度/秒的速度沿线段BC向终点C匀速运动，设点P的运动时间为t秒，点M是PC的中点，点N是PD的 中点，若CN=DM,则t的值为一 4,已知点P是射线4B上一点，当82或时，称点P是射线AB的强弱点，若4B=9,则 PA= 5.(25-26七年级上福建厦门期中)在数轴上剪下长度为16（从-2到14）的一条线段，并把这条线段沿 某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）.若这三条线段的长度之比为2：1：1，则折痕 处对应的点所表示的数是 折痕 剪断处 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 6.(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)若∠A0B=70°，∠B0C=30°，0D平分∠A0C,则∠BOD的 度数为 7.(24-25七年级上山东济宁.期末)过∠A0B的顶点0画射线0C.若 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AOB=8020,∠BOC:∠AOB=14,则∠AOC的度数是」 8.己知∠A0B=80°，OM是∠A0B的平分线，∠BOC=20°，ON是∠BOC的平分线，则∠MON的度数 为 9.(2024七年级上安徽芜潮竞赛)已知∠40B=25,过点0作射线0C,OM平分∠C04,二B0C=m,且 ∠A0Cn m,n使关于x的方程2m(x-1=6x-3n有无数多个解，则∠B0M=_ 10.(24-25七年级上河南南阳·期末)如图①，射线0C在∠A0B内部，图中共有三个角 ∠AOB,∠AOC,∠BOC,若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”.如图②， 若∠M0N=150°，射线OP为∠MON的“幸运线”，则∠MOP的度数是一， M B N 图① 图② 题型三、分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 11.(2025江苏扬州模拟预测)如图，小文同学为研究12点t分(0<t<60)时的钟面角，把数字12所 在的刻度记为点A,把时针记为OB,分针记为OC.当OA,OB,OC两两所夹的三个角 ∠AOB,∠AOC,∠BOC中有两个角相等时，t的值为_ (本题中所有角的度数均不超过180°). 6 12.(23-24六年级下·上海虹口·期末)一副直角三角板按如图①放置，点B、0、D在同一直线上， LB=∠D=90°，∠A0B=45°，∠C0D=60°，AOB和△COD同时以相同的速度绕点O分别向逆时针方向 和顺时针方向旋转一周，当∠AOB和∠COD的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了一°. YD 0 图① 图② 13.(24-25七年级上河南郑州期末)一副三角板按如图方式摆放，点B,C,D在同一条直线上， LA=45°，LE=30°.现将三角板DCE绕点C逆时针旋转一周，当AC所在直线恰好平分∠DCE时，三角板 2/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DCE转过的角度为」 E 14.(24-25七年级上·福建厦门期末)如图①，点O在直线AB上，∠A0C=120°，0D⊥AB,将0D绕点 O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转一周（如图②），当0D旋转到第t秒时，OD所在的直线平分∠BOC, 则t的值为 B D 图① 图② 15.(24-25七年级上安微安庆期末)如图，0是直线AB上一点，射线0C绕点0顺时针旋转，从OA出发， 每秒旋转15°，射线0D绕点0逆时针旋转，从OB出发，每秒旋转30°，射线0C与0D同时旋转，设旋转 的时间为t秒，当0C旋转到与OB重合时，0C、OD都停止运动. (C)x D B (1)当t=3时，∠C0D= (2)当t= 时，0C与0D夹角为75°. 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 16A,B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为-4，且AB=10.动点P从点A出发， 以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒(t>0). A 0 B (1)当t=1时，AP的长为-，点P表示的有理数为-： (2)当PB=2时，求t的值； (3M为线段AP的中点，N为线段PB的中点.在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若 变化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长。 17.如图，己知点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点. 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若AC=6,CB=4,求线段MN的长： (2)若点C为线段AB上任一点，其它条件不变，你能猜想线段MW与AB的数量关系吗？并说明你的理由： (3)若点C在线段AB的延长线上，其它条件不变，你上述猜想的结论是否仍然成立？请画出图形，直接写出 你的结论， 18.(1)已知线段AB=18,点M线段AC的中点，点N是线段BC的中点，求： ①如图1，若点C为线段AB上任意一点，求线段MN的长度； ②如图2，若点C为线段AB延长线上任意一点，线段MN的长度会发生变化吗？请说明理由. (2)如图3，若点C为线段AB延长线上一点，点M线段AC的中点，点N是线段BC上的一点，且 Nc=8c.求：号CM-8w的值， A M C N B A M B NC A M B NC 图1 图2 图3 19.如图(1)，己知点C在线段AB上，且AM=AC,BN=BC、 A M C B 图(1) A M B N C 图(2) (1)若AC=12,BC=6,求线段MN的长； (2)若点C为线段AB上任意一点，其他条件不变，且满足AC+BC=a,求线段MN的长； (3)如图(2)，若点C为线段AB延长线上任意一点，其他条件不变，且满足AC-BC=b,求线段MN的长. 题型五、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 20.【问题驱动】已知O是直线AB上的一点，∠C0D=90°，OE平分∠B0C. (1)如图1，若∠A0C=44°，求∠D0E的度数； (2)如图1，若∠40C=a,则∠D0E的度数为一（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 (3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠D0E和∠AOC度数之间的关系，写 出你的结论，并说明理由. (4)将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠A0C=,则∠D0E的 度数为（用含有的式子表示），不必说明理由. 4/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 21.(24-25七年级上·江西宜春.期末)已知0是直线AB上的一点，∠C0D是直角，OE平分∠B0C. 初步尝试：(1)如图1，若∠A0C=32°.求∠D0E的度数； E O B 图1 类比探究：(2)如图1，若∠AOC=a,试求∠DOE的度数（用含a的代数式表示）： 解决问题：(3)如图2时，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC,探究∠AOC和 ∠DOE的度数之间的数量关系.并说明理由. B 图2 22.如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起（∠ACD=∠BCE=90°）. 观察分析： 图1 图2 图3 (I)若∠DCE=35°，则∠ACB=-;若∠ACB=150°，则∠DCE=-; 猜想探究： (②)请你猜想∠ACB与∠DCE有何关系，并说明理由； 拓展应用： 5/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，若将两个同样的三角板含60°(LDAC=∠EAB=60)锐角的顶点A重合在一起，请你猜想∠DAB 与∠CAE有何关系，请说明理由； (4)如图3，如果把任意两个锐角∠A0B、∠COD的顶点O重合在一起，已知∠AOB=a,∠COD=B (a、B都是锐角)，请你直接写出∠AOD和∠BOC与a、B之间的关系， 23.综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺ABC中，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°；三角尺ADE中， LE=90°，LDAE=30°，∠D=60°.分别作LCAE,LBAD的角平分线AM,AN. 图1 图2 图3 图4 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，AM,AN仍然是∠CAE,∠BAD的角平分线.在图2中AB与 AE重合，在图3中AB,AD与AN重合在一起. (1)计算：图2中∠MAN的度数为 °，图3中∠MAN的度数为 。(直接写出答案). 【深入探究】 (2)通过初步探究，请你猜想图1中∠MAN的度数为 如果设∠BAE=a,请求出图1中∠MAN的度数， 【类比拓展】 (3)再将三角尺按照图4所示的方式摆放，AM,AN仍然是∠CAE,∠BAD的平分线.请你求出∠MAN的 度数. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25七年级上·甘肃白银·阶段练习)如果线段AB=3cm,BC=4cm,则A、C两点间的距离是() 4.7cm B.1cm C.7cm或1cm D.无法确定 2.(24-25七年级上全国期末)已知点A,B,C共线，线段AB=20cm,线段BC=8cm,则线段AC的长 为() 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.28cm B.12cm C.28cm或12cm D.14cm 3.(24-25七年级上·辽宁盘锦·期末)已知LA0B=20°，∠A0C=4∠A0B,0D平分∠A0B,OM平分 ∠AOC,则∠MOD的度数是() A.20°或50° B.20°或60 C.30°或50° D.30°或60 4.(24-25七年级上·浙江丽水·期末)如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶 点B重合.若三角尺②的一条直角边与BC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角不 可能是() 45d ① ② 30° 60° 45 A.10° B.80 C.110° D.170° 5.(24-25七年级上·安微六安期末)如图，己知∠A0B=120°，OE平分∠A0B,射线0C在∠A0E内部， ∠BOC=90°，作射线OF,使射线OC是∠E0F三等分线，则LAOF的度数为() F A.15° B.30° C.15°或30° D.30°或45° 二、填空题 6.(24-25七年级上·安徽阜阳期末)从点O出发引三条射线0A、0B、0C,使∠AOB=90°，∠BOC=30°， 则∠AOC的度数是 7.(24-25七年级上·全国期末)点A,B,C是直线I上三点，如果点M是线段AB的中点，点N是线段 BC的中点，若AB=12,BC=4,则MN= 8.(24-25七年级上山东青岛期末)已知AB=8cm,点C是直线AB上的一点，使得AC=2BC,M、N分 别是线段AB的中点与AC的中点，则线段MN的长度是· 2425七年级上内发古鄂尔多断期末己知点P是绷线B上一点，当附2或经时，称点卫 射线AB的强弱点，若AB=9,则PA= 10.(24-25七年级上·重庆期末)如图，直线EF上有一点0，过点0在直线EF的上方作射线0A, ∠AOF=30°，现将射线OA绕点O以每秒16°的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线0C始终平分 ∠A0F,射线OD始终是∠A0E的三等分线，且∠AOD=;∠AOE,设旋转时间为1秒，若 3 ∠C0F-∠A0D=45°，t的值为- 7/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、解答题 11.(24-25七年级上全国·期末)如图，已知∠A0B=120°，0C是∠A0B内的一条射线，且 ∠A0C:∠B0C=1:2. B 0 A (1)求∠A0C的度数； 2过点O作射线0D,若∠AOD=∠AOB,求∠coD的度数. 12.(24-25七年级上陕西咸阳·阶段练习)【问题背景】 如图，己知线段AB=I6,点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点， C D BA N C D B 图1 图2 【问题探究】 (1)如图1，求线段CD的长： (2)如图2，点N是线段AC上的一点，且满足CN=3AN, ①求线段DN的长： ②若点M是线段4B上的一点，CM-4N,求DM的长。 13.(2024七年级上·全国.专题练习)学习情境实践探究 【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起 D n B 【计算与观察】 (I)若∠DCE=45°，则∠ACB= ;若∠ACB=130°，则∠DCE= 【猜想与证明】 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由； 【拓展与运用】 (3)若∠DCE:∠ACB=4:5,求∠DCE的度数， 14.(24-25七年级上贵州期末)A,B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为-4，且 AB=10.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒(t>0). A 0 B (1)当t=1时，AP的长为-，点P表示的有理数为_； (2)当PB=2时，求的值： (3)M为线段AP的中点，N为线段PB的中点.在点P运动的过程中，线段MW的长度是否发生变化？若 变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段MN的长 15.(24-25七年级上·甘肃兰州期末)综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段AB=20cm,CD=4cm,线段CD在线段AB上运动，E,F分别是AC,BD的中点. 【知识探究】 (1)若AC=6cm,则EF=_cm; (2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度， 如果变化，请说明理由； 【类比探究】 (3)对于角，也有和线段类似的规律.如图乙，己知∠COD在∠AOB内部转动，OE,OF分别平分 ∠AOC和∠BOD, ①若∠AOB=150°，∠COD=30°，则LE0F=-、 ②试判断∠E0F的大小是否发生变化？如果不变，请确定∠E0F的大小，如果变化，请说明理由. A E C D F B 甲 16.(24-25七年级下·江苏泰州期末)我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究.如图1所示，在直 角三角板ABC中，∠B=30°，LBAC=60°，点A在直线MN上，先将AC边与AM重合，然后将三角板绕着 点A按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作△AB'C',设运动时间为t秒，且0<1<180. 9/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B M C A N 图 备用图 (I)当AB'与AN重合时，t= (2)当∠B'AN=50°时，求t的值； (③)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设∠B'AC'=n°，其他条件不变，在∠C'AN的 大部作条射线P,使<CP-<C4N,如果在旋转过程，始终有∠PMG-←4C成立，直接写 出n与k的数量关系， 17.(24-25七年级上辽宁大连阶段练习)综合与探究 【提出问题】 小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，∠A0B=a0<a<90°)，请作一个∠AOC,使∠AOC与∠B0C互 余∠A0C>LB0C),即LA0C+LB0C=90°. 【动手操作】 小明是这样思考的：如图2所示，若射线0C在∠AOB的内部，则∠AOC+∠BOC=∠AOB<90°，所以射线 OC在∠AOB的外部；然后通过构造直角∠AOD,找到∠AOC的余角，如图3所示，进而分析要使 ∠AOC与∠BOC互余，只需∠B0C=∠C0D. D B 4 图1 图2 图3 因此，小明找到了解决问题的方法：过点O作射线0D,使得∠AOD=90°，OB在∠AOD内部，利用量角 器画出∠BOD的平分线OC,这样就得到∠AOC与∠BOC互余. (1)根据上述叙述的条件，在图3中，请你说明∠AOC与∠BOC互余. 【类比操作】 (2)如图4，若∠A0B=40°，参考小明的画法，请在图4中画出一个∠AOE,使∠AOE与∠B0E互补 (∠AOE>∠BOE),，并求出∠AOE的度数， 10/11 专题04 线段与角计算中的思想方法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 1 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 5 题型三、分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 10 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 17 题型五、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 1．已知直线上有、、三点，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查，线段的和差运算，以及分类讨论思想，在解题中能够将分类讨论思想与几何图形相结合是本题的关键．根据题目可分两种情况，点在点右侧时，在左侧时，根据两种情况画图,结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，当点在点右侧时：＝＋＋＝； 如图所示：当在左侧时：－， 综上所述等于或， 故答案为：或． 2．已知点C是线段上的点，，D是直线上一点，点E是的中点，若，，则线段的长为 ． 【答案】8或24 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的性质，分点在线段上，点在线段的延长线上和点在线段的延长线上三种情况讨论，分别画出图形，结合图形，即可求解． 【详解】解：若点在线段上， ∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴； 若点在线段的延长线上， ∵，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴； 若点在线段的延长线上，不符合题意，舍去； 综上可得：线段的长为8或24， 故答案为：8或24． 3．已知点在线段上，且，点是的中点，，已知点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿线段向终点匀速运动，设点的运动时间为t秒，点是的中点，点是的中点，若，则t的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了线段中点定义、线段的和与差．正确的画图，理清线段之间的和差关系，是解题的关键．注意，分类讨论． 根据点是的中点，，可以求出，，再由点P的运动方式确定，，进而根据中点确定，，再由列方程求解即可． 【详解】解：如图， ∵点是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴ 又∵点是的中点，点是的中点， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述：t的值为或． 4．已知点P是射线上一点，当或时，称点P是射线的强弱点，若，则 ． 【答案】3或6或18． 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，有理数的乘法运算，分类思想的运用，掌握线段的和差倍分是解题的关键． 分三种情况讨论，分别画出符合题意的图形，结合P的位置得到的具体的数量关系，结合，从而可得答案． 【详解】解： ①当，时，如图 ∴； ②当，时，如图 ∴； ③当，时，如图 ∴． 综上所述，的长为3或6或18． 故答案为：3或6或18． 5．（25-26七年级上·福建厦门·期中）在数轴上剪下长度为16（从到14）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是 ． 【答案】4或6或8 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，线段的和与差，有理数的加法计算，分图1，图2和图3三种情况，求出的长，再求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵原来线段的长度为16，且剪断后的三条线段的长度之比为， ∴剪断后的三条线段的长度分别为8，4，4， 如图1所示，当时，则， ∴， ∴点E表示的数为； 如图2所示，当时，则， ∴， ∴点E表示的数为； 如图3所示，当时，则， ∴， ∴点E表示的数为； 综上所述，折痕处对应的点所表示的数是4或6或8， 故答案为：4或6或8． 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若，，平分，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练地利用角的和差运算进行计算是解本题的关键．分两种情况：当在内部时或当在外部时，根据角的和差计算，先计算的度数，再利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：当在内部时，如下图， ，， ， 平分， ， ； 当在外部时，如下图， ，， ， 平分， ， ； 故答案为：或． 7．（24-25七年级上·山东济宁·期末）过的顶点画射线．若，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，解题的关键是分两种情况进行讨论．分射线在的内部和外部两种情况进行讨论，结合角度之间关系求解即可． 【详解】解：如图， 当射线在的内部时，设，则，， ∵， ∴， 解得：， 如图， 当射线在的外部时，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 8．已知，是的平分线，，是的平分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，先根据角平分线的定义得出，，再分当在内部时，当在外部时两种情况，结合角平分线定义及各角之间的数量关系得出答案，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 【详解】解：当在内部时，如图， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， 当在外部时，如图， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：或． 9．（2024七年级上·安徽芜湖·竞赛）已知，过点作射线平分，且使关于的方程有无数多个解，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了角平分线的定义，准确识别图形，找到角和角之间的和差关系是解决问题的关键． 方程变形为：，根据题意可得：，，解得：，，分两种情况①在内部，②在外部，根据两角比值列方程即可解决． 【详解】解：由， ， 则， ∵此方程有无数多个解， ∴，， 解得：，， ∴； 分两种情况： ①在内部， 如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵平分， ∴， ∴； ②在外部， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： 或． 10．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角．若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 题型三、分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 11．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）． 【答案】或 【分析】本题考查了钟面角和一元一次方程的应用，根据时针和分针的转动，用t表示出， ，，再根据有两个角相等可列方程，求解可得t的值． 【详解】解：∵钟表一周为 ∴分针每分钟走，时针每分钟走， 依题意得， ①当时，，，，不存在相等的两个角， ②当时，即：时，，， 此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：， ③当时，即：时，，， 此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：， 综上，当或时， 三个角中有两个角相等 12．（23-24六年级下·上海虹口·期末）一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 【答案】或或或 【分析】此题主要考查了角平分线定义和几何图形中角度计算问题，作的平分线为，的平分线为，求出，然后分如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当和重合，即同向共线时，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的平分线为，的平分线为， ∴，， ∴， 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了或或或 故答案为：或或或． 13．（24-25七年级上·河南郑州·期末）一副三角板按如图方式摆放，点在同一条直线上，．现将三角板绕点逆时针旋转一周，当所在直线恰好平分时，三角板转过的角度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题以及角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真读题干，然后进行分类讨论，逐个情况作图，运用角之间的和差关系分别列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 如图所示： ∵平分， ∴ ∴， 此时三角板转过的角度为； 当的延长线平分，如图所示： ∴ 则 故， 此时三角板转过的角度为； 故答案为：或． 14．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图①，点O在直线上，，，将绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转一周（如图②），当旋转到第t秒时，所在的直线平分，则t的值为 ． 【答案】60或150 【分析】本题考查角平分线的定义、一元一次方程的几何应用，先求得，然后根据题意分两种情况列方程求解即可．正确得到关于t的方程是解答的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转t秒时，所在的直线平分， 如图所示，当在内时， ∴，则， 解得， 如图所示，当在外时，延长到点E ∴ ∴ ∴ 综上所述，t的值为60或150． 故答案为：60或150． 15．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 【答案】 或或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、角度的计算等知识与方法，正确地用代数式表示射线和射线各自转过的角度是解题的关键． （1）因为射线每秒旋转，射线每秒旋转，所以时，，，即可求得的度数； （2）分三种情况，一是、相遇前，二是、相遇后，第一次形成角，三是、相遇后，第二次形成角，分别列方程，求出相应的t值即可． 【详解】解：（1）当时，，， ， 故答案为：； （2）当与重合时，、都停止运动， 由（1）可知，则旋转后停止运动， 秒，则时，、都停止运动， 则有， 运动共旋转度数为，则停止运动时，刚好旋转一周与重合， ①如图，、相遇前， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ②如图，、相遇后，第一次形成角， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ③如图，、相遇后，第二次形成角， 由题意可知：，， ， 则，， 则有方程：， 解得：， 故答案为：或或． 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 16.A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 17．如图，已知点在线段上，点分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若点为线段上任一点，其它条件不变，你能猜想线段与的数量关系吗？并说明你的理由； (3)若点在线段的延长线上，其它条件不变，你上述猜想的结论是否仍然成立？请画出图形，直接写出你的结论． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)成立；理由见解析 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． （1）根据“点M、N分别是的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可； （2）当C为线段上一点，且M，N分别是的中点，可表示线段、的长度，再利用，则； （3）点C在的延长线上时，根据M、N分别为的中点，即可求出的长度． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴， ∵，点N是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度为5； （2）解：．理由如下： ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴； （3）解：成立，理由如下： 当点C在线段的延长线时，如图： 则， ∵M是的中点， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴． 18．（1）已知线段，点线段的中点，点是线段的中点，求： ①如图1，若点为线段上任意一点，求线段的长度； ②如图2，若点为线段延长线上任意一点，线段的长度会发生变化吗？请说明理由． （2）如图3，若点为线段延长线上一点，点线段的中点，点是线段上的一点，且．求：的值． 【答案】（1）①，②的长度不会发生变化，理由见解析；（2） 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了有关线段中点的计算： （1）①根据线段中点的定义，可得，即可求解； ②根据线段中点的定义，可得，即可求解； （2）根据线段中点的定义，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：（1）①点、分别是线段、的中点， ，， ∴， ， ； ②的长度不会发生变化，理由： 点、分别是线段、的中点， ，， ∴， ， ； （2）点是线段的中点， ， ， ， ∴， ， ． 19．如图（1），已知点C在线段上，且． (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，其他条件不变，且满足，求线段 的长； (3)如图（2），若点C为线段延长线上任意一点，其他条件不变，且满足，求线段的长． 【答案】(1)12 (2) (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差计算： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可； （3）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：解：∵，， ∴． 题型五、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 20.【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、旋转性质以及角的计算等知识点，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键． （1）由已知可求出，再由、平分求出的度数即可； （2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可； （3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得，， ， ． 故答案为：； （3）．理由如下: ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）∵平分， 又∵， ． 故答案为：． 21．（24-25七年级上·江西宜春·期末）已知是直线上的一点，是直角，平分． 初步尝试：（1）如图1，若．求的度数； 类比探究：（2）如图1，若，试求的度数（用含a的代数式表示）； 解决问题：（3）如图2时，是直线上的一点，是直角，平分，探究和的度数之间的数量关系．并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）（），理由见解析 【分析】本题考查了角度的计算，角平分线等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键 ． （1）由题意先求出，再根据角平分线的定义得到，由，计算求解即可； （2）同理（1）求解即可； （3）由角平分线的定义得到，利用角的和差求出，，进而可得． 【详解】解：（1）由题意知，， ∵平分， ∴， ∵是直角，即， ∴ ， ∴的度数为； （2）由题意知，， ∵平分， ∴， ∵是直角，即， ∴ ， ∴的度数为； （3），理由如下： ∵平分， ∴， ∴， 由题意知，， ∴． 22．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起（）．     观察分析： (1)若，则 ；若，则 ； 猜想探究： (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，若将两个同样的三角板含锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (4)如图，如果把任意两个锐角、的顶点重合在一起，已知，（都是锐角），请你直接写出和与之间的关系． 【答案】(1)， (2)，理由见解析； (3)，理由见解析； (4) 【分析】本题主要考查余角和补角的定义，通过角的和差关系来求解各角之间的关系． ()若，根据计算的度数，再利用和计算的度数；若， 同理，反之计算可得结果； ()先计算：，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果． 【详解】（1）解：若， ∵，， ∴， ∵， ∴； 若， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）， 理由：∵，， ∴ ∵， ∴； （3）， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； （4）， 理由：∵， ， ， ． 23.综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 【答案】（1），；（2）；；（3） 【知识点】角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示，掌握角度的和差运算，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，在图2中与重合，；在图3中与重合在一起，；由此即可求解； （2），根据平分，得；根据平分，得，再根据即可求解； （3），根据角平分线可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：（1）分别是的角平分线， ∴， 在图2中与重合， ∴， ∵ ∴ ； 在图3中与重合在一起， ∴，， ∵ ∴ ； 故答案为：，； （2）由（1）可得图1中，， 故答案为：； 若， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）设， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25七年级上·甘肃白银·阶段练习）如果线段，则A、C两点间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查两点间的距离，分别当A，B，C三点在一条直线上时，当A，B，C三点不在一条直线上时，两种情况进行分析即可． 【详解】解：当A，B，C三点在一条直线上时，分点C在线段的延长线上和在线段的延长线上两种情况讨论； ①点C在线段的延长线上时，； ②点C在线段的延长线上时，； ∴A、C两点之间的距离是或 ； 当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能，不能确定． 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）已知点A，B，C共线，线段，线段，则线段的长为（  ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 由于点的位置不能确定，故应分点在内与点在外两种情况进行讨论． 【详解】解：当如图1所示时， ， ； 当如图2所示时， ∵， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想．分为两种情况，当在内部时，当在外部时，分别求出和度数，即可求出答案． 【详解】解：分为两种情况： 如图1，当在内部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 如图2，当在外部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 综上，的度数是或． 故选:C． 4．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点B重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板中角的计算，注意分类讨论，是解题的关键．分四种情况：当与的夹角为，且在右侧时，当与的夹角为，且在左侧时，当与的夹角为，且在右侧时，当与的夹角为，且在左侧时，分别求出三角尺②的另一条直角边与边的夹角，然后进行判断即可． 【详解】解：当与的夹角为，且在右侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在左侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在右侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在左侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 综上可知：三角尺②的另一条直角边与边的夹角可能是或或或， ∴四个选项中三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是， 故选：B． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查角的和差，角平分线与三等分线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由角平分线得到，结合可得，再根据射线是三等分线可分和两种情况求解可得． 【详解】解： 平分，， ， ， ， ∵是三等分线， ∴①若， 则， ； ②若， 则， ； 综上，的度数为或， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）从点O出发引三条射线，使，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】此题考查角的和差倍分，根据射线的位置不明确，所以本题难点在于要分两种情况讨论；因为两角的位置关系不明确，所以分射线在的内部和外部两种情况讨论求解，即或． 【详解】解：如图1点在内部 如图2点在外部 故答案为：或． 7．（24-25七年级上·全国·期末）点，，是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 【答案】或 【分析】根据点相对于线段的位置分两种情况讨论，利用线段中点的性质求出、的长度，再通过线段的和或差计算的长度 ．本题主要考查线段中点的性质以及线段长度的计算，熟练掌握分情况讨论思想和线段中点将线段分成相等两部分是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，， ∴； 如图， ∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，， ∴． ∴的长为或． 答案为：或． 8．（24-25七年级上·山东青岛·期末）已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查线段中点和线段的和与差，分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点在线段上或点在线段的延长线上，分别利用中点求出，的长度，然后利用线段的和与差求解即可． 【详解】解：当点在线段的延长线上时，如图， ∵，, ， ∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， ∵，,， ∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴， ∴， 综上所述，线段的长度是或， 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知点P是射线上一点，当或时，称点P是射线的强弱点，若，则 ． 【答案】3或6或18． 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，有理数的乘法运算，分类思想的运用，掌握线段的和差倍分是解题的关键． 分三种情况讨论，分别画出符合题意的图形，结合P的位置得到的具体的数量关系，结合，从而可得答案． 【详解】解： ①当，时，如图 ∴； ②当，时，如图 ∴； ③当，时，如图 ∴． 综上所述，的长为3或6或18． 故答案为：3或6或18． 10．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线，角的和差，理解角平分线的定义是正确解答的关键．分三种情况进行解答，即当，和时，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系，表示，代入到中进行计算即可求解． 【详解】解：设旋转时间为秒， 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：（舍去）． 综上可得，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知，是内的一条射线，且． (1)求的度数； (2)过点O作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了角的和差关系以及分类讨论思想，熟练掌握角的和差运算，根据射线的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）根据已知条件求出的度数，再分射线在内部和外部两种情况，结合的度数，求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2） 解：∵， ∴， 当在内时， ， 当在外时， ． ∴的度数为或． 12．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】 （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长； ②若点是线段上的一点，，求的长． 【答案】（1）4；（2）①10，②7或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算，线段的和差，关键是注意分类讨论． （1）根据线段中点进行求解即可； （2）①根据已知先得到，再利用求出最后结果； ②分M点在C点左边、M点在C点右边两种情况讨论． 【详解】解：（1），点是的中点， ． 点是线段的中点， ． （2）①，， ， ， ． ②，， ． 当点在点左边时，，， ． 当点在点右边时，，， ． 综上可得的长为7或1． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·实践探究 【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． 【计算与观察】 (1)若，则___________；若，则___________； 【猜想与证明】 (2)猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由； 【拓展与运用】 (3)若，求的度数． 【答案】(1)， (2)与互补，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了余角和补角、角的和差定义等知识点，灵活运用所学知识解决问题成为解题的关键． （1）根据角的和差定义计算即可； （2）利用角的和差定义计算即可； （3）利用（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ． ，， ， ． 故答案为：，． （2）解：与互补．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴与互补． （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴，解得． 14．（24-25七年级上·贵州·期末） A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． 15．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． 【知识探究】 （1）若，则 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和， ①若，则 ． ②试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的长度不变，，理由见解析；（3）①；②的大小不会变化，． 【分析】（1）根据线段中点分别求解，，从而可得的长度； （2）根据，再根据中点进行推导即可； （3）①根据再结合角平分线进行计算；②由①可以得到结论． 【详解】解：（1）解：∵，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴， 故答案为：； （2）的长度不变，，理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴ ； （3）①∵，分别平分和 ∴，． ∴ ∵ ∴ ， 故答案为：； ②的大小不会变化，理由如下： 由①知， ∴的大小不会变化，且． 【点睛】本题主要考查线段中点的含义，线段的和差，角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 16．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______； (2)当时，求的值； (3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120 (2)70或170 (3) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用平角的定义求出，当与重合时，，结合题意即可求出的值； （2）分两种情况讨论：①在上方；②在下方，求出的度数，结合题意即可的值； （3）在旋转过程中，，则，则有，，再利用角的和差得到，整理即可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与重合， ∴， ∴． 故答案为：120． （2）解：①当在上方时， 则， ∴； ②当在下方时， 则， ∴； ∴综上所述，的值为70或170． （3）解：在旋转过程中，，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：． 17．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）综合与探究 【提出问题】 小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，，请作一个使与互余，即． 【动手操作】 小明是这样思考的：如图2所示，若射线在的内部，则所以射线 在的外部；然后通过构造直角，找到的余角，如图3所示，进而分析要使与互余，只需． 因此，小明找到了解决问题的方法：过点O 作射线，使得，在内部，利用量角器画出的平分线，这样就得到与互余． （1）根据上述叙述的条件，在图3中，请你说明与互余． 【类比操作】 （2）如图4，若，参考小明的画法，请在图4 中画出一个，使与互补，并求出的度数． 【拓展延伸】 （3）如图5，已知，若与互补，射线平分，射线平分．请根据题意，补全图形，并求的度数． 【答案】（1）见解析（2）图见解析，（3）图见解析，或 【分析】本题考查作图-应用与设计，角平分线的定义，余角和补角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据作图和角平分线的定义即可解决问题； （2）结合（1）的方法作图，然后利用平角定义和角平分线的定义即可解决问题； （3）分两种情况画图即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：因为射线平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 由于，即， 所以（等量代换）． 即与互余． （2）如图4，延长到F，作的角平分线，则即为所求作． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）如图5，图6，即为补全的图形， ∵与互补， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴图5中：， ∴． ∴图6中： ， ∴， 综上所述：或． 18．（23-24七年级上·广东阳江·期末）综合应用： 三角尺是我们学习数学常见的工具，同时也因它的应用广泛性，常常作为命题的素材． 【数学来源于生活】 动手实践：将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放． (1)在_________的摆放方式中与互余；在_________的摆放方式中与互补 (2)在哪种摆放方式中与相等？请说明理由． (3)【抽象数学问题】如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若，则_________；若，则_________． (4)如图2所示，若两个同样的三角板，将锐角的顶点A叠放在一起，则与有何数量关系，请说明理由． 【答案】(1)甲，丁 (2)在乙、丙摆放方式中两角相等 (3)155，50 (4) 【分析】本题考查的是余角和补角，角的有关计算的应用，如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，能灵活运用角的和差进行计算是解此题的关键． （1）根据互余和互补的定义即可得出答案； （2）根据同角的余角相等即可得出答案； （3）先求出，再代入求出即可；先求出，再代入求出即可； （4）根据求出即可； 【详解】（1）解：甲图中，，丁图中，， 故答案为：甲，丁； （2）解：在乙、丙摆放方式中两角相等，理由如下： 在乙中： ∵， 在丙中： ∵， ， ∴； （3）解：∵， ， ， ， 故答案为：155，50； （4）解： 理由如下： ， 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $