第十章 几何图形初步（必备知识 15大题型 分层训练）（复习讲义）数学新教材人教版五四制六年级下册

第十章 几何图形初步（复习讲义） 1. 了解立体图形与平面图形的区别，体会点、线、面、体之间的整体联系；了解从不同方向看立体图形的视图概念。 2. 能用两点确定一条直线的基本事实，会找线段中点，能运用两点之间线段最短的基本事实；能描述两点间距离的定义。 3. 理解角的定义、度量单位及换算，理解角平分线的定义；理解余角、补角的定义及性质，能利用余角、补角性质和方位角解决问题。 清单01 几何图形 1. 立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱等；平面图形的各部分都在同一平面内，如三角形、圆等。 2. 从不同方向看立体图形：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。 3. 点、线、面、体之间的联系：体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；点动成线，线动成面，面动成体。 清单02 直线、射线、线段 1. 有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 2. 线段的中点：若C是线段AB的中点，则AC＝BC＝AB。 3. 有关线段的基本事实：两点之间，线段最短。 4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 清单03 角 1. 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2. 角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。 3. 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OB是∠AOC的角平分线，则∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。 4. 余角和补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。 5. 方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西。 题型一 几何体的识别 【例1】（24-25七年级下·北京·期末）下列几何体中，是圆锥的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的认识，根据圆锥的定义进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：观察四个选项，是圆锥的， 故选：B 【变式1-1】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）下列各个花瓶可以近似看成圆柱的是（   ） A．   B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了几何体的概念和分类方法．根据几何体的概念和分类方法求解即可． 【详解】解：根据题意得：可以近似看成圆柱的花瓶是选项D． 故选：D 【变式1-2】（24-25七年级上·山西大同·期末）下列实物图中，能抽象出棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，锥体又分为圆锥和棱锥．根据棱柱有2个底面，一个侧面解答即可． 【详解】解：A．该图能抽象出棱柱，故符合题意； B．该图能抽象出球体，故不符合题意； C．该图能抽象出圆柱，故不符合题意； D．该图能抽象出圆锥，故不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）用数学的眼光观察我们身边的物体，下列不可以抽象为棱柱的是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱的定义，有两个面互相平行且相等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，根据棱柱的概念进行判断即可． 【详解】解：A．可以抽象为四棱柱，故该选项不符合题意， B．可以抽象为三棱锥，不是棱柱，故该选项符合题意， C．可以抽象为三棱柱，故该选项不符合题意， D．可以抽象为六棱柱，故该选项不符合题意， 故选：B． 题型二 立体图形的分类 【例2】将下列几何体按名称分类： 柱体有______； 锥体有______； 球体有______．（请填写序号） 【答案】（1）（2）（3），（5），（4） 【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键．根据柱体、锥体、球体进行分类求解． 【详解】解：根据图形可知 柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有（1）（2）（3）； 锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有（5） 球体属于单独的一类，球有（4）． 故答案为：（1）（2）（3），（5），（4）． 【变式2-1】指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球． (1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有 ，锥体有 ，球有 ； (2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有 ，无曲面的有 ． 【答案】(1)（），（），（）；（）（）；（）； (2)（），（），（）；（），（），（）． 【分析】（）根据立体图形的分类即可求解； （）根据立体图形的分类即可求解； 本题考查了立体图形，熟练掌握立体图形的特点是解题的关键． 【详解】（1）按“柱、锥、球”来分，柱体有（），（），（），锥体有（）（），球有（）， 故答案为：（），（），（）；（）（）；（）； （2）按“有无曲面”来分，有曲面的有（），（），（），无曲面的有（），（），（）， 故答案为：（），（），（）；（），（），（）． 【变式2-2】观察如图所示的八个几何体． (1)依次写出这八个几何体的名称： ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ； (2)若几何体按是否包含曲面分类：（填序号即可） 不含曲面的有 ；含曲面的有 ． 【答案】(1)圆柱；圆锥；长方体；正方体；四棱柱、五棱柱、球体；三棱柱 (2)③④⑤⑥⑧；①②⑦ 【分析】本题主要考查的是认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键． （1）根据几何体的特点回答即可； （2）根据平面和曲面的区别回答即可． 【详解】（1）解：①圆柱；②圆锥；③长方体；④正方体；⑤四棱柱、⑥五棱柱、⑦球体；⑧三棱柱； 故答案为：圆柱；圆锥；长方体；正方体；四棱柱、五棱柱、球体；三棱柱． （2）不含曲面的有：③④⑤⑥⑧；含曲面的有：①②⑦； 故答案为：③④⑤⑥⑧；①②⑦． 【变式2-3】指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．    柱体：___________________________ 锥体：___________________________ 球体：___________________________（填序号） 【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③ 【分析】柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案． 【详解】解：柱体为：①②⑤⑦⑧； 锥体为：④⑥； 球体为：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 【点睛】本题主要考查了柱体，锥体，球体，熟练掌握柱体，锥体，球体的特点是解题的关键． 题型三 几何体中的点、棱、面 【例3】（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示的五棱柱，它有 个面， 条棱． 【答案】 7 15 【分析】本题主要考查了立体图形的特点，认识立体图形的特点是解题的关键．根据图形可知此图形它有7个面，15条棱． 【详解】解：由图可知：如图所示的五棱柱，它有7个面，15条棱． 故答案为：7，15． 【变式3-1】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，该几何体是一个直棱柱，它的名称是 ，它有 个顶点， 条棱． 【答案】 四棱柱 8 12 【分析】本题考查了认识立体图形，根据四棱柱的特征即可得出答案． 【详解】解：该几何体是一个直棱柱，它的名称是四棱柱，它有8个顶点12条棱． 故答案为：四棱柱，8，12． 【变式3-2】一个正n棱柱，它有5个面，该棱柱是 棱柱，它有 条棱、 个顶点． 【答案】 三 9 6 【分析】本题主要考查了认识立体图形，根据棱柱的特点，用5个面减去2个底面可得3个侧面即可得出是三棱柱，然后判断该棱柱的棱和顶点即可． 【详解】解：∵正n棱柱，它有5个面， ∴侧面有（个） ∴这是一个三棱柱， ∴该棱柱有9条棱，6个顶点． 故答案为：三，9，6． 【变式3-3】如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，个顶点，观察图形，填写下面的空． （1）四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （2）六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （3）由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【答案】 / 【详解】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征是解题的关键； （1）结合已知四棱柱特征，即可求解； （2）结合六棱柱的特征，即可求解； （3）可知棱柱一定有个面，条棱和个顶点； 【解答】解：（1）四棱柱有个面，条棱，个顶点； （2）六棱柱有个面，条棱，个顶点； （3）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点． 故答案为：（1），，；（2），，；（3），，． 题型四 动态认识点、线、面、体 【例4】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）节日里向空中升起的烟火，这个过程体现了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交形成线 【答案】A 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成题进行判断即可. 此题考查点、线、面、体的关系，正确理解原物体的运动是解题的关键. 【详解】节日里向空中升起的烟火，这个过程体现了点动成线. 故选：A 【变式4-1】（24-25七年级上·河北邢台·期末）电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体之间的关系，理解“点动成线、线动成面，面动成体”是解决问题的关键．根据“线动成面”的意义得出答案． 【详解】解：孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了线动成面， 故选：B． 【变式4-2】跨学科试题·语文朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了________，把雨看成________，说明________，横线上应该填（   ） A．点；面；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 【答案】B 【分析】本题考查了点动成线，解题关键在于掌握从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体. 【详解】解：由题意可得，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线. 故选：B． 【变式4-3】下列现象能说明“面动成体”的是（   ） A．旋转一扇门，门运动的痕迹 B．扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线 C．雨刮器刮去玻璃上的雨水的痕迹 D．时钟的秒针旋转时扫过的痕迹 【答案】A 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的关系，熟练掌握“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”是解题的关键． 【详解】解：A、旋转一扇门，门运动的痕迹说明“面动成体”，故本选项正确； B、扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线说明“点动成线”，故本选项错误； C、雨刮器刮去玻璃上的雨水的痕迹说明“线动成面”，故本选项错误； D、时钟秒针旋转时扫过的痕迹说明“线动成面”，故本选项错误． 故选：A． 题型五 平面图形旋转所得立体图形的体积 【例5】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形是______． (2)求这个立体图形的侧面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)这个图形的侧面积是． 【分析】本题主要考查了面动成体，解答此题的关键是找出旋转所得到的图形与原图形之间的数据关系． （1）根据面动成体可知将正方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱； （2）根据圆柱的高和底面周长，进行计算即可． 【详解】（1）解：将长方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：这个立体图形的侧面积为； 答：这个图形的侧面积是． 【变式5-1】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是一张长方形纸片，的长为，的长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是 ；（填名称） (2)若将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键． （1）根据面动成体的原理，将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解． （2）根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）∵长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，，， ∴为圆柱体的高，为圆柱体底面圆的半径， ∴． 【变式5-2】如图，将平面图形甲、乙分别绕轴旋转一周，可以得到立体图形，图形甲是直角边分别为的直角三角形，图形乙是长为、宽为的长方形． (1)立体图形的名称是______；（答案直接填写在答题卡的横线上） (2)请问立体图形比立体图形的体积大多少？（用含和的式子表示，，） 【答案】(1)圆柱； (2)． 【分析】本题考查了面动成体，圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握知识点的应用解题的关键． （）根据面动成体即可解答； （）设图形的体积分别为、，然后分别求得图形的体积，然后作差即可解答． 【详解】（1）解：以长方形的边所在直线为旋转轴得到的立体图形为圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：设图形的体积分别为、， 则， ， ∴， 即立体图形比立体图形的体积大． 【变式5-3】小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形． (1)你同意 ___________的说法； (2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算甲、乙立体图形的体积？ 【答案】(1)小红； (2)甲的体积为；乙的体积． 【分析】本题考查求旋转体的体积： （1）由旋转后所得的立体图形的形状可判断； （2）由甲图的体积是圆柱体与圆锥体体积的差，乙图的体积是圆柱体与圆锥体体积的和，进行求解即可． 【详解】（1）解：两个立体图形的体积不相等，所以同意小红的说法； 故答案为：小红； （2）甲的体积：， 乙的体积：． 题型六 正方体的展开图 【例6】下列图形不是正方体纸盒平面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的展开图，解题的关键是根据正方体的特征，熟记正方体的11种展开图．根据只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图即可选择． 【详解】解：A．是正方体纸盒平面展开图，不符合题意； B．不是正方体纸盒平面展开图，符合题意； C．是正方体纸盒平面展开图，不符合题意； D．是正方体纸盒平面展开图，不符合题意． 故选B． 【变式6-1】（2025·河南驻马店·三模）某正方体的每个面上都有一个汉字．如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“喜”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．多 B．乐 C．长 D．安 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：在正方体的展开图中，相邻的两个面不可能相对，只有中间隔一个面的两个面才能相对， 图中与“喜”隔一个字的是“安”字， “喜”字所在面相对的面上的汉字是“安”字，． 故选：D． 【变式6-2】（2025·河南驻马店·三模）年月日，我国成功发射天链二号星．小亮准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在（   ） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，根据正方体的表面展开图不可能出现“田”字形即可判断求解，掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 【详解】解：∵正方体的表面展开图不可能出现“田”字形， ∴该正方形不能补充在②处， 故选：． 【变式6-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是（      ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体可得，三个图案均是相邻的， A、还原正方体后，符合题意； B、<与＝是相对的两面，不符合题意； C、还原正方体后，不等号的尖尖向右，不符合题意； D、还原正方体后，<在下面，且不等号的尖尖朝前，不符合题意， 故选：A． 题型七 由展开图计算几何体的面积或体积 【例7】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2) 【分析】（1）根据长方体有6个面，相对两个面的形状大小完全相同可知该几何体为长方体． （2）由该长方体的平面展开图可知宽为，高为，长为，根据才给他体积公式即可可求得该长方体的体积． 本题主要考查了长方体的平面展开图，熟练掌握长方体的特征是解题的关键． 【详解】（1）解：该几何体是长方体. 故答案为：长方体 （2）解：该长方体的宽是，高是，长是， 所以这个几何体的体积是. 【变式7-1】（24-25七年级上·山东日照·期末）小明在数学活动课中制作了一个长方体包装纸盒（图1），图2是该包装盒平面展开图（粘贴部分忽略不计），相关数据如图2所示，经过测量得出该包装纸盒的长比宽多． (1)设长方体的宽为，则长为______，高为______（都用含的代数式表示）； (2)求长方体包装盒的体积． 【答案】(1)，，或 (2)长方体包装盒得体积是 【分析】（1）设长方体的宽为，由长比宽多，得到长为，用总长为时，则高为，用总长为时，则高为，解答即可． （2）根据题意，得，解得，后根据体积公式解答即可． 本题考查了长方体的展开图，体积计算，熟练掌握展开图是解题的关键． 【详解】（1）解：设长方体的宽为，由长比宽多，则长为， 用总长为时，则高为， 用总长为时，则高为， 故答案为：，，或． （2）解：根据题意，得， 解得 长：，高：． 答：长方体包装盒得体积是． 【变式7-2】小明同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多，高是． (1)求长方体盒子的长和宽． (2)求这个包装盒的体积． 【答案】(1)长为；宽为 (2) 【分析】本题考查的是几何体的展开图，解题的关键是求出长和宽． （1）利用图中关系首先求出宽，然后求出长； （2）利用长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：宽为：， 长为：， 答：长方体盒子的长为，宽为。 （2）解：体积：， 答：这个包装盒的体积是． 【变式7-3】如图是一个几何体的展开图： (1)写出该几何体的名称_______________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______________（填序号）； ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形． (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③④ (3)72立方厘米 【分析】本题考查长方体的展开图及其表面积与体积的计算方法，用平面截图的方法等，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键． （1）直接根据几何体的展开图判断即可； （2）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （3）利用长方体的体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：根据几何体的展开图共有6个面，且各面有正方形及长方形， ∴此几何体为长方体， 故答案为：长方体； （2）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形， 故答案为：①②③④； （3）解：， 答：体积是72． 题型八 从不同方向看简单几何体的形状 【例8】（24-25七年级下·云南红河·期中）如图的几何体由7个相同的小正方体搭成，从正面看到的平面图形是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从正面看所得到的图形判断即可． 【详解】解：从正面看，得到的图形有两层，其中底层有四个小正方形，上层的靠左的第二列有1个小正方形，因此选项A中的图形比较符合题意， 故选：A． 【变式8-1】（24-25七年级上·重庆江津·期末）篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功左图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查从不同角度观察图形．画出从左边看到的图形即可求解． 【详解】解：从左面看到的平面图形为 故选：A 【变式8-2】如图所示，桌上放着一个茶壶，4个同学从各自的方向观察，请指出下边的四幅图中，哪一个是小雯看到的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定从左至右的图分别是主视图，后视图，右视图和左视图；再由四位同学的位置进行判断. 此题考查几何体的多种视图，分别从物体正面、 侧面和后面看所得到的图形，熟练掌握不同方向看的图形是解题的关键. 【详解】解：小阳是主视图，小明是后视图，小雯是右视图，彬彬是左视图， 所以丙是小雯看到的， 故选：A. 【变式8-3】（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）2024年12月11日至15日世界羽联世界巡回赛总决赛在我国浙江省杭州市杭州奥体中心体育馆举行，图①是颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台从上面看，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从上面看到的形状图即可求解． 【详解】解：此领奖台从上面看，得到的平面图形是 ， 故选：C． 题型九 画出从不同方向看几何体的平面图形 【例9】如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． (1)填空：这个几何体是由______个小正方体组成的； (2)画出从左面、上面观察这个几何体所看到的形状图； (3)在不改变此几何体从左面、上面观察到的形状图的情况下，最多还可以添加多少个小正方体？ 【答案】(1)9 (2)见解析 (3)最多还可以添加7个小正方体 【分析】本题主要考查了从不同位置看简单几何体，考查了学生空间想象能力． （1）根据图形进行分析即可得到答案； （2）从左面看有2列，每列小正方形数目分别是3，2；从上面有4列，每列小正方形数目分别是1，2，1，2；据此可画出图形； （3）保持从左面、上面看到图形不变，可以在后一行最左边加上2个，右边同行上可加个，前一行可加1个，相加求出即可． 【详解】（1）解：由图可得，这个几何体由9个小正方体组成． （2）解：从左面、上面观察这个几何体所看到的形状图如图所示： （3）解：根据题意得，保持此几何体从左面、上面观察到的形状图不变的情况下，可以在后一行最左边加上2个，右边同行上可加个，前一行可加1个，故最多还可以添加7个小正方体． 【变式9-1】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）小林所在的综合实践小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒，用来收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）． (1)图1是综合实践小组的同学画出的一些形状图，其中______（填序号）经过折叠能围成一个无盖正方体形纸盒． (2)综合实践小组的同学用制作的8个正方体形纸盒摆成如图2所示的几何体． ①在图3中画出从正面观察图2的几何体所看到的形状图； ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个正方体形纸盒． 【答案】(1)①③④ (2)①图见解析；②3 【分析】本题考查简单组合体，展开图折叠成几何体等知识． （1）根据要求动手操作可得结论； （2）①根据主视图的定义画出图形即可； ②根据要求作出判断即可． 【详解】（1）解：图1是综合实践小组同学制作的图形，其中①③④经过折叠能围成无盖正方体纸盒； 故答案为：①③④； （2）解：①如图所示： ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加3个正方体形纸盒． 故答案为：3． 【变式9-2】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）由8个棱长都为1的小正方体搭成的几何体如图1． (1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图．（一个网格为小立方体的一个面） (2)若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要___________个小立方体． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】此题考查了从不同方向看几何体等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键． （1）根据从正面、从左面和从上面看到的形状画出图形即可； （2）由题意知，第一列最多需要2个小立方体，第二列最多需要3个小立方体，第三列最多需要4个小立方体，即可得出答案． 【详解】（1）解：这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图如下： （2）解：若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要（个）小立方体． 故答案为：9． 【变式9-3】（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)这个几何体由 个小正方体搭成； (2)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图（用阴影表示）； (3)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 【答案】(1)10 (2)图见解析 (3)4 【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；从上面看到的图形决定底层立方块的个数． （1）由图可得答案． （2）根据三视图的定义画图即可． （3）结合三视图的定义，可以在第二列添加3个小正方体，在第三列添加1个小正方体，进而可得答案． 【详解】（1）解：这个几何体由10个小正方体搭成． 故答案为：10； （2）解：如图所示． ； （3）解：如果从左面和从上面看到的形状图不变，可以在第二列添加3个小正方体，在第三列添加1个小正方体， ∴最多可以再添加（个）小正方体． 故答案为：4． 题型十 直线、射线、线段的表示及性质应用 【例10】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 【答案】D 【分析】本题考查直线、射线、线段的表示方法，由直线、射线和线段的表示方法，即可判断． 【详解】解：A、直线上的点用大写字母表示，不能用小写字母表示，直线用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用两个小写字母表示，故A不符合题意； B、线段用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用一个大写字母表示，故B不符合题意； C、表示射线，应该把表示端点的字母放在前面，应该表示为射线，故C不符合题意； D、表示正确，故D符合题意． 故选：D． 【变式10-1】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【答案】B 【分析】本题主要考查直线和射线的区别，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．根据直线和射线的定义解答即可． 【详解】解：A、直线和直线表示同一条直线，选项错误，不符合题意； B、过一点能作无数条直线，选项正确，符合题意； C、射线和射线表示不同的射线，选项错误，不符合题意； D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式10-2】（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（　　） A．点A在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．射线与射线是同一条射线 D． 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，线段、射线、直线，掌握线段、射线、直线的定义以及线段的和差关系是正确解答的关键．根据线段、直线、射线的定义以及两点间的距离进行判断即可． 【详解】解：A．点A在直线上或在的延长线上，不在线段上，因此选项A不符合题意； B．点C在线段的延长线上，因此选项B不符合题意； C．射线与射线不是同一条射线，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式10-3】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．射线a比直线b短 B．已知C、D为线段上的两点，若，则 C．若，则点C为线段的中点 D．射线与射线是同一条射线 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线和射线的概念，线段的和差计算，线段中点的定义，射线和直线不可度量，由此可判断A；根据线段的和差关系及等式的性质即可判断B；根据线段中点的定义即可判断C．根据射线的表示方法即可判断D； 【详解】解；A、射线向一方无限延伸，直线向两方无限延伸，都不可度量，故射线a比直线b短这种说法错误，不符合题意； B、已知为线段上的两点，若，则或，即，原说法正确，符合题意； C、若，只有当点在线段上时，点C为线段的中点，原说法错误，不符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选B． 题型十一 画直线、射线、线段 【例11】（24-25七年级上·全国·期末）如图，A，B，C，D四个点在同一平面内，根据下列语句画图． (1)画射线，直线； (2)延长至点E，使得； (3)连接与交于点F． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线和射线的定义作出图形，即可求解； （2）根据线段的定义作出图形，即可求解； （3）根据要求进行连接线段，并标注点F，即可求解； 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：如图： 【变式11-1】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，在平面上有四个点，根据下列语句画图． (1)①作射线；②作线段； (2)在（1）的基础上，请在线段上画出一点，使点到两点的距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握直线、射线、线段的特点及点与直线的关系是解题的关键． （1）①根据射线的特点作图；②根据线段的特点作图； （2）根据“两点之间，线段最短”作图． 【详解】（1）解：①射线即为所求； ②线段即为所求； （2）点P即为所求． 【变式11-2】（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画直线，画射线，连接； (2)连接，并反向延长至点E，使； (3)请在A，B，C，D四个点围成的四边形内找一点O，使最小，理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，两点之间线段最短 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段，两点之间线段最短，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线，射线，线段的定义画出图形； （2）根据题目要求画出图形； （3）连接，交于点O，点O即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，点O即为所求．理由是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式11-3】（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图． (1)画直线； (2)画射线交直线于点E； (3)在直线上找一点F，使得最小，并说明理由； (4)在图中找一个点，使该点到点A，B，C，D的距离之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，直线、射线、线段． （1）根据直线定义即可画直线； （2）根据射线定义即可画射线交直线于点E； （3）根据根据两点之间线段最短求解； （4）点即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，射线，点E即为所求； （3）连接与相交于点，根据两点之间线段最短，可得此时的最小值为； （4）如图，点F即为所求，利用同（3）． 题型十二 线段长度的计算 【例12】（24-25七年级上·全国·期末）如图，线段，，是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)在线段上取一点，使得：：，求线段的长． 【答案】(1)10 (2)17 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据已知条件求得，由中点定义知，然后根据求解． 本题考查了线段的和差倍分关系、线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 【详解】（1）解：∵线段，， ； （2），：：， ． 又点是的中点，， ， ， 即的长度是． 【变式12-1】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【答案】(1)41 (2)49 【分析】本题考查了线段的和差计算及线段上点的位置关系，解题的关键是根据点C的不同位置（线段上或延长线上）确定线段的长度，再结合线段的比例关系求出相关线段长度，进而得到的长.​ （1）当点C在线段上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． （2）当点C在线段的延长线上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式12-2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有 条线段． (2)求的长． (3)若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1)6 (2)的长是 (3)的长是或 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的和差，正确的理解题意是解题关键． （1）根据直线上线段的条数公式：直线上有n个点，线段的条数是，可得答案； （2）根据线段中点的性质和线段的和差即可得到结论； （3）根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：图中有四个点，线段有． 故答案为：6； （2）解：点为的中点，， ， ， 答：的长是； （3）解：，， 当点在线段上时， ， 当点在线段的延长线上时， ， 答：的长是或． 【变式12-3】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点． ①若，求的长． ②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）． （2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题主要考查两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差求解线段的长是解题的关键． （1）①由设，，根据可求解值，即可得，的长，结合中点的定义可求解；②根据题意画出图形，由设，，则，利用线段的和差，结合中点的定义可求解，由，进而可求解的长． （2）根据中点定义得到，即可求出． 【详解】（1）解：①由设，， ∵，， ， 解得， ，， 为线段的中点， ， ． ②解：如图所示． 由设，， ∴， 为线段的中点， ， ， 为的中点， ， ， ， ， 解得， ． （2）∵点M为线段中点，点N为线段中点， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 题型十三 角的度量及计算 【例13】（24-25七年级上·吉林通化·期末）如图，为的平分线，是的平分线． (1)如果，，那么为多少度？ (2)如果，，那么为多少度？ 【答案】(1)为 (2)为 【分析】此题主要考查了角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义得，，然后根据即可得出答案； （2）先根据是的平分线，得，进而得，然后再根据为的平分线可得出的度数． 【详解】（1）解：∵为的平分线，是的平分线， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 即为； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， 即为． 【变式13-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图①所示，若，则的度数为________；若，则的度数为______（用含a的式子表示）； (2)将图①中的绕点O顺时针旋转至②的位置，试探究和度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由：见解答过程 【分析】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键． （1）首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据即可求解；解法与（1）相同，把（1）中的改成a即可； （2）把的度数作为已知量，求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得的度数，再根据求得，即可解决． 【详解】（1）解：∵， ， 又 ∵平分， ， 又 ∵， ； 若，同理； 故答案为：；； （2）解：，理由如下： ，平分， ， ∴ ． 【变式13-2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知是过点的一条射线，分别平分． (1)当射线在的内部时 ①如图①，若，则_________； ②如图②，若，求的度数（用含的式子表示）； (2)当射线在的外部时，，请借助备用图探究的度数是________（直接写出答案） 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，分情况确定射线的位置是解题的关键． （1）①由，求角度即可； ②借助①的角的数量关系即可求得的度数； （2）分情况讨论射线的位置，在（1）的基础上求的度数即可． 【详解】（1）解：①分别平分， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②由①知， ， ， 即的度数为； （2）解：射线在的外部分两种情况， 如图③， 分别平分， ， ， ， ， ， ， ， 如图④， ， ， ， ， ， ， 即的度数为或 故答案为：或 【变式13-3】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）【问题背景】 如图，在内部，是的平分线，是的平分线． 【问题探究】 （1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ （2）如图2，当时，尝试发现与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，当时，猜想：与、有数量关系吗？并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）与α有关，与β无关，，理由见解析 【分析】本题考查了角度的运算，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，，从而根据求得的度数； （2）同理（1），，，，从而求得的度数； （3）同理（1），，，，从而求得的度数； 【详解】解：（1）是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ； （2）同理（1），， ，， ； （3）与α有关，与β无关，，理由如下： 同理（1），， ，， ． 题型十四 余角与补角的计算 【例14】（25-26七年级上·全国·单元测试）如果锐角的余角是，那么锐角的补角是 ． 【答案】/138度 【分析】本题考查了余角及补角，熟练掌握余角及补角的概念是解题关键． 根据余角的定义，两个角的和为，可求出锐角α的度数为；再根据补角的定义，两个角的和为180°，即可求出α的补角． 【详解】解：∵ 的余角是， ∴ ， ∴ 的补角为； 故答案为． 【变式14-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线上一点，且，，则 ，的余角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角，角的和差，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为．根据可知和互为余角，已知，根据互余两角之和为即可求解． 【详解】解：， 和互为余角， ， ， 即的余角是， 故答案为：，． 【变式14-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）一个角的余角比它的补角的多，求这个角的度数． （2）已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题重点考查余角和补角以及一元一次方程的实际应用，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据题意，先设这个角的度数为，再列方程进行计算． （2）根据题意，先设这个角的度数为，再列方程进行计算． 【详解】解：（1）设这个角的度数为，由题意得， ， 解得， 答：这个角的度数为． （2）设这个角的度数为，由题意得， ， 解得， 答：这个角的度数为． 【变式14-3】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的补角是，的余角是 (3) 【分析】本题考查余角、补角的定义，角平分线的定义． （1）根据同角的余角相等即可得出结论； （2）根据余角和补角的定义，结合图形即可解答； （3）由（2）知，求出，再根据平分，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的补角是，的余角是； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 题型十五 线段与角的规律探究问题 【例15】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③ (2) 【分析】（1）①②根据角的概念求出即可； ③根据①②分析得出的规律求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ， ∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ， ∴图中得到6个角； ③由①②可得， 当从点分别引条射线， ， ∴得到个角； （2）根据题意可得， 当时，． ∴全部赛完共需120场比赛． 【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键． 【变式15-1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 【变式15-2】（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】 （2）当点数为时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】 （3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛． ①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛? ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 【答案】（1）4；10；（2）；；（3）①15；②30 【分析】本题主要考查了图形规律探究，两点确定一条直线，解题的关键是根据已知图形，得出一般规律． （1）根据图形进行解答即可； （2）根据已知图形得出一般规律，进行解答即可； （3）①将代入代数式进行求解即可； ②将代入求出结果即可． 【详解】解：（1）当点数为5时，过任意一点的直线有4条，共有直线（条）； 故答案这：4；10； （2）当点数为时，过任意一点的直线有条，共有直线（条）； 故答案为：；； （3）①进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行的比赛场数为： （场）； ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出的纪念品件数为： （件）． 【变式15-3】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）（1）知识探究： 如图1，已知一条直线， 当上有2个点时，图中只有，条线段， 当上有3个点时，图中有条线段， 当上有4个点时，图中有条线段， 当上有5个点时，图中有条线段， ．．．．．． 按此规律： 当上有个点时，图中有___________条线段： （2）知识应用； 如图2，内有条射线，则图中共有___________个角； （3）知识迁移： 如图3，线段BC上有2016个点，则图中共有___________个三角形； （4）知识拓展： ①如图4，图中共有___________个长方形（含正方形）； ②如图5，图中共有___________个长方形（含正方形）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①36；②216 【分析】本题考查图形的变化规律，通过观察所给的图形，找到一般规律，并能应用规律是解题的关键 （1）通过观察所给的式子，求解即可； （2）通过计算，探索出一般规律即可； （3）通过计算，探索出一般规律即可； （4）①根据（1）的方法，类比求解即可；②根据以上解题的方法，类比求解即可， 【详解】解: （1）， 故答案为：； （2）内有1条射线，共有个角， 内有2条射线，共有个角， 内有3条射线，共有个角， 内有条射线，共有个角， 2 故答案为： （3）线段上有1个点，共有个三角形， 线段上有2个点，共有个三角形， 线段上有3个点，共有个三角形， 线段上有n个点，共有个三角形， 当时，共有个三角形； 故答案为：2035153； （4）①有个长方形， 故答案为：36； ②有个长方形， 故答案为：216. 题型十六 线段动点与动角的探究问题 【例16】（24-25七年级上·江西上饶·期末）（1）探索规律 点C在线段上，则有三条线段．若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称C是线段的“巧点”． ①线段的中点 这条线段的“巧点”．(填“是”或“不是”) ②若，C是线段的“巧点”，求的长． （2）探究类比 如图，平分，是内部从点O出发的一条射线，平分． ①若，求的度数． ②设，x与y具有怎样的数量关系？ 【答案】（1）①是；②或或；（2）①；② 【分析】本题考查线段的和差倍分．角平分线的定义及角的和差． （1）①根据“巧点”的定义即可求解；②分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边，进行讨论求解即可； （2）①由角平分线的定义，得出，再结合图形，即可求解； ②由角平分线的定义，得出 ，表示出，由，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵线段的长是线段中点分割的两条线段长度的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”； ②∵，点C是线段的“巧点”， 若C在中点的左边，则； 若C在中点的右边，则； 若点C在中点，则； 故的长度为或或； （2）①解：平分，， ， ∵， ， ∵平分， ∴； ②解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即． 【变式16-1】（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）类比思想和分类讨论思想是初中数学学习中常用的数学思想，小明在学习了第六章《几何图形初步》的相关知识后，认为解决线段和角的问题是对这两种思想的一种体现．如图①，已知线段，点C为直线上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 【分类讨论】（1）若，请画图分析并写出： ①当点C在线段上时，的长为______； ②当点C在的延长线上时，的长为______． 【类比分析】（2）若，请说明不论m取何值（m小于20）的长不变； 【知识迁移】（3）如图②，已知，过平面内任一点C画射线，满足（n小于70），若、分别平分和，请求出的度数，并写出你发现的结论． 【答案】（1）10,10 （2）不变， （3），不论（小于）取何值，不变 【分析】本题主要考查了线段的中点，线段的和差，角平分线的定义，角的和差， 对于（1），①根据可得答案；②根据可解； 对于（2），结合（1）分两种情况讨论，并求出值即可； 对于（3），分射线在内部和外部两种情况讨论，再结合角的和差得出答案． 【详解】解：（1）①如图所示，当点C在线段上时， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，当点C在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 故答案为：10，10； （2）①如图所示，当点C在线段上时， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，当点C在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴． 所以不论m取何值，的长不变； （3）当射线在内部时， ∵， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴； 当射线在外部时， ∵， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴． 可知不论取何值，不变． 【变式16-2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 【变式16-3】（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【初步探究】 （1）如图①，已知线段，C，D为线段上的两个动点，且，M，N分别是和的中点，求线段的长； 【类比探究】 （2）如图②，直角与平角如图摆放在一起，且和分别是，的角平分线，则的度数； 【知识迁移】 （3）当，时，如图③摆放在一起，且和分别是，的平分线，求的度数（用含，的代数式表示）．（，） 【答案】（1）10；（2）；（3） 【分析】本题考查了线段的中点及线段的和与差以及角的平分线及角的和与差，根据图形找到线段与角的关系是解题的关键． （1）根据，，求出，根据中点定义得出，，求出，最后求出结果即可； （2）根据和分别是，的角平分线，得出，求出，最后求出结果即可； （3）根据角平分线定义得出，根据求出结果即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为M，N分别是和的中点， 所以，， 所以． 所以． （2）因为，， 所以， 因为和分别是，的角平分线， 所以， 所以， 所以． （3）因为和分别是，的角平分线， 所以， 所以 ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法不正确的是（    ）． A．用一个平面去截一个圆锥可能截得三角形； B．五棱柱有10个顶点； C．棱柱的侧面都是四边形； D．棱锥的侧面可以是四边形． 【答案】D 【分析】本题考查几何图形的性质，包括圆锥截面、棱柱和棱锥的特征，掌握基本几何体的结构特征是解题关键； 通过特征概念判断各选项的正误． 【详解】解：∵ 用一个平面截圆锥，当平面通过顶点时，截面为三角形， ∴ A正确，不符合题意； ∵ 五棱柱有两个五边形底面，每个底面有个顶点， ∴ 总顶点数为， ∴ B正确，不符合题意； ∵ 棱柱的侧面均为矩形或平行四边形，都是四边形， ∴ C正确，不符合题意； ∵ 棱锥的侧面是从顶点到底面的三角形， ∴ 侧面都是三角形，不可能是四边形， ∴ D不正确，符合题意． 故答案选：D． 2．（20-21七年级上·河南洛阳·期末）下列说法中，正确的个数有（    ） 过不同两点有且只有一条直线；连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离；两点之间，线段最短；不同三点A、B、C在一条直线上，若，则点B 是线段的中点． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查线段，直线，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解∶过不同两点有且只有一条直线， 故正确； 连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，故正确； 两点之间，线段最短，故正确； 不同三点A、B、C在一条直线上，若，则点B 是线段的中点，故正确． 故选：A 3．（25-26七年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（   ） ①互为余角的两个角不可能相等；②一个角的补角一定小于这个角； ③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④互余的两个角一定都是锐角； ⑤一个锐角的余角比这个角的补角小． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角的概念，根据定义逐一判断各说法的正误即可． 【详解】解：① ∵ 两个角互余且相等，∴ 互为余角的两个角可能相等，故①错误； ② ∵角的补角为，∴ 补角不一定小于这个角，故②错误； ③ ∵ 同角的补角相等，∴ ③正确； ④ ∵ 互余的两角之和为，每个角必小于，∴ 都是锐角，故④正确； ⑤ 设锐角为，则余角为，补角为， ∵，∴ 余角比补角小，故⑤正确； 综上，正确的有③④⑤，共3个． 故选：B． 4．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，两个直角共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中不正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． ①依题意得，则，由此可对该结论进行判断； ②假设，则，进而得，根据已知条件无法判定，由此可对该结论进行判断； ③根据平分得，则，进而得，然后根据角平分线的定义可对该结论进行判断； ④设平分，则，再根据得，则平分，由此可对该结论进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和都是直角， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②假设， ， ， ∴， ， 根据已知条件无法判定， 故结论②不正确， ③∵平分，， ， 又， ， ， ∴平分， 故结论③正确； ④设平分，如图所示： ， ， ， ， ∴平分， 即的平分线与的平分线是同一条射线， 故结论④正确， 故选：A． 二、填空题 5．（2025七年级上·全国·专题练习）已知一个角的度数是，则它的补角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了补角的定义，角的和差及度分秒之间的转换. 根据补角的定义，两个角之和为，因此用减去已知角即可求解. 【详解】解：. 故答案为：. 6．（25-26七年级上·山西运城·期中）如图，这是一个正方体的展开图，每个面上都标有一个有理数，且相对的面上的有理数互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方体展开图及含乘方的有理数混合运算，熟练掌握正方体展开图及含乘方的有理数混合运算是解题的关键；由正方体展开图可知，然后代入进行求解即可． 【详解】解：∵正方体展开后，相对的面上的有理数互为相反数， ∴由正方体展开图可知， ∴； 故答案为． 7．（2026九年级·贵州·专题练习）点A，B，C在同一条直线上，若，． （1）AC的长为 cm； （2）若点C在线段AB的延长线上，且D是线段AB的中点，E为线段BC的中点，则AD的长为 cm，DE的长为 cm． 【答案】 2或4 1.5 2 【分析】（1）（2）根据线段的和与差的关系求解； 【详解】解：（1）如图：当点C在线段AB的延长线上， ； 当点C在线段AB上， ； 故答案为：2或4； （2）如图： ； ， ， ； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了线段的和与差，正确的运算是解题的关键． 8．（25-26七年级上·吉林长春·期末）将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了与余角、补角有关的角度计算，正确运用角的和差计算是解题的关键． 根据角的和差关系，逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵不一定是的角平分线， ∴不一定等于，故②错误； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④． 故答案为：①④． 三、解答题 9．（24-25七年级上·吉林·期末）一个锐角的三分之一与这个角的余角及这个角的补角的和等于平角，则这个角的为多少度？ 【答案】 【分析】设这个角为，根据锐角的三分之一与余角和补角的和等于平角建立方程，解答即可． 本题考查了余角，补角，解方程，熟练掌握定义和解方程是解题的关键． 【详解】解：设这个角为，根据题意，得， 解得． 故这个角是． 10．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在同一平面内有四个点，请按要求完成下列问题．（请用直尺和圆规作图，不写作图步骤，保留作图痕迹，作图时先使用铅笔画出，确定后再用黑色字迹的签字笔描黑） (1)作直线； (2)作射线，在射线上作线段，使线段； (3)分别连接、； (4)______（填“”、“”或“”），理由：______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 (4)；两点之间，线段最短 【分析】（）根据题意画出图形即可； （）根据题意画出图形即可； （）根据题意画出图形即可； （）根据两点之间，线段最短即可求解； 本题考查了直线、射线及线段，掌握直线、射线及线段的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，射线及线段即为所求； （3）解：如图所示，线段即为所求； （4）解：由图可知，，理由：两点之间，线段最短， 故答案为：；两点之间，线段最短． 11．（25-26七年级上·重庆·期中）如图是一个长方体包装盒的展开图，其中厘米，且． (1)假设包装盒的宽为x厘米，求的长度为多少厘米？（用含x的代数式表示，并写出必要的过程） (2)若厘米，求长方体包装盒的表面积为多少平方厘米？ 【答案】(1)厘米； (2)208平方厘米 【分析】本题考查了长方体的展开图，整式的加减，解一元一次方程． （1）根据长方体的展开图的特征，求得，由，求得厘米，据此计算即可求解； （2）先解一元一次方程，求得，再根据长方体的表面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵厘米，厘米， ∴， ∵，厘米， ∴厘米， 由题意得，，， ∴（厘米）； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴长方体包装盒的表面积为（平方厘米）． 12．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查的是角的和差运算，与余角补角相关的计算； （1）①由可得； ②求解，结合，利用可得答案； （2）由，，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②，， ， 由（1）知， ． （2）解：当为任意锐角时，， 理由如下：，， ． 13．（25-26七年级上·广东·期中）如图，在平整的地面上，9个完全相同的棱长为的小立方体堆成一个几何体． (1)请在网格中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)该几何体的表面积为__________； (3)如果在这个几何体上再添加一些小立方体，并保持从正面看和从左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加__________个小立方体． 【答案】(1)见解析 (2)36 (3)2 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，几何体的表面积，掌握从不同方向看几何体作图的方法是解题的关键． （1）根据题意画出形状图即可； （2）根据几何体的表面积公式即可求解； （3）先求出保持从正面看和从左面看到的形状图不变时，几何体中小立方体个数最多的情况，再将其与原来的几何体中小立方体的个数作差即可得出答案． 【详解】（1）解：画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图如下： （2）解：从正面或背面看，有6个小正方形； 从上面或下面看，有5个小正方形； 从左面或右面看，有5个小正方形，还有4个小正方形被遮挡； ∴该几何体的表面积为； 故答案为：36； （3）解：要使几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，第一层最多可以有6个小立方体，第二层最多可以有4个小立方体，第三层只能有1个小立方体， ∴几何体最多可以有（个）小立方体， ∴最多可以再添加（个）小立方体． 故答案为：2． 14．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒（）． (1)填空：①A，B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； (2)求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当t为何值时，． 【答案】(1)①10，3②， (2)当时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为4 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴、整式的加减，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）①利用两点间的距离公式，和中点公式，进行求解即可； ②根据速度乘以时间等于路程，利用左减右加，用含t的代数式表示点P，Q所表示的数即可； （2）根据（1）的结论，列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）利用两点间的距离公式和绝对值的几何意义，列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，， 线段的中点表示的数为， 故答案为：10，3； ②点P表示的数为， 点Q表示的数为， 故答案为：，； （2）解：设运动时间为t秒，根据题意得， ， 解得， ， ∴当时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为4； （3）解：根据题意得， ， 解得或， ∴当t为1或3时，． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法中，正确的个数有（    ） ①射线和射线是同一条射线； ②若，则点B为线段的中点； ③线段的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段的三等分点，，则； ⑤用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据射线的表示法可判断①；根据线段中点的定义可判断②；根据两点之间的距离定义可判断③．可能是的， 也可能是的，可判断④；根据直线的基本事实可判断⑤． 【详解】① ∵ 射线以A为端点向B方向延伸，射线以B为端点向A方向延伸，方向不同，∴ 不是同一条射线． 故①错误． ② ∵时，点B不一定在线段上（如三角形中），∴ B不一定是的中点． 故②错误． ③ ∵ 点A与点B之间的距离定义为线段的长度． ∴ ③正确． ④ ∵ 点C是线段的三等分点，若是的，则； 但若是的，则． ∴不一定为9． 故④错误． ⑤ ∵ 两颗钉子固定木条依据“两点确定一条直线”，而非“两点之间线段最短”． 故⑤错误． 综上，只有③正确，共1个正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何概念．熟练掌握射线的方向性、中点需共线、三等分点的两种情形以及几何公理的区别，几何概念的准确性是解题的关键． 2．（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，再求出，根据垂直的定义可得，从而可得，最后根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， 故选：A． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期中）将“数学核心素养”六个字分别写在如图所示的正方体盒子的六个面上，将图1盒子在桌面上向右翻滚，接着按逆时针方向旋转．若把该正方体盒子打开，得到的平面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，关键在于利用空间想象能力还原立体图形．根据正方体的位置变换可知心与素相对，数与核相对，再根据数，学，心三面的斜线构成一个三角形即可得解． 【详解】解：由题意知：心与素相对，数与核相对，故排除， 由数，学，心三面的斜线构成一个三角形可知符合， 不符合， 故选：． 4．（20-21七年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，钟表上时，时针与分针之间所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是钟面角，熟练掌握钟表表盘与角度相关的特征是关键．因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，再用大格数乘即可求解． 【详解】解：∵钟表上时，时针与分针之间相差个大格， ∴时针与分针的夹角是． 故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 【答案】D 【分析】本题考查与线段的中点有关的计算．分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：，， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则，， ∵， ∴， ∴； 综上，线段的长是20或4． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）若的补角是，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查补角的定义：“和为的两个角互为补角”．根据“和为的两个角互为补角”，用即可得． 【详解】解：∵的补角是， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，线段，点C在上，，点D为的中点，则线段的长 ． 【答案】12 【分析】此题主要考查的是两点间的距离，线段中点的定义，解题的关键是正确分析题目中线段之间的等量关系． 先根据题意得出，，再结合中点的定义得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ，， 为的中点， ， ． 故答案为：12． 8．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如图正方形的边长为3，以直线为轴，将正方形旋转一周，从左边看到所得几何体的形状图的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三视图的知识以及平面图形旋转后的立体图形，左视图是从物体的左面看得到的视图，考查了学生细心观察能力和计算能力，找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．熟知三视图的知识和具备良好的空间想象能力是解题的关键． 【详解】正方形的边长为，以直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体为半径为3圆柱体，该圆柱体的左视图为矩形； 矩形的两边长分别为和， 故从左边看到所得几何体的形状图的周长是． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，分别为内部三点，连接．已知平分平分．若，则的补角的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，求一个角的补角的度数，由角平分线的定义可得的度数，进而求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据度数之和为180度的两个角互补即可求出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的补角的度数为， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上线段，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16．若线段以6单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2单位/秒的速度向左匀速运动，设运动的时间为t秒，P是线段上一点，当点B运动到线段上时，若关系式成立，则此时线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解．随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况． 【详解】解：∵，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是， ∴点B在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是， 设线段未运动时点所表示的数为，点运动时间为， 则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，，，， ， ， 即：， ①当点在点右侧时， ， ， ； ②当点在点左侧时， ， ， ； 的长有2种可能，即或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知，C、D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有_____条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，C、D分别为中点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查线段的定义、线段的中点、线段的和差．根据数形结合思想找寻线段间的数量关系是解答的关键． （1）根据线段的定义即可解答； （2）根据，得到，再利用即可求解； （3）由题意求出的长，再根据线段中点的定义求出，根据即可求解． 【详解】（1）解：图中有，共条线段， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵C、D分别为中点， ∴， ∴． 12．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)写出图中的余角和补角； (2)若，求的度数； (3)写出与的关系，并说明理由； (4)若，求的度数． 【答案】(1)的余角是；的补角是； (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】本题主要考查了余角与补角的定义，几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由直角的定义可得，则由平角的定义可得，，再由度数之和为90度的两个角互为余角，度数之和为180度的两个角互为补角可得答案； （2）由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得，再由角的和差关系可得答案； （3）同（2）思路求解即可； （4）根据题意可得，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是； ∵， ∴的补角是； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26七年级上·全国·期中）画出下面由11个小正方体搭成的几何体从不同角度看得到的图形． (1)请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形． (2)小立方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积． (3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，可以有______种添加方法，画出添加正方体后，从上面看这个组合体时看到的一种图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2，图见解析 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，简单组合体的表面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识． （1）根据三视图的画法，画出这个简单组合体的三视图即可； （2）分别求出最上层，中间层和最下面一层需要涂色的面，即可求解； （3）根据再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：由题意可知，几何体的最上层一共有5个面需要涂色，中间一层一共有12个面需要涂色，最下面一层一共有18个面需要涂色， ∴一共有个面需要涂色， ∴涂上颜色部分的总面积 （3）解：如图所示，一共有2种添加方法： 14．（25-26七年级上·广东河源·阶段练习）【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 【答案】(1)①③④ (2)①16；②1000 (3)该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和展开图的特征判断即可； （2）①由条件得底面是正方形，求出边长后根据正方形周长公式即可得解； ②分别求出长方体的长宽高后根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案； 本题主要考查了简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 【详解】（1）解：根据展开图，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①由题意得长方体纸盒的底面为正方形， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：16； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为， 高为， 宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为， 边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最小外围周长为， 则该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 15．（25-26七年级上·北京·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)直接写出当为何值时，． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)， (2)或 (3)线段的长度不发生变化，长度为5，理由见解析 【分析】本题主要考查了实数和数轴，两点之间的距离，绝对值的几何意义，解含绝对值的方程，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据动点的平移表示出点表示的数即可； （2）根据两点之间的距离，利用绝对值的几何意义，列出方程，然后求解即可； （3）根据中点公式表示出两个中点，然后利用绝对值的几何意义，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：秒后，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：根据题意得， 解得或； （3）解：线段的长度不发生变化，长度为5，理由如下： 根据题意得，点所表示的数为， 点所表示的数为， 线段的长为， ∴线段的长度不发生变化，长度为5． 16．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示出所有可能的结果） (3)如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时整数的值． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)①或或；②或 【分析】本题考查了角之间的数量关系，巧分线定义，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是 （2）∵， 当是的角平分线时， ∴； 当是三等分线时，较小时， ∴； 当是三等分线时，较大时， ∴； 故答案为：或或； （3）解：①∵是的“巧分线”， ∴在内部，所以转至左侧， ∵与成时停止旋转，且，旋转速度为． ∴． 当时，如图所示：   ， 解得； 当时，如图所示：   ， 解得； 当时，如图所示：   ， 解得． ∵或或均在的范围内， ∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”； ②依题意有：在的内部， ∴，， 当时，如图所示：   ， 解得（不是整数，舍去）； ②当时，如图所示：   ， 解得； ③当时，如图所示：   ， 解得． ∴当射线是的“巧分线”时整数的值为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 几何图形初步（复习讲义） 1. 了解立体图形与平面图形的区别，体会点、线、面、体之间的整体联系；了解从不同方向看立体图形的视图概念。 2. 能用两点确定一条直线的基本事实，会找线段中点，能运用两点之间线段最短的基本事实；能描述两点间距离的定义。 3. 理解角的定义、度量单位及换算，理解角平分线的定义；理解余角、补角的定义及性质，能利用余角、补角性质和方位角解决问题。 清单01 几何图形 1. 立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱等；平面图形的各部分都在同一平面内，如三角形、圆等。 2. 从不同方向看立体图形：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。 3. 点、线、面、体之间的联系：体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；点动成线，线动成面，面动成体。 清单02 直线、射线、线段 1. 有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 2. 线段的中点：若C是线段AB的中点，则AC＝BC＝AB。 3. 有关线段的基本事实：两点之间，线段最短。 4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 清单03 角 1. 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2. 角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。 3. 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OB是∠AOC的角平分线，则∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。 4. 余角和补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。 5. 方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西。 题型一 几何体的识别 【例1】（24-25七年级下·北京·期末）下列几何体中，是圆锥的为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）下列各个花瓶可以近似看成圆柱的是（   ） A．   B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·山西大同·期末）下列实物图中，能抽象出棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）用数学的眼光观察我们身边的物体，下列不可以抽象为棱柱的是（   ） A． B．C． D． 题型二 立体图形的分类 【例2】将下列几何体按名称分类： 柱体有______； 锥体有______； 球体有______．（请填写序号） 【变式2-1】指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球． (1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有 ，锥体有 ，球有 ； (2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有 ，无曲面的有 ． 【变式2-2】观察如图所示的八个几何体． (1)依次写出这八个几何体的名称： ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ； (2)若几何体按是否包含曲面分类：（填序号即可） 不含曲面的有 ；含曲面的有 ． 【变式2-3】指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．    柱体：___________________________ 锥体：___________________________ 球体：___________________________（填序号） 题型三 几何体中的点、棱、面 【例3】（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示的五棱柱，它有 个面， 条棱． 【变式3-1】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，该几何体是一个直棱柱，它的名称是 ，它有 个顶点， 条棱． 【变式3-2】一个正n棱柱，它有5个面，该棱柱是 棱柱，它有 条棱、 个顶点． 【变式3-3】如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，个顶点，观察图形，填写下面的空． （1）四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （2）六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （3）由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 题型四 动态认识点、线、面、体 【例4】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）节日里向空中升起的烟火，这个过程体现了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交形成线 【变式4-1】（24-25七年级上·河北邢台·期末）电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【变式4-2】跨学科试题·语文朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了________，把雨看成________，说明________，横线上应该填（   ） A．点；面；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 【变式4-3】下列现象能说明“面动成体”的是（   ） A．旋转一扇门，门运动的痕迹 B．扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线 C．雨刮器刮去玻璃上的雨水的痕迹 D．时钟的秒针旋转时扫过的痕迹 题型五 平面图形旋转所得立体图形的体积 【例5】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形是______． (2)求这个立体图形的侧面积．（结果保留） 【变式5-1】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是一张长方形纸片，的长为，的长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是 ；（填名称） (2)若将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 【变式5-2】如图，将平面图形甲、乙分别绕轴旋转一周，可以得到立体图形，图形甲是直角边分别为的直角三角形，图形乙是长为、宽为的长方形． (1)立体图形的名称是______；（答案直接填写在答题卡的横线上） (2)请问立体图形比立体图形的体积大多少？（用含和的式子表示，，） 【变式5-3】小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形． (1)你同意 ___________的说法； (2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算甲、乙立体图形的体积？ 题型六 正方体的展开图 【例6】下列图形不是正方体纸盒平面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·河南驻马店·三模）某正方体的每个面上都有一个汉字．如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“喜”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．多 B．乐 C．长 D．安 【变式6-2】（2025·河南驻马店·三模）年月日，我国成功发射天链二号星．小亮准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在（   ） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 【变式6-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是（      ） A．B． C． D． 题型七 由展开图计算几何体的面积或体积 【例7】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【变式7-1】（24-25七年级上·山东日照·期末）小明在数学活动课中制作了一个长方体包装纸盒（图1），图2是该包装盒平面展开图（粘贴部分忽略不计），相关数据如图2所示，经过测量得出该包装纸盒的长比宽多． (1)设长方体的宽为，则长为______，高为______（都用含的代数式表示）； (2)求长方体包装盒的体积． 【变式7-2】小明同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多，高是． (1)求长方体盒子的长和宽． (2)求这个包装盒的体积． 【变式7-3】如图是一个几何体的展开图： (1)写出该几何体的名称_______________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是______________（填序号）； ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形． (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 题型八 从不同方向看简单几何体的形状 【例8】（24-25七年级下·云南红河·期中）如图的几何体由7个相同的小正方体搭成，从正面看到的平面图形是（    ） A．B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级上·重庆江津·期末）篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功左图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图所示，桌上放着一个茶壶，4个同学从各自的方向观察，请指出下边的四幅图中，哪一个是小雯看到的（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）2024年12月11日至15日世界羽联世界巡回赛总决赛在我国浙江省杭州市杭州奥体中心体育馆举行，图①是颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台从上面看，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 题型九 画出从不同方向看几何体的平面图形 【例9】如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． (1)填空：这个几何体是由______个小正方体组成的； (2)画出从左面、上面观察这个几何体所看到的形状图； (3)在不改变此几何体从左面、上面观察到的形状图的情况下，最多还可以添加多少个小正方体？ 【变式9-1】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）小林所在的综合实践小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒，用来收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）． (1)图1是综合实践小组的同学画出的一些形状图，其中______（填序号）经过折叠能围成一个无盖正方体形纸盒． (2)综合实践小组的同学用制作的8个正方体形纸盒摆成如图2所示的几何体． ①在图3中画出从正面观察图2的几何体所看到的形状图； ②如果在图2的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个正方体形纸盒． 【变式9-2】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）由8个棱长都为1的小正方体搭成的几何体如图1． (1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图．（一个网格为小立方体的一个面） (2)若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要___________个小立方体． 【变式9-3】（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)这个几何体由 个小正方体搭成； (2)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图（用阴影表示）； (3)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 题型十 直线、射线、线段的表示及性质应用 【例10】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 【变式10-1】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【变式10-2】（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（　　） A．点A在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．射线与射线是同一条射线 D． 【变式10-3】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．射线a比直线b短 B．已知C、D为线段上的两点，若，则 C．若，则点C为线段的中点 D．射线与射线是同一条射线 题型十一 画直线、射线、线段 【例11】（24-25七年级上·全国·期末）如图，A，B，C，D四个点在同一平面内，根据下列语句画图． (1)画射线，直线； (2)延长至点E，使得； (3)连接与交于点F． 【变式11-1】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，在平面上有四个点，根据下列语句画图． (1)①作射线；②作线段； (2)在（1）的基础上，请在线段上画出一点，使点到两点的距离之和最短． 【变式11-2】（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画直线，画射线，连接； (2)连接，并反向延长至点E，使； (3)请在A，B，C，D四个点围成的四边形内找一点O，使最小，理由是______． 【变式11-3】（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图． (1)画直线； (2)画射线交直线于点E； (3)在直线上找一点F，使得最小，并说明理由； (4)在图中找一个点，使该点到点A，B，C，D的距离之和最小． 题型十二 线段长度的计算 【例12】（24-25七年级上·全国·期末）如图，线段，，是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)在线段上取一点，使得：：，求线段的长． 【变式12-1】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【变式12-2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有 条线段． (2)求的长． (3)若点在直线上，且，求的长． 【变式12-3】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点． ①若，求的长． ②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）． （2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长． 题型十三 角的度量及计算 【例13】（24-25七年级上·吉林通化·期末）如图，为的平分线，是的平分线． (1)如果，，那么为多少度？ (2)如果，，那么为多少度？ 【变式13-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图①所示，若，则的度数为________；若，则的度数为______（用含a的式子表示）； (2)将图①中的绕点O顺时针旋转至②的位置，试探究和度数之间的关系，并说明理由． 【变式13-2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知是过点的一条射线，分别平分． (1)当射线在的内部时 ①如图①，若，则_________； ②如图②，若，求的度数（用含的式子表示）； (2)当射线在的外部时，，请借助备用图探究的度数是________（直接写出答案） 【变式13-3】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）【问题背景】 如图，在内部，是的平分线，是的平分线． 【问题探究】 （1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ （2）如图2，当时，尝试发现与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，当时，猜想：与、有数量关系吗？并说明理由． 题型十四 余角与补角的计算 【例14】（25-26七年级上·全国·单元测试）如果锐角的余角是，那么锐角的补角是 ． 【变式14-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线上一点，且，，则 ，的余角是 ． 【变式14-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）一个角的余角比它的补角的多，求这个角的度数． （2）已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 【变式14-3】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 题型十五 线段与角的规律探究问题 【例15】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【变式15-1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【变式15-2】（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】 （2）当点数为时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】 （3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛． ①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛? ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 【变式15-3】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）（1）知识探究： 如图1，已知一条直线， 当上有2个点时，图中只有，条线段， 当上有3个点时，图中有条线段， 当上有4个点时，图中有条线段， 当上有5个点时，图中有条线段， ．．．．．． 按此规律： 当上有个点时，图中有___________条线段： （2）知识应用； 如图2，内有条射线，则图中共有___________个角； （3）知识迁移： 如图3，线段BC上有2016个点，则图中共有___________个三角形； （4）知识拓展： ①如图4，图中共有___________个长方形（含正方形）； ②如图5，图中共有___________个长方形（含正方形）； 题型十六 线段动点与动角的探究问题 【例16】（24-25七年级上·江西上饶·期末）（1）探索规律 点C在线段上，则有三条线段．若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称C是线段的“巧点”． ①线段的中点 这条线段的“巧点”．(填“是”或“不是”) ②若，C是线段的“巧点”，求的长． （2）探究类比 如图，平分，是内部从点O出发的一条射线，平分． ①若，求的度数． ②设，x与y具有怎样的数量关系？ 【变式16-1】（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）类比思想和分类讨论思想是初中数学学习中常用的数学思想，小明在学习了第六章《几何图形初步》的相关知识后，认为解决线段和角的问题是对这两种思想的一种体现．如图①，已知线段，点C为直线上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 【分类讨论】（1）若，请画图分析并写出： ①当点C在线段上时，的长为______； ②当点C在的延长线上时，的长为______． 【类比分析】（2）若，请说明不论m取何值（m小于20）的长不变； 【知识迁移】（3）如图②，已知，过平面内任一点C画射线，满足（n小于70），若、分别平分和，请求出的度数，并写出你发现的结论． 【变式16-2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【变式16-3】（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【初步探究】 （1）如图①，已知线段，C，D为线段上的两个动点，且，M，N分别是和的中点，求线段的长； 【类比探究】 （2）如图②，直角与平角如图摆放在一起，且和分别是，的角平分线，则的度数； 【知识迁移】 （3）当，时，如图③摆放在一起，且和分别是，的平分线，求的度数（用含，的代数式表示）．（，） 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法不正确的是（    ）． A．用一个平面去截一个圆锥可能截得三角形； B．五棱柱有10个顶点； C．棱柱的侧面都是四边形； D．棱锥的侧面可以是四边形． 2．（20-21七年级上·河南洛阳·期末）下列说法中，正确的个数有（    ） 过不同两点有且只有一条直线；连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离；两点之间，线段最短；不同三点A、B、C在一条直线上，若，则点B 是线段的中点． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26七年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（   ） ①互为余角的两个角不可能相等；②一个角的补角一定小于这个角； ③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④互余的两个角一定都是锐角； ⑤一个锐角的余角比这个角的补角小． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，两个直角共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中不正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（2025七年级上·全国·专题练习）已知一个角的度数是，则它的补角的度数是 ． 6．（25-26七年级上·山西运城·期中）如图，这是一个正方体的展开图，每个面上都标有一个有理数，且相对的面上的有理数互为相反数，则 ． 7．（2026九年级·贵州·专题练习）点A，B，C在同一条直线上，若，． （1）AC的长为 cm； （2）若点C在线段AB的延长线上，且D是线段AB的中点，E为线段BC的中点，则AD的长为 cm，DE的长为 cm． 8．（25-26七年级上·吉林长春·期末）将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确的结论序号填在横线上） 三、解答题 9．（24-25七年级上·吉林·期末）一个锐角的三分之一与这个角的余角及这个角的补角的和等于平角，则这个角的为多少度？ 10．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在同一平面内有四个点，请按要求完成下列问题．（请用直尺和圆规作图，不写作图步骤，保留作图痕迹，作图时先使用铅笔画出，确定后再用黑色字迹的签字笔描黑） (1)作直线； (2)作射线，在射线上作线段，使线段； (3)分别连接、； (4)______（填“”、“”或“”），理由：______． 11．（25-26七年级上·重庆·期中）如图是一个长方体包装盒的展开图，其中厘米，且． (1)假设包装盒的宽为x厘米，求的长度为多少厘米？（用含x的代数式表示，并写出必要的过程） (2)若厘米，求长方体包装盒的表面积为多少平方厘米？ 12．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 13．（25-26七年级上·广东·期中）如图，在平整的地面上，9个完全相同的棱长为的小立方体堆成一个几何体． (1)请在网格中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)该几何体的表面积为__________； (3)如果在这个几何体上再添加一些小立方体，并保持从正面看和从左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加__________个小立方体． 14．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒（）． (1)填空：①A，B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； (2)求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当t为何值时，． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法中，正确的个数有（    ） ①射线和射线是同一条射线； ②若，则点B为线段的中点； ③线段的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段的三等分点，，则； ⑤用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期中）将“数学核心素养”六个字分别写在如图所示的正方体盒子的六个面上，将图1盒子在桌面上向右翻滚，接着按逆时针方向旋转．若把该正方体盒子打开，得到的平面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 4．（20-21七年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，钟表上时，时针与分针之间所成的角是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 二、填空题 6．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）若的补角是，则的度数是 ． 7．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，线段，点C在上，，点D为的中点，则线段的长 ． 8．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如图正方形的边长为3，以直线为轴，将正方形旋转一周，从左边看到所得几何体的形状图的周长是 ． 9．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，分别为内部三点，连接．已知平分平分．若，则的补角的度数为 ． 10．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上线段，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16．若线段以6单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2单位/秒的速度向左匀速运动，设运动的时间为t秒，P是线段上一点，当点B运动到线段上时，若关系式成立，则此时线段的长为 ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知，C、D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有_____条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，C、D分别为中点，求的长． 12．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)写出图中的余角和补角； (2)若，求的度数； (3)写出与的关系，并说明理由； (4)若，求的度数． 13．（25-26七年级上·全国·期中）画出下面由11个小正方体搭成的几何体从不同角度看得到的图形． (1)请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形． (2)小立方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积． (3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，可以有______种添加方法，画出添加正方体后，从上面看这个组合体时看到的一种图形． 14．（25-26七年级上·广东河源·阶段练习）【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 15．（25-26七年级上·北京·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)直接写出当为何值时，． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 16．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示出所有可能的结果） (3)如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时整数的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $