专题02 相交线与平行线（期末真题汇编，辽宁专用）七年级数学下学期

**基本信息** 聚焦相交线与平行线核心考点，汇编辽宁多地期末真题，覆盖基础计算、性质应用、折叠实践及辅助线综合，梯度设计适配学段能力要求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|28题|对顶角、邻补角计算，平行线性质应用，折叠角度转化|结合三角板摆放、单车车架等现实情境，如考点03第5题以单车车架求角度| |解答题|16题|角平分线综合，辅助线构造，动态旋转问题|注重分层探究，如考点04第1题含动态旋转、多问递进，适配期末综合能力考查|

专题02 相交线与平行线 高频考点概览 考点01相交线有关的角度计算 考点02根据平行线的性质求解 考点03平行线的折叠与实际应用 考点04平行线的辅助线问题 考点01 相交线有关的角度计算 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，直线，，交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，由题意可得与是对顶角，即得，即得到，再代入已知计算即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线，，交于点， ∴与是对顶角， ∴， 即， ∵，， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）如图，是直线上的一点，作射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查补角，解题的关键是掌握补角的计算． 用减去的度数可得到结果． 【详解】∵，∴． 故选：D． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）已知与互余，，则的补角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了互余，互补， 根据互余和补角的定义进行计算，互余是指两角之和为，补角之和为. 【详解】解：∵ 与 互余， ， ∴，， ∴的补角为. 故选：C. 4．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，小强将自己用的一副三角板摆成如图形状，其中，若，则的度数为（    ） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用与的度数求出，再结合的度数，通过角的和差关系求出． 【详解】， ， ， ． 故选：B． 5．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）一副三角板按如图所示方式摆放，则的补角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了补角，三角板中的角度计算，由三角板可得，，从而利用角的和差关系求出，然后利用补角的定义进行计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由三角板可得，， ， 的补角， 故选：． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，直线相交于点O，射线平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线和角的和差的知识，正确运用角的和差是解答本题的关键． 根据角平分线的定义可得，再由垂直的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵射线平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键．由垂直的定义得到，求出，再由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 8．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，求的大小． 【答案】(1)，见解析 (2)165° 【详解】解：（1），理由是： 平分，平分， ，， ， 即， ． （2），， ，， ，． ，， ， ． 9．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，点为直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若射线在直线上方，且与互余，求证：平分． 【答案】(1) (2)平分，证明见解析 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解的度数，再根据，即可求出的度数； （2）根据余角的定义，平角的定义可求解、的度数，再利用（1）中的度数可求的的度数，由即可证明． 【详解】（1）解：∵点为直线上一点， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． （2）解：由（1）得， ∵与互余， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 10．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）【实践操作】 在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A、O、B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点O重合，是直角，平分． 【解决问题】 （1）如图1，若 ①请求出的度数； ②请直接写出图1中和的度数之间的关系． 【深入探究】 （2）若且将这一直角三角尺如图2放置，猜想图2中和的度数之间的关系，写出你的结论，说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；见解析 【分析】本题考查了余角和补角的定义，角平分线的定义，角的计算，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）①根据题意，得到的度数，结合角平分线，得到的度数，从而得到结果； ②根据①中的，得到； （2）仿照（1）的解题过程，即可得到结果． 【详解】解：（1）①∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵点A，O，B在一条直线上， ∴； ②∵， ∴； （2），理由如下： ∵是直角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵点A，O，B在一条直线上， ∴， ∴． 11．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，直线，相交于点，以为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1， ①若射线的方向为北偏东，则射线的方向为_______； ②请说明与互为补角． (2)如图2，平分，平分，求证：． 【答案】(1)①南偏东；②见解析； (2)见解析 【分析】本题考查角平分线，互为余角，互为补角，掌握角平分线以及互为余角，互为补角的定义是正确解答的关键． （1）①根据角平分线的定义，互为余角、互为补角的定义进行计算即可； ②根据互为补角的定义进行解答即可； （2）根据角平分线以及互为余角的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：①由题意得， ∵，， ∴， ∴射线的方向为南偏东， 故答案为：南偏东； ②，， ， ，， ， ， 与互为补角； （2）证明：平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 即. ， ． 12．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）如图，点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面几何中角度的计算与角平分线的应用，解决本题的关键在于利用邻补角、余角关系及角平分线性质求解未知角． （1）结合平角定义和角度的和差求解即可； （2）先根据角平分线求解的度数，利用“互余”条件即可求解． 【详解】（1）解：∵点是直线上一点，且，， ∴ 又∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴ ∵与互余， ∴． 13．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板按如图1所示的方式摆放，边与在同一条直线上（点与点重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时，停止运动．设三角板的运动时间为 ． (1)当为何值时，与互余？ (2)当为何值时，平分？ 【答案】(1)当或时，与互余 (2)当时，平分 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，一元一次方程的应用，角平分线的定义， （1）根据当与互余时，，分类讨论，当在的外部时，当在的内部时，根据题意列出方程，解方程，即可求解． （2）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； 【详解】（1）解：当边与边重合时，停止运动．设三角板的运动时间为． ∴即， ∵ ∴当与互余时， 当在的外部时，， ∴ 解得： 当在的内部时， ∴ 解得： 综上所述：或时，与互余 （2）解：如图， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当时，平分． 考点02 根据平行线的性质求解 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）将一个直角三角板放在如图的两条平行线上，其中三角板的直角顶点A在直线上，则下列结论①，②，③中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质、余角的定义，根据两直线平行和余角的定义解答即可． 【详解】解：∵两对边平行， ∴，， 又∵， ∴， 故正确的结论为：①②③， 故选：D． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，一个弯形管道的拐角，要使管道，保持平行，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题为平行线性质的简单应用， 根据两直线平行同旁内角互补的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）一副三角板按如图所示的方式放置，一个顶点重合，一条边平行（），则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求出，再根据求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：A． 4．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）如图所示，已知，将一副直角三角板做如下摆放，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，与三角板有关的角的运算；过G作，则，由得；由平行线的性质得，则由即可求解． 【详解】解：如图，过G作， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，将一块直角三角板的顶点与直尺的一边重合，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．结合图形，利用平行线的性质和平角的定义求解即可． 【详解】依题意： 又 故选：B 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，直线，射线与直线相交于点，过点作，垂足为，若，则 ______ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等 过点作，可得，根据平行线的性质以及垂直的定义可得，进而可求出． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如果与的两条边分别平行，且的度数是的度数的4倍少，那么的度数为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是正确画出图形，避免遗漏． 根据题意，画出不同的图形进行分情况讨论求解． 【详解】解：如图①，由与的两边分别平行， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图②，由与的两边平行， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）直角三角板与直角三角板按如图放置，点C在的延长线上，，其中，，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，与三角板有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，结合，得出，因为，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有一副直角三角板，，，，，现将三角板的直角顶点按照图中方式叠放，点在直线上方，且，则能使三角板有一条边与平行的所有的度数为 __________________． 【答案】，， 【分析】本题考查了角度的计算，平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意，分别作出能使三角板有一条边与平行的图形，要点在直线上方，且，再根据平行线的性质，得到结果． 【详解】解：①图，， ； ②图，， 延长交的延长线于点， ， ， ； ③图，， ， ； 综上所述，使三角板有一条边与平行的所有的度数为，，， 故答案为：，，． 10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点分别在边上，点在上，且，，若，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 由题意，得，得到，从而得到，结合已知条件，得，得，得到结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，点是射线上一点． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，以及角度的计算，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的关系，通过设未知数来求解角度． （1）利用平行线的性质和已知角的关系，证明，从而得出； （2）根据平行线的性质以及求出，再根据，求解出，进而求出的度数． 【详解】（1）证明：∵ ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， 答：的度数为． 考点03 平行线的折叠与实际应用 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 如图，由平行线的性质可求得，由折叠的性质可求得，再由平行线的性质可求得 【详解】解：如图， ，， 又由折叠的性质可知，且， ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，将长方形沿翻折，使点C、D分别落在点H和边上的点G处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补计算即可． 【详解】解：由折叠的性质，可知：． ∵，， ∴． 又∵长方形， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在三角形纸片中，，，点是的中点，点是边上一动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，根据题意，画出示意图，再结合轴对称的性质即可解决问题． 【详解】解：当点在上方时，如图所示， ∵， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∵， ∴； 当点在下方时，如图所示， ∵， ∴， 由翻折可知，， ∴， 又∵， ∴． 综上所述，的度数为：或． 故选：D． 4．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据水面和杯底互相平行，水中的两条折射光线平行，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图： 解：水面和杯底互相平行， ， ， 水中的两条折射光线平行， ， 故选：C． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质可得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着进行第一次折叠，使得，两点落在，的位置，再将纸条沿着折叠（与在同一直线上），使得，分别落在，的位置．若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．设，根据折叠的性质，长方形的性质，则，， ， ，根据折叠性质，矩形性质，得 ，根据 ，计算即可． 【详解】解：设， 四边形是长方形， ， ， 沿进行第一次折叠 ， ， ， ， 根据折叠性质，长方形的性质，得 ， 根据 ， ， 解得， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，点M，N分别在长方形纸片边，上，将长方形纸片沿着MN折叠，点A，B的对应点分别为点E，F，边与交于点I，继续沿着折叠纸片，点E，F的对应点分别为点G，H，若，则______． 【答案】/18度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等，是解题的关键．根据平行线的性质得出，，根据折叠得出，求出，根据折叠得出，求出结果即可． 【详解】解：在长方形纸片中，，， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，已知长方形纸片，点在上，点在上，连接，将纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，与交于点，再将三角形沿折叠，点落在点的位置，若，则的度数是_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、几何图中角度的计算，由题意可得，由平行线的性质可得，求出，由折叠的性质可得，，，从而可得，求出，即可得解． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，丹东东港某镇要修建一条灌溉水渠，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，然后从村到村．已知的方向与的方向一致，则水渠从村到村的修建方向是___________． 【答案】北偏东 【分析】本题考查了方向角以及平行线的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键． 由题意可得：，，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∵的方向与的方向一致， ∴， ∴， ∴， ∴， 即水渠从村到村的修建方向是北偏东． 故答案为：北偏东 11．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，某燃气公司安装燃气管道，从点A处铺设到点B处时，由于一个湖泊无法再直线铺设，需要改变方向经过点M再拐到点C，然后沿方向继续铺设．已知，，则______°． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定．过点M作，则，由平行线的性质可得，进而可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点M作， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图是某市的三个旅游景点，景点B在景点A的南偏东方向，景点B在景点C的南偏东方向，景点A在景点C的南偏西方向，则____． 【答案】35 【分析】本题考查了方位角、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据方位角可得，，，，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，，，， ∴，， ∴， 故答案为：35． 考点04 平行线的辅助线问题 1．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）已知两条平行线，，一块直角三角尺，且点不可能同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角尺的顶点分别放在上，若，则的度数为___________； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，若点恰好落在和之间，且与线段交于点，若，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，请直接写出射线与所夹锐角的度数． 【答案】(1)120 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质得出，得出，即可求解． （2）过点作，推出．根据平行线的性质得出则．求出，即可求解； （3）根据题意，进行分类讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ． 又， ， ， 故答案为：120； （2）解：如图，过点作，    ∵， ． ． ． 又， ， ． （3）解：如图，当点在上方时，交于点，    设，则， ∴， 解得． ∴； 如图，当点在下方时，延长交于点，    设，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）综合与实践： (1)创设情境：在一次露营观星活动中，图1小明同学从营地A点出发，要到C地去，先沿北偏东方向到达B地，然后再沿北偏西方向到达目的地C．已知三个营地夹角，此时小明在营地A的__________方向； (2)问题解决：夜晚观星活动开始，图2为观察北斗星时所拍摄，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星：瑶光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为A，B，C，D，E，F，G，并连接，在绘制过程中（图3）若摇光、开阳所在的直线与天机星、天璇星所在的直线平行，，，求的度数； (3)问题迁移：如图4，已知直线，E、F为两直线间的定点，且点F在点E的上方，，，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则的度数为__________． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，方位角有关的计算，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由题意得，，则由平行线的性质得到，由三角形内角和定理可得的度数，再求出的度数即可得到答案； （2）过点C作，过点D作，则，由平行线的性质可得，，则可求出，得到，证明，得到，则； （3）过点F作，过点E作，则，由平行线的性质得到，，证明，得到，设，则，由角平分线的定义可得，，则，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴此时小明在营地A的北偏东方向； （2）解：如图所示，过点C作，过点D作， ∴ ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点F作，过点E作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点G， ∴，， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）数学活动课上，李老师给出如下问题让学生探究如图，，点，分别在，上，点在，之间连接，，． (1)求的度数； (2)小红在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，作的平分线和的平分线，与的反向延长线相交于点，求的度数； (3)小张在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，在线段上取点，在射线上取点，连接，作和的平分线相交于点，判断和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）作，证明，可得，故从而可得； （2）作，证明，设，则可得设故，又，即得，知； （3）作，，设设，，有，而，得，即可得． 本题考查平行线的判定与性质，解题的根据是作出辅助线，构造平行解决问题 【详解】（1）解：作，如图： ， ， ， ， ， ， ． ， ； （2）解：作，如图： ， ． ， ． ． ． ． 由平分，设，则． ． 由平分，设． ， 由（1）可知， ， ； （3）解：，理由如下： 作，，如图： 设，， 平分， ， 由（1）可知，． ， ， ． ． ． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，，的角平分线与的角平分线交于，若设． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，当时，点在延长线上，点是上一点，若，求的度数 （用含的式子表示）； (3)如图3，的延长线交于点，点 是线段上一点，且，过点作交直线于点，若在直线上取一点，使，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据平行线的性质得出 ，进而根据角平分线的定义，即可得出； （2）过点作 ，根据平行线的性质得出，根据（1）得出，根据，即可求解． （3）当在线段上时，当在的延长线上时，分别画出图形，根据已知得出，，结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 平分， ； （2）解：过点作 ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可得，， ∴； （3）解：如图，当在线段上时， 由（1）可得，， ， ， ， ， ∵， ， ， ，， ； 如图，当在的延长线上时， 同理可得，，， ∴． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【答案】(1)①，理由见解析；②能，秒或秒 (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（）①设与相交于点，过点作，可得，利用平行线的性质可得，即可求解；②设灯的旋转时间为秒，分回转时和回到时两种情况解答即可求解； （）设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出方程解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 两灯旋转秒时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②能．设灯的旋转时间为秒， 如图，当回转时，，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得； 当回到时，如图， ， ∴，此时； 综上，除①中情况之外，当灯的旋转秒或秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直； （2）解：设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行， 如图，当到达前与平行，设与相交于点， 由题意得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当到达后回转时与平行，设与相交于点， 则，， 同理上可得，， 即， 解得； 如图，当回转到后再次往旋转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 如图，当再次到达后回转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 综上，灯旋转秒或秒或秒或秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，平分，平分，的延长线交于点F，过点F作，交的延长线于点G． (1)如图1，求证：； (2)点M在线段上，点N在线段上，且，连接．若有成立． ①如图2，当时，求的度数． ②当时，请直接写出________（用含有k的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，角平分线的性质的应用，垂直的定义等知识点，三角形外角性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）过点E作，利用平行线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后可得，进而即可得证； （2）①当时，，，设，用含的代数式表示出，再由平行线得出，进而即可得证； ②当时，，，重复①的过程，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点E作， ． ∵， ∴，， ， 平分平分， ， ， ，即， ， ， ， ∴； （2）解：①，理由如下：     设，如图， 当时，，， ∵， ， ， ∵， ∴， ∵， ， ∴． ②当时，，， 设，则，， ， ∵， ∴， ∵ ， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图1，直线，平分交于点M． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)如图2，点P为线段延长线上一点，连结，．若，且，求的度数； 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质与判定，熟练掌握相关知识，并灵活应用是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和平行线的性质，即可求证； （2）设，则，利用平行线的性质，推出，再利用两直线平行，同旁内角互补，列方程求解； （3）如图所示：过点P作交GH的延长线于Q，利用角平分线的定义和平行线的性质推出， 进一步推出，再结合即可求解； 【详解】（1）是的平分线， ， 又， ， ； （2）设，则， 由（1）可知：， ， ， ， 又， ， 即， 解得， ； （3）如图所示：过点P作交GH的延长线于Q， 则， ， 又， ， ， ， ， 又是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 又， 解得． 8．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师和同学们共同探究平行线的作用，王老师给出如下问题．如图1，已知三角形，是上一点，．求证：． 小明的方法：如图2，过点作，交于点，利用平行线的性质得出结论． 小亮的方法：如图3，过点作，利用平行线的性质得出结论． 请你选择上面一名同学的方法，写出证明过程． 【变式探究】 （2）王老师和同学们发现，在解决问题的过程中，都运用了作平行线的方法．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，王老师提出了下面的问题，请你解答． 已知：三角形，直线经过点，，点是射线上一点，点，分别在直线和直线上，且． ①如图4，当点在线段上，点在点的右侧，点在点的右侧时，若，求的度数． ②如图5，平分，当点在的延长线上时，若的一边与平行，，请直接用含有的式子表示． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质． （1）小明：过点作，交于点，根据平行线的性质即可得证；②小亮的方法，过点作 ，根据平行线的性质得出； （2）①过点作 根据（1）的方法得出，结合，即可求解； ②分两种情况，分别画出图形，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）小明：过点作，交于点 则， ， ， ， ． 小亮的方法 证明：过点作 ， 则 ， ． ． ， ， （2）①解：过点作 则 ，， ． ， ， ． ②如图，当时，延长交于点， ∵平分，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴； 如图，当时，过点作， 则 ∵ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 综上，或． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线 高频考点概览 考点01相交线有关的角度计算 考点02根据平行线的性质求解 考点03平行线的折叠与实际应用 考点04平行线的辅助线问题 考点01 相交线有关的角度计算 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，直线，，交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）如图，是直线上的一点，作射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）已知与互余，，则的补角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，小强将自己用的一副三角板摆成如图形状，其中，若，则的度数为（    ） A．10° B．20° C．30° D．40° 5．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）一副三角板按如图所示方式摆放，则的补角为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，直线相交于点O，射线平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，求的大小． 9．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，点为直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若射线在直线上方，且与互余，求证：平分． 10．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）【实践操作】 在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A、O、B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点O重合，是直角，平分． 【解决问题】 （1）如图1，若 ①请求出的度数； ②请直接写出图1中和的度数之间的关系． 【深入探究】 （2）若且将这一直角三角尺如图2放置，猜想图2中和的度数之间的关系，写出你的结论，说明理由． 11．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，直线，相交于点，以为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1， ①若射线的方向为北偏东，则射线的方向为_______； ②请说明与互为补角． (2)如图2，平分，平分，求证：． 12．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）如图，点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 13．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板按如图1所示的方式摆放，边与在同一条直线上（点与点重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时，停止运动．设三角板的运动时间为 ． (1)当为何值时，与互余？ (2)当为何值时，平分？ 考点02 根据平行线的性质求解 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）将一个直角三角板放在如图的两条平行线上，其中三角板的直角顶点A在直线上，则下列结论①，②，③中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，一个弯形管道的拐角，要使管道，保持平行，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）一副三角板按如图所示的方式放置，一个顶点重合，一条边平行（），则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）如图所示，已知，将一副直角三角板做如下摆放，（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，将一块直角三角板的顶点与直尺的一边重合，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，直线，射线与直线相交于点，过点作，垂足为，若，则 ______ 7．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如果与的两条边分别平行，且的度数是的度数的4倍少，那么的度数为_______． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）直角三角板与直角三角板按如图放置，点C在的延长线上，，其中，，，则的度数为__________． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有一副直角三角板，，，，，现将三角板的直角顶点按照图中方式叠放，点在直线上方，且，则能使三角板有一条边与平行的所有的度数为 __________________． 10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点分别在边上，点在上，且，，若，求的度数．    11．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，点是射线上一点． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 考点03 平行线的折叠与实际应用 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，将长方形沿翻折，使点C、D分别落在点H和边上的点G处，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在三角形纸片中，，，点是的中点，点是边上一动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为（   ） A． B． C． D．或 4．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 7．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着进行第一次折叠，使得，两点落在，的位置，再将纸条沿着折叠（与在同一直线上），使得，分别落在，的位置．若，则的度数为______． 8．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，点M，N分别在长方形纸片边，上，将长方形纸片沿着MN折叠，点A，B的对应点分别为点E，F，边与交于点I，继续沿着折叠纸片，点E，F的对应点分别为点G，H，若，则______． 9．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，已知长方形纸片，点在上，点在上，连接，将纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，与交于点，再将三角形沿折叠，点落在点的位置，若，则的度数是_____． 10．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，丹东东港某镇要修建一条灌溉水渠，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，然后从村到村．已知的方向与的方向一致，则水渠从村到村的修建方向是___________． 11．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，某燃气公司安装燃气管道，从点A处铺设到点B处时，由于一个湖泊无法再直线铺设，需要改变方向经过点M再拐到点C，然后沿方向继续铺设．已知，，则______°． 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图是某市的三个旅游景点，景点B在景点A的南偏东方向，景点B在景点C的南偏东方向，景点A在景点C的南偏西方向，则____． 考点04 平行线的辅助线问题 1．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）已知两条平行线，，一块直角三角尺，且点不可能同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角尺的顶点分别放在上，若，则的度数为___________； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，若点恰好落在和之间，且与线段交于点，若，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，请直接写出射线与所夹锐角的度数． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）综合与实践： (1)创设情境：在一次露营观星活动中，图1小明同学从营地A点出发，要到C地去，先沿北偏东方向到达B地，然后再沿北偏西方向到达目的地C．已知三个营地夹角，此时小明在营地A的__________方向； (2)问题解决：夜晚观星活动开始，图2为观察北斗星时所拍摄，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星：瑶光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为A，B，C，D，E，F，G，并连接，在绘制过程中（图3）若摇光、开阳所在的直线与天机星、天璇星所在的直线平行，，，求的度数； (3)问题迁移：如图4，已知直线，E、F为两直线间的定点，且点F在点E的上方，，，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则的度数为__________． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）数学活动课上，李老师给出如下问题让学生探究如图，，点，分别在，上，点在，之间连接，，． (1)求的度数； (2)小红在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，作的平分线和的平分线，与的反向延长线相交于点，求的度数； (3)小张在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，在线段上取点，在射线上取点，连接，作和的平分线相交于点，判断和的数量关系并说明理由． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，，的角平分线与的角平分线交于，若设． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，当时，点在延长线上，点是上一点，若，求的度数 （用含的式子表示）； (3)如图3，的延长线交于点，点 是线段上一点，且，过点作交直线于点，若在直线上取一点，使，求的值． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，平分，平分，的延长线交于点F，过点F作，交的延长线于点G． (1)如图1，求证：； (2)点M在线段上，点N在线段上，且，连接．若有成立． ①如图2，当时，求的度数． ②当时，请直接写出________（用含有k的代数式表示） 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图1，直线，平分交于点M． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)如图2，点P为线段延长线上一点，连结，．若，且，求的度数； 8．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师和同学们共同探究平行线的作用，王老师给出如下问题．如图1，已知三角形，是上一点，．求证：． 小明的方法：如图2，过点作，交于点，利用平行线的性质得出结论． 小亮的方法：如图3，过点作，利用平行线的性质得出结论． 请你选择上面一名同学的方法，写出证明过程． 【变式探究】 （2）王老师和同学们发现，在解决问题的过程中，都运用了作平行线的方法．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，王老师提出了下面的问题，请你解答． 已知：三角形，直线经过点，，点是射线上一点，点，分别在直线和直线上，且． ①如图4，当点在线段上，点在点的右侧，点在点的右侧时，若，求的度数． ②如图5，平分，当点在的延长线上时，若的一边与平行，，请直接用含有的式子表示． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $