专题01 整式的乘除（期末真题汇编，辽宁专用）七年级数学下学期

**基本信息** 辽宁多地期末试题汇编，聚焦整式乘除7大考点，科学记数法融入日地距离、新能源汽车产量等现实情境，新定义与规律探究题（如杨辉三角、月历规律）突出数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|约50题|幂的运算、科学记数法、整式运算|基础题占比60%，如幂的混合运算辨析题| |解答题|约30题|化简求值、乘法公式应用、规律探究|综合题结合图形验证（如正方形面积证完全平方公式）和实际问题（如长方形面积计算）|

专题01 整式的乘除 高频考点概览 考点01幂的混合运算 考点02科学记数法 考点03整式的混合运算 考点04整式的化简求值 考点05乘法公式的应用 考点06 整式乘除的应用 考点07新定义与规律探究类题 考点01 幂的混合运算 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）已知，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）已知，，则_________． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若，，则______． 9．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）计算：___________． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）计算：的结果是 ____． 考点02 科学记数法 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）日地距离约为150000000千米，天文学上称之为一个天文单位．这一特定的距离有助于地球维持一个稳定的轨道．这个距离使得地球能够在一个相对安全的区域内绕太阳公转，避免了过近太阳可能导致的过热，以及过远太阳可能导致的寒冷．这里的150000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）据统计2024年新能源汽车产量超过1043万辆，其中10430000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）沈阳故宫是中国现存最完整的两大古代宫殿建筑群之一，其部分建筑彩画中使用了一种传统颜料颗粒．经测量，该颜料颗粒的直径约为0.000085米，将数据0.000085用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红．”已知荷花粉的直径大约为米，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）水是生命之源，以固态、液态、气态三种形态在自然界中循环存在．水的三态变化本质上是由水分子的热运动和分子间作用力决定的．一个水分子的半径约为．数据用科学记数法表示正确的为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）航天员的宇航服加入了可以抵御太空的高温的气凝胶．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于，0.00000002用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）“夜深知雪重，时闻折竹声．”这是白居易《夜雪》中对雪的描写．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）辽宁省的陆地总面积约为14.8万平方千米，其中数据“14.8万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，把数字0.00000023用科学记数法表示为_____________． 10．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为___________． 11．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）随着人民生活水平的提高，人们对旅游的需求日益增长，文化旅游逐渐成为消费热点．今年十一黄金周，国内旅游出游人数为人次，用科学记数法表示为________． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）我国自主研发的500m口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为；一个11人制正规足球场的面积约为．“中国天眼”的反射面面积大约相当于_______个11人制正规足球场的面积．（结果精确到1个） 考点03 整式的混合运算 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）（1）化简：； （2）化简：． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2)． 10．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）（1）计算：     （2）化简： 11．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）化简： (1)； (2)． 考点04 整式的化简求值 1．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）利用乘法公式进行化简，并求值： ，其中，． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）计算 (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中． 7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 8．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中，． 9．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 考点05 乘法公式的应用 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）观察下列图形找规律，下列哪个式子可用规律计算（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）长方形的长和宽分别为a，b，若，，则该长方形的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）若是完全平方式，那么的值是___________． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图阴影部分的面积可以直观地用______（式子）表示． 5．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）图为边长分别为、的正方形纸片、，以及长为、宽为的长方形纸片，现将一张卡片放在卡片的内部得图，将一张卡片和一张卡片并列放置后构造新的正方形得图若图和图中阴影部分的面积分别为和，求图中新正方形的边长为______． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，1号水稻试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，2号水稻试验田是边长为的正方形，两块试验田都收获了的水稻，则较高的单位面积产量是较低的单位面积产量的__________倍． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图所示的图形是由一个长方形和两个正方形组成的图形，其中长方形的长为，宽为，若，，则图中两个正方形的面积和是______． 8．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】如图1，正方形是由长为a、宽为b的4个全等的小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系．       （1）请你写出这个等量关系． （2）根据上述关系，已知，求的值． 【方法迁移】如图2，长方形是由8个长为a、宽为b的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题： ①求a，b之间的数量关系； ②若长方形的宽，求小长方形的面积． 9．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）数学课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片．A种纸片是边长为a的正方形，b纸片是边长为的正方形，种纸片是长为宽为的长方形．现在用种纸片一张，纸片一张，纸片两张拼成如图2的正方形，观察图2可得出三个代数式：，ab． (1)写出三个代数式之间的等量关系； (2)根据（1）中的等量关系解决如下问题 ①已知：求的值； ②已知，求的值． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分的面积可以用正方形的面积与正方形的面积的差来计算；也可以用长方形的面积与长方形的面积的和来计算． (1)根据图中阴影面积的不同计算方式，请直接写成，，之间的等量关系； (2)根据（）中得到的等量关系，解决下面的问题： ①计算：； ②若，求的值． 11．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）数学活动课上，同学们准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形． 小明发现：将不同纸片“拼”在一起，可得面积之和（如图2）； 小强发现：将不同纸片“叠”在一起，可得面积之差（如图3、4）： (1)由图2所拼图形可得乘法公式：______； (2)由图3，将图与图叠放一起，阴影部分面积______（用含、的式子表示）； 由图4，将图与图叠放一起，阴影部分面积______（用含、的式子表示）； (3)若（2）中的，，则______，______． 12．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． 【直接应用】 （1）若，，则______； 【解决问题】 （2）①如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为______． ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． 【方法迁移】 （3）如图3，已知数轴上点A，B，C表示的数分别是m，6，10．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于点H，若正方形的面积与正方形的面积的和为80，则求出长方形的面积． 考点06 整式乘除的应用 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，有一个长为、宽为的长方形，它的周长为14，面积为12，则的值为（   ） A．19 B．20 C．26 D．27 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图是边长分别为a和b的两个正方形，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）若计算的结果中不含x的一次项，则a的值为______． 5．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 6．（24-25七年级上·辽宁·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解： ， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：． (1)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请画出图形； (2)已知，，求的值； (3)已知，求的值； (4)已知，求的值． 考点07 新定义与规律探究类题 1．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）已知，则▲表示的式子为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如果将（为非负整数）展开后的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别是1，1； ，它有三项，系数分别是1，2，1； ，它有四项，系数分别是1，3，3，1； ，它有五项，系数分别是1，4，6，4， … 将上述式子的各项系数排成如图所示的数表，按照规律可以续写数表，该数表在我国南宋数学家杨辉的著作《九章算法》中提过，因而叫作杨辉三角．根据上述研究方法可以确定展开后的第四项的系数为（   ） A．1 B．5 C．6 D．10 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 5．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）同学们请认真观察以下三个算式，尝试着去发现存在的规律： ①； ②； ③； 请你结合这些算式，解答下列问题： (1)请你再写出两个符合上述规律的算式：_______，_______ (2)设两个连续奇数为（其中为正整数），请说明它们的平方差是8的整数倍． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在月历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为，，，，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 当时，如图1是2025年1月份的月历，小明在其中画出两个的方框，通过计算，；发现． (1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明； (3)请同学们利用小明的方法，借助2025年2月份的月历，继续进行如下探究． ①当时，如图2，在月历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； ②当时，如图3，若在月历中用的方框框住位置上的4个数，直接写出“”的值的规律； (4)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 7．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． (1)图1和图2中的第7个图形，三角形数和正方形数分别为__________； (2)下列自然数中，既是三角形数又是正方形数的是__________（填序号）； ①1；②25；③36；④84. (3)仔细观察，三角形数与正方形数有怎样的联系呢？设第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为，请猜想出之间有何数量关系，并验证这个结论． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）观察下列各式： ①； ②； ③； ④ 请回答下列问题： (1)总结公式：______； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值； (3)已知a，b，m，n均为整数，且若，请直接写出n的值． 9．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2024年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”我们惊喜地发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． (1)请同学们在2024年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律； (2)请同学们利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘除 高频考点概览 考点01幂的混合运算 考点02科学记数法 考点03整式的混合运算 考点04整式的化简求值 考点05乘法公式的应用 考点06 整式乘除的应用 考点07新定义与规律探究类题 考点01 幂的混合运算 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，合并同类项，幂的乘方，根据同底数幂的乘法和除法，合并同类项法则，幂的乘方法则计算各项后进行判断即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，不符合题意； C．，计算错误，不符合题意； D．，计算正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据幂的运算性质，分别对每个选项进行计算，判断其运算结果是否正确．本题主要考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、除法法则，合并同类项法则以及积的乘方、幂的乘方法则是解题的关键． 【详解】解： ，故A选项错误． ∵与不是同类项，不能合并， ∴，故B选项错误． ，故C选项错误． ∴，故D选项正确． 故选：D． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）已知，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，由同底数幂的除法公式得 ，即可求解；掌握的逆用是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：B． 4．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法的性质，对各个选项逐一计算，即可完成求解． 【详解】，故A不正确； ，故B不正确； ，故C正确； ，故D不正确； 故选：C． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂的除法等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 运用合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂的除法逐项判断即可． 【详解】解：A． 与不是同类项，不能合并，不符合题意；     B． ，不符合题意； C． ，符合题意；     D． ，不符合题意． 故选C． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方以及幂的乘方．根据同底数幂的乘除法，积的乘方以及幂的乘方，对选项逐个判断即可． 【详解】解：，A选项错误，不符合题意； ，B选项正确，符合题意； ，C选项错误，不符合题意； ，D选项错误，不符合题意； 故选：B． 7．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）已知，，则_________． 【答案】4 【分析】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，即 ，．利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行变形整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：4． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算，根据，然后把，代值计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂，根据零指数幂和负整数指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）计算：的结果是 ____． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．先变形为，再逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 考点02 科学记数法 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）日地距离约为150000000千米，天文学上称之为一个天文单位．这一特定的距离有助于地球维持一个稳定的轨道．这个距离使得地球能够在一个相对安全的区域内绕太阳公转，避免了过近太阳可能导致的过热，以及过远太阳可能导致的寒冷．这里的150000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：150000000用科学记数法可表示为． 故选：C 2．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）据统计2024年新能源汽车产量超过1043万辆，其中10430000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：10430000用科学记数法表示为． 故选：A 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）沈阳故宫是中国现存最完整的两大古代宫殿建筑群之一，其部分建筑彩画中使用了一种传统颜料颗粒．经测量，该颜料颗粒的直径约为0.000085米，将数据0.000085用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查较小数的科学记数法，掌握知识点是解题的关键． 根据小于1的数的科学记数法的定义，即可解答． 【详解】解：． 故选C． 4．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红．”已知荷花粉的直径大约为米，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 用科学记数法将表示为即可． 【详解】解：由题意可得， 故选：B． 5．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）水是生命之源，以固态、液态、气态三种形态在自然界中循环存在．水的三态变化本质上是由水分子的热运动和分子间作用力决定的．一个水分子的半径约为．数据用科学记数法表示正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据用科学记数法表示正确的为． 故选D． 6．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）航天员的宇航服加入了可以抵御太空的高温的气凝胶．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于，0.00000002用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解∶， 故选∶A． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）“夜深知雪重，时闻折竹声．”这是白居易《夜雪》中对雪的描写．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 8．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）辽宁省的陆地总面积约为14.8万平方千米，其中数据“14.8万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万， 故选：A． 9．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，把数字0.00000023用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）随着人民生活水平的提高，人们对旅游的需求日益增长，文化旅游逐渐成为消费热点．今年十一黄金周，国内旅游出游人数为人次，用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示，确定的值是解题的关键． 科学记数法的形式为，确定的值：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数为的值；由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）我国自主研发的500m口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为；一个11人制正规足球场的面积约为．“中国天眼”的反射面面积大约相当于_______个11人制正规足球场的面积．（结果精确到1个） 【答案】35 【分析】本题考查了科学记数法及同底数幂的除法的应用，理解题意是解题关键． 根据题意列式计算求解即可． 【详解】解： 反射面面积约为；一个11人制正规足球场的面积约为 个， 故答案为：35． 考点03 整式的混合运算 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查代数式的运算，包括多项式乘法、幂的运算、单项式乘多项式及指数运算，需逐一验证各选项的正确性 【详解】解：A： ，正确； B：，错误； C：，错误； D：由，，得：，错误； 故选A 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方运算，完全平方公式， 同底数幂乘除法则逐一分析各选项的运算是否正确． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，涉及完全平方公式、幂的乘方、单项式乘法及合并同类项，需逐一分析各选项的正确性，据此进行作答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：B 4．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，合并同类项，单项式乘以多项式，积的乘方以及完全平方公式，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，完全平方公式． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用多项式乘多项式的法则，完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可； （2）先计算乘方和除法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算幂的乘方，零指数幂，同底数幂的除法，再进行加减即可； （2）利用平方差公式和多项式乘以多项式法则计算，再进行加减计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）（1）化简：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是运用运算法则来计算． （1）根据多项式除以多项式的运算法则即可求出答案． （2）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案． 【详解】解：（1） ． （2） ． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘多项式法则计算后再算除法即可； （2）利用零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方法则计算后再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 10．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）（1）计算：     （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的运算，整式的混合运算， （1）根据零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方将原式化简，再进行乘除运算，最后进行加减运算； （2）根据完全平方公式将原式展开，然后去括号，最后合并同类项； 掌握相应的运算法则、公式及运算顺序是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2） ． 11．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了同底数幂乘法，乘法公式，多项式乘以多项式，合并同类项等知识，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键． （）先根据幂的乘方，同底数幂乘法法则进行计算，再合并同类项法即可； （）先根据乘法公式，多项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式除以单项式，乘法公式； （1）根据多项式除以单项式进行计算即可求解； （2）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 考点04 整式的化简求值 1．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据整式混合运算法则，进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入原式中，原式． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）利用乘法公式进行化简，并求值： ，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，整式加减和乘法公式，解题关键是熟练掌握运算法则、乘法公式． 先利用平方差公式及整式加减运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则和合并同类项法则． 先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则和合并同类项法则进行化简，再把m的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）计算 (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)，3 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是∶ （1）根据积的乘方法则，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则计算即可； （2）根据完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式法则化简，然后把x、y的值代入计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶ ， 当时，原式． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了零指数和负整数指数幂的运算以及整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先计算有理数的乘方、零指数和负整数指数幂，去掉绝对值，再计算加减即可； （2）先计算完全平方公式、平方差公式，整式的除法，再计算整式加减，然后代值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 当，时， 原式． 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘以多项式、积的乘方、整式的除法的运算法则去括号，再合并同类项得到最简结果，由题意可得，代入计算即可． 【详解】解： ∴原式． 7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2）， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和化简求值，解题关键是熟练掌握积的乘方法则、幂的乘方法则、单项式乘单项式、同底数幂相乘法则、完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式和合并同类项法则． （1）根据积的乘方法则和幂的乘方法则先算乘方，再根据单项式乘单项式和同底数幂相乘法则进行乘法即可； （2）根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式和合并同类项法则进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：（1） （2） ， 当时，原式 8．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算、代数式求值等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． 先根据整式的乘法运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式 ． 9．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）， 【分析】（1）按照整式乘除运算顺序，先做除法（同底数幂相除，底数不变，指数相减 ），再做乘法（同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ）来计算． （2）先利用平方差公式、多项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项，接着做多项式除以单项式运算化简，最后代入求值． 本题主要考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握整式乘除运算法则、乘法公式（平方差公式等）是解题的关键，涉及同底数幂的乘除、平方差公式、多项式的乘除运算等知识点． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 当，时，原式 考点05 乘法公式的应用 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）观察下列图形找规律，下列哪个式子可用规律计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何推导以及应用，正确理解题意是解题的关键． 由图可得①与②的面积和为：，当把②移到①的右方拼接成一个长方形时，此时面积为：，继而得到，验证了平方差公式，即可判断选项． 【详解】解：由图可知①与②的面积和为：， 当把②移到①的右方拼接成一个长方形时，此时面积为：， ∴， ∴此图体现的规律为平方差公式的推导， ∵只有A选项符合平方差公式， 故选：A． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）长方形的长和宽分别为a，b，若，，则该长方形的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方公式的应用能力，通过逆运用完全平方公式进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴该长方形的面积为． 故选：D． 3．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）若是完全平方式，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式的定义，根据完全平方式的定义解答即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴，即， 故答案为：. 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图阴影部分的面积可以直观地用______（式子）表示． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式，解题的关键是根据面积公式来解答．先用x表示出阴影部分的边长，再用正方形的面积公式表示出阴影部分的面积． 【详解】解：阴影部分的面积：， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）图为边长分别为、的正方形纸片、，以及长为、宽为的长方形纸片，现将一张卡片放在卡片的内部得图，将一张卡片和一张卡片并列放置后构造新的正方形得图若图和图中阴影部分的面积分别为和，求图中新正方形的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据题意可得，，根据求出即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 图中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图阴影部分可以看作大正方形与两个小正方形的面积差，即，即， 图和图中阴影部分的面积分别为和， ，， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，1号水稻试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，2号水稻试验田是边长为的正方形，两块试验田都收获了的水稻，则较高的单位面积产量是较低的单位面积产量的__________倍． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键，用代数式表示两块试验田的面积，并比较两块试验田面积的大小，进而求出两块试验田单位面积产量的倍数即可． 【详解】解：1号水稻试验田的面积为，2号水稻试验田的面积为， ，而，即， 号水稻试验田的面积等于2号水稻试验田的面积， 号水稻试验田单位面积产量是1号水稻试验田的单位面积产量的倍数为（倍）． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图所示的图形是由一个长方形和两个正方形组成的图形，其中长方形的长为，宽为，若，，则图中两个正方形的面积和是______． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式几何意义的应用能力，解答本题的关键是理解并运用该知识和数形结合思想． 逆运用完全平方公式进行求解． 【详解】解：， ， 当，时， 图中两个正方形的面积和为：， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】如图1，正方形是由长为a、宽为b的4个全等的小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系．       （1）请你写出这个等量关系． （2）根据上述关系，已知，求的值． 【方法迁移】如图2，长方形是由8个长为a、宽为b的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题： ①求a，b之间的数量关系； ②若长方形的宽，求小长方形的面积． 【答案】[方法应用]（1）；（2）16；[方法迁移]①，② 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的运用，代数式求值，解题的关键是数形结合熟练掌握整式混合运算法则． （1）根据正方形的面积公式和大正方形可以看作四个长方形和中间一个小正方形面积之和，得出等量关系即可； （2）利用（1）得出的关系式进行求解即可； （3）①用两种方法表示长方形的面积，得出等式，即可得出a，b之间的数量关系； ②根据长方形的宽得出，结合，求出a、b的值，然后得出小长方形的面积即可； 【详解】解：（1）由图可知：， （2）， ， ， 方法迁移： ①长方形的面积为，小长方形的面积为， ，即， 即， ， ， ． ②， ， ， 解得， ， 小长方形的面积为． 9．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）数学课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片．A种纸片是边长为a的正方形，b纸片是边长为的正方形，种纸片是长为宽为的长方形．现在用种纸片一张，纸片一张，纸片两张拼成如图2的正方形，观察图2可得出三个代数式：，ab． (1)写出三个代数式之间的等量关系； (2)根据（1）中的等量关系解决如下问题 ①已知：求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，． （1）图2的面积可以表示为一个边长为的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积，据此可得结论； （2）①根据可得，再根据（1）中的结论计算即可； ②设，则，，根据，得出，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵图2是边长为的正方形， ∴， ∵图2可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：①∵， ∴， 即， 又∵， ∴； ②设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分的面积可以用正方形的面积与正方形的面积的差来计算；也可以用长方形的面积与长方形的面积的和来计算． (1)根据图中阴影面积的不同计算方式，请直接写成，，之间的等量关系； (2)根据（）中得到的等量关系，解决下面的问题： ①计算：； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）根据阴影面积的不同计算方式列式表示即可求解； （）①利用（）中得到的等量关系解答即可求解；②把代入等式左边得，再利用（）中得到的等量关系解答即可求解； 本题考查了平方差公式的应用，根据图形可得等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积看作用正方形的面积与正方形的面积的差，即； 图中阴影部分的面积也可以用长方形的面积与长方形的面积的和，即， ∴； （2）解：①原式 ； ②∵ ， ∵， ， 解得． 11．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）数学活动课上，同学们准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形． 小明发现：将不同纸片“拼”在一起，可得面积之和（如图2）； 小强发现：将不同纸片“叠”在一起，可得面积之差（如图3、4）： (1)由图2所拼图形可得乘法公式：______； (2)由图3，将图与图叠放一起，阴影部分面积______（用含、的式子表示）； 由图4，将图与图叠放一起，阴影部分面积______（用含、的式子表示）； (3)若（2）中的，，则______，______． 【答案】(1) (2)， (3)2，5 【分析】此题考查了完全平方公式几何背景问题的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识和数形结合思想． （1）通过对图2面积的整体和各部分求和的不同表示进行求解； （2）运用图形的面积公式进行做差求解； （3）将（2）中结果进行变形后，运用完全平方公式进行求解． 【详解】（1）解：由题意得，图1的面积为： 或， ∴可得乘法公式， 故答案为：； （2）解：由题意得， 阴影部分面积， 阴影部分面积， 故答案为：，； （3）解：由（2）题可得， ，， ∴ ， ∵，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 解得；， 解得， 故答案为：2，5． 12．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． 【直接应用】 （1）若，，则______； 【解决问题】 （2）①如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为______． ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． 【方法迁移】 （3）如图3，已知数轴上点A，B，C表示的数分别是m，6，10．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于点H，若正方形的面积与正方形的面积的和为80，则求出长方形的面积． 【答案】（1）；（2）①；②．（3）32 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用、正方形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）根据完全平方公式的变形求解即可； （2）①由正方形的面积的两种不同的计算方法可得即可；再把、代入①计算即可； （3）由题意可得，再根据正方形的面积与正方形的面积的和为80可得，长方形的面积为，最后（1）的方法求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，解得：． （2）①解：从整体来看，它的面积可以表示为； 从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，面积为的长方形有2块，面积为的长方形有2块， ∴该正方形的面积还可以表示为； ∴； 故答案为：． ②∵， ∴． （3）由图形可知：，，则 由题意可得：， ∵， ∴，解得：． ∴长方形的面积为32． 考点06 整式乘除的应用 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，有一个长为、宽为的长方形，它的周长为14，面积为12，则的值为（   ） A．19 B．20 C．26 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式乘多项式与几何图形的面积．由题意知，，，再把变形为，然后再整体代入求解即可． 【详解】解：由题意知，． ∴． ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘以多项式与几何图形的面积，由题意，可知，拼成的长方形的长为，宽为，利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：由图可知：拼成的长方形的面积是； 故选D． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图是边长分别为a和b的两个正方形，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，单项式与多形式的乘法，利用正方形、三角形面积计算方法表示出各部分的面积，正确利用面积的和差求阴影部分面积是解题的关键． 根据题意，结合图形，，分别表示出各部分面积，即可得到结果． 【详解】解：如图， ． 故选：D． 4．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）若计算的结果中不含x的一次项，则a的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，理解多项式中不含x的一次项即x的一次项的系数为0是解题的关键． 先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，令x的一次项系数为0，列出关于a的方程，求出即可． 【详解】解： ， ∵计算的结果中不含x的一次项， ∴，解得， 故答案为：3． 5．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)9 (3)999999 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0求解即可； （2）先计算出的结果，再根据（1）所求代值计算即可； （3）根据（2）所求可得原式，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵的结果中不含项， ∴ ∴； （2）解： ； （3）解：由（2）可得， ∴ ． 6．（24-25七年级上·辽宁·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解： ， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先由得出，再代入进行计算，即可作答． （2）先由得出，再代入进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：． (1)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请画出图形； (2)已知，，求的值； (3)已知，求的值； (4)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) (4)31 【分析】本题主要考查完全平方式、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景． （1）根据，画出宽为，长为的长方形即可； （2）根据完全平方公式变形可得出答案； （3）设，，则，再由完全平方公式变形可得出答案； （4）设，，则，再由已知得，再由完全平方公式变形可得出，再将变形为，将，代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，可以验证：； （2）解：， ， ， 又，， ； （3）解：设，，则， ， ， ， ， 即； （4）解：设，，则， ， ， ， ， ， ． 考点07 新定义与规律探究类题 1．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）已知，则▲表示的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的除法，掌握整式除法的运算法则是解题的关键． 利用整式的除法法则计算即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如果将（为非负整数）展开后的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别是1，1； ，它有三项，系数分别是1，2，1； ，它有四项，系数分别是1，3，3，1； ，它有五项，系数分别是1，4，6，4， … 将上述式子的各项系数排成如图所示的数表，按照规律可以续写数表，该数表在我国南宋数学家杨辉的著作《九章算法》中提过，因而叫作杨辉三角．根据上述研究方法可以确定展开后的第四项的系数为（   ） A．1 B．5 C．6 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，多项式乘法规律探究，解题的关键是根据所给杨辉三角系数间的关系得出展开后系数．利用所给的“杨辉三角”中各项系数间的关系求解即可． 【详解】解：展开后系数分别是1，5，10，10，5，1， 所以展开后的第四项的系数为10， 故选：D． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【详解】（1）解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． （2）因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 【答案】①；②，，；（2），，，；（3），见解析 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出规律并计算求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键. （1）①直接计算即可； ②根据规律直接计算求值即可； （2）根据规律直接计算求值即可； （3）根据规律写出式子，证明即可. 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 证明如下： 左边， 右边， 左边右边， . 5．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）同学们请认真观察以下三个算式，尝试着去发现存在的规律： ①； ②； ③； 请你结合这些算式，解答下列问题： (1)请你再写出两个符合上述规律的算式：_______，_______ (2)设两个连续奇数为（其中为正整数），请说明它们的平方差是8的整数倍． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）仿照已知等式确定出两个算式即可； （2）列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断． 【详解】（1）解：． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：设两个连续奇数为（其中为正整数），则它们的平方差为 ， 所以它们的平方差是8的整数倍． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在月历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为，，，，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 当时，如图1是2025年1月份的月历，小明在其中画出两个的方框，通过计算，；发现． (1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明； (3)请同学们利用小明的方法，借助2025年2月份的月历，继续进行如下探究． ①当时，如图2，在月历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； ②当时，如图3，若在月历中用的方框框住位置上的4个数，直接写出“”的值的规律； (4)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 【答案】(1)符合 (2)见解析 (3)①；② (4) 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究： （1）利用8，9，15，16四个数进行验证即可； （2）设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式进行即可； （3）①设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式计算即可； ②设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式计算即可； （4）根据中的规律，推出相应的规律即可． 【详解】（1）解：选取8，9，15，16四个数字，则：； 故符合此规律； （2）设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ∴； （3）①设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ； ②设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ； （4）当时，； 当时，； 当时，； ∴． 7．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． (1)图1和图2中的第7个图形，三角形数和正方形数分别为__________； (2)下列自然数中，既是三角形数又是正方形数的是__________（填序号）； ①1；②25；③36；④84. (3)仔细观察，三角形数与正方形数有怎样的联系呢？设第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为，请猜想出之间有何数量关系，并验证这个结论． 【答案】(1)28；49 (2)①，③ (3)，见解析 【分析】本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，完全平方公式,正确找出图形的规律是解题的关键． （1）根据题意得出第n个三角形数为，第n个正方形数为，据此可得答案； （2）逐个把数值代入或中且结合为正整数进行计算，    即可作答． （3）分别找出，，再整理的式子，即可作答． 【详解】（1）解：由题意知第n个三角形数为， ∴把代入，得； 第n个正方形数为； ∴把代入，得； 故答案为：； （2）解：依题意，结合图形得出1既是三角形数又是正方形数 依题意，，且为正整数， 此时无解； 依题意， 解得， ∴， ∴36既是三角形数又是正方形数； 依题意，，且为正整数， 此时无解； 故答案为：①，③； （3）解：，过程如下： ∵设第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为， ∴，， ∴， ∵， ∴． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）观察下列各式： ①； ②； ③； ④ 请回答下列问题： (1)总结公式：______； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值； (3)已知a，b，m，n均为整数，且若，请直接写出n的值． 【答案】(1)； (2)m的值为6或； (3)n的值为22或8或或 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． （1）根据已知算式的规律可得出答案； （2）根据（1）中的规律得，，再根据a，b，m均为整数，①，；②，；③，；④，，据此可得m的值； （3）根据中的规律得，，，再根据a，b，m，n均为整数，且得①，；②，；③，；④，，据此可得n的值． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； 以此类推，， 故答案为： （2）解：， 由（1）得：，， ，b，m均为整数， 有以下四种情况： ①，；②，；③，；④，， ①当，时，， ②当，时，， ③当，时，， ④当，时，， 综上所述：m的值为6或 （3）解：，， ，，， 又，b，m，n均为整数，且， 有以下四种情况： ①，；②，；③，；④，， ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，， 综上所述：n的值为22或8或或 9．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2024年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”我们惊喜地发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． (1)请同学们在2024年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律； (2)请同学们利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 【答案】(1)图见解析；验证见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确发现数字之间的变化规律是解答本题的关键． （1）利用乘法法则，以及减法法则计算得到结果，验证规律即可； （2）找出四个数字的数量关系，设四个数分别为，，，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示： ∵， 故也满足上述规律． （2）解：令第一个数为，根据日历中的数字关系，可得矩形框内的数的规律如下图所示： ∵ 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】(1) (2) (3)运算规律为：，说明见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，结合发现的规律列出式子计算即可得解； （2）根据题目给出的等式，结合（2）的题目信息列出式子即可发现规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，运用整式的乘法运算即可证得结论． 【详解】（1）解：， ， ，…… ， 故答案为：； （2）解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且， ， 故答案为：； （3）解：，，，，… 且由题目知：设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数）， 可得运算规律为：， 说明如下： ， ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $