精品解析：江苏东台市第一中学2025-2026学年高二下学期阶段学情调研数学试题

2025-2026学年度第二学期阶段学情调研 高二数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上. 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】已知向量，若， 则，解得． 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以. 3. 从3位男生，2位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法有（ ）种． A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】总共3个场馆，每个场馆各1人，选出3人后进行全排列： 已知共3名男生，2名女生，且至少有1名女生，则共2种情况，1女2男和2女1男， 不同安排方法有：种． 4. 设随机变量，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，则， ． 5. 已知空间向量，若点在平面内，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】已知点在平面内，，故， 解得， ． 6. 展开式中含项的系数为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，其展开式的通项公式为， 当时，的展开式中各项的次数均不小于，不含项， 当时，的一次项为， 含的项为， 故该展开式中含项的系数为：． 7. 设为两个事件，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，解得， 因为， 所以. 8. 甲､乙､丙､丁､戊､己六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且丙和丁相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，利用“捆绑法”和“插空法”计算符合条件的排列数，再求出6个元素总排列数，进而求出符合条件的概率． 【详解】已知丙丁相邻，捆绑丙丁有2种排列方式， “捆绑后的丙丁”与戊､己共3个元素排列，共种， “捆绑后的丙丁”与戊､己共3个元素排好后有4个空位，且甲、乙不与丙相邻： 若“捆绑后的丙丁”为“丙丁”，则丙左侧空位禁止插入甲或乙， 若“捆绑后的丙丁”为“丁丙”，则丙右侧空位禁止插入甲或乙， 故4个空位中仅有3个可供甲、乙插入，从3个空位中选2个插入甲、乙， 共计， 符合条件的总排列数为：， 6个元素总排列数为：， 符合条件的概率为：． 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.） 9. 已知随机变量的分布列为 1 3 5 7 9 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】令，则， ， 令，则，故A错误； 当时，则， 当时，则， ，故B正确； 展开式通项为， 则对应，即，故C正确； 令，则， 令，则， ，故D正确． 11. 在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得平面平面 C. 当时，直线与所成角的余弦值为 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BC选项； 【详解】对于A选项，因为平面平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为定值， 又，的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图1所示的空间直角坐标系， 则、、、、、，、、， 对于B项，，，，，， 设，其中， 则．设平面的法向量为， 由，令，可得． 设平面的法向量为， 由，令，可得． 若平面平面，则，则，解得，故B正确； 对于C选项，当时，，． 设直线与所成的角为，则， 即直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D项，如图2，当为的中点时，、，，． 设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 则，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可； ④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上） 12. 若，则__________. 【答案】5或3 【解析】 【详解】由题意可得或，解得或， 当时，符合题意； 当时，符合题意， 所以或. 13. 已知甲盒中有个红球和个黄球，乙盒中有个红球和个黄球.现从甲盒中随机抽取个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取个球，此球恰为红球的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由全概率公式计算可得. 【详解】记“从甲盒取出红球放入乙盒”的事件，“从乙盒中抽取个球，此球恰为红球”的事件， 则，，， 由全概率公式得. 所以从乙盒中抽取个球，此球恰为红球的概率为. 14. 如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【解析】 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 四､解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.请把答案写在答题卡的指定区域内） 15. 已知的展开式中共有6项. （1）求展开式中的系数； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由展开式中共有6项可求得的值，然后写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解； （2）易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，结合二项展开式通项可求出展开式中二项式系数最大的项. 【小问1详解】 由题意可得，展开式中共有6项，则，所以该二项式为. 则通项公式为， 令，解得，所以该二项式的展开式中的的系数为. 【小问2详解】 因为，易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大， 即，， 所以展开式中二项式系数最大的项是，. 16. （请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内： （1）共有多少种方法？ （2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？ （3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？ 【答案】（1）256（2）（3） 【解析】 【分析】（1）每个球都有4种方法，根据分步计数原理可得答案； （2）由题意每个盒子不空，故每个盒子各一个，可得答案； （3）由题意可从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，由分步计数原理可得答案. 【详解】解：（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4＝256种， （2）每个盒子不空，共有不同的方法， （3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球， 从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法． 【点睛】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，相对简单，注意灵活运用排列、组合的性质求解. 17. 从标有的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），用随机变量表示抽到的卡片是奇数的个数． （1）求在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率； （2）求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，分析第一次抽到偶数后剩余卡片的情况，进而求出相应概率； （2）分析的可能取值情况，分别计算相应概率，从而得出随机变量的分布列和数学期望． 【小问1详解】 已知奇数卡片3张，偶数卡片2张，第一次抽到偶数后，剩余4张卡片： 3张奇数，1张偶数，则第二次抽到奇数的概率为：． 【小问2详解】 已知随机变量表示抽到的卡片是奇数的个数，则的取值可能为， ； ； ； 随机变量的分布列为： 0 1 2 数学期望为： ． 18. 一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 （1）从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； （2）若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 【答案】（1） （2）（i）万人（ii） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）先确定符合条件的频数区间，得出符合条件的总人数，再用组合数分别计算总情况数和符合条件的情况数，进而求出概率； （2）（i）根据已知条件确定正态分布的两个参数，确定分布，利用正态分布的对称性结合附表计算概率，再利用概率乘以该市总人口，得出对应人数；（ii）将独立重复试验转化为二项分布，求出单次成功概率，进而确定分布类型，再利用二项分布概率公式求出分布列及期望． 【小问1详解】 由频数分布表知，旅游支出不低于元的市民人数为：人， 则从人中随机抽取人的总情况数为：； 符合条件的情况数为：； 符合条件的概率为：． 【小问2详解】 由频数分布表，结合题意可得各组中间值为：， 则样本平均数为， 已知，则； （i）元即为千元，则， 由正态分布的性质：， 则， 该市万市民中，支出在元以上的市民人数约为： 万人． （ii）元即千元，正态分布关于对称，则， 随机变量表示支出在元以上的人数，故， 则，，， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为： ． 19. 如图，已知四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，是的中点． （1）证明：； （2）求二面角的余弦； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，位于的中点位置 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点及向量坐标，利用向量数量积为0，证明线线垂直； （2）分别求出两个平面的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解； （3）求出平面的法向量，假设存在点，满足，利用向量夹角余弦公式构造方程，解方程求出，进而得出结论． 【小问1详解】 已知是正三角形，是中点，则， 以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于方向为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则， ， ， ． 【小问2详解】 ，设平面的法向量为， 则，令，则； ，设平面的法向量为， 则，令，则， 二面角的余弦值为： ． 【小问3详解】 ，设平面的法向量为， 则，令，则， 设，则，则， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简整理得，解得或（舍去）， 存在点，位于线段的中点位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期阶段学情调研 高二数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上. 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 从3位男生，2位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法有（ ）种． A. 9 B. C. D. 4. 设随机变量，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知空间向量，若点在平面内，则（ ） A. B. C. D. 0 6. 展开式中含项的系数为（ ） A. 5 B. C. D. 7. 设为两个事件，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲､乙､丙､丁､戊､己六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且丙和丁相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.） 9. 已知随机变量的分布列为 1 3 5 7 9 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得平面平面 C. 当时，直线与所成角的余弦值为 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上） 12. 若，则__________. 13. 已知甲盒中有个红球和个黄球，乙盒中有个红球和个黄球.现从甲盒中随机抽取个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取个球，此球恰为红球的概率是__________. 14. 如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 四､解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.请把答案写在答题卡的指定区域内） 15. 已知的展开式中共有6项. （1）求展开式中的系数； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 16. （请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内： （1）共有多少种方法？ （2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？ （3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？ 17. 从标有的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），用随机变量表示抽到的卡片是奇数的个数． （1）求在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率； （2）求随机变量的分布列和数学期望． 18. 一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 （1）从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； （2）若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 19. 如图，已知四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，是的中点． （1）证明：； （2）求二面角的余弦； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $