专题05 几何图形初步（期末复习讲义，知识必备+24大重难题型+过关验收）六年级数学下学期新教材人教版五四制

专题05 几何图形初步（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 常见几何体 掌握常见几何体的形状与特征 基础考点，一般在小题考查 几何体中的点、棱、面 掌握几何体中点、棱、面的关系 常考点，牢记公式，小题出现较多 从不同方向看几何体 掌握从不同方向看几何体的画法 必考点，一般会在大题考查，难度不大 几何体展开图的认识 认识几何体的展开图 基础考点，一般出现在小题中 由展开图计算几何体的表面积、体积 学会由展开图还原几何体，并根据展开图计算几何体的表面积、体积 重要考点，一般出现在解答题中 点、线、面、体四者之间关系 掌握点、线、面、体之间的关系 基础考点，一般在小题考查 截一个几何体 学会几何体的截取方式 重要考点，一般在小题考查 直线、射线、线段的联系与区别 掌握直线、射线、线段之间的联系与区别 必考点，一般在小题考查 直线相交的交点个数问题 掌握直线相交的交点个数问题，牢记公式 基础考点，考查频次不高，一般出现在小题中 尺规作线段 掌握尺规作线段的方法 必考点，一般出现在解答题中 线段的和与差 掌握线段和差的计算 必考点，一般出现在解答题中 线段中点计算 掌握线段中点的计算，牢记中点公式 必考点，一般出现在解答题中 两点间的距离 学会找出两点间的距离并表示 常考点，所有题型均会考查 角的相关概念 理解并掌握角的基础概念 必考点，一般出现在小题中 方向角 掌握方向角的表示和计算 常考点，一般出现在小题中 角的单位与计算 掌握角的单位制并会进行角度的计算 必考点，一般出现在解答题中 角平分线计算 掌握角平分线的表示，并会角平分线的度数计算 必考点，一般出现在小题中 余角和补角计算 掌握余角与补角的概念，并会进行余角和补角关联的角度计算 必考点，一般出现在小题中 知识点01 几何图形 【概念】简单几何体的分类： 【概念】点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体； 【概念】图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 常见立体图形的平面展开图 【概念】三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 知识点02 直线、射线、线段 直线的相关概念： 【概念】把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线. 【特征】直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量. 【性质】直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线. 射线的相关概念： 【概念】直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点. 【特征】是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长，可以向一个方向无限延伸. 线段的相关概念： 【概念】直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点. 【特征】有两个端点，有长度，无方向. 【性质】线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短. 【总结】线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示方法 线段AB或线段BA或线段a 射线AB或射线a 直线AB或直线BA或直线a 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线 知识点03 线段的画法及长短比较 【概念】在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 【画法】画一条线段等于已知线段 （1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段； （2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于已知线段. 线段长短的比较 （1）度量法 （2）叠合法 知识点04 线段的中点 如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫作这条线段的中点. 知识点05 角的相关概念 【静态定义】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 【动态定义】角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部． 角的表示方法 表示方法 图例 记法 适用范围 用三个大写字母表示 ∠AOB或∠BOA 任何情况下都适用，表示顶点的字母要写在中间 用一个大写字母表示 ∠O 当以某一字母表示的点为顶点的角只有一个时，可用这个顶点的字母来表示 用数字表示 ∠1 在角的内部靠近顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母，任何情况下都适用 用希腊字母表示 【注意】在初中阶段，若没有特殊说明，默认的角都是小于平角的角. 角的度量单位和换算 1.角的度量单位：度、分、秒是常用的的角的度量单位； 2.角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 3.角的度量方法：最常用的度量角的工具是量角器，用量角器度量角时要注意三点： （1）对中 （2）重合 （3）读数 比较角的大小 1.度量法 2.叠合法 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角. 知识点06 角的画法 1.用量角器画：用量角器可以画出大小在0°到180°之间的任何角. 画角时，先画一条射线，然后让射线与量角器的0°线重合，射线端点与量角器中心重合，在画角处画一个点，再过射线端点和这个点画一条射线，即可得到所要的角. 2.用三角尺画：一副三角尺有30°，45°，60°，90°的角，能用三角尺画15°的整数倍的角. 3.用圆规和直尺作一个角等于已知角 （1）如图1所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； （2）画一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’； （3）以点C’为圆心，CD长为半径画弧，交前一个弧于点D’； （4）过点D’画射线O’B’，则∠A’O’B’就是与∠AOB相等的角. 知识点07 角的平分线 如图所示，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC就叫做这个角的角平分线. 【注意】角的平分线是一条射线，不是线段或直线. 如果一条射线是某一个角的平分线，那么这条射线必定在该角的内部. 知识点07 余角和补角 【概念】一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角. 【概念】如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角. 【性质】 （1）余角的性质：同角（等角）的余角相等； （2）补角的性质：同角（等角）的补角相等； （3）如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角. 题型一 常见几何体 易｜错｜点｜拨 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体； 【典例1】（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列四个几何体中，圆锥是（    ） A．B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·四川·期末）如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【变式2】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）下列图形中，是柱体的有 ．（填序号） 【变式3】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（　　） A．③⑤⑥ B．①②③ C．①③⑥ D．④⑤ 题型二 组合几何体的构成 易｜错｜点｜拨 组合几何体的构成，重点要了解几何体的构成，分析清楚组合体的位置关系，尤其要注意的错误是隐藏位置是否有几何体的存在； 【典例1】（24-25七年级上·山东青岛·单元测试）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·北京海淀·期末）如图，有一块表面刷了红漆的立方体，长为，宽为，高为，现在把它切分成边长为厘米的小正方体，能够切出两面刷了红漆的正方体有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（24-25六年级上·山东泰安·期末）在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为 ． 【变式3】（25-26六年级上·山东烟台·期末）分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是 ． 题型三 几何体中的点、棱、面 易｜错｜点｜拨 几何体中的点、棱、面，要注意的是三者之间的关系，牢记顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间满足关系式V + F - E = 2； 【典例1】（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）一个棱柱共有12个顶点，则它的棱的条数为（    ） A．12条 B．16条 C．18条 D．24条 【变式1】（24-25六年级下·上海浦东新·期末）若将一个长方体的一个角切去，所得到的几何体的顶点和棱的数量最多分别为（     ） A．8个顶点，13条棱 B．10个顶点，15条棱 C．8个顶点，15条棱 D．10个顶点，13条棱 【变式2】18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______． 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 m 6 12 正八面体 n 8 12 正十二面体 20 12 30 (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______． (3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数． 【变式3】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 (2)你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是 (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 (4)某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， 题型四 几何体的三视图 易｜错｜点｜拨 画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等； 【典例1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）如图，下列几何体由5个大小相同的正方体组成，从正面看到该几何体的形状图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式1】（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从正面和从上面看到的形状图，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为 个． 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从它的正面和上面看到的形状图如图所示，若这个几何体最多由个小立方块组成，最少由个小立方块组成，则 ． 【变式3】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在综合与实践课上，小颖和同学们在平整的桌面上用大小形状完全相同的若干个小正方体搭建成如图所示的几何体．在这个活动过程中，他们发现并提出了一些数学问题，请帮他们解答． (1)请在方格纸中画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图； (2)按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共有 个． 题型五 展开图相关问题 易｜错｜点｜拨 要想掌握展开图相关问题，就要明确展开图与原几何体之间的对应关系，对于空间想象不足的学生可以通过画图的方式来进行解答； 【典例1】（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图，胶辊沿从左到右的方向无滑动地滚动，将图案印在墙上，所给的四个图案（如图所示），正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，是一个几何体的展开图，下列结论错误的是（   ） A．这个几何体是三棱柱 B．这个几何体有9条棱 C．这个几何体有6个顶点 D．展开这个几何体需要剪开6条棱 【变式2】（24-25七年级上·天津·期末）综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； （1）写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示） （2）请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）． 【变式3】（24-25七年级下·福建厦门·期末）在数学实践活动课上，学习小组将一张长方形卡纸裁剪分割成五块，用其中一块作为底面，其余4块作为侧面，然后用胶水将这五块不重叠不留缝隙粘合在一起，恰好得到一个无盖的长方体纸盒，如图1所示．已知长方形卡纸的长为，宽为． (1)小明的裁剪分割方法：先在卡纸上裁剪出一个边长为的正方形作为纸盒的底，再将剩余部分裁剪出4个长方形作为纸盒侧面，请在图2中，画出裁剪的示意图并求出该长方体纸盒的高； (2)请在图3中，再画出一种不同于小明的裁剪方法，并求出按你的裁剪方法做成的无盖长方体纸盒的高． 题型六 由展开图计算几何体的表面积、体积 易｜错｜点｜拨 牢记几何体的表面积、体积的计算公式，同时要审清题意，看看计算的结果是否符合要求； 【典例1】（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图所示的长方形（长为14，宽为8）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的表面积为 ．    【变式1】（24-25六年级上·山东济南·期末）如图是一个食品包装盒的表面展开图． (1)该包装盒的几何体名称是 ； (2)根据图中所标尺寸，用a、b表示这个几何体的表面积S，并计算当，时，S的值． 【变式2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子．我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为________，底面积为________，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积________． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 ___ ___ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？请选择________ A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大 (4)当________时（b为整数），所得的无盖长方体的容积最大，此时容积是________． 【变式3】（24-25七年级上·广东东莞·期末）某长方体包装盒的平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴部分（单位：厘米）． (1)求长方体包装盒的容积和表面积．（用含x，y的式子表示） (2)若内部粘贴部分的面积占长方体表面纸板面积的，则当，时，制作这样一个长方体包装盒共需要多少平方厘米纸板？ 题型七 点、线、面、体四者之间的关系 【典例1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）生活中有下列现象，其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象是（   ） A．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上 B．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线 C．把弯曲的河道改直，可以缩短航程 D．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 【变式1】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列说法不正确的是（   ） A．用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是三角形 B．五棱柱有10个顶点 C．三棱柱有3个面 D．雨滴滴下来形成雨丝，属于“点动成线”的现象 【变式2】如图所示的几何体由 个面围成，面与面相交成 条线，其中直线有 条，曲线有 条． 【变式3】（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，观察图1和表中对应数值，探究计数的方法并作答． (1)数一数，每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出多少区域，完成下表： 图 1 2 3 4 顶点数 4 7 8 边数 6 9 区域数 3 根据表中的数值，写出平面图的边数、顶点数和区域数之间的一种关系：______． (2)如果一个平面图有17个顶点和10个区域，那么利用（1）中得出的关系，则这个平面图有______条边． 题型八 截一个几何体 易｜错｜点｜拨 常见几何体的截面要记住不同几何体在不同角度和方向下被平面所截，所得到的截面的形状各不相同。 【典例1】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有（    ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【变式1】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）一个圆柱体的高为，底面半径为，若截面是长方形，则这个长方形面积最大为 ． 【变式2】（24-25七年级上·北京海淀·期末）用一个平面去截一个正方体，所得的截面的形状不可能是 ．（填序号）    【变式3】（24-25七年级上·重庆·期末）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)结合图形和表格填空： 面数 顶点数 棱数（e） 图1 7 a 14 图2 b 8 12 图3 7 10 c ______，______，______； (2)猜想、、之间的关系式； (3)任意一个多面体都满足（2）中的关系吗？以一种你熟悉，且与图1至图3不同的多面体来验证你的猜想，写出简要的验证过程． 题型九 直线、射线、线段的联系与区别 易｜错｜点｜拨 射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线；区别的话可以从图形、表示方法、端点个数、延伸情况和度量情况来分析； 【典例1】（24-25六年级下·山东威海·期末）下列图示中，直线表示方法正确的有（    ） A．①②③④ B．①② C．②④ D．①④ 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，下列说法错误的是（   ） A．图中共有10条线段 B．射线与射线是同一条射线 C．点P在直线外 D． 【变式2】（24-25七年级上·山西晋中·期末）下列说法与下图的几何图形相符的是（   ） A．点在直线上 B．射线与射线为同一条射线 C．直线与直线为同一条直线 D．也可以表示为 【变式3】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的有（   ） A．如图1，直线、相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长线段 D．如图4，直线不经过点 题型十 直线相交的交点个数问题 易｜错｜点｜拨 直线相交的交点个数公式： 【典例1】平面内两两相交的6条直线，交点个数最少为m个，最多为n个，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．22 【变式1】（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，在同一平面内，我们把两条直线相交的交点个数记为，三条直线两两相交最多交点个数记为，四条直线两两相交最多交点个数记为条直线两两相交最多交点个数记为，则用含n的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则七条直线相交最多有 个交点． 【变式3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 题型十一 尺规作线段 易｜错｜点｜拨 画一条线段等于已知线段 （1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段； （2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于已知线段. 【典例1】（24-25七年级上·陕西汉中·期末）如图，平面上有A、B、C、D四个点，根据下列语句画出图形： (1)连接； (2)用尺规在线段上作一条线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）如图，线段． (1)反向延长线段到点C，使； (2)在所画图中，设D是的中点，E是的中点，求的长． 【变式2】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）如图，点是线段外一点．请用尺规按下列语句画图： (1)连接； (2)在线段上求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题： (1)画直线，射线，连接； (2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹） (3)在线段上求作点E，使得点E到A、D、B、P的距离之和最小，这样做的理由是_______________________________________________． 题型十二 线段的和与差 易｜错｜点｜拨 线段的和差计算，要理解线段的和差表示方法； 【典例1】（24-25七年级上·重庆秀山·期末）三点在同一直线上，线段，，那么、两点的距离是(   ) A． B． C．或 D．以上答案都不对 【变式1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图，点、分别是线段上两点(，)，用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则 ．     【变式3】（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是，，8． (1)填空：　 　，　 　； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 题型十三 线段中点的有关计算 易｜错｜点｜拨 记住中点公式： 【典例1】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）如图，线段被点C，D分成三部分，M，N分别是的中点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·山东济宁·期末），，三点在同一条直线上，且线段，点为线段的中点，线段，点为线段的中点，则线段的长为 ． 【变式2】（24-25七年级上·云南昭通·期末）如图，线段，，是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)在线段上取一点，使得：：，求线段的长． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，并且，满足． (1)点表示的数是_________，点表示的数是_________； (2)是线段的中点，求点表示的数； (3)数轴上的点从（2）问中的点开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点从点开始以每秒5个单位长度的速度沿数轴也向右移动，设运动时间为秒，当时，求运动时间的值． 题型十四 与线段有关的动点问题 易｜错｜点｜拨 线段的动点问题，要学会用含t的代数式表示各个线段长，最后根据数量关系列出方程求解； 【典例1】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【变式1】（24-25七年级上·福建龙岩·期末）【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）下列说法正确的有 ． ①若点C是线段的中点，则点C是的巧点； ②若点D在线段上，且，则点D是的巧点． （2）已知点C，D都是线段的巧点，且点C是线段的中点，，，求线段的长； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？请你说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·天津·期末）如图，线段，动点从点出发，以2个单位/秒的速度沿射线运动，为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当点在线段上运动时，试说明为定值； (3)当点在延长线上运动，为的中点时，有下列两个结论：①的长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． 【变式3】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图1，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为7，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒 (1)线段_____； (2)当点运动到线段的延长线上时，_____；（用含的代数式表示） (3)如图2，当秒时，点是的中点，点是的中点，求此时的长度； (4)当点从点出发时，另一个动点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右运动．当点到点和点的距离和为10时，求的值． 题型十五 两点间的距离 【典例1】（24-25七年级上·山西忻州·期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（   ） A． B．或 C． D．或 【变式1】（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图，一条线段，点，分别是，的中点，且，则线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知线段，直线上有一点，，为的中点，则的长为 ． 【变式3】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向右运动（在线段上，在线段上）． (1)当点、运动了，求的长度； (2)若点、运动时，总有，则______； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且满足，与的数量关系为______． 题型十六 角的相关概念 易｜错｜点｜拨 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位， 【典例1】（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出 个锐角． 【变式2】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D按照下列要求，画出图形并回答问题． ①作射线； ②作直线与射线相交于点O； ③分别连接线段； ④画出的图形中，若，则 ． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）分别写出图中有多少个角？ (1)如图①，在的内部从点O引出两条射线，，数一数，图中共有多少个角？并写出来． (2)如图②，如果在的内部以点O为端点作n条射线，则图中一共有多少个角？ 题型十七 尺规作角 易｜错｜点｜拨 角的三种画法： 1.用量角器画：用量角器可以画出大小在0°到180°之间的任何角. 画角时，先画一条射线，然后让射线与量角器的0°线重合，射线端点与量角器中心重合，在画角处画一个点，再过射线端点和这个点画一条射线，即可得到所要的角. 2.用三角尺画：一副三角尺有30°，45°，60°，90°的角，能用三角尺画15°的整数倍的角. 3.用圆规和直尺作一个角等于已知角 【典例1】（24-25七年级上·山东德州·期末）如图，点C在的边上， (1)选择合适的画图工具按要求画图． ①反向延长射线，得到射线； ②画的角平分线； ③在射线上截取； ④在射线上作一点P，使得最小； (2)写出你完成④的作图依据： ． 【变式1】（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，有A，B，C三个点，请用圆规和一副三角板按下列要求作图（不写步骤，需保留痕迹，作图时先用铅笔画出，再用黑色字迹的签字笔描黑）． (1)作直线； (2)连接，在的延长线上找一点D，使线段； (3)作． 【变式2】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）如图，点在的边上，是内部的一条射线． (1)在射线上取一点，使得（尺规作图）； (2)在射线上确定一点，使得最小； (3)写出你完成（2）的作图依据：_____； (4)若，则______． 【变式3】（24-25七年级上·北京海淀·期末）如图，已知平面上三个点，请按要求完成下列问题： (1)画射线； (2)画直线； (3)连接，并在线段的延长线上取一点，使； (4)在的内部画射线，使． 题型十八 方向角的计算 【典例1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有公共顶点的两条射线分别表示南偏东与北偏东，则这两条射线组成的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，A地是海上观测站，某一时刻，从A地发现它的北偏西方向上有一艘船B，若同时，在A地的南偏西方向上有一艘船C，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·重庆丰都·期末）如图，甲沿北偏东方向前进，乙沿图示方向前进，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于A地的南偏东 ． 【变式3】（24-25七年级上·吉林白城·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，是的平分线，． (1)的方向是 ； (2)求的度数． 题型十九 角度的四则运算 易｜错｜点｜拨 1、在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行. 2、在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60. 【典例1】（24-25七年级上·宁夏石嘴山·期末）计算：． 【变式1】（24-25七年级上·河北邢台·期末）计算： (1)把用度表示； (2)． 【变式2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1) (2) 【变式3】（24-25七年级上·陕西延安·期末）计算：． 题型二十 三角板中角度计算 【典例1】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若，求 【变式1】（24-25七年级上·广西防城港·期末）【探究与证明】 初学几何图形，要学会“数”与“形”的结合，你会发现几何知识也很有魅力！ 【动手操作】如图1，直角三角板的直角顶点O在直线上，，射线是的平分线． 请完成： （1）推理：如图1，若，则_____， 因为射线是的平分线，所以______， 所以______； 【类比操作】 （2）如图1，若，求的度数； 【变式思维】 （3）当直角三角板绕点O逆时针旋转到图2位置时，射线还是的平分线，若，求的度数．     【变式2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）【问题发现】 如图1所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点处． （1）①与的数量关系是__________． ②与的数量关系是__________．    【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图2所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点处． ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，，绕点逆转动，在转动过程中和有重合的部分，直接写出转动过程中与的数量关系．    【变式3】（24-25七年级上·吉林·期末）如图①，一个直角三角尺的直角顶点O在直线上，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针转动． (1)当直角三角尺转动到如图②所示位置时，已知，平分，平分． ①求和的度数； ②求的度数； (2)在直角三角尺转动的过程中，始终有平分，平分． 设，若，的度数是否发生变化？若不变，请直接写出的度数；若变化，请说明理由． 题型二十一 几何图形中角度计算 【典例1】（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图， ，，平分．则是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知直线，相交于点O，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，射线在的内部，，． (1)求的度数． (2)若另一条射线也在的内部且满足，求的度数． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 题型二十二 实际问题中角度计算 【典例1】如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（　　） A．减小40° B．增大40° C．减小20° D．不变 【变式2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 【变式3】如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？ 题型二十三 角平分线的有关计算 易｜错｜点｜拨 角平分线问题，解决此问题关键要会设角的未知数，再用这个未知角去表示其他的角，再搭建关系式； 【典例1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）已知：如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【变式2】（24-25七年级上·福建漳州·期末）点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 【变式3】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 题型二十四 余角、补角有关的计算 易｜错｜点｜拨 余角的性质：同角（等角）的余角相等； 补角的性质：同角（等角）的补角相等； 【典例1】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，为直线上一点，，是的角平分线，是直角 (1)图中与互余的角是______； (2)是否平分，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·吉林通化·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，若，，平分，求α． (3)如图3，若与互余，也与互余，请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 【变式2】（24-25七年级上·江西赣州·期末）以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注：）． (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，且，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕逆时针转动到某个位置时，若在的内部且恰好满足，且度，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，射线在的内部，射线在的外部，且与互补，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； (3)射线满足，写出与的数量关系，并说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·广东·期末）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北唐山·期末）下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为； ②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·内蒙古·期末） ． 6．若一个角的补角是它的余角的倍，则这个角的度数为 ． 7．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图所示是一个正方体的展开图，它所有相对的面上两数互为相反数，则x的值为 ． 8．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点，若，线段的长度为 ． 9．计算下列各式 (1) (2) 10．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点． (1)如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 (2)如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级上·河南郑州·期末）将正方体的表面分别标上数字1，2，3，4，5，6，使它的任意两个相对面的数字之和均为7．将它沿某些棱剪开，得到的展开图正确的是（  ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣手工店周边还布局了体验工坊和奶茶店．如图，若把湘绣手工店记作点，在处观察体验工坊（记作点）时，点在点的北偏西方向上，在处观察奶茶店（记作点）时，，则奶茶店在湘绣手工店的（   ） A．南偏东方向上 B．北偏东方向上 C．东偏北方向上 D．北偏东方向上 14．（24-25七年级上·山西运城·期末）用一些大小相同的小正方体搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，那么组成这个几何体的小正方体的块数至少为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 15．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若，则的补角的度数为 ． 16．（25-26七年级上·吉林长春·期末）将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确的结论序号填在横线上） 17．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． (1)画直线、线段、射线； (2)在线段上任取一点E（不同于点B，C）连接，； (3)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 18．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图 (1)该几何体的名称是 ，其底面半径为 ． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 19．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图所示，该几何体是由6个完全相同的棱长为1的小正方体搭成的． (1)请在方格纸中分别画出它从正面看与从左面看的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加______个小正方体． 20．（24-25七年级上·吉林辽源·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（　　） A．当值为秒时， B．整个运动过程中，不存在的情况 C．当时，两射线的旋转时间一定为秒 D．当值为秒时，射线恰好平分 24．（25-26七年级上·全国·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 25．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，已知是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，， ． 26．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，为直线上一点，，、、分别平分，，，下列结论：；；；；其中正确的是 ． 27．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 28．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）知识探究： 如图1，已知一条直线， 当上有2个点时，图中只有，条线段， 当上有3个点时，图中有条线段， 当上有4个点时，图中有条线段， 当上有5个点时，图中有条线段， ．．．．．． 按此规律： 当上有个点时，图中有___________条线段： （2）知识应用； 如图2，内有条射线，则图中共有___________个角； （3）知识迁移： 如图3，线段BC上有2016个点，则图中共有___________个三角形； （4）知识拓展： ①如图4，图中共有___________个长方形（含正方形）； ②如图5，图中共有___________个长方形（含正方形）； 29．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 30．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 几何图形初步（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 常见几何体 掌握常见几何体的形状与特征 基础考点，一般在小题考查 几何体中的点、棱、面 掌握几何体中点、棱、面的关系 常考点，牢记公式，小题出现较多 从不同方向看几何体 掌握从不同方向看几何体的画法 必考点，一般会在大题考查，难度不大 几何体展开图的认识 认识几何体的展开图 基础考点，一般出现在小题中 由展开图计算几何体的表面积、体积 学会由展开图还原几何体，并根据展开图计算几何体的表面积、体积 重要考点，一般出现在解答题中 点、线、面、体四者之间关系 掌握点、线、面、体之间的关系 基础考点，一般在小题考查 截一个几何体 学会几何体的截取方式 重要考点，一般在小题考查 直线、射线、线段的联系与区别 掌握直线、射线、线段之间的联系与区别 必考点，一般在小题考查 直线相交的交点个数问题 掌握直线相交的交点个数问题，牢记公式 基础考点，考查频次不高，一般出现在小题中 尺规作线段 掌握尺规作线段的方法 必考点，一般出现在解答题中 线段的和与差 掌握线段和差的计算 必考点，一般出现在解答题中 线段中点计算 掌握线段中点的计算，牢记中点公式 必考点，一般出现在解答题中 两点间的距离 学会找出两点间的距离并表示 常考点，所有题型均会考查 角的相关概念 理解并掌握角的基础概念 必考点，一般出现在小题中 方向角 掌握方向角的表示和计算 常考点，一般出现在小题中 角的单位与计算 掌握角的单位制并会进行角度的计算 必考点，一般出现在解答题中 角平分线计算 掌握角平分线的表示，并会角平分线的度数计算 必考点，一般出现在小题中 余角和补角计算 掌握余角与补角的概念，并会进行余角和补角关联的角度计算 必考点，一般出现在小题中 知识点01 几何图形 【概念】简单几何体的分类： 【概念】点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体； 【概念】图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 常见立体图形的平面展开图 【概念】三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 知识点02 直线、射线、线段 直线的相关概念： 【概念】把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线. 【特征】直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量. 【性质】直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线. 射线的相关概念： 【概念】直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点. 【特征】是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长，可以向一个方向无限延伸. 线段的相关概念： 【概念】直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点. 【特征】有两个端点，有长度，无方向. 【性质】线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短. 【总结】线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示方法 线段AB或线段BA或线段a 射线AB或射线a 直线AB或直线BA或直线a 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线 知识点03 线段的画法及长短比较 【概念】在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 【画法】画一条线段等于已知线段 （1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段； （2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于已知线段. 线段长短的比较 （1）度量法 （2）叠合法 知识点04 线段的中点 如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫作这条线段的中点. 知识点05 角的相关概念 【静态定义】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 【动态定义】角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部． 角的表示方法 表示方法 图例 记法 适用范围 用三个大写字母表示 ∠AOB或∠BOA 任何情况下都适用，表示顶点的字母要写在中间 用一个大写字母表示 ∠O 当以某一字母表示的点为顶点的角只有一个时，可用这个顶点的字母来表示 用数字表示 ∠1 在角的内部靠近顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母，任何情况下都适用 用希腊字母表示 【注意】在初中阶段，若没有特殊说明，默认的角都是小于平角的角. 角的度量单位和换算 1.角的度量单位：度、分、秒是常用的的角的度量单位； 2.角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 3.角的度量方法：最常用的度量角的工具是量角器，用量角器度量角时要注意三点： （1）对中 （2）重合 （3）读数 比较角的大小 1.度量法 2.叠合法 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角. 知识点06 角的画法 1.用量角器画：用量角器可以画出大小在0°到180°之间的任何角. 画角时，先画一条射线，然后让射线与量角器的0°线重合，射线端点与量角器中心重合，在画角处画一个点，再过射线端点和这个点画一条射线，即可得到所要的角. 2.用三角尺画：一副三角尺有30°，45°，60°，90°的角，能用三角尺画15°的整数倍的角. 3.用圆规和直尺作一个角等于已知角 （1）如图1所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； （2）画一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’； （3）以点C’为圆心，CD长为半径画弧，交前一个弧于点D’； （4）过点D’画射线O’B’，则∠A’O’B’就是与∠AOB相等的角. 知识点07 角的平分线 如图所示，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC就叫做这个角的角平分线. 【注意】角的平分线是一条射线，不是线段或直线. 如果一条射线是某一个角的平分线，那么这条射线必定在该角的内部. 知识点07 余角和补角 【概念】一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角. 【概念】如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角. 【性质】 （1）余角的性质：同角（等角）的余角相等； （2）补角的性质：同角（等角）的补角相等； （3）如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角. 题型一 常见几何体 易｜错｜点｜拨 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体； 【典例1】（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列四个几何体中，圆锥是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了常见立体图形，根据圆锥等立体图形的概念直接选出即可，掌握常见立体图形的形状是解题的关键． 【详解】下列四个几何体中，圆锥是： ． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·四川·期末）如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【答案】C 【分析】本题主要考查了常见几何体的特点，侧面是长方形，底面是三角形，则该几何体是三棱柱，故该几何体有3条侧棱，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱，侧面都是长方形，底面是三角形，且共有3条侧棱， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）下列图形中，是柱体的有 ．（填序号） 【答案】②③⑥ 【分析】本题考查了柱体的定义，属于基础题，掌握基本的概念是解题的关键． 根据柱体的分类：棱柱和圆柱，结合图形进行选择即可． 【详解】下列图形中，是柱体的有②长方体③圆柱⑥三棱柱． 故答案为：②③⑥． 【变式3】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（　　） A．③⑤⑥ B．①②③ C．①③⑥ D．④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了立体图形的定义，根据立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内的特征一一进行判断即可． 【详解】解：①②④是平面图形，③⑤⑥是立体图形， 故选：A． 题型二 组合几何体的构成 易｜错｜点｜拨 组合几何体的构成，重点要了解几何体的构成，分析清楚组合体的位置关系，尤其要注意的错误是隐藏位置是否有几何体的存在； 【典例1】（24-25七年级上·山东青岛·单元测试）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第三部分所对应的几何体的形状是解题的关键．观察长方体，可知第三部分所对应的几何体在长方体中，上面有二个正方体，下面有二个正方体，再在各个选项中根据图形作出判断． 【详解】解：由长方体和第三部分所对应的几何体可知， 第三部分所对应的几何体上面有二个正方体，下面有二个正方体，并且与选项C相符． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·北京海淀·期末）如图，有一块表面刷了红漆的立方体，长为，宽为，高为，现在把它切分成边长为厘米的小正方体，能够切出两面刷了红漆的正方体有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据立方体表现刷了红漆，由两面刷了红漆的正方体分布比较特殊，沿四周找出即可． 【详解】∵一块表面刷了红漆的立方体，长为，宽为，高为，现在把它切分成边长为厘米的小正方体， ∴能够切出两面刷了红漆的正方体只在上下两个底面的四周上和4条棱的中间一个，且每个面上4个角上的立方体有3个面刷了漆， ∴符合要求的立方体有：， 故选：C． 【点睛】本题考查了立方体的有关知识，根据已知条件找出符合要求的立方体的分布是解题的关键． 【变式2】（24-25六年级上·山东泰安·期末）在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查由小正方体堆砌的几何体的体积，用小正方体的体积乘以个数即可得出结果． 【详解】解：由图可知，第1层有1个，第二层有3个，第三层有6个，共10个小正方体， ∴此几何体的体积为； 故答案为：10． 【变式3】（25-26六年级上·山东烟台·期末）分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了组合几何体的构成，培养并发展自身的空间想象能力是解题的关键． 通过观察可知，该大正方体中包含棱长分别为，，共种不同的正方体，分别算出这种正方体的个数，再将其相加，即可得出答案． 【详解】解：该大正方体中包含棱长分别为，，共种不同的正方体，其中： 棱长是的正方体有：（个）， 棱长是的正方体有：（个）， 棱长是的正方体有：（个）， （个）， 该大正方体中包含个正方体， 故答案为：36． 题型三 几何体中的点、棱、面 易｜错｜点｜拨 几何体中的点、棱、面，要注意的是三者之间的关系，牢记顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间满足关系式V + F - E = 2； 【典例1】（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）一个棱柱共有12个顶点，则它的棱的条数为（    ） A．12条 B．16条 C．18条 D．24条 【答案】C 【分析】此题主要考查了棱柱，关键是掌握棱柱的棱与顶点之间的关系．由题意可知侧棱有6条，上面底面各6条棱，即可求解． 【详解】解：∵棱柱共有12个顶点， ∴棱柱上底面有6个顶点，棱柱下底面有6个顶点， ∴棱柱上底面和下底面各6条棱，侧棱有6条棱， ∴棱的条数为：条． 故选：C． 【变式1】（24-25六年级下·上海浦东新·期末）若将一个长方体的一个角切去，所得到的几何体的顶点和棱的数量最多分别为（     ） A．8个顶点，13条棱 B．10个顶点，15条棱 C．8个顶点，15条棱 D．10个顶点，13条棱 【答案】B 【分析】本题考查了常见几何体，根据正方体的顶点数与棱数，切去一个角后，顶点数与棱数的变化，即可求解． 【详解】解：长方体有8个顶点12条棱，将长方体切去一个角后的几何体，如图所示 棱增加3条，顶点增加2个 此时的几何体共有10个顶点，15条棱．    故选：B． 【变式2】18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______． 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 m 6 12 正八面体 n 8 12 正十二面体 20 12 30 (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______． (3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】(1)8；6 (2)V+F-E=2 (3)这个多面体的面数为16 【分析】（1）观察图形即可得出结论； （2）观察可得：顶点数+面数-棱数=2； （3）将所给数据代入（2）中的式子即可得到面数． 【详解】（1）解：观察图形，长方体的定点数为8；正八面体的顶点数为6； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 故答案为：8；6； （2）解：观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2； （3）解：由题意得：F+F-30=2， 解得F=16， ∴这个多面体的面数为16． 【点睛】本题主要考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，正确理解题意是解题的关键． 【变式3】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 (2)你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是 (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 (4)某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， 【答案】(1)20，12，30 (2) (3)20 (4)14 【分析】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，得出欧拉公式是解题的关键． （1）观察图形即可得出答案． （2）观察可得顶点数+面数棱数； （3）代入（2）中的式子即可得到面数； （4）得到多面体的棱数，求得面数即为的值． 【详解】（1）解：正二十面体的顶点数为20，面数为12，棱数为30； 故答案为20，12，，30； （2）解：根据表格可得：关系式为：； 故答案为； （3）解：由题意得：， 解得； 故答案为20； （4）解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； ∴共有条棱， 那么， 解得， ∴． 故答案为14． 题型四 几何体的三视图 易｜错｜点｜拨 画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等； 【典例1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）如图，下列几何体由5个大小相同的正方体组成，从正面看到该几何体的形状图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查从不同方向看物体，掌握从正面看到有两行三列，从左到右看到的小正方形个数分别为：即可解答． 【详解】 解：从正面看到该几何体的形状图是  ； 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从正面和从上面看到的形状图，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为 个． 【答案】7 【分析】本题考查根据三视图判断几何体的小正方体的个数，根据从上面看到的形状图确定最底层有5个小正方体，结合从正面的形状图得出第二层最多有个小正方体，进行列式计算，即可解题． 【详解】解：从上面看到的形状图确定最底层有5个小正方体， 从正面的形状图得出第二层最多有个小正方体， ∴（个） 故答案为：7 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从它的正面和上面看到的形状图如图所示，若这个几何体最多由个小立方块组成，最少由个小立方块组成，则 ． 【答案】22 【分析】本题考查从不同方向看几何体的知识，根据从正面看得到这个组合体中小正方体的个数最多时的形状即可． 【详解】解：观察图形可知，这个几何体最多时，如图： （个）． 这个几何体最少时，如图（一种情况）： （个）． ∴ 故答案为：22． 【变式3】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在综合与实践课上，小颖和同学们在平整的桌面上用大小形状完全相同的若干个小正方体搭建成如图所示的几何体．在这个活动过程中，他们发现并提出了一些数学问题，请帮他们解答． (1)请在方格纸中画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图； (2)按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共有 个． 【答案】(1)见解析 (2)55 【分析】此题考查了从不同方向看几何体、图形的规律类问题，正确画图和找到规律是关键． （1）根据从不同方向看到的形状作图即可； （2）找到规律进行解答即可． 【详解】（1）解；根据题意可得， （2）根据题意可得， 第1层小正方体的个数为1个， 第2层小正方体的个数为个， 第3层小正方体的个数为个， 第4层小正方体的个数为个， …… 按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共（个） 故答案为： 题型五 展开图相关问题 易｜错｜点｜拨 要想掌握展开图相关问题，就要明确展开图与原几何体之间的对应关系，对于空间想象不足的学生可以通过画图的方式来进行解答； 【典例1】（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图，胶辊沿从左到右的方向无滑动地滚动，将图案印在墙上，所给的四个图案（如图所示），正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆柱的侧面展开图，找出图中三角形排列规律从左到右的方向滚涂到墙上图案即可选择答案． 【详解】解：根据圆柱的侧面展开图可知， 胶辊滚出的图案是 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，是一个几何体的展开图，下列结论错误的是（   ） A．这个几何体是三棱柱 B．这个几何体有9条棱 C．这个几何体有6个顶点 D．展开这个几何体需要剪开6条棱 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握展开图的特征是解题的关键，根据三棱柱的特征求解即可． 【详解】解：由展开图可得，该几何体是三棱柱，有9条棱，有6个顶点，展开这个几何体需要剪开5条棱， ∴A、B、C正确，D项叙述错误，符合题意， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·天津·期末）综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； （1）写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示） （2）请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）． 【答案】 见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了长方体相的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征得出底面的边长与长、宽、高的关系即可； （2）根据正方体表面展开图的特征进行解答即可． 【详解】解：（1）这个盒子底面相邻两边的长分别为， 故答案为：； （2）在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖，如图所示． 【变式3】（24-25七年级下·福建厦门·期末）在数学实践活动课上，学习小组将一张长方形卡纸裁剪分割成五块，用其中一块作为底面，其余4块作为侧面，然后用胶水将这五块不重叠不留缝隙粘合在一起，恰好得到一个无盖的长方体纸盒，如图1所示．已知长方形卡纸的长为，宽为． (1)小明的裁剪分割方法：先在卡纸上裁剪出一个边长为的正方形作为纸盒的底，再将剩余部分裁剪出4个长方形作为纸盒侧面，请在图2中，画出裁剪的示意图并求出该长方体纸盒的高； (2)请在图3中，再画出一种不同于小明的裁剪方法，并求出按你的裁剪方法做成的无盖长方体纸盒的高． 【答案】(1)，图见解析； (2)，图见解析； 【分析】1）计算可得长方体的高即可； （2）作一个底为的长方体即可． 本题考查作图，应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确画出图形． 【详解】（1）解：， ∴该长方体纸盒的高为； 裁剪的示意图： （2）解： 先在卡纸上裁剪出一个宽为3厘米，长为6厘米的长方体作为底，再将剩余部分裁剪出4个长方形作为纸盒侧面， 裁剪方法如图所示，， ∴做成的无盖长方体纸盒的高为； 题型六 由展开图计算几何体的表面积、体积 易｜错｜点｜拨 牢记几何体的表面积、体积的计算公式，同时要审清题意，看看计算的结果是否符合要求； 【典例1】（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图所示的长方形（长为14，宽为8）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的表面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意求出底面正方形的边长，后根据长方体表面积公式即可求解； 【详解】解；∵得到的长方体底面为正方形， ∴底面正方形的边长为， ∴长方体箱子的表面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数四则混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键． 【变式1】（24-25六年级上·山东济南·期末）如图是一个食品包装盒的表面展开图． (1)该包装盒的几何体名称是 ； (2)根据图中所标尺寸，用a、b表示这个几何体的表面积S，并计算当，时，S的值． 【答案】(1)长方体； (2)，28． 【分析】本题考查了长方体展开图，列代数式以及代数式求值，根据图形正确列代数式是解题关键． （1）根据表面展开图可知，该包装盒的几何体名称是长方体； （2）根据长方体表面积列式，再代入计算求值即可． 【详解】（1）解：由表面展开图可知，该包装盒的几何体名称是长方体； （2）解：， 当，时，． 【变式2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子．我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为________，底面积为________，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积________． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 ___ ___ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？请选择________ A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大 (4)当________时（b为整数），所得的无盖长方体的容积最大，此时容积是________． 【答案】(1)，， (2)588，576 (3)C (4)3，588 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式及代数式求值，掌握长方体的展开与折叠以及底面积、体积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据长方体的展开与折叠的特征即可得出长方体盒子的高，再根据盒子“底面”的长、宽根据面积公式即可得出答案，根据体积计算公式进行计算即可； （2）根据（1）中的方法，将a，b的值达人计算即可； （3）根据表格中数值的变化关系可得答案； （4）由于b是整数，可由表格中数据的变化的对应值可得答案． 【详解】（1）解：如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为，底面积为，请你用含，的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积； 故答案为：，，； （2）解：当，时，， 当，时，， 故答案为：588，576； （3）解：由统计表中的数据发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小， 故答案为：C； （4）解：由于b是整数，由表格中的数据的对应值可知，当时，容积最大是， 故答案为：3，588． 【变式3】（24-25七年级上·广东东莞·期末）某长方体包装盒的平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴部分（单位：厘米）． (1)求长方体包装盒的容积和表面积．（用含x，y的式子表示） (2)若内部粘贴部分的面积占长方体表面纸板面积的，则当，时，制作这样一个长方体包装盒共需要多少平方厘米纸板？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的列代数式，整式加减运算的运用，代数式求值． （1）根据长方体的体积公式：长宽高，长方体的表面积（长宽长高宽高），列式即可； （2）根据“内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，所以制作这样一个长方体共需要纸板的面积长方体的表面积”，最后代入数据计算即可． 【详解】（1）解：由题意，知该长方体的长为厘米，宽为厘米，高为10厘米， 则长方体包装盒的体积为：立方厘米． 长方体包装盒的表面积为：平方厘米. （2）解：长方体的长为厘米，宽为厘米，高为10厘米， 长方体的表面积平方厘米， 又内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的， 制作这样一个长方体共需要纸板的面积为： （平方厘米）， ∵，， 制作这样一个长方体共需要纸板（平方厘米）． 答：制作这样一个长方体共需要纸板440平方厘米． 题型七 点、线、面、体四者之间的关系 【典例1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）生活中有下列现象，其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象是（   ） A．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上 B．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线 C．把弯曲的河道改直，可以缩短航程 D．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 【答案】C 【分析】本题考查了经过两点有且只有一条直线、两点之间线段最短、点动成线，据此相关性质内容逐一判断即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：A.打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上，利用了“经过两点有且只有一条直线”，故该选项不符合题意； B.木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，利用了“经过两点有且只有一条直线”，故该选项不符合题意； C.把弯曲的河道改直，可以缩短航程，利用了“两点之间线段最短”，故该选项符合题意； D.把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，利用了“点动成线”， 故该选项不符合题意； 故选C． 【变式1】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列说法不正确的是（   ） A．用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是三角形 B．五棱柱有10个顶点 C．三棱柱有3个面 D．雨滴滴下来形成雨丝，属于“点动成线”的现象 【答案】C 【分析】本题考查几何体，掌握常见几何体的概念和性质是解题关键． A．根据平面截一个正方体可能得到三角形、四边形、五边形、六边形，进而判断即可；B．根据棱柱有个顶点，将代入计算判断即可；C．根据棱柱有个面，将代入计算判断即可；D．根据“点动成线”，进而判断即可． 【详解】解：A．用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是三角形，正确； B．五棱柱有10个顶点，正确； C．三棱柱有5个面，不正确，符合题意； D．雨滴滴下来形成雨丝，属于“点动成线”的现象，正确； 故选：C． 【变式2】如图所示的几何体由 个面围成，面与面相交成 条线，其中直线有 条，曲线有 条． 【答案】 4 6 4 2 【分析】本题考查了几何体的面、线的认识，以及直线和曲线的区分，仔细观察几何体的结构特征是解题的关键．观察几何体的结构，分别确定面的数量线的数量即可． 【详解】解：该几何体由4个面围成，面与面相交成6条线，其中直线有4条，曲线有2条． 故答案为：4，6，4，2 【变式3】（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，观察图1和表中对应数值，探究计数的方法并作答． (1)数一数，每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出多少区域，完成下表： 图 1 2 3 4 顶点数 4 7 8 边数 6 9 区域数 3 根据表中的数值，写出平面图的边数、顶点数和区域数之间的一种关系：______． (2)如果一个平面图有17个顶点和10个区域，那么利用（1）中得出的关系，则这个平面图有______条边． 【答案】(1)表见解析； (2)26 【分析】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系、得出数字的运算规律，利用规律解决问题是解题的关键． （1）根据图中的四个平面图形数出其顶点数、边数、区域数得出结果，根据表中数据总结出归律； （2）根据（1）的公式，把，代入得出边数即可． 【详解】（1）解：观察图形，数一数，填表如下， 图 1 2 3 4 顶点数 4 7 8 10 边数 6 9 12 15 区域数 3 3 5 6 根据表中数值，平面图的边数、顶点数和区域数之间的关系为：， 故答案为：； （2）解：∵一个平面图有17个顶点和10个区域， ∴，代入中，得：， 解得：， ∴这个平面图有26条边， 故答案为：26． 题型八 截一个几何体 易｜错｜点｜拨 常见几何体的截面要记住不同几何体在不同角度和方向下被平面所截，所得到的截面的形状各不相同。 【典例1】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有（    ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，根据几何体的形状，判断出截面的形状，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有四棱柱、圆锥、五棱柱，共有3个， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）一个圆柱体的高为，底面半径为，若截面是长方形，则这个长方形面积最大为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求解圆柱体截面面积，由题意可知垂直于圆柱底面且经过底面圆直径所截得的长方形面积最大，得出过底面圆直径且垂直于底面的截面最大的长方形是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，垂直于圆柱底面且经过底面圆直径所截得的长方形面积最大， 此时截得长方形的面积， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·北京海淀·期末）用一个平面去截一个正方体，所得的截面的形状不可能是 ．（填序号）    【答案】①③④⑦⑨ 【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形． 【详解】解：当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形， 当截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形， 当截面为五边形时，不可能出现正五边形， 当截面为六边形时，可能出现正六边形． 故答案为：①③④⑦⑨．    【点睛】本题考查了截几何体，解决本题的关键是理解截面经过正方体的几个面，得到的截面形状就是几边形；经过截面相同，经过位置不同，得到的形状也不相同． 【变式3】（24-25七年级上·重庆·期末）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)结合图形和表格填空： 面数 顶点数 棱数（e） 图1 7 a 14 图2 b 8 12 图3 7 10 c ______，______，______； (2)猜想、、之间的关系式； (3)任意一个多面体都满足（2）中的关系吗？以一种你熟悉，且与图1至图3不同的多面体来验证你的猜想，写出简要的验证过程． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据(1)中的结果得出规律． （1）观察3个图形，直接填写表格，即可求解； （2）根据（1）中的结果，即可得到之间的数量关系； （3）找一个熟悉的几何体判断之间的数量关系是否符合（2）中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，填写表格如下： 面数 顶点数 棱数（e） 图1 7 9 14 图2 6 8 12 图3 7 10 15 故：：； （2）解：根据图1得：， 根据图2得：， 根据图3得：， 由此猜想三个数量间为． （3）解：任意一个多面体都满足（2）中的关系． 验证过程：如图所示的多面体：面数，顶点数，棱数， 满足． 题型九 直线、射线、线段的联系与区别 易｜错｜点｜拨 射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线；区别的话可以从图形、表示方法、端点个数、延伸情况和度量情况来分析； 【典例1】（24-25六年级下·山东威海·期末）下列图示中，直线表示方法正确的有（    ） A．①②③④ B．①② C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了直线的表示方法，掌握直线的表示方法是解题的关键．根据直线的表示方法进行判断即可； 【详解】解：用两个点表示直线时，这两个点必须是大写字母，故②③错误，①正确；用一个字母表示直线时，这个字母必须是小写，且不要在直线上标点，故④正确， 综上，直线表示方法正确的有①④， 故选：． 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，下列说法错误的是（   ） A．图中共有10条线段 B．射线与射线是同一条射线 C．点P在直线外 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的相关知识点逐项分析即可得解． 【详解】解：A、图中的线段有、、、、、、、、、，共10条线段，不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，符合题意； C、点P在直线外, 不符合题意； D、由两点之间线段最短可得，，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·山西晋中·期末）下列说法与下图的几何图形相符的是（   ） A．点在直线上 B．射线与射线为同一条射线 C．直线与直线为同一条直线 D．也可以表示为 【答案】C 【分析】本题考查了点和直线的关系，直线的性质，解题关键是仔细观察图形，熟练掌握以上知识． 利用点和直线的关系，结合图形，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、点不在直线上，故A错误，不合题意； B、射线与射线为同一条射线，故B原说法错误，不合题意； C直线与直线为同一条直线，故C正确，符合题意； D、不可以表示为，故原说法错误，不合题意． 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的有（   ） A．如图1，直线、相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长线段 D．如图4，直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查线段、射线和直线的语言描述．利用线段、直线和射线，点与直线的关系等语言描述逐一判断即可解题． 【详解】解：A. 如图1，直线、相交于点，描述相符，故该选项不符合题意； B. 如图2，直线与线段有公共点，描述不相符，故该选项符合题意； C. 如图3，延长线段，描述相符，故该选项不符合题意； D. 如图4，直线不经过点，描述相符，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型十 直线相交的交点个数问题 易｜错｜点｜拨 直线相交的交点个数公式： 【典例1】平面内两两相交的6条直线，交点个数最少为m个，最多为n个，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．22 【答案】B 【分析】根据直线相交的情况判断出和的值后，代入运算即可． 【详解】解：当六条直线相交于一点时，交点最少，则 当任意两条直线相交都产生一个交点时交点最多， ∵且任意三条直线不过同一点 ∴此时交点为： ∴ ∴ 故选： 【点睛】本题主要考查了直线相交的交点情况，找出交点个数是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，在同一平面内，我们把两条直线相交的交点个数记为，三条直线两两相交最多交点个数记为，四条直线两两相交最多交点个数记为条直线两两相交最多交点个数记为，则用含n的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合图形，发现：两条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，据此规律即可得出结论． 【详解】两条直线相交有1个交点，即， 三条直线相交最多有个交点，即， 四条直线相交最多有个交点，即， 以此类推，条直线相交，最多有个交点，即， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了相交线，此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则七条直线相交最多有 个交点． 【答案】21 【分析】本题考查了图形的变化，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 四条直线相交最多的交点个数可通过画图得出交点个数，通过继续增加直线的条数可以找出规律即可解答； 【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即； 三条直线相交最多有3个交点，即； 四条直线相交最多有6个交点，即， 五条直线相交最多有10个交点，即， …… ∴n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且）． ∴当时，最多有个交点 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)10；15 (2)有条直线相交，最多交点的个数为． 【分析】此题考查图形规律的探究． （1）根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解； （2）根据（1）得到的规律，即可得解． 【详解】（1）解：三条直线交点最多为个， 四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个， 六条直线交点最多为个； 故答案为：10；15； （2）解：n条直线交点最多为． 答：有条直线相交，最多交点的个数为． 题型十一 尺规作线段 易｜错｜点｜拨 画一条线段等于已知线段 （1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段； （2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于已知线段. 【典例1】（24-25七年级上·陕西汉中·期末）如图，平面上有A、B、C、D四个点，根据下列语句画出图形： (1)连接； (2)用尺规在线段上作一条线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查线段作图，理解题意，掌握线段的作图方法是关键． （1）根据题意，连接线段即可； （2）根据线段和差计算方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求图形； （2）解：如图所示，以点A为圆心，以为半径画弧，交于点，得， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）如图，线段． (1)反向延长线段到点C，使； (2)在所画图中，设D是的中点，E是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和与差： （1）根据题意画出图形即可； （2）先求出的长，再根据线段的中点的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：因为， 由（1）知， 所以， 因为D是的中点，E是的中点，如图所示： 所以， ， 所以． 【变式2】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）如图，点是线段外一点．请用尺规按下列语句画图： (1)连接； (2)在线段上求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查基本作图，熟练掌握基本作图是解答本题的关键． （1）直接连接即可； （2）以点为圆心，为半径画弧，交于点，则． 【详解】（1）解：如图，线段即为所连； （2）解：如图，点即为所作． 【变式3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题： (1)画直线，射线，连接； (2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹） (3)在线段上求作点E，使得点E到A、D、B、P的距离之和最小，这样做的理由是_______________________________________________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)两点之间线段最短 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段，两点间距离，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据直线，射线，线段的定义画出图形； （2）在线段上截取线段，使得即可； （3）连接交于点E，点E即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）如图，点E即为所求．理由：两点之间线段最短． 题型十二 线段的和与差 易｜错｜点｜拨 线段的和差计算，要理解线段的和差表示方法； 【典例1】（24-25七年级上·重庆秀山·期末）三点在同一直线上，线段，，那么、两点的距离是(   ) A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．分点C在的延长线上和点C在线段的延长线上两种情况，根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：①如图，当点C在的延长线上时， ∵，， ∴、两点的距离是； ②如图，当点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴、两点的距离是； 综上所述：、两点的距离是：或， 故选：C． 【变式1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．根据已知条件可计算出的长度，根据代入计算即可得出答案． 【详解】解：，， ， ∵点在线段的延长线上， ． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图，点、分别是线段上两点(，)，用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则 ．     【答案】 【分析】本题考查了线段的和差计算，根据题意得出， ，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，，点与点恰好重合， ，， ∴， ． ∴． 故答案为：4． 【变式3】（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是，，8． (1)填空：　 　，　 　； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1)8，20 (2)不随时间的变化而变化，理由见解析 【分析】本题考查数轴的有关概念、两点之间的距离、以及路程、时间、速度的关系． （1）根据两点之间的距离计算即可； （2）先表示出t秒后A，B，C表示的数，进而表示出，，然后相减即可得出结论． 【详解】（1）解：由图象可知： ， ， 故答案为：8，20； （2）解：设运动时间为t秒， 则t秒后点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， ∴，， ∴， ∴的值与时间t无关， ∴的值不随时间的变化而变化． 题型十三 线段中点的有关计算 易｜错｜点｜拨 记住中点公式： 【典例1】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）如图，线段被点C，D分成三部分，M，N分别是的中点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，一元一次方程的应用，设，根据中点定义结合线段的和差关系，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，设， ∵M，N分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选D． 【变式1】（24-25七年级上·山东济宁·期末），，三点在同一条直线上，且线段，点为线段的中点，线段，点为线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】3或6 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差倍分，分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况讨论，关键是注意分类讨论． 【详解】解：①点在线段上时，   ，点为线段的中点，点为线段的中点， ，， ，， ，， ， ②点在线段的延长线上时，   ，点为线段的中点，点为线段的中点， ，， ，， ，， ， 故答案为：或． 【变式2】（24-25七年级上·云南昭通·期末）如图，线段，，是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)在线段上取一点，使得：：，求线段的长． 【答案】(1)10 (2)17 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据已知条件求得，由中点定义知，然后根据求解． 本题考查了线段的和差倍分关系、线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 【详解】（1）解：∵线段，， ； （2），：：， ． 又点是的中点，， ， ， 即的长度是． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，并且，满足． (1)点表示的数是_________，点表示的数是_________； (2)是线段的中点，求点表示的数； (3)数轴上的点从（2）问中的点开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点从点开始以每秒5个单位长度的速度沿数轴也向右移动，设运动时间为秒，当时，求运动时间的值． 【答案】(1)，5 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了数轴，一元一次方程，非负性问题等知识，解题的关键是找准等量关系列出方程． (1) 根据绝对值和偶次方的非负性求出、的值，即可得到答案； (2) 根据数轴上两点的距离和线段的中点的性质，得出点C表示的数为； (3) 当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，进而得出，，再结合，得到关于的绝对值方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可知， ， ， ， 即点表示的数是，点表示的数是5； 故答案为：，5． （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是5， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴点表示的数是． （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表小的数为． ∴，． ∵， ∴， 即或， 解得或． ∴当时，运动时间的值为或． 题型十四 与线段有关的动点问题 易｜错｜点｜拨 线段的动点问题，要学会用含t的代数式表示各个线段长，最后根据数量关系列出方程求解； 【典例1】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ， ∴， ， ∴的值不变，故②错误； ， ， 解得：，故③正确； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·福建龙岩·期末）【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）下列说法正确的有 ． ①若点C是线段的中点，则点C是的巧点； ②若点D在线段上，且，则点D是的巧点． （2）已知点C，D都是线段的巧点，且点C是线段的中点，，，求线段的长； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？请你说明理由． 【答案】（1）①②；（2）；（3）当t为，3，， ，s时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点 【分析】本题主要考查了新定义、线段的和差、一元一次方程的应用等知识点，正确理解“巧点”的定义是题的关键． （1）根据“巧点”的定义判断即可； （2）由题意得，故有； （3）用t表示线段长，分类讨论哪一个点事巧点，再利用“巧点”的定义列方程求解即可． 【详解】解：①∵点C是线段的中点， ∴， ∴点C是的巧点，①正确； ②∵点D在线段上，且， ∴， ∴点D是的巧点，②正确． 故答案为：①②． （2）∵，点C是线段的中点， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴线段的长为． （3）t秒后，， ①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除． ②当P为A、Q的巧点时， Ⅰ．，即，解得； Ⅱ．，即，解得； Ⅲ．，即，解得； ③当Q为A、P的巧点时， Ⅰ．，即，解得（舍去）； Ⅱ．，即，解得；． Ⅲ．，即，解得． 综上所述，当t为，3，，，时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点． 【变式2】（24-25七年级上·天津·期末）如图，线段，动点从点出发，以2个单位/秒的速度沿射线运动，为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当点在线段上运动时，试说明为定值； (3)当点在延长线上运动，为的中点时，有下列两个结论：①的长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． 【答案】(1)出发6秒后 (2)见解析 (3)正确的结论是①的长度不变，为定值12 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2），，，表示出后，化简即可得出结论． （3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：设出发x秒后， 当点P在点B左边时，，，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，，，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：由（1）知，，， ； （3）解：选； 由（1）知，，，， （定值）； 变化． 【变式3】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图1，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为7，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒 (1)线段_____； (2)当点运动到线段的延长线上时，_____；（用含的代数式表示） (3)如图2，当秒时，点是的中点，点是的中点，求此时的长度； (4)当点从点出发时，另一个动点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右运动．当点到点和点的距离和为10时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离计算，与线段中点有关的线段和差计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离可直接求出的长； （2）先求出，则； （3）先求出，再由线段中点的定义求出，再求出的长即可； （4）根据点在点的左右两侧，分情况讨论列出方程，解方程可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，； 故答案为：． （2）由点的运动可知，， ， 当点运动到的延长线时； 故答案为：； （3）解：∵当秒时，则，， ∴ 点是的中点，点是的中点， ∴， ． （4）∵，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线的方向向右运动， ，当时运动到点， ∴当时，点在线段上， ∴，， ∵点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线向右运动． ∴ ∵点到点和点的距离和为10 ∴，即 解得： 当时，在线段的延长线上 当在点的右侧时，， ∴ 解得： 综上所述：或 题型十五 两点间的距离 【典例1】（24-25七年级上·山西忻州·期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握其性质并正确分类讨论是解决此题的关键，本题需要分两种情况讨论，当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可． 【详解】解：是的中点，是的中点， 如图，当点在线段上时，， ， 当点在线段的延长线上时，， ， 综上所述，线段的长度是， 故选：． 【变式1】（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图，一条线段，点，分别是，的中点，且，则线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间的距离．设，，，由点，分别是，的中点可得的长，已知，可列方程解得的值，可得的长． 【详解】解：，可设，，， 点，分别是，的中点， ，， ， 又， ， 解得， ， 即线段的长为． 故选：A． 【变式2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知线段，直线上有一点，，为的中点，则的长为 ． 【答案】9或 【分析】本题考查了两点间的距离，可知道符合题意的点C有两种情况，也有两种可能，分别计算的长即可． 【详解】解：如图， ∵线段，直线上有一点C，且， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴； 如图， ∵线段，直线上有一点C，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， 综上所述，的长为9或． 故答案为：9或． 【变式3】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向右运动（在线段上，在线段上）． (1)当点、运动了，求的长度； (2)若点、运动时，总有，则______； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且满足，与的数量关系为______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差、两点间的距离，掌握线段法和差计算，两点间的距离，利用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长； （2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案； （3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况：如图所示，当点在线段上时， ，， ， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， 综上所述，与的数量关系为或， 故答案为：或． 题型十六 角的相关概念 易｜错｜点｜拨 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位， 【典例1】（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 【变式1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出 个锐角． 【答案】2043231 【分析】考查了角的概念，解决该题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是，分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题． 【详解】解：∵在锐角内部，画1条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画2条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画3条射线，可得个锐角， …… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 ∴画2020条不同的射线，可得锐角 故答案为：2043231． 【变式2】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D按照下列要求，画出图形并回答问题． ①作射线； ②作直线与射线相交于点O； ③分别连接线段； ④画出的图形中，若，则 ． 【答案】①②③见解析，④ 【分析】本题考查了射线、直线、线段和平角，根据题意，画出相关的射线、直线、线段即可，再根据平角的概念，即可解答，熟练画出正确图形是解题的关键． 【详解】解：①射线如图所示； ②直线如图所示； ③线段如图所示； ④根据平角的性质，可得， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）分别写出图中有多少个角？ (1)如图①，在的内部从点O引出两条射线，，数一数，图中共有多少个角？并写出来． (2)如图②，如果在的内部以点O为端点作n条射线，则图中一共有多少个角？ 【答案】(1)共有6个角，它们分别是，，，，， (2)个角 【分析】本题主要考查了角的概念，有理数的运算等知识点， （1）按照图示罗列出所有角即可； （2）罗列射线的条数n与角的个数，得出规律即可； 在规律探究时，按规则罗列一些代数式能够发现其中的规律是解本题的关键． 【详解】（1）共有6个角，它们分别是，，，，，； （2）如果在的内部作1条射线，这样一共有（个）角； 如果在的内部作2条射线，一共有（个）角； 如果在的内部作3条射线，一共有（个）角； ……以此类推； 如果在的内部以点O为端点作n条射线，一共有个角． 题型十七 尺规作角 易｜错｜点｜拨 角的三种画法： 1.用量角器画：用量角器可以画出大小在0°到180°之间的任何角. 画角时，先画一条射线，然后让射线与量角器的0°线重合，射线端点与量角器中心重合，在画角处画一个点，再过射线端点和这个点画一条射线，即可得到所要的角. 2.用三角尺画：一副三角尺有30°，45°，60°，90°的角，能用三角尺画15°的整数倍的角. 3.用圆规和直尺作一个角等于已知角 【典例1】（24-25七年级上·山东德州·期末）如图，点C在的边上， (1)选择合适的画图工具按要求画图． ①反向延长射线，得到射线； ②画的角平分线； ③在射线上截取； ④在射线上作一点P，使得最小； (2)写出你完成④的作图依据： ． 【答案】(1)答案见解析 (2)两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段、射线、角平分线的画法，两点之间线段最短，熟练掌握线段、射线、角平分线的画法是解题的关键． （1）①反向延长射线即可；②用量角器画出的角平分线即可；③用圆规截取即可；④连结，与的交点即为所求； （2）根据两点之间线段最短，可知④中的作图正确． 【详解】（1）如图，即为所求的图形； （2）因为两点之间线段最短，所以连结，与的交点P即为所求． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式1】（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，有A，B，C三个点，请用圆规和一副三角板按下列要求作图（不写步骤，需保留痕迹，作图时先用铅笔画出，再用黑色字迹的签字笔描黑）． (1)作直线； (2)连接，在的延长线上找一点D，使线段； (3)作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直线的定义画图即可； （2）以点C为圆心，为半径画弧，交的延长线于点D，则点D即为所求； （3）先用三角板以为边，为顶点画一个，再以为顶点，为边靠近方向画一个，则，注意有两种情况． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，以点C为圆心，为半径画弧，交的延长线于点D， 则点D即为所求； （3）解：如图，和均满足题意． 【变式2】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）如图，点在的边上，是内部的一条射线． (1)在射线上取一点，使得（尺规作图）； (2)在射线上确定一点，使得最小； (3)写出你完成（2）的作图依据：_____； (4)若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)两点之间，线段最短 (4) 【分析】此题考查了作线段，两点之间，线段最短，度分秒的转化，解题的关键是掌握以上知识点． （1）用圆规在射线截取与射线的交点即为点D； （2）连接与的交点即为点P； （3）根据两点之间，线段最短求解即可； （4）根据度分秒的转化求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求； ； （3）解：∵ ∴当点C，P，D三点共线时，最小， ∴依据是两点之间，线段最短； （4）解：∵， ∴，， ∴． 【变式3】（24-25七年级上·北京海淀·期末）如图，已知平面上三个点，请按要求完成下列问题： (1)画射线； (2)画直线； (3)连接，并在线段的延长线上取一点，使； (4)在的内部画射线，使． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)作图见解析 【分析】（）根据射线的定义作图即可； （）根据直线的定义作图即可； （）以点为圆心，线段的长度 为半径画弧，交线段的延长线于点，则，点即为所求； （）先画出的角平分线，再在内部取一点，画射线，则，射线即为所求； 本题考查了画射线、直线、角，作一条线段等于已知线段，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求； （2）解：如图所示，直线即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求； （4）解：如图所示，射线即为所求． ． 题型十八 方向角的计算 【典例1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有公共顶点的两条射线分别表示南偏东与北偏东，则这两条射线组成的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的运算是解题关键．根据题意画出图形，再根据方向角的运算求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 则这两条射线组成的角的度数为， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，A地是海上观测站，某一时刻，从A地发现它的北偏西方向上有一艘船B，若同时，在A地的南偏西方向上有一艘船C，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方位角计算的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据方位角计算的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：∵在A地的南偏西方向上有一艘船C， ∴如图：， 由图可得：， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·重庆丰都·期末）如图，甲沿北偏东方向前进，乙沿图示方向前进，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于A地的南偏东 ． 【答案】 【分析】本题考查了方位角的运算，熟练掌握方位角的运算法则是解题关键．如图（见解析），先根据方位角的定义可得，再根据角的运算法则求解即可得． 【详解】解：如图，由题意得：， ∵， ∴， 即此时乙位于地的南偏东， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·吉林白城·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，是的平分线，． (1)的方向是 ； (2)求的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) 【分析】本题考查了方向角、角的和差关系及平角等知识．掌握方向角及角的和差关系是解决本题的关键． （1）先求的度数，再求得结论； （2）利用平角和角的和差关系，计算得结论． 【详解】（1）如图， 由图知：， 是的角平分线， ， ， 射线在北偏东方向上； 故答案为：北偏东； （2），． ． 题型十九 角度的四则运算 易｜错｜点｜拨 1、在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行. 2、在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60. 【典例1】（24-25七年级上·宁夏石嘴山·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据角度的四则运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了角度的四则运算，熟知角度制的进率为是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·河北邢台·期末）计算： (1)把用度表示； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式先把秒化成分，再把分化为度即可得到结论； （2）秒与秒相加，分与分相加，度与度相加，注意进制． 【详解】（1） ， 所以． （2）； 【点睛】本题主要考查了度、分、秒的换算，在进行度、分、秒的运算时，要注意借位和进位的方法． 【变式2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查角的运算，掌握角的运算法则是解题的关键 【变式3】（24-25七年级上·陕西延安·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据度分秒的进制，进行计算即可解答． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了角度的运算、度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 题型二十 三角板中角度计算 【典例1】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若，求 【答案】 【分析】本题考查三角板中角度的计算问题．根据三角板含有的特殊角，由角的和差即可解得，继而可解得的度数． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·广西防城港·期末）【探究与证明】 初学几何图形，要学会“数”与“形”的结合，你会发现几何知识也很有魅力！ 【动手操作】如图1，直角三角板的直角顶点O在直线上，，射线是的平分线． 请完成： （1）推理：如图1，若，则_____， 因为射线是的平分线，所以______， 所以______； 【类比操作】 （2）如图1，若，求的度数； 【变式思维】 （3）当直角三角板绕点O逆时针旋转到图2位置时，射线还是的平分线，若，求的度数．     【答案】（1）60，120，60；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义．正确使用角平分线的性质和平角的性质是解题的关键． （1）利用已知求得，利用角平分线的性质得到，再利用平角的定义求解即可； （2）利用已知求得，利用角平分线的性质得到，再利用平角的定义求解即可； （3）利用已知求得，利用角平分线的性质得到，再利用平角的定义求解即可． 【详解】解：（1）如图1，若， 则， 因为射线是的平分线， 所以， 所以； （2）因为， 所以； 因为射线是的平分线， 所以， 所以． （3）如图2，因为， 所以， 由于射线是的平分线， 所以， 所以． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）【问题发现】 如图1所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点处． （1）①与的数量关系是__________． ②与的数量关系是__________．    【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图2所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点处． ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，，绕点逆转动，在转动过程中和有重合的部分，直接写出转动过程中与的数量关系．    【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，三角板中角的计算： （1）①根据角的和差关系进行解答；②利用周角的定义进行解答； （2）①根据角的和差关系进行解答；②根据角的和差关系进行解答； （3）分如图3所示，当在内部时，如图4所示，当点C在内部时，两种情况利用角的和差关系讨论求解即可． 【详解】解；（1）①∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴； （3）如图3所示，当在内部时， ∵， ∴；    如图4所示，当点在内部时， ∵， ∴， ∴；    综上所述，． 【变式3】（24-25七年级上·吉林·期末）如图①，一个直角三角尺的直角顶点O在直线上，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针转动． (1)当直角三角尺转动到如图②所示位置时，已知，平分，平分． ①求和的度数； ②求的度数； (2)在直角三角尺转动的过程中，始终有平分，平分． 设，若，的度数是否发生变化？若不变，请直接写出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)不变， 【分析】本题考查了三角板中与角平分线有关的角度计算问题，掌握整体思想，学会从特殊到一般的推理论证能力是解题关键． （1）①根据、即可求解；②根据即可求解； （2）参考（1）中的求解过程即可证明． 【详解】（1）解：①． ∵由题意得， ∴． ②∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：的度数不变．理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴，． 题型二十一 几何图形中角度计算 【典例1】（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图， ，，平分．则是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据角的和差关系求出的度数，然后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解∶∵ ，， ∴， ∵平分， ∴， 故选∶A． 【变式1】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知直线，相交于点O，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的概念，角的和差计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的概念．首先根据角平分线的概念得到，然后根据即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，射线在的内部，，． (1)求的度数． (2)若另一条射线也在的内部且满足，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【分析】本题主要考查了几何中角度的计算，掌握角的和差关系是解题的关键． （1）根据计算得出结论； （2）分两种情况：当在内部时或当在内部时，分别根据角的和差计算即可； 【详解】（1）解：，， ． （2）解：， 当在内部时， ． 当在内部时， ． 综上所述，的度数为或． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是注意数形结合． （1）根据角的倍数关系及和差关系直接解决即可； （2）根据角的和差关系先求出及，进而求出结论． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 所以． （2）解：因为，． 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 题型二十二 实际问题中角度计算 【典例1】如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（　　） A．减小40° B．增大40° C．减小20° D．不变 【答案】A 【分析】分别求出平面镜转动前后反射光线与入射光线的夹角，再对两者进行比较即可得到解答．　 【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°−40°=50°． 根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°， 所以入射光线与反射光线的夹角是100° ． 入射角减小20°，变为50°−20°=30°，所以反射角也变为30°， 此时入射光线与反射光线的夹角为60°． 则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小40°． 故选：A． 【点睛】本题考查角度与光反射的综合应用，熟练掌握光的反射规律及角度的计算方法是解题关键． 【变式2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？ 【答案】轮有15个齿时，相邻两齿中心线的夹角是，如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为． 【分析】由于15个齿所对应的中心角的和组成一个周角，而每相邻两齿中心线间的夹角都相等，所以这个夹角的度数为360°÷15，计算即可；同样的方法可计算22个齿的齿轮每相邻两齿中心线间的夹角． 【详解】解：∵一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为360°÷15=24°． ∵一个齿轮有22个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为360°÷22≈16.36°≈． ∴轮有15个齿时，相邻两齿中心线的夹角是，如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为． 【点睛】本题考查了角在实际生活中的运用，理解所有齿所对应的中心角的和组成一个周角是解题关键． 题型二十三 角平分线的有关计算 易｜错｜点｜拨 角平分线问题，解决此问题关键要会设角的未知数，再用这个未知角去表示其他的角，再搭建关系式； 【典例1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义； （1）根据题意，，，即可得出，再根据计算即可得出答案； （2）根据角平分线求出，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）平分． ， ， ，， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）已知：如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算等知识． （1）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数； （2）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数，再由减去就是的度数． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（24-25七年级上·福建漳州·期末）点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，几何图形中角度的计算． （1）先求出的度数，再根据角平分线得到，平角的定义，求出的度数，即可； （2）根据角平分线平分角推出，再根据平角的定义，求出的度数，即可； （3）分当在右侧和在左侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，找准角度之间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：平分，平分， ，， ， ． ， ． （3）解：①如图，当在右侧时， 平分，， ． 为的平分线， ， ． ②如图，当在左侧时， 平分， ， ， 为的平分线， ， 的度数为或． 【变式3】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②当在上方时，；当在下方且在上方时，；当在下方且在下方时，，证明见解析 【分析】（）根据平角的定义解答即可； （）①设，可得，即得，，即得到，即可求证；②分三种情况：当在上方时；当在下方且在上方时；当在下方且在下方时，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可求证； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：①设， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； ②当在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在下方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型二十四 余角、补角有关的计算 易｜错｜点｜拨 余角的性质：同角（等角）的余角相等； 补角的性质：同角（等角）的补角相等； 【典例1】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，为直线上一点，，是的角平分线，是直角 (1)图中与互余的角是______； (2)是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分．见解析 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义，解决本题的关键是利用角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义求的度数，即可得到其余角； （2）根据已知条件进行角的计算即可得平分． 【详解】（1）解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是直角， ∴，即， ∴， ∴ 故答案为：； （2）平分，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【变式1】（24-25七年级上·吉林通化·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，若，，平分，求α． (3)如图3，若与互余，也与互余，请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)图见解析，的度数为：或 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，余角的定义，解题的关键是数形结合，理解余角的定义，注意进行分类讨论． （1）根据余角与补角的定义进行运算即可； （2）由已知条件可求得，再由角平分线的定义可求得，从而可求的大小； （3）分两种情况进行讨论：①在的上方；②在的下方，结合图形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①当在的上方时，如图， ∵与互余，也与互余， ∴，， ∴； ②当在的下方时，如图， ∵与互余，也与互余， ∴，， ∴， 综上所述，的度数为：或． 【变式2】（24-25七年级上·江西赣州·期末）以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注：）． (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，且，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕逆时针转动到某个位置时，若在的内部且恰好满足，且度，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线． 【答案】(1) (2) (3)理由见解析 【分析】（）根据角的和差关系求解即可； （）设，则，由角的和差关系可得，求出进而即可求解； （）由平角定义得，由角平分线的定义得，进而由余角性质得，即可说明； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的几何应用等，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，   ∴； （2）解：设，则， ∵，     ∴， 解得，     即， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵平分，     ∴， 又∵， ∴， 即所在射线是的平分线． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，射线在的内部，射线在的外部，且与互补，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； (3)射线满足，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，补角定义，几何图形中角的计算．理清角度之间的数量关系，和差关系，是解题的关键． （1）根据，得出，根据与互补，求出，根据，求出结果即可； （2）根据角平分线定义，求出结果即可； （3）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据（1）可知：， ∵平分， ∴； （3）解：，理由如下： 当在内部时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 当在外部时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 综上可知：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·广东·期末）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从不同方向看几何体；画出从正面看这个印章的平面图形，进行作答即可． 【详解】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示： 故选：B． 2．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26七年级上·河北唐山·期末）下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为； ②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角的概念及计算．根据余角（和为）和补角（和为）的定义，直接计算或推导即可判断各结论的正确性． 【详解】①若∵，则的余角为，该选项不正确； ②若，则的补角为，正确； ③若与互余， ∴； ∵与互补， ∴； ∴，代入得：， ∴，正确． 故选：B． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义求出的度数，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：，射线平分， ， ． 故选：C． 5．（25-26七年级上·内蒙古·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查角的度、分、秒加法运算，掌握度分秒之间的60进制换算关系是解题关键． 先将度与度相加，分与分相加，再以60为进制，把分化成度即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 6．若一个角的补角是它的余角的倍，则这个角的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了补角和余角的定义，一元一次方程的应用，设这个角为度，根据题意列出方程即可求解，掌握补角和余角的定义是解题的关键． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的补角为，余角为， 由题意得，， 解得，   故答案为：． 7．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图所示是一个正方体的展开图，它所有相对的面上两数互为相反数，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的数字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形来确定出相对面，再根据相对面上的两数互为相反数即可得解． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“x”与“4”是相对面， ∵所有相对的面上两数互为相反数， ∴， 接得． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点，若，线段的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查线段中点的有关计算．根据中点的定义可得，进而可得，，再根据点D为线段的中点，即可求解． 【详解】解：，点C为线段的中点， ， ， ， ， 点D为线段的中点， ， 故答案为：6． 9．计算下列各式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查度分秒的换算． （1）直接进行角度的减法运算，当低位不够减时，向高位借； （2）直接进行角度的加法运算，满进，满进． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点． (1)如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 (2)如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． （1）根据点M、N分别是线段、的中点，由线段的中点定义可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案； （2）同（1）可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级上·河南郑州·期末）将正方体的表面分别标上数字1，2，3，4，5，6，使它的任意两个相对面的数字之和均为7．将它沿某些棱剪开，得到的展开图正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，相对面的数字问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用空间想象能力判断各个选项是不是正方体的展开图，再分析相对面的数是否满足“任意两个相对面的数字之和均为7”这个条件，即可作答． 【详解】解：A、结合正方体的展开图，得出是相对面，是相对面，是相对面，则不满足任意两个相对面的数字之和均为7，故该选项不符合题意； B、结合正方体的展开图，得出是相对面，是相对面，是相对面，则满足任意两个相对面的数字之和均为7，故该选项符合题意； C、结合正方体的展开图特征，无法得出，故该选项不符合题意； D、结合正方体的展开图特征，无法得出，故该选项不符合题意； 故选：B 12．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及余角和补角的概念；余角是指两个角的和为，补角是指两个角的和为，先根据与互补求出，再根据与互余求出． 【详解】解：∵与互补， ∴，即， ∵， ∴， ∵与互为余角， ∴， ∴． 故选：C． 13．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣手工店周边还布局了体验工坊和奶茶店．如图，若把湘绣手工店记作点，在处观察体验工坊（记作点）时，点在点的北偏西方向上，在处观察奶茶店（记作点）时，，则奶茶店在湘绣手工店的（   ） A．南偏东方向上 B．北偏东方向上 C．东偏北方向上 D．北偏东方向上 【答案】B 【分析】本题考查了方位角的定义，角度的运算，掌握方位角的定义是解题的关键．结合图形，根据方位角的意义，求得的度数即可求解． 【详解】解：如图， ∵点在点的北偏西40°18'方向上， ∴， ∵， ∴， ∴奶茶店在湘绣手工店的北偏东方向上． 故选：B． 14．（24-25七年级上·山西运城·期末）用一些大小相同的小正方体搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，那么组成这个几何体的小正方体的块数至少为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体；从上面看可以看出最底层小正方体的个数，从正面看可以看出每一层小正方体的个数，从而算出总的个数． 【详解】解：从上面看有个正方形， 最底层有个正方体， 从正面看可得第层最少有个正方体， 从正面看可得第层最少有个正方体， 该组合几何体最少有个正方体， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若，则的补角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的补角，角度的运算．根据互补的两角之和为求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角为． 故答案为： 16．（25-26七年级上·吉林长春·期末）将两块三角板（）的直角顶点O重合如图放置在桌面上，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了与余角、补角有关的角度计算，正确运用角的和差计算是解题的关键． 根据角的和差关系，逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵不一定是的角平分线， ∴不一定等于，故②错误； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④． 故答案为：①④． 17．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． (1)画直线、线段、射线； (2)在线段上任取一点E（不同于点B，C）连接，； (3)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)共有7条线段，6条射线 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握各定义是解题的关键． （1）利用直线、线段、射线的定义作图即可； （2）依据在线段上任取一点E，连接即可； （3）根据线段和射线的定义即可求解． 【详解】（1）解：直线、线段、射线如图所示， （2）解：点，如图所示， （3）解：根据题意可知，线段有，图中共有7条线段；以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有2条，以点为端点的射线共有1条，以点为端点的射线共有1条，则共有6条射线． 18．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图 (1)该几何体的名称是 ，其底面半径为 ． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱，1 (2)该几何体的侧面积为，体积为 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的展开图是解题的关键． （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的侧面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为； 故答案为：圆柱；1； （2）解：该几何体的侧面积； 几何体的体积． 19．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图所示，该几何体是由6个完全相同的棱长为1的小正方体搭成的． (1)请在方格纸中分别画出它从正面看与从左面看的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加______个小正方体． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何图形，正确识图是解题的关键． （）根据从正面看、左面看到的图形画图即可； （）根据从正面看和从左面看的形状图不变解答即可求解； 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：由图可知，第一排和第三排最下面各添加2个小正方体，可保持从正面看和从左面看的形状图不变， ∴最多可添加个小正方体． 20．（24-25七年级上·吉林辽源·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）根据（1）可直接进行求解； （3）由题意易得，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：由已知得， 又是直角，平分， ． （2）解：由（1）得， 即． （3）解：． 理由：，平分， ． 则得， 即． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查补角、余角的概念、一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 设这个角为，根据补角和余角的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， 由题意可得：， ， ， ． 故选B． 22．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差计算，先根据题意得出，，再根据线段中点的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵点E是线段的中点，点F是线段的中点， ∴， ∴． 故选：A． 23．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（　　） A．当值为秒时， B．整个运动过程中，不存在的情况 C．当时，两射线的旋转时间一定为秒 D．当值为秒时，射线恰好平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线，一元一次方程的应用等知识，根据角的运算，角平分线，一元一次方程的应用逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、当时，，， ∴，原选项说法错误，不符合题意； 、由题意得， 当时，，， 则， 解得， ∴整个运动过程中，存在的情况，原选项说法错误，不符合题意； 、由题意得， 当时，，， 则， 解得， 当时，， 则 解得， 当时，，， 则， 解得， 综上所述，当时，两射线的旋转时间为秒、40秒或秒，原选项说法错误，不符合题意； 、当时，，， ∴，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 24．（25-26七年级上·全国·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段折叠问题中的长度计算及比例关系应用，解题的关键是根据不同折点（B或A）确定绳子对折后的线段对应关系，明确剪断P处后最长段的具体来源，再结合“最长段为”列方程求解原长． （1）设，由得、；点B为折点时，剪断后最长段为，结合求，再算原长（原长为． （2）点A为折点时，剪断后得到的三段等长，则最长段为，结合求，再根据“折点A时原长为”计算最终原长． 【详解】（1）解：设，   ∵， ∴，则 ∵点B为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得 绳子原长为．   故答案为：； （2）解：设，   ∵， ∴，则． ∵点A为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得． 绳子原长为．   故答案为：． 25．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，已知是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，， ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了角平分线的定义，利用方程是解答本题的关键，难度适中． 先设为，为，根据角平分线的定义、与的关系建立方程解答即可． 【详解】解：设为，则为， 平分， ， 则可得， ， ， 则可得：， 解得， ， ． 26．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，为直线上一点，，、、分别平分，，，下列结论：；；；；其中正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是余角，补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据角平分线的定义，互为余角、互为补角的定义进行角的等量代换逐个进行判断，即可得解． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， 故结论正确； 平分，平分， ，， ， 故结论正确； ，， ， 故结论正确； ， ， ， ， ， ，即， 故结论错误． 故正确的是． 故答案为：． 27．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图和线段的和差，解决本题的关键是掌握尺规作图的方法并能通过观察图形找到线段之间的数量关系． （1）以为圆心，的长度为半径画弧，交延长线于点，以为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，即可得答案； （2）由（1）的作图求出，由为的中点可得，再由线段的和差关系即可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，为的中点， ∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 28．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）知识探究： 如图1，已知一条直线， 当上有2个点时，图中只有，条线段， 当上有3个点时，图中有条线段， 当上有4个点时，图中有条线段， 当上有5个点时，图中有条线段， ．．．．．． 按此规律： 当上有个点时，图中有___________条线段： （2）知识应用； 如图2，内有条射线，则图中共有___________个角； （3）知识迁移： 如图3，线段BC上有2016个点，则图中共有___________个三角形； （4）知识拓展： ①如图4，图中共有___________个长方形（含正方形）； ②如图5，图中共有___________个长方形（含正方形）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①36；②216 【分析】本题考查图形的变化规律，通过观察所给的图形，找到一般规律，并能应用规律是解题的关键 （1）通过观察所给的式子，求解即可； （2）通过计算，探索出一般规律即可； （3）通过计算，探索出一般规律即可； （4）①根据（1）的方法，类比求解即可；②根据以上解题的方法，类比求解即可， 【详解】解: （1）， 故答案为：； （2）内有1条射线，共有个角， 内有2条射线，共有个角， 内有3条射线，共有个角， 内有条射线，共有个角， 2 故答案为： （3）线段上有1个点，共有个三角形， 线段上有2个点，共有个三角形， 线段上有3个点，共有个三角形， 线段上有n个点，共有个三角形， 当时，共有个三角形； 故答案为：2035153； （4）①有个长方形， 故答案为：36； ②有个长方形， 故答案为：216. 29．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)①12，1；②， (2)C、D 两点重合，理由见解析； (3)不随着时间t的变化而变化，理由见解析． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数；②根据点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案； （2）将代入（1）②中代数式，得到点，点所表示的数，即可解答； （3）根据题意表示出秒后，点所表示的数，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为7， ，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为； 故答案为：，； ②t秒后，点C表示的数为；点D表示的数为； 故答案为：，； （2）解：当时， 点所表示的数为， 点所表示的数为， 则C、D 两点重合； （3）解：点C运动4秒后，点E表示的数为， ∴， ∴． ∴的值不随着时间t的变化而变化． 30．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或． 【分析】此题考查了角平分线的定义、角的和差等知识． （1）根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据角平分线的定义得到，然后分两种情况：当时，；当时，，即可求出答案； （3）根据角平分线的定义即可求出答案； （4）分两种情况求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，，射线、分别是、的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，，，    ` ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为； （3）解：当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，的度数恒为，与旋转角度无关； （4）解：当时， 由叠合可得， ∴． 由（3），当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴（舍去）， ∴的值为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $