4.6 反证法 课件 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“反证法”核心知识点，涵盖其含义、基本步骤及平行线传递性证明。课堂以《路边苦李》故事导入，从生活实例抽象推理过程，衔接四边形内角和等已有几何知识，搭建认知支架。 其亮点在于通过故事激发学生好奇心与创新意识，以“假设-推理归谬-得出结论”三步法培养推理意识，结合“四边形至少有一个钝角或直角”等例题强化逻辑思维。清晰的步骤归纳和多样化练习，帮助学生养成有条理的思维习惯，也为教师提供结构化教学方案，提升教学效率。

第4章 平行四边形 4.6反证法 （浙教版）八年级 下 1.通过实例体会反证法的含义。 2.了解用反证法证明的基本步骤。 3.会利用反证法证明简单命题，发展推理能力。 4.了解平行于同一条直线的两条直线平行。 2 中国古代有一个叫《路边苦李》的故事： 王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷 去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么，王戎回答说：“树在道 边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取李子尝了一下，果然是苦李. 思考： 王戎是怎样知道李子是苦的？ 他运用了怎样的推理方法？ 3 03 新知探究 假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾 假设 “李子甜”不成立 所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的 王戎的推理方法如下: ①假设结论不成立 ②结合条件推出相应的结论 ③产生矛盾（与已知条件定义,公理,定理） ④“假设不成立” ⑤命题正确 推理步骤 反证法：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立（即在原命题 的条件下，结论不成立），从这样的假设出发，经过推理得出与已 知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设 命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反 证法。 5 示例 反证法 注意：用反证法证明命题的常见形式：（1）结论以否定形式出现的命题，如直角三角形中不能有两个直角；（2）唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；（3）结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个三角形至少有两个锐角。 6 在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过 推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出 假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫作反证法. 步骤： 假设：假设命题结论的否定， 推理归谬：将假设作为条件，与原命题的条件一起，进行正确的推理， 推出矛盾的结果， 得出结论：否定假设，肯定原命题结论是正确的. 7 03 新知探究 特别提醒 用反证法证明命题的常见形式： （1）结论以否定形式出现的命题，如直角三角形中不能有两个直角；（2）唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点； （3）结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个三角形至少有两个锐角。 03 新知讲解 例 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角。 已知：四边形ABCD（如图）。 求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。 证明：假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或 直角，即∠A<90°，∠B<90°，∠C<90°，∠D<90°， 于是∠A＋∠B＋∠C＋∠D<360°， 这与“四边形的内角和为360°”矛盾。 所以四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。 1. ［2025石家庄新华区月考］用反证法证明命题“三角形中 必有一个内角小于或等于 ”时，首先应假设这个三角形中 ( ) C A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 返回 10 2. 如图，在中，，点 为 内一点，连接,, ， ，求证： ，用反证 法证明时应先假设( ) B A. B. C. D. 返回 11 例　求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角. 已知：四边形ABCD. 求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角. 证明：假设 四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角， 即∠A<90°，∠B<90° ，∠C<90°，∠D<90°， 于是∠A+∠B+∠C+∠D<360°. 这与“四边形的内角和为360°” 矛盾. 所以四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角. 12 求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行. 证明：假设a∥c不成立，即这两条直线相交，设交点为A， 因为 a∥b，b∥c， 所以过点A有两条直线a，c都与b平行， 这与平行公理“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾， 因此假设不成立，即a∥c成立. 已知：a∥b，b∥c， 求证：a∥c. 方法1： 13 03 新知探究 归纳总结 用反证法证明命题的一般步骤： （1）假设命题：假设命题的反面成立; （2）推出矛盾：从假设出发,经过推理得出与已知条件矛盾,或者与 定义、基本事实、定理等矛盾; （3）肯定结论：得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。 如果命题的反面只有一种情况，那么只需要否定这种情况；如果命题的反面不止一种情况，那么需要把各种情况一一否定 03 新知讲解 合作学习 求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这 两条直线也互相平行。 （1） 你会选择哪一种证明方法？ （2） 如果你选择反证法，先怎样假设？结果与什么产生矛盾？ 典例1 (2025·绍兴诸暨市期中)用反证法证明“在 中，如果 ，那么 ”时，应先假设_________。 16 用反证法证明命题的一般步骤： （1）假设命题：假设命题的反面成立; （2）推出矛盾：从假设出发,经过推理得出与已知条件矛盾,或者与 定义、基本事实、定理等矛盾; （3）肯定结论：得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。 如果命题的反面只有一种情况，那么只需要否定这种情况；如果命题的反面不止一种情况，那么需要把各种情况一一否定 17 03 新知讲解 合作学习 已知:如图，l1∥l2 ,l2 ∥l3. 求证：l１∥l３. l２ l１ l３ 所以l１∥l２ , l２∥l３, 则过点P就有两条直线l１， l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾． 证明：假设l１不平行于l３，则l１与l３相交,设交点为P. P 所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３. 反证法 03 新知讲解 合作学习 直接证 已知:如图，a∥b ,b ∥c 求证: a∥c a b c m p 因为a∥b ,b∥c 所以直线m必定与直线a，c相交（在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条直线也相交） 证明:作直线m交直线b于点p， 所以∠2 =∠1=∠3（两直线平行，同位角相等） 所以 a∥c（同位角相等，两直线平行） 2 1 3 证明：∵a∥b， ∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)， ∵b∥c， ∴∠2+∠3=180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠1+∠3=180°(等量代换)， ∴a∥c(同旁内角互补，两直线平行). 方法2： 20 03 新知探究 平行线的传递性： 在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号语言： 如图，若a∥b，b∥c，则a∥c. （ ） 平行于同一条直线的两条直线平行 a b c 05 课堂小结 反证法 平行线的传递性 在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反证法。 在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 定义 利用反证法证明的一般步骤： 假设：假设命题结论的否定； 推理归谬：将假设作为条件，与原命题的条件一起，进行正确的推理，推出矛盾 的结果； 得出结论：否定假设，肯定原命题结论是正确的. 谈一谈本节课有哪些收获. 谢谢大家 $