第4章平行四边形 复习课件 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

　平行四边形 要求 知识与方法 了解 多边形的概念，多边形内角和公式，外角和 平行四边形的概念，四边形的不稳定性，平行线之间距离的概念 中心对称的概念及性质 三角形中位线的概念及性质 反证法的含义及基本步骤 理解 平行四边形的性质与判定 在直角坐标系中求已知点关于原点对称的点的坐标 会用反证法证明简单命题 运用 作简单图形关于已知点中心对称的图形 用平行四边形的判定与性质解决有关图形的论证和计算等问题 综合运用三角形、平行四边形相关知识解决实际问题 　　1. 四边形的内角和等于 ，外角和等于 。n边形的内 角和等于 ，外角和等于 ，对角线条数 为 ⁠。 　　2. 中心对称图形的性质：对称中心平分连结两个 的线段。在 直角坐标系中，点（x，y）关于原点对称的点为 ⁠。 　　3. 夹在两条平行线间的 相等，夹在 ⁠间的垂 线段相等。 　　4. 平行四边形的性质：平行四边形对边 ；对角 ⁠ ； 互相平分。 360°　 360°　 （n－2）×180°　 360°　 　 对称点　 （－x，－y）　 平行线段　 两条平行线　 平行且相等　 相 等　 对角线　 　　5. 平行四边形的判断：一组对边 ⁠的四边形是平行四边 形；两组对边 的四边形是平行四边形；对角线 ⁠ 的四边形是平行四边形。 　　6. 三角形的中位线 第三边，并且等于第三边的 ⁠。 　　7. 一般先假设命题不成立，从假设出发经过推理得出和 ⁠ 矛盾，或者与 、 、 等矛盾，从而得 出假设不成立是错误的，即原命题正确。 平行且相等　 平行（或相等）　 互相平 分　 平行于　 一半　 反证法　 已 知条件　 定义　 基本事实　 定理　 　多边形内角和、外角和 例1　（1）一个多边形的外角和与内角和共1620°，则这个多边形的边数 是 ⁠。 （2）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那 么原多边形的边数为 ⁠。 　　【反思】n边形的内角和必为180°的倍数，少一个内角或多一个内角的 问题可以用180°的整数倍去解决。 9　 7或8或9　 　平行四边形的判定与性质 例2　如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD 为边作▱BCDE，则∠E的度数为 ⁠。 70°　 例3　如图，在▱ABCD中，过点B作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过点D作 DN⊥AC于点F，交AB于点N。 （1）求证：四边形BMDN是平行四边形。 【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以CD∥AB，因为BM⊥AC，DN⊥AC，所以DN∥BM， 所以四边形BMDN是平行四边形。 （2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长。 【答案】（2）因为四边形BMDN是平行四边形，所以DM＝BN， 因为CD＝AB，CD∥AB，所以CM＝AN，∠MCE＝∠NAF， 因为∠CEM＝∠AFN＝90°，所以△CEM≌△AFN（AAS）， 所以FN＝EM＝5。 在Rt△AFN中，AN＝＝＝13。 　　防范点：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四 边形。 　　【反思】本题从▱ABCD性质入手联想，判定四边形BMDN是平行四边 形。本题证明方法多样，也可用一组对边平行且相等或两组对边相等来证 明。对于计算问题，要能识别图中的基本图形。如该题△CEM≌△AFN，然 后从基本关系入手来解决。 　三角形的中位线定理 例4　如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP是∠BAC的平分线，BP⊥AP 于点P。若AB＝12，AC＝22，则MP的长为 ⁠。 5　 例5　如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD， E，F，G分别是OA，OB，CD的中点。求证： （1）ED⊥CA。 【答案】证明：（1）因为平行四边形ABCD， 所以OB＝OD，又因为BD＝2AD，所以DA＝OD， 又因为E为OA中点，所以DE⊥AC。　 （2）EF＝EG。 【答案】证明：（2）因为DE⊥AC，G为CD的中点，所以EG＝DC。 又因为E为OA的中点，F为OB的中点，所以EF＝AB。 又因为▱ABCD，所以AB＝CD，所以EG＝EF。 　　【反思】“中点＋等腰三角形”联想“三线合一”“中点＋直角” 联想斜边中线定理，“中点＋平行”联想两三角形全等，两个中点想到 中位线定理。 　反证法 例6　（1）利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（　A　） A. 直角三角形的每个锐角都小于45° B. 直角三角形有一个锐角大于45° C. 直角三角形的每个锐角都大于45° D. 直角三角形有一个锐角小于45° A （2）“反证法”证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，先假设 ⁠ ⁠。 等腰三 角形的两底角都是直角或钝角　 　　防范点：反证法与举反例有着本质的区别，反证法是证明真命题，而举 反例是证假命题。 　　【反思】解此题的关键是要懂得反证法的意义及步骤：（1）假设结论不 成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立。 　　在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只 有一种，那么否定一种就可以了；如果有多种情况，那么必须一一否定。 　四边形的变换 例7　（1）如图，已知四边形ABCD中，∠C＝72°，∠D＝81°。沿EF折叠 四边形，使点A，B分别落在四边形内部的点A′，B′处，则∠1＋∠2 ＝ ⁠。 　　【反思】熟练掌握多边形内角和的知识；对于翻折变换，找准各个角的 关系是关键。 54°　 （2）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF。把平行四 边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交 于点G，连结DG，B′G。求证： ①∠1＝∠2； ②DG＝B′G。 【答案】（2）证明：①因为在平行四边形ABCD中， DC∥AB，所以∠2＝∠FEC，由折叠得∠1＝∠FEC，所以∠1＝∠2。　 ②因为∠1＝∠2，所以EG＝GF，因为AB∥DC，所以∠DEG＝∠EGF，由折叠得EC′∥B′F，所以∠B′FG＝∠EGF，所以∠B′FG＝∠DEG，因为DE＝BF＝B′F，所以DE＝B′F，所以△DEG≌△B′FG（SAS），所以DG＝B′G。 【反思】熟练掌握平行四边形的性质，折叠性质，平行线性质，全等三角形 的性质和判定的应用。 1. 在如图所示的五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平 分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是 ⁠。 第1题图 2. 用反证法证明“已知a＜｜a｜，求证：a必为负数”时，第一步应假 设 ⁠。 60°　 a≥0　 3. 在平行四边形ABCD中，若对角线AC的长为10cm，∠CAB＝30°，AB＝ 6cm，则它的面积为 cm2。 4. 如图，P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，已知AB＝1，∠ADC＝ 120°，M，N分别是AB，BC边上的中点，则△MPN周长的最小值是 ⁠。 第4题图 30　 ＋1　 5. 如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A 向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个 点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止）。设运动时间为t （s）（t＞0），若以P，D，Q，B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的 值可以是 ⁠。 第5题图 6或10或12　 6. 如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边 形。请用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线。小明的作法如图2，判断 小明的作法是否正确，并说明理由。 第6题图 【答案】小明作法如图，连结AB，EF，交于点C，画射线OC，射线OC即为 所求。小明的作法正确。　理由：因为四边形AEBF是平行四边形，所以CA ＝CB，因为OA＝OB，所以OC是∠AOB的平分线（等腰三角形三线合一）。 7. 如图，在▱ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC。 （1）求证：四边形BEDG是平行四边形。 【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC，所以∠DAC＝∠BCA。 因为BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC， 所以∠ADG＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC， 所以∠ADG＝∠CBE，所以△ADG≌△CBE（ASA）， 所以∠AGD＝∠CEB，BE＝DG， 所以180°－∠AGD＝180°－∠CEB， 所以∠DGE＝∠BEG，所以BE∥DG。 因为BE＝DG，所以四边形BEDG是平行四边形。　 第7题图 （2）过点E作EF⊥AB，垂足为F。若▱ABCD的周长为28，EF＝5，求 S△ABC。 【答案】（2）如图，过点E作EH⊥BC于点H， 因为▱ABCD的周长为28，所以AB＋BC＝×28＝14。 因为BE平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC， 所以EH＝EF＝5， 所以S△ABC＝AB•EF＋BC•EH＝EF•（AB＋AC） ＝×5×14＝35。 第7题图 $