精品解析：广东省珠海市第十六中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试卷

广东省珠海市第十六中学2025-2026学年八年级下期中考试数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. 4，5，6 D. 2，3，4 3. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 将线段向左平移，连接对应点得到的图形是（ ） A. 正方形 B. 长方形 C. 平行四边形 D. 三角形 5. 将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人沿相同的路线从地匀速行驶到地，已知，两地的路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的图象如图所示，则下列说法正确的是（） A. 甲的速度是 B. 乙的速度是 C. 乙比甲晚出发 D. 甲比乙晚到地 7. 如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上，若点C与数轴上与表示1的点重合，点B与原点重合，三角板绕点B旋转后，与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，在矩形中，连接，，，，则的长为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 9. 如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形；…；按此规律操作下所得到的正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分、共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：________ 12. 小颖现有存款300元，为赞助“希望工程”，她计划今后每个月存款20元，则存款总金额y（元）与时间x（月）之间的函数关系式为___ ． 13. 如图，在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么菱形的周长为___． 14. 直线与直线如图，则下列结论： ①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________． 15. 如图，中，，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，则点B到原点的最大距离是___________． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． （1）在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； （2）请写出A，B两点坐标：A： ；B： ； （3）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 18. 如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． （1）求证：； （2）若，说明四边形为菱形． 19. 综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 （1）消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ （2）消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 20. 某航模小组在制作一架机翼是矩形的飞机模型中遇到一个问题，机翼的长度为多少才合适？若机翼过长，则会增加阻力，导致速度过慢；若机翼过短，则会导致飞不起来．如果通过一次次实验找到适合的长度，则耗费较多时间与材料，航模小组想通过数学的方法找到合适的机翼长度．在风速和飞行姿态不变的情况下，通过实验测得：该飞机模型的升力（单位：）与机翼长度（单位：）的关系如图所示．同时，飞机的总重力（单位：）与机翼长度（单位：）的关系如图所示，其中飞机机身重量（不包含机翼），机翼单位长度的重量为（提示重力，为质量，） （1）求升力关于机翼长度的函数解析式； （2）求飞机的总重力与机翼长度的函数解析式； （3）若要飞机匀速平稳飞行（升力与重力平衡）时，机翼长度应为多少米? 21. 【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）若，求的值． 22. 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． （1）问题发现：如图①，将正方形沿对折，使点落在平面内的点处，连接，若，则 ； （2）解决问题：如图． 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段．连接，图中是什么特殊三角形？请写出解答过程． （3）拓展应用：已知，在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，求的长． 23. 如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． （1）如图，点在边上，满足，连接，求证：； （2）如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； （3）如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省珠海市第十六中学2025-2026学年八年级下期中考试数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵，被开方数含有能开得尽方的因数，∴选项A中的二次根式不是最简二次根式； ∵，被开方数含有分母，∴选项B中的二次根式不是最简二次根式； ∵，被开方数含有分母，∴选项C中的二次根式不是最简二次根式； ∵满足最简二次根式的两个条件，∴选项D中的二次根式是最简二次根式.，符合题意． 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. 4，5，6 D. 2，3，4 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理判定，只需逐一验证各选项即可． 【详解】解：A选项： ∵ ，， ∴ ，不能组成直角三角形，A错误； B选项： ∵ ，， ∴ ，能组成直角三角形，B正确； C选项 ：∵ ，， ∴ ，不能组成直角三角形，C错误； D选项： ∵ ，， ∴ ，不能组成直角三角形，D错误． 3. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义即可判断． 【详解】解：A、对于一部分自变量的值，有多个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； B、对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，故选项符合题意； C、对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； D、对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； 4. 将线段向左平移，连接对应点得到的图形是（ ） A. 正方形 B. 长方形 C. 平行四边形 D. 三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质：不改变形状只改变位置可知，根据平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到答案． 【详解】解：如图，根据平移性质可知，则连接对应点得到的图形是平行四边形． 5. 将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移规律． 一次函数图象向上平移，仅改变常数项的值，根据“上加下减”作答即可． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为． 故选：A． 6. 甲、乙两人沿相同的路线从地匀速行驶到地，已知，两地的路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的图象如图所示，则下列说法正确的是（） A. 甲的速度是 B. 乙的速度是 C. 乙比甲晚出发 D. 甲比乙晚到地 【答案】C 【解析】 【分析】观察函数图象，分别获取甲、乙两人的出发时间、到达时间及总路程，利用速度公式计算两人的速度，并比较出发和到达的时间差即可判断． 【详解】解：A、由图象可知，甲从出发，到达地，行驶路程为 ∴甲的速度为，故该选项错误； B、由图象可知，乙从出发，到达地，行驶路程为 ∴乙的行驶时间为， ∴乙的速度为，故该选项错误， C、∵甲在出发，乙在出发， ∴乙比甲晚出发，故该选项正确； D、∵甲在到达，乙在到达， ∴甲比乙晚到地，故该选项错误． 7. 如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上，若点C与数轴上与表示1的点重合，点B与原点重合，三角板绕点B旋转后，与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，由题意得：，求出直角三角板的斜边，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴直角三角板的斜边， 则， ∴点D表示的数为， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，连接，，，，则的长为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设交于点，易得为等边三角形，进而得到，即可得出结果. 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴. 9. 如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形的性质证明，得到；再结合得到等腰三角形的等角关系，设，通过三角形内角和与直角三角形的角度关系列方程求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵在和中， ， ∴（）． ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， ∴，即． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形；…；按此规律操作下所得到的正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，一次函数图象与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，通过由特殊归纳得到一般结论是解题的关键．根据正比例函数的性质得到，分别求出正方形、正方形、作正方形的面积，…，总结规律得到一般形式，即可求得结果． 【详解】解：∵直线l为正比例函数的图象， ∴， ∴， ∴正方形的面积， 由题意得、是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ， ∴， ∴正方形的面积， 同理，， ∴正方形的面积， … ， 由规律可知，正方形的面积，   故选：C． 二、填空题（每小题3分、共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：________ 【答案】 2（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴（答案不唯一）． 12. 小颖现有存款300元，为赞助“希望工程”，她计划今后每个月存款20元，则存款总金额y（元）与时间x（月）之间的函数关系式为___ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，根据存款总金额=现已存款300元+每月20元×月数列出函数关系式即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么菱形的周长为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线的性质可得，根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长为． 14. 直线与直线如图，则下列结论： ①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据一次函数的图象经过的象限，可判断①； 根据一次函数的图象与轴的交点位置，可判断②； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，及图象的位置，可判断③； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，可判断④． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，故①正确； ∵一次函数的图象与轴交于负半轴， ∴，故②错误； 一次函数与的图象交点的横坐标为， 当时，的图象在的上方， 即，故③错误； ∵一次函数与的图象交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是，故④正确． 15. 如图，中，，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，则点B到原点的最大距离是___________． 【答案】 【解析】 【分析】点，分别在轴、轴上，当点在轴运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点、B到的中点的距离不变．设出的中点为D，根据、、在一条直线上时，点到原点的最大可得出答案． 【详解】解：设的中点是，连接、，如图， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得， ∵， ∴当、、在一条直线上时，点到原点的最大，最大距离是， 故答案为：． 【点睛】此题考查勾股定理，直角三角形的性质，两点之间，线段最短，理解O、B到中点的距离不变是解决本题的关键． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据二次根式性质，二次根式乘法分别计算，然后合并即可． （）利用二次根式的乘法法则和乘法公式计算，再合并同类二次根式得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． （1）在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； （2）请写出A，B两点坐标：A： ；B： ； （3）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，然后画出函数图象即可； （2）通过函数图象得出交点坐标； （3）根据交点坐标求出线段长度，然后利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，，解得； ∴直线经过两点，画图如下： 【小问2详解】 解：由（1）得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是． 18. 如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． （1）求证：； （2）若，说明四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【小问1详解】 证明：连接交于点，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形． 19. 综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 （1）消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ （2）消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 【答案】（1）消防车距离着火楼距离是15米 （2）消防车靠近的为8米才能完成处救援任务 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）延长交于点，则，．在中根据勾股定理求出即可； （2）在中根据勾股定理求出，在根据即可解答． 【小问1详解】 解：延长交于点，则，． ∵， ∴在中，， 即此时消防车距离着火楼距离是15米． 【小问2详解】 解：∵，， ∴在中，， ∴， 即消防车靠近的为8米时才能完成处救援任务． 20. 某航模小组在制作一架机翼是矩形的飞机模型中遇到一个问题，机翼的长度为多少才合适？若机翼过长，则会增加阻力，导致速度过慢；若机翼过短，则会导致飞不起来．如果通过一次次实验找到适合的长度，则耗费较多时间与材料，航模小组想通过数学的方法找到合适的机翼长度．在风速和飞行姿态不变的情况下，通过实验测得：该飞机模型的升力（单位：）与机翼长度（单位：）的关系如图所示．同时，飞机的总重力（单位：）与机翼长度（单位：）的关系如图所示，其中飞机机身重量（不包含机翼），机翼单位长度的重量为（提示重力，为质量，） （1）求升力关于机翼长度的函数解析式； （2）求飞机的总重力与机翼长度的函数解析式； （3）若要飞机匀速平稳飞行（升力与重力平衡）时，机翼长度应为多少米? 【答案】（1）升力的函数解析式为； （2）总重力与机翼长度的函数解析式为； （3）机翼长度应为米． 【解析】 【分析】（）根据图象利用待定系数法即可求解； （）根据图象利用待定系数法即可求解； （）由平衡时机翼长度匀速平稳飞行时，即 ，然后求出的值即可． 【小问1详解】 解：由图可知，是过原点的正比例函数，设解析式为， ∵函数图象过点， ∴ ，解得 ， ∴升力的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设的解析式为， 由图得，过点和，代入得 ，解得， 结合题目验证：机身重力为 ，符合截距， ∴总重力与机翼长度的函数解析式为； 【小问3详解】 解：∵平衡时机翼长度匀速平稳飞行时， ∴ ， 解得， 答：机翼长度应为米． 21. 【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ，即， ． 22. 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． （1）问题发现：如图①，将正方形沿对折，使点落在平面内的点处，连接，若，则 ； （2）解决问题：如图． 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段．连接，图中是什么特殊三角形？请写出解答过程． （3）拓展应用：已知，在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，求的长． 【答案】（1）； （2）为等边三角形，见解析； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（）由折叠的性质和勾股定理可求解； （）由折叠的性质可得，由线段中垂线的性质可得，可得结论； （）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：∵将正方形沿对折，使点落在平面内的点处， ∴ ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：是等边三角形， ∵对折矩形纸片，使与重合， ∴，， ∴垂直平分， ∴， 由折叠性质可得， ∴ ∴为等边三角形； 【小问3详解】 解：如图，当点在上时， 由折叠可知：，， ∵， ∴点是的中点， ∴点在矩形的对称轴上， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，当点落在上时， 由（）可知：是等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， 综上所述：的长为或． 23. 如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． （1）如图，点在边上，满足，连接，求证：； （2）如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； （3）如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）最小值为． 【解析】 【分析】（）由正方形的性质可得，，证明，然后通过全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求证； （）证明，所以，， 然后证明，，再证明四边形是矩形，又，所以四边形是正方形； （）由（）知，四边形是正方形，所以，，证明四边形是矩形，则，设，则，，由勾股定理得，然后通过非负数性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与交于点， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵正方形边长为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； 【小问3详解】 解：由（）知，四边形是正方形， ∴，， ∵正方形中，，， ∴， ∵点在的延长线上，且在上， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得： ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $