精品解析：广东省广州市番禺区恒润实验学校2025～2026学年八年级下学期期中考试数学试卷

恒润实验2025-2026学年第二学期八年级数学期中试卷 满分：150分 时间：120min 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须为非负数，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解不等式得． 2. 下列式子中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵选项A中是三次根式，不是二次根式，∴A不符合要求； ∵选项C中，被开方数是能开得尽方的因数，∴C不是最简二次根式，不符合要求； ∵选项D中的被开方数含分母，可化简为，∴D不是最简二次根式，不符合要求； ∵选项B中根指数为2，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，∴选B． 3. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 6、8、10 D. 5、12、13 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长度，故此选项符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，故此选项不符合题意； C、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，故此选项不符合题意； D、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，故A错误，不符合题意； B、，计算正确，故B正确，符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意． 5. 如图，四边形中，对角线、相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】、根据两组对角相等可以得出平行四边形； 、根据一组对边平行且相等可以得出平行四边形； 、根据两组对边分别平行可以得出平行四边形； 、无法判定， 故选：． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的判定定理，属于基础题型．明确判定定理是解决这个问题的关键． 6. 下列说法中，错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A. 平行四边形的对角线互相平分，说法正确； B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确； C．菱形的对角线互相垂直，说法正确； D．对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误. 故选D. 考点:1.平行四边形的判定；2.菱形的判定. 7. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这只铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是运用勾股定理求出斜边的长度．首先根据问题的条件可得到当铅笔与笔筒底垂直时最大，此时最大值为铅笔的高减去笔筒内壁的高；分析可知，当铅笔如图放置时最小，在中，运用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 8. 如图，在菱形中，，对角线，过点A作，垂足为E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于点，利用菱形的性质以及等积法进行求解即可. 【详解】解：连接交于点， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴. 9. 如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙 ”．当 ， 时，则阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．根据勾股定理求出 ，分别求出三个半圆的面积和 的面积，即可得出答案． 【详解】解：在中， ， ，， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 ， 故选：D． 10. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2027 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027， 故选：B． 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据题意列出不等式求得结果即可； 【详解】解：由题意可知：， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，在数轴上点A表示的实数是 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 13. 若一个菱形的两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形面积公式求解即可． 【详解】解：菱形的面积＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的面积，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 14. 已知，，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，现将整式化为，代值计算，即可求解；能将整式进行因式分解化简是解题的关键． 【详解】解：原式， 当，时， 原式 ． 15. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式，连接，由矩形的性质得出，，，由勾股定理得出，推出，再结合，计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 正方形的边长为8，点、分别在边、上，将四边形沿折叠，使点落在处，点落在点处，交于．以下结论：①当为中点时，三边之比为；②连接，则；③当三边之比为时，为中点；④当在上移动时，周长不变．其中正确的有___________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①当为中点时，设，则，根据勾股定理列出方程求解，可推出①正确；②连接交于点Q，过点E作，证明，即可得出②正确；③当三边之比为时，假设，根据，可求出a的值，进一步求得，即可判断③错误；④过点A作，垂足为H，连接，，先证明，可得，再证明，可得，由此可得的周长为16，即可得④正确； 【详解】∵为中点，正方形的边长为8， ∴， 由翻折可知：， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴当为中点时，三边之比为， 故①正确； 如图，连接交于点Q，过点E作，垂足为M，交于点N， ， ， 由翻折可知：垂直平分， 在和中， ， ， 故②正确； 当三边之比为时，假设，则， ∵， ∴， 解得： ∴， ∴此时点不是中点， 故③错误； 如图，过点A作，垂足为H，连接，， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为： ， ∴当在上移动时，周长不变， 故④正确； 故答案为①②④． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则以及去绝对值的方法是解题的关键．本题通过去括号、化简绝对值以及合并同类项来完成．需要注意绝对值的符号处理和实数的化简规则． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据平方差公式以及单项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可化简，最后代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上． （1）请直接写出线段AB、AC的长度； （2）连接BC，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）AB＝，AC＝；（2）等腰直角三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理直接可求AB，AC的长； （2）根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，又AB＝BC＝，故△ABC为等腰直角三角形． 【详解】解：（1）由勾股定理可得AB＝，AC＝； （2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下： 由（1）可知，， 又BC2＝32+12＝10， ∴AB2+BC2＝AC2． ∴△ABC是直角三角形． 又AB=BC= ， ∴△ABC是等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解决本题的关键主要熟练掌握勾股定理及其逆定理． 20. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，过点E作交的延长线于点F． （1）证明：四边形是平行四边形． （2）若四边形的周长是18，的长为12，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2）13 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理得出，然后利用平行四边形的判定即可证明； （2）利用平行四边形的性质、三角形中位线定理以及直角三角形斜边中线的性质可求，在中，利用勾股定理可求，进而得出，然后求解即可． 【小问1详解】 证明：∵D，E分别是，的中点， ∴，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又四边形的周长是18， ∴， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识．熟练掌握性质定理是解题的关键． 21. 如图，在矩形中，为对角线． （1）用尺规完成以下作图：作的垂直平分线分别交于点E，F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的作图步骤以及性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可． （2）由线段垂直平分线的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求得x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：连接， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 设， 则， 由勾股定理得，， 解得， ∴的长为． 22. 如图，在中，对角线交于点为上两点，连接，且 （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若为的三等分点，求的长度． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理、正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质，得，进行线段的差运算，得，根据对角线互相平分，即可证明四边形是平行四边形． （2）先由平行四边形的性质，得根据勾股定理列式，得，结合E，F为的三等分点，进行线段的运算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴ 即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∵E，F为的三等分点， ∴ ∴ 23. 在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】（1） （2）不能成功，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 过点作于点，则， ，， 在中，， ； 【小问2详解】 不能成功，理由如下：假设能上升，如图所示， 延长至点，连接，则， ， 在中，， ，余线仅剩， ， 不能上升，即不能成功． 24. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动： （1）甲同学的操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A的对应点M落在上，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接． ①连接，证明：是等边三角形； ②设正方形边长为2，求的长； （2）乙同学的操作过程如下：P、G分别在、上，将正方形纸片沿折痕折叠，使点C的对称点H落在边上，点D的对称点为K，交于点T．连接交于点N，连接、．请按要求补全图形，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）①见解析；② （2）为等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，平行线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）①连接，由翻折推导出，得到，则是等边三角形，即可解答； ②先推导出，，得到，进而推导出，求出，推导出，，则，即可解答； （2）过点C作于点E，证明，得到，推导出，进而证明，得到，推导出，即，即可解答． 【小问1详解】 解：①是等边三角形， 证明：如图，连接， ∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕， ∴， ∵沿折叠，使点A落在矩形内部点M处， ∴， ∴， ∴是等边三角形． ②如图 ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 由翻折，得，， ∴， ∵， ∴， 由折叠及题意，得 ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作于点E， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ， 由翻折，得 ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形． 25. 如图：矩形的顶点、分别在坐标轴上，点的坐标为． （1）若、满足：，直接写出点的坐标______； （2）已知：、分别平分、，连并延长交边于点，若点为边中点，求的值； （3）点、分别在边、轴上，、相交于，点的坐标为，，若，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或6 【解析】 【分析】（1）根据、算术平方根的非负性，得出、的值，即可得到点的坐标； （2）过点作于点，过点作于点，根据矩形、正方形的判定与性质，结合梯形的中位线，推出，，，整理求出的值即可； （3）分“当点在线段上时”和“当点在线段的延长线上时”两种情况讨论．当点在线段上时，过点作于点，过点作于点，设，根据等腰直角三角形的性质，结合勾股定理知识，，列出方程求解，再求出的长即可；当点在线段的延长线上时，过点作于点，过点作于点，设，结合勾股定理知识，，，列出方程求解，再求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵， ，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵四边形是矩形，、分别平分、，连并延长交边于点，若点为边中点， ∴， ， ∴， ∵，，点的坐标为， ∴，，，， ， ∴，，四边形是矩形，，， ∴四边形是正方形， 是梯形的中位线，即点为的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：情况一，如图，当点在线段上时，过点作于点，过点作于点， ∵四边形是矩形，点的坐标为，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴ ， 设，则， ∴， ∴， 方程左右同平方，整理得：， ， 解得：， ∴， ∴； 情况二，如图，当点在线段的延长线上时，过点作于点，过点作于点， ∵四边形是矩形，点的坐标为，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴，， 设， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上所述，的长为或6． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了图形与坐标、矩形和正方形的性质、勾股定理、算术平方根的非负性等知识，熟练掌握知识点、分类讨论、数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恒润实验2025-2026学年第二学期八年级数学期中试卷 满分：150分 时间：120min 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 6、8、10 D. 5、12、13 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形中，对角线、相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 6. 下列说法中，错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 7. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这只铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，对角线，过点A作，垂足为E，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙 ”．当 ， 时，则阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 10. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2027 C. D. 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 _____． 12. 如图，在数轴上点A表示的实数是 ___________． 13. 若一个菱形的两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是___________． 14. 已知，，则代数式的值为______． 15. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则_______． 16. 正方形的边长为8，点、分别在边、上，将四边形沿折叠，使点落在处，点落在点处，交于．以下结论：①当为中点时，三边之比为；②连接，则；③当三边之比为时，为中点；④当在上移动时，周长不变．其中正确的有___________（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上． （1）请直接写出线段AB、AC的长度； （2）连接BC，请判断△ABC的形状，并说明理由． 20. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，过点E作交的延长线于点F． （1）证明：四边形是平行四边形． （2）若四边形的周长是18，的长为12，求线段的长度． 21. 如图，在矩形中，为对角线． （1）用尺规完成以下作图：作的垂直平分线分别交于点E，F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，求的长． 22. 如图，在中，对角线交于点为上两点，连接，且 （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若为的三等分点，求的长度． 23. 在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 24. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动： （1）甲同学的操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A的对应点M落在上，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接． ①连接，证明：是等边三角形； ②设正方形边长为2，求的长； （2）乙同学的操作过程如下：P、G分别在、上，将正方形纸片沿折痕折叠，使点C的对称点H落在边上，点D的对称点为K，交于点T．连接交于点N，连接、．请按要求补全图形，判断的形状，并说明理由． 25. 如图：矩形的顶点、分别在坐标轴上，点的坐标为． （1）若、满足：，直接写出点的坐标______； （2）已知：、分别平分、，连并延长交边于点，若点为边中点，求的值； （3）点、分别在边、轴上，、相交于，点的坐标为，，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $