专题05分式易错必刷题型专项训练(28大题型共计85道题)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式全章高频易错点，以28类题型系统梳理概念辨析、运算技巧及方程应用的解题方法，构建“典题特征-易错点-解法”三维训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|8类（值为0/正负等）|分式值为0需分子为0且分母不为0；符号判断用分子分母符号关系|从分式定义到性质应用，构建概念理解框架| |运算技巧|10类（乘除/加减混合等）|乘除先因式分解再约分；加减通分后合并，注意符号|从单一运算到混合运算，强化运算能力与逻辑推理| |方程应用|10类（行程/工程等）|行程问题抓时间关系，工程问题设工作总量为1|从方程定义到实际应用，培养模型意识与应用能力|

专题05分式易错必刷题型专项训练 本专题汇总分式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.分式值为0的条件 题型02.求分式值为正负时取值范围 题型03.判断分式变形是否正确 题型04.分子分母系数化为整数 题型05最简分式 题型06.分式值变化判断 题型07.最高次项化为正数 题型08.分式整数解求值 题型09.分式乘除混合运算 题型10.分式乘方 题型11.含乘方的分式乘除混合运算 题型12.通分 题型13.最简公分母 题型14异分母分式加减法. 题型15.整式与分式相加减 题型16.分式加减混合运算 题型17.分式加减乘除混合运算 题型18.分式化简求值 题型19.分式恒等式确定分子分母 题型20.分式方程的定义 题型21.由分式方程解的情况求值 题型22.分式方程无解问题 题型23.列分式方程 题型24.解分式方程 题型25.分式方程行程问题 题型26.分式方程工程问题 题型27.分式方程经济问题 题型28.分式方程和差倍分问题 易错必刷题型01.分式值为0的条件 典题特征：依据分式值为0，求解所含字母参数取值 易错点：①仅令分子等于0，忽视分母取值不为0限制 ②未代入原式检验分母有效性 1．若分式的值为0，则__________． 【答案】 【分析】根据分式值为的条件建立方程，利用平方根解方程可得的值，再结合分式的分母不能等于0即可得． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得或， 又∵，即， ∴． 2．如果分式的值为0，那么应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为0的条件． 分式的值为0，需分子为0且分母不为0，得到分子且分母，进而计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子且分母， 解得且， 即， ∴且． 故选：A． 3．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则______． 【答案】 【分析】根据当时，分式无意义，得；当时，此分式的值为0，得到，代入解答即可． 【详解】解：根据当时，分式无意义，得，解得； 当时，此分式的值为0，得到，解得， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零，分式无意义的条件，求代数式的值，有理数的乘方，熟练掌握条件是解题的关键． 易错必刷题型02.求分式值为正负时取值范围 典题特征：结合分式整体正负属性，列不等式求解自变量取值区间 易错点：①未同步判定分子分母符号关系 ②不等式变形时不等号方向出错 4．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式值为正数可确定分母为负数，由此求解即可． 【详解】解：因为分式的值为正数， 而分子为是负数，可知分母为负数， 即，解得， 的取值范围是． 5．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 6．若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______． 【答案】且 【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值． 【详解】解：∵分式的值大于零， ∴x+2＞0， ∴x＞﹣2， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， 故答案为x＞﹣2且x≠1． 【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键． 易错必刷题型03.判断分式变形是否正确 典题特征：依托分式基本性质，甄别等式变形正误 易错点：①违规对分子分母加减运算 ②忽略字母隐含取值限制条件 7．若，下列等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质．根据等式的基本性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、的两边同时加2，得成立，故本选项正确，不符合题意； B、由变形为，需要在的条件下才能成立，题中未说明m的取值，故该变形错误，符合题意； C、的两边乘m，得，成立，故本选项正确，不符合题意； D、的两边减b，得，成立，故本选项正确，不符合题意； 故选：B． 8．下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质和因式分解逐一判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变， 对各选项逐一判断： A选项，变形为不符合分式基本性质，例如时，左边为，右边为，左右不相等，A错误. B选项，原式有意义则，且， ，B错误， C选项，原式有意义则， ，变形正确，C正确， D选项，当时，，此时右侧分母为，无意义，变形未保证所乘整式不为，不符合分式基本性质，D错误． 9．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质与分式的变形，可通过比例交叉相乘、分式拆分等方法验证各选项． 【详解】选项A：∵ ， ∴ ，故A错误； 选项B：对交叉相乘得， 展开化简得，与一致， 且，则，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：∵， ， ，故D错误． 故选：B． 易错必刷题型04.分子分母系数化为整数 典题特征：将含分数、小数系数的分式，统一转化为整数系数形式 易错点：①未对分子分母整体同倍扩乘 ②扩乘倍数计算出现偏差 10．不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为____________． 【答案】 【分析】运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键． 11．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 12．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，分式的化简等知识，逐项计算验证，A、B、C均不成立，D选项化简后成立． 【详解】解：A：∵，， ∴ ，而， ∴，A错误． B：∵， ∴，而， ∴，B错误． C：左边分式分子分母同乘10，得 ，右边为， ∵分母不同， ∴除非，否则不相等，C错误． D：， ∵左边右边， ∴D正确． 故选：D． 易错必刷题型05最简分式 典题特征：判定分式是否为最简形式，完成约分筛选 易错点：①未因式分解直接判定 ②遗漏分子分母隐藏公因式 13．下列代数式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简分式的定义，根据分子和分母没有公因式，检查各选项是否能约分即可． 【详解】解：A：不符合题意； B：不符合题意； C：，分子和分母无公因式，符合题意； D：不符合题意； 故选C． 14．从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式____________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 15．下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的约分等知识点，掌握最简分式的概念是解题的关键． 根据“分子与分母没有非零次的公因式的分式叫最简分式”逐项判断即可． 【详解】解：A. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意； B. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意； C. 的分子分母没有有非零公因式，是最简分式，符合题意； D. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 易错必刷题型06.分式值变化判断 典题特征：已知字母缩放比例，判定分式整体数值变动规律 易错点：①凭主观经验主观判断 ②未采用赋值法严谨验证结果 16．若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【答案】B 【分析】解：m和n都扩大为原来的2倍后，代入分式计算并化简，比较新分式与原分式的值即可解答． 【详解】解：∵m和n都扩大为原来的2倍， ∴ 新分式为， ∵原分式为， ∴分式的值扩大为原来的2倍， 故选B． 17．已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的性质是解题关键．将分式中的和同时扩大2倍后，新分式是原分式的2倍，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 则新分式为， 故答案为：． 18．下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、选项分子分母同时加，不符合分式基本性质，值改变，不符合题意； 、选项分子分母未同乘（或除以）同一个整式，值改变，不符合题意； 、∵， ∴， ∵该分式有意义时，即，此时， ∴约分后得，与原式相等，符合题意； 、选项无法因式分解为含的整式，无法约分得到原式，不符合题意； 故选：． 19．如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题： ×年×月×日，星期日 整体代入法求分式的值 今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法： 方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy， ∴原式＝ 方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得， 原式＝ (1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 　 　． (2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． (3)若（a，b都不为0），请直接写出的值． 【答案】(1)分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据分式的基本性质求解； （2）将分式的分子、分母同时除以得原式，然后利用整体代入的方法计算； （3）把代入分式中化简即可． 【详解】（1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）∵， ∴原式＝ ＝ ＝， ∵， ∴， ∴原式=； （3）∵， ∴， ∴=1． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：灵活运用分式的基本性质是解决问题的关键．也考查了整体代入的方法． 易错必刷题型07.最高次项化为正数 典题特征：调整分式首尾项符号，统一标准化书写格式 易错点：①符号转换规则混淆 ②分子分母符号调整不同步 20．若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝______． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解答． 【详解】原式＝． 【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 21．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 22．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 易错必刷题型08.分式整数解求值 典题特征：限定分式计算结果为整数，求取合规整数自变量 易错点：①枚举因数不完整 ②未规避分母等于0的无效取值 23．若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为______． 【答案】6或 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题．将分式化为，根据分式的值是大于2的整数，且x是整数，即可求解． 【详解】解：， ∵分式的值是大于2的整数，且x是整数， ∴或， 解得：或， 故答案：6或． 24．若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 25．阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)x的值为2或4或16或 【分析】本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式； （1）按照题干的拆分方法进行即可； （2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； ∵的值为整数， ∴是13的所有整数因数， 即， ∴或或或； 即x的值为2或4或16或． 易错必刷题型09.分式乘除混合运算 典题特征：多组分式连续乘除，因式分解后约分计算 易错点：①违背从左至右运算顺序 ②运算过程正负符号判定失误 26．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再进行乘法运算即可，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 27．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，根据分式的乘除混合运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 28．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算． （1）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可； （2）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可． 【详解】（1）解：原式= = = = （2）解：原式= = = = 易错必刷题型10.分式乘方 典题特征：对整体分式或单项分式进行幂次运算 易错点：①漏对分母整体乘方 ②混淆奇次幂与偶次幂符号规则 29．计算的结果是___________. 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘方，根据分式的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 30．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把四个选项分别先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，再利用幂与积的乘方法则分别进行运算即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项正确，符合题意； D、，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘方法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式等知识，掌握这些法则以及乘法公式是解题的关键． 31．化简： 【答案】 【分析】先算乘方，然后根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算、乘方等知识点，掌握整式乘除混合运算法则是解答本题的关键． 易错必刷题型11.含乘方的分式乘除混合运算 典题特征：融合乘方、乘法、除法的综合性计算题型 易错点：①运算优先级判定错误 ②多层符号叠加计算失误 32．（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可求解． 【详解】解： 故选：D． 33．（1）________；              （2）________； （3）________；   （4）________； （5）________． 【答案】 【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除法即可； （5）先算乘方，再算除法即可； 【详解】解：（1） （2）； （3）原式=； （4）原式=； （5）； 故答案为：，，，， 【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 34．计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式运算，涉及到因式分解，熟记运算法则是关键． （1）根据分式的乘除混合运算运算即可； （2）运用完全平方式、平方差公式、提取公因式因式分解，再约分化简即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 易错必刷题型12.通分 典题特征：为异分母分式统一公共分母，便于后续计算 易错点：①选取公分母不符合最简要求 ②分子未随分母同步扩分 35．填空： （1）_______；     （2）_______； （3）_______． 【答案】 3 【分析】本题考查的是分式的通分，约分． （1）把分子与分母约分法则即可； （2）找出最简公分母，计算即可； （2）把分子与分母约分法则即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：3； （2） 故答案为：； （3）； 故答案为：． 36．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 37．通分： (1)，； (2)，，． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键 （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ， ． 易错必刷题型13.最简公分母 典题特征：单独求解多个异分母分式的最小公共分母 易错点：②因式幂次选取偏低 ②遗漏独立单一因式项 38．分式与的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的最简公分母的确定方法，熟练掌握因式分解及最简公分母的定义是解题的关键．先对两个分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义，确定各分母所有因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：∵，， ∴最简公分母为． 故答案为：． 39．的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】解：的最简公分母为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 40．通分：，，． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了通分的知识，确定三个分式的最简公分母是解题关键．由题意可知，最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行通分即可． 【详解】解：最简公分母是， 则， ， ． 易错必刷题型14异分母分式加减法. 典题特征：分式核心计算题型，统一分母后合并运算 易错点：①不通分直接合并分子 ②计算完成后未约分为最简分式 41．计算 的结果是（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】将异分母分式转化为同分母分式，再根据同分母分式加减法则计算 本题考查了分式的运算法则，能熟记分式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵ ∴原式 = = 故选：A． 42．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，解题的关键是先将两个分式的分母化为相同形式，再进行分子的加减运算，最后化简． 【详解】解： 故答案为：． 43．以下是某同学计算的过程： 计算： 解：原式① ② ③ 老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误． (1)请你指出：上述解题过程，从第_______步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)请写出你认为正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查的是分式的化简，熟练掌握分式的加减计算法则是解题的关键． （1）计算过程是从第②步开始出现错误的； （2）根据异分母分式的加减运算法则写出正确的化简过程即可． 【详解】（1）解：计算过程是从第②步开始出现错误的． 故答案为：②． （2）解： ． 易错必刷题型15.整式与分式相加减 典题特征：整式与分式混合开展加减化简运算 易错点：①整式直接并入分子计算 ②整式化分式时分母搭配错误 44．若，则式子的值是（  ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据代数式的值可得，代入将化简后的分式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选A 【点睛】本题考查了分式的减法运算，求分式的值，整体代入是解题的关键． 45．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可． 【详解】解：， 当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意； 当时，，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，，故C选项正确，符合题意； 当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 46．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键． （1）先利用分式的性质把分母化为同分母，再进行同分母的减法运算，即可求解； （2）先算括号里面加减法，再把除法统一成乘法，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 易错必刷题型16.分式加减混合运算 典题特征：多项分式连续加减，分步化简求值 易错点：①去括号时符号转换错误 ②运算中途擅自约分打乱式子 47．已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】计算分式加法可得，当a大于5时，，从而可得P与Q的大小关系． 【详解】解： 当a大于5时， 故选：A 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握是解题的关键． 48．如果，那么________，________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 49．观察下列各式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ________； (2)写出你猜想的第（为正整数）个等式： ________，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字规律探究，分式的运算与通分，掌握裂项相消是解题关键． （1）根据前个等式的规律，直接写出第个等式； （2）先归纳出第个等式的猜想形式，再通过分式通分计算，验证等式左右两边相等． 【详解】（1）解：由题可知，． 答：． （2）解：，证明如下： ， ， ． 易错必刷题型17.分式加减乘除混合运算 典题特征：四则运算融合的综合计算题，考试高频考点 易错点：①混淆四则运算先后顺序 ②步骤繁杂引发计算疏漏 50．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，以及平方差公式的运算，解决本题的关键是对括号内的式子进行通分计算． 将除法运算转化为乘法运算，并利用分式的性质进行简化，最后通过约分得到结果． 【详解】解： = ． 故答案为： ． 51．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对分子分母因式分解，计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分得到结果，用到平方差公式和分式运算法则． 【详解】解： ． 52．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ． 易错必刷题型18.分式化简求值 典题特征：先整体化简分式，再代入指定数值计算结果 易错点：①未经化简直接代值计算 ②代入使分母为零的无效数值 53．如果，那么的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简求值，由给定条件出发，两边乘以得到，然后整体代入化简即可． 【详解】解：∵，且，， ∴两边同乘，得， ∴， 故选：A． 54．若且均不为0，则的值为（　　） A． B． C．0 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了分式的化简求值以及代数式的意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先对分式进行化简，然后代数式变形代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 故选：A． 55．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 易错必刷题型19.分式恒等式确定分子分母 典题特征：根据分式恒等关系，求解未知整式表达式 易错点：①对应项系数匹配不均等 ②多项式展开合并出现错误 56．若，其中a，b为常数，则_____． 【答案】1 【分析】原等式整理变形后得：，可得，求出a、b即可得到答案． 【详解】解：已知等式整理得：， ∴， 可得， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式的变形求值，正确得到是解题的关键． 57．已知，其中，，，为常数，则______． 【答案】6 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 58．阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】探索：；总结：；应用：2或0 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确分析计算是解题的关键． 探索：把已知式子展开成求解即可； 总结：根据条件化式子为计算即可； 应用：根据已知条件得到，再根据代数式的值为整数计算即可； 【详解】解：探索：， 所以； 总结：， ∴； 应用：∵， 又∵代数式的值为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或0． 易错必刷题型20.分式方程的定义 典题特征：区分判定分式方程与普通整式方程 易错点：①误判分母不含未知数的方程 ②混淆分式方程与根式方程 59．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 60．下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式方程的是_____．（请填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程是分母中含有未知数的方程这一概念是解题的关键．根据分式方程的定义，判断每个方程是否为分式方程，即方程中是否含有分母且分母里含有未知数． 【详解】解：方程①，分母为，含有未知数，是分式方程； 方程②，分母分别为、、，均不含有未知数，不是分式方程； 方程③，分母为和，含有未知数，是分式方程； 方程④，分母为，含有未知数，是分式方程； 方程⑤，分母为和，是常数，不含有未知数，不是分式方程； 方程⑥，分母为2，不含有未知数，不是分式方程． 故答案为：①③④． 61．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 易错必刷题型21.由分式方程解的情况求值 典题特征：已知方程解正负属性，反向求解参数取值范围 易错点：①未剔除增根对应参数值 ②取值边界范围界定不准确 62．若分式方程有增根，则________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据分式方程根的情况求参数等知识点，解题的关键是熟练掌握分式方程的求解． 先对分式方程进行整理，得出，然后根据增根进行求解即可． 【详解】解： ， ∵原分式方程有增根，即， ∴， 故答案为：2． 63．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先解关于x的分式方程，再根据关于x的分式方程的解为非负数，列出关于k的不等式，求出k的取值范围，然后再根据分式的分母不等于0确定k的取值范围即可． 【详解】解：， ， 解得：， ∵关于的分式方程的解是非负数， ∴，即， 又∵分母不为零，即， ∴， ∴， ∴且． 64．已知关于x的方程：． (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 【答案】(1)或4 (2)且 【分析】（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答； （2）通过解分式方程得到x的值，然后根据已知条件列出关于m的不等式，通过解不等式可以求得m的值． 本题考查了分式方程的解法，以及分式方程无解的问题，理解分式方程无解的条件是解题的关键． 【详解】（1）由原方程，得， ①整理，得， 当即时，原方程无解； ②当分母即时，原方程无解， 故， 解得， 综上所述，或4； （2）由（1）得到， 当时．， 解得， 由（1）知：时，原方程无解； 所以综上所述，且． 易错必刷题型22.分式方程无解问题 典题特征：分整式方程无解、分式方程产生增根两类求解参数 易错点：①遗漏其中一类无解情况 ②增根溯源推导出现偏差 65．已知是实数，若分式方程无解，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，解分式方程求出，因为分式方程无解，所以可得：，解关于一元一次方程求出的值即可． 【详解】解：， 去分母： ， 移项、合并同类项：， 去分母：， 关于的分式方程无解， ， 解得：， ， 解得：． 故选：A． 66．若关于的方程无解，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，分式方程无解分为分式方程有增根、化简后的整式方程无解两种情况，据此即可求解． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 解得：， 关于的方程无解， 或， ，， 当时，， 解得：， 综上所述：的值为或， 故答案为：或． 67．若解关于x的方程无解，求代数式的值． 【答案】9 【分析】此题考查了分式的化简求值，分式方程无解时求参数问题，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先解分式方程得到，然后由方程无解得到，代入求出，然后代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵关于x的方程无解， ∴ ∴， ∴， ∴， ， 当时，原式． 易错必刷题型23.列分式方程 典题特征：依托实际题意，梳理等量关系列出方程 易错点：①题意等量关系梳理错乱 ②变量设定与题干含义不符 68．某工程队原计划修路，实际每天比原计划多修，结果提前3天完成．设原计划每天修路，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的应用． 本题依据“工作时间工作总量工作效率”，结合原计划完成天数与实际完成天数的差值为3天来列方程． 【详解】解：∵原计划每天修路，总路程为， ∴原计划完成工程的天数为， ∵实际每天比原计划多修， ∴实际每天修路，实际完成工程的天数为， ∵结果提前3天完成，即原计划天数实际天数3， ∴可列方程为， 故选：B． 69．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据题意，慢马的速度为里/天，则快马的速度为里/天．慢马所需时间比规定时间多一天，快马所需时间比规定时间少3天，通过规定时间相等列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天， 由题意，得； 故答案为：． 70．A市与甲、乙两地的距离分别为400千米和350千米，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快15千米/时，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． (1)请找出列方程所需的等量关系； (2)若设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，请将等量关系中涉及的量用含的代数式表示，并将它们填写在图形或表格中，以此来表达你对问题的分析过程； (3)根据等量关系列出方程． 【答案】(1)从A市到甲地的时间等于从A市到乙地的时间 (2)开往乙地列车的速度为千米/时，从A市到甲地的时间为小时，到乙地的时间为小时；表格见解析 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用，能够读懂题意找到等量关系是解题关键； （1）根据题意“从A市到甲、乙两地所需时间相同”，可得到等量关系； （2）列出代数式填表即可； （3）根据等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：∵从A市到甲、乙两地所需时间相同． ∴等量关系为：从A市到甲地的时间等于从A市到乙地的时间； （2）解：设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，则开往乙地列车的速度为千米/时； 则从A市到甲地的时间为小时，到乙地的时间为小时； 列表格如下： 目的地 距离（千米） 速度（千米/时） 时间（小时） 甲地 400 x 乙地 350 （3）解：根据等量关系可列方程：． 易错必刷题型24.解分式方程 典题特征：按规范步骤求解分式方程并核验结果 易错点：①去分母时漏乘常数项 ②省略增根检验关键步骤 71．解分式方程，去分母得（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母即可得到结果，注意不要漏乘． 【详解】解：将原方程的右侧分母变形得， 方程两边同时乘以最简公分母，得． 72．已知分式对一切有意义的都有相同的值，则，应满足关系式______． 【答案】 【分析】设该分式的值恒为常数，根据题意列出等式，整理为关于的恒等式，利用恒等式对应系数相等得到方程组，消去参数即可得到与的关系式． 【详解】解：设分式对一切有意义的的值恒为， 根据题意得（）， 等式两边同乘得， 整理得， 因为该等式对一切有意义的都成立， 所以， 由得 ， 将代入得， 整理得． 73．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】将两个分式方程分别去分母转化为整式方程，求出整式方程的解后，再检验，即可得到分式方程的最终结果． 【详解】（1）解：， 去分母得， 解得， 经检验：是原方程的解， 所以，分式方程的解为：； （2）解：， 去分母得， 解得， 经检验，当时，， 所以，是增根， 因此原分式方程无解． 易错必刷题型25.分式方程行程问题 典题特征：围绕路程、速度、时间关系的应用题型 易错点：①三者数量关系列式颠倒 ②行进过程逻辑分析不清 74．在一次野营训练中，A、B两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地．甲、乙两地相距，A组的步行速度是B组的1.2倍，并且比B组早到达乙地．求A组的步行速度． 【答案】A组的步行速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设B组速度为，根据“A组的步行速度是B组的1.2倍，并且比B组早到达乙地”列分式方程求解即可． 【详解】解：设B组速度为，则A组的步行速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则． ∴A组的步行速度为． 75．深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 【答案】小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时 【分析】设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时，由此列式求解即可本题主要考查分式的运用，理解数量关系，掌握分式解实际问题的方法是解题的关键． 【详解】解：设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时， 可列方程：， 化简得：， ， 解得：， 检验：时，且 ∴原分式方程的解为， ∴， 答：小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时． 76．2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)“朝阳号”的行驶速度是米/秒； (2)不能同时到达，理由见解析 (3)调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据“天元号”行全程的与 “朝阳号”行全程的所用时间相等作为等量关系列分式方程求解即可； （2）分别利用“时间=路程÷速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答； （3）根据“朝阳号”行30米与“天元号”行36米所用时间相等作为等量关系、列分方程求解即可． 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得：，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． （3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 经检验是原方程的解． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 易错必刷题型26.分式方程工程问题 典题特征：依托工作总量、效率、工期构建方程求解 易错点：①对单位工作总量理解偏差 ②合作工作效率计算错误 77．随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 【答案】该班同学改进前每小时整理千克废品 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品，进行列分式方程，再解得，即可作答． 【详解】解：依题意，设该班同学改进前每小时整理千克废品， ∵改进后每小时比改进前多整理15千克废品． ∴改进后每小时整理千克废品， 依题意，得 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴该班同学改进前每小时整理千克废品． 78．某快递分拣中心引入“小宇”人工智能机器人后，分拣效率大幅提升．已知“小宇”机器人单独分拣一小时的快递件数比人工分拣团队工作一小时的快递件数多3000件．已知“小宇”机器人完成的快递分拣任务4800件所需的时间和人工分拣团队完成的快递分拣任务1200件所需的时间相等．求“小宇”机器人每小时能完成多少件快递分拣任务？ 【答案】4000件 【分析】设人工分拣团队每小时能完成x件快递分拣任务，则“小宇”机器人每小时能完成件快递分拣任务，根据“小宇”机器人完成的快递分拣任务4800件所需的时间和人工分拣团队完成的快递分拣任务1200件所需的时间相等列分式方程求解即可． 【详解】解：设人工分拣团队每小时能完成x件快递分拣任务，则“小宇”机器人每小时能完成件快递分拣任务， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以． 答：“小宇”机器人每小时能完成4000件快递分拣任务． 79．某生态柑橘园现有柑橘吨，租用辆A和两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A型货车的总费用元，型货车的总费用元，每辆型货车的运费是每辆A型货车的运费的倍． （1）每辆A型货车和型货车的运费各多少元？ （2）若每辆车满载时，租用辆A型车和辆型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和型车货各运多少吨？ 【答案】（1）每辆A型货车运费元，每辆型货车的运费元；（2）每辆A型货车运吨，型货车运吨 【分析】（1）设每辆A型货车运费为元，则每辆型车运费为1.2元；根据题意，列分式方程并求解，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，可得A型货车和型货车的数量；结合题意，设每辆A型货车运吨，每辆型货车运吨，列二元一次方程组并求解，即可得到答案． 【详解】（1）设每辆A型货车运费为元，则每辆型货车运费为1.2元 由题意得：， 解得： 经检验，时，，   ∴每辆A型货车运费元，每辆型货车的运费元； （2）根据（1）的结论，A型货车的数量为：辆 ∴型货车的数量为：辆 设每辆A型货车运吨，每辆型货车运吨， 由题意得：， 解得：， ∴每辆A型货车运吨， 型货车运吨． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、分式方程的性质，从而完成求解． 易错必刷题型27.分式方程经济问题 典题特征：结合单价、销量、利润的实际应用题型 易错点：②价格变动关系列式反向 ②核心等量关系定位错误 80．2025年4月23日是第19个“世界读书日”．学校为给师生增加阅读空间，在走廊设置学科延伸阅读区，提供更丰富的书籍资源．现需购进弧形和直角两种书架，弧形书架的单价比直角书架的单价高20%．已知用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，求弧形书架和直角书架的单价． 【答案】弧形书架的单价是1200元/个，直角书架的单价是1000元/个 【分析】此题考查了分式方程的应用，设直角书架的单价为元个，弧形书架的单价为元个． 用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设直角书架的单价为元个，弧形书架的单价为元个． 由题意，得． 解，得． 经检验，是原方程的解． 当时， ； 答：弧形书架的单价是1200元/个，直角书架的单价是1000元/个． 81．为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级1条乙类生产线需多投入5万元，用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，求升级1条甲类、乙类生产线各需投入的资金． 【答案】升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设升级1条乙类生产线需投入万元，则升级1条甲类生产线需投入万元，根据用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设升级1条乙类生产线需投入万元，则升级1条甲类生产线需投入万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （万元）． 答：升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元． 82．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】(1)12万元，10万元 (2)15万元 【分析】（1）设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得，解方程即可． （2）设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得， 解得， ∴， 答：A款机器人价格为12万元，B款机器人价格为万元． （2）解：设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得， 解得． 答：该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万元． 易错必刷题型28.分式方程和差倍分问题 典题特征：依据数量和差、倍数关系列方程解题 易错点：①倍数前后主体列式颠倒 ②题干文字含义解读偏差 83．某公司员工积极参加爱心捐款活动．已知第一次捐款总额为48000元，第二次捐款总额为50000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？列出方程并求解． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．如果设第一次捐款人数为x人，则第二次捐款人数为人，根据“两次人均捐款额恰好相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：如果设第一次捐款人数为x人，则第二次捐款人数为人， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 即第一次捐款人数为480人． 84．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为90吨． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据每台新型机器人搬运900吨货物的时间和每台旧型机器人搬运600吨货物的时间相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为90吨． 85．随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 【答案】(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食 (2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克，根据甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少建立方程求解即可； （2）设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食，根据甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克， 由题意得 解得， ， 答：甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食； （2）解：设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05分式易错必刷题型专项训练 本专题汇总分式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.分式值为0的条件 题型02.求分式值为正负时取值范围 题型03.判断分式变形是否正确 题型04.分子分母系数化为整数 题型05最简分式 题型06.分式值变化判断 题型07.最高次项化为正数 题型08.分式整数解求值 题型09.分式乘除混合运算 题型10.分式乘方 题型11.含乘方的分式乘除混合运算 题型12.通分 题型13.最简公分母 题型14异分母分式加减法. 题型15.整式与分式相加减 题型16.分式加减混合运算 题型17.分式加减乘除混合运算 题型18.分式化简求值 题型19.分式恒等式确定分子分母 题型20.分式方程的定义 题型21.由分式方程解的情况求值 题型22.分式方程无解问题 题型23.列分式方程 题型24.解分式方程 题型25.分式方程行程问题 题型26.分式方程工程问题 题型27.分式方程经济问题 题型28.分式方程和差倍分问题 易错必刷题型01.分式值为0的条件 典题特征：依据分式值为0，求解所含字母参数取值 易错点：①仅令分子等于0，忽视分母取值不为0限制 ②未代入原式检验分母有效性 1．若分式的值为0，则__________． 2．如果分式的值为0，那么应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 3．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则______． 易错必刷题型02.求分式值为正负时取值范围 典题特征：结合分式整体正负属性，列不等式求解自变量取值区间 易错点：①未同步判定分子分母符号关系 ②不等式变形时不等号方向出错 4．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 5．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______． 易错必刷题型03.判断分式变形是否正确 典题特征：依托分式基本性质，甄别等式变形正误 易错点：①违规对分子分母加减运算 ②忽略字母隐含取值限制条件 7．若，下列等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 8．下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 9．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型04.分子分母系数化为整数 典题特征：将含分数、小数系数的分式，统一转化为整数系数形式 易错点：①未对分子分母整体同倍扩乘 ②扩乘倍数计算出现偏差 10．不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为____________． 11．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 12．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型05最简分式 典题特征：判定分式是否为最简形式，完成约分筛选 易错点：①未因式分解直接判定 ②遗漏分子分母隐藏公因式 13．下列代数式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 14．从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式____________________． 15．下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型06.分式值变化判断 典题特征：已知字母缩放比例，判定分式整体数值变动规律 易错点：①凭主观经验主观判断 ②未采用赋值法严谨验证结果 16．若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 17．已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为________． 18．下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 19．如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题： ×年×月×日，星期日 整体代入法求分式的值 今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法： 方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy， ∴原式＝ 方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得， 原式＝ (1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 　 　． (2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． (3)若（a，b都不为0），请直接写出的值． 易错必刷题型07.最高次项化为正数 典题特征：调整分式首尾项符号，统一标准化书写格式 易错点：①符号转换规则混淆 ②分子分母符号调整不同步 20．若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝______． 21．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 22．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 易错必刷题型08.分式整数解求值 典题特征：限定分式计算结果为整数，求取合规整数自变量 易错点：①枚举因数不完整 ②未规避分母等于0的无效取值 23．若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为______． 24．若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 易错必刷题型09.分式乘除混合运算 典题特征：多组分式连续乘除，因式分解后约分计算 易错点：①违背从左至右运算顺序 ②运算过程正负符号判定失误 26．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 27．计算：______． 28．计算： (1)； (2)； 易错必刷题型10.分式乘方 典题特征：对整体分式或单项分式进行幂次运算 易错点：①漏对分母整体乘方 ②混淆奇次幂与偶次幂符号规则 29．计算的结果是___________. 30．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 31．化简： 易错必刷题型11.含乘方的分式乘除混合运算 典题特征：融合乘方、乘法、除法的综合性计算题型 易错点：①运算优先级判定错误 ②多层符号叠加计算失误 32．（ ） A． B． C． D． 33．（1）________；              （2）________； （3）________；   （4）________； （5）________． 34．计算： (1) ； (2)． 易错必刷题型12.通分 典题特征：为异分母分式统一公共分母，便于后续计算 易错点：①选取公分母不符合最简要求 ②分子未随分母同步扩分 35．填空： （1）_______；     （2）_______； （3）_______． 36．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 37．通分： (1)，； (2)，，． 易错必刷题型13.最简公分母 典题特征：单独求解多个异分母分式的最小公共分母 易错点：②因式幂次选取偏低 ②遗漏独立单一因式项 38．分式与的最简公分母是______． 39．的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 40．通分：，，． 易错必刷题型14异分母分式加减法. 典题特征：分式核心计算题型，统一分母后合并运算 易错点：①不通分直接合并分子 ②计算完成后未约分为最简分式 41．计算 的结果是（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 42．计算：______． 43．以下是某同学计算的过程： 计算： 解：原式① ② ③ 老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误． (1)请你指出：上述解题过程，从第_______步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)请写出你认为正确的解题过程． 易错必刷题型15.整式与分式相加减 典题特征：整式与分式混合开展加减化简运算 易错点：①整式直接并入分子计算 ②整式化分式时分母搭配错误 44．若，则式子的值是（  ） A．-2 B．0 C．1 D．2 45．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 46．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型16.分式加减混合运算 典题特征：多项分式连续加减，分步化简求值 易错点：①去括号时符号转换错误 ②运算中途擅自约分打乱式子 47．已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 48．如果，那么________，________． 49．观察下列各式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ________； (2)写出你猜想的第（为正整数）个等式： ________，并证明． 易错必刷题型17.分式加减乘除混合运算 典题特征：四则运算融合的综合计算题，考试高频考点 易错点：①混淆四则运算先后顺序 ②步骤繁杂引发计算疏漏 50．计算：_____． 51．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 52．计算： (1)； (2)； (3)． 易错必刷题型18.分式化简求值 典题特征：先整体化简分式，再代入指定数值计算结果 易错点：①未经化简直接代值计算 ②代入使分母为零的无效数值 53．如果，那么的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 54．若且均不为0，则的值为（　　） A． B． C．0 D．12 55．先化简，再求值：，其中． 易错必刷题型19.分式恒等式确定分子分母 典题特征：根据分式恒等关系，求解未知整式表达式 易错点：①对应项系数匹配不均等 ②多项式展开合并出现错误 56．若，其中a，b为常数，则_____． 57．已知，其中，，，为常数，则______． 58．阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 易错必刷题型20.分式方程的定义 典题特征：区分判定分式方程与普通整式方程 易错点：①误判分母不含未知数的方程 ②混淆分式方程与根式方程 59．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 60．下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式方程的是_____．（请填写序号） 61．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 易错必刷题型21.由分式方程解的情况求值 典题特征：已知方程解正负属性，反向求解参数取值范围 易错点：①未剔除增根对应参数值 ②取值边界范围界定不准确 62．若分式方程有增根，则________． 63．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 64．已知关于x的方程：． (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 易错必刷题型22.分式方程无解问题 典题特征：分整式方程无解、分式方程产生增根两类求解参数 易错点：①遗漏其中一类无解情况 ②增根溯源推导出现偏差 65．已知是实数，若分式方程无解，则的值为（　　） A． B． C． D． 66．若关于的方程无解，则的值为_____． 67．若解关于x的方程无解，求代数式的值． 易错必刷题型23.列分式方程 典题特征：依托实际题意，梳理等量关系列出方程 易错点：①题意等量关系梳理错乱 ②变量设定与题干含义不符 68．某工程队原计划修路，实际每天比原计划多修，结果提前3天完成．设原计划每天修路，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 69．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为_____． 70．A市与甲、乙两地的距离分别为400千米和350千米，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快15千米/时，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． (1)请找出列方程所需的等量关系； (2)若设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，请将等量关系中涉及的量用含的代数式表示，并将它们填写在图形或表格中，以此来表达你对问题的分析过程； (3)根据等量关系列出方程． 易错必刷题型24.解分式方程 典题特征：按规范步骤求解分式方程并核验结果 易错点：①去分母时漏乘常数项 ②省略增根检验关键步骤 71．解分式方程，去分母得（   ）． A． B． C． D． 72．已知分式对一切有意义的都有相同的值，则，应满足关系式______． 73．解下列分式方程： (1) (2) 易错必刷题型25.分式方程行程问题 典题特征：围绕路程、速度、时间关系的应用题型 易错点：①三者数量关系列式颠倒 ②行进过程逻辑分析不清 74．在一次野营训练中，A、B两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地．甲、乙两地相距，A组的步行速度是B组的1.2倍，并且比B组早到达乙地．求A组的步行速度． 75．深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 76．2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 易错必刷题型26.分式方程工程问题 典题特征：依托工作总量、效率、工期构建方程求解 易错点：①对单位工作总量理解偏差 ②合作工作效率计算错误 77．随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 78．某快递分拣中心引入“小宇”人工智能机器人后，分拣效率大幅提升．已知“小宇”机器人单独分拣一小时的快递件数比人工分拣团队工作一小时的快递件数多3000件．已知“小宇”机器人完成的快递分拣任务4800件所需的时间和人工分拣团队完成的快递分拣任务1200件所需的时间相等．求“小宇”机器人每小时能完成多少件快递分拣任务？ 79．某生态柑橘园现有柑橘吨，租用辆A和两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A型货车的总费用元，型货车的总费用元，每辆型货车的运费是每辆A型货车的运费的倍． （1）每辆A型货车和型货车的运费各多少元？ （2）若每辆车满载时，租用辆A型车和辆型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和型车货各运多少吨？ 易错必刷题型27.分式方程经济问题 典题特征：结合单价、销量、利润的实际应用题型 易错点：②价格变动关系列式反向 ②核心等量关系定位错误 80．2025年4月23日是第19个“世界读书日”．学校为给师生增加阅读空间，在走廊设置学科延伸阅读区，提供更丰富的书籍资源．现需购进弧形和直角两种书架，弧形书架的单价比直角书架的单价高20%．已知用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，求弧形书架和直角书架的单价． 81．为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级1条乙类生产线需多投入5万元，用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，求升级1条甲类、乙类生产线各需投入的资金． 82．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 易错必刷题型28.分式方程和差倍分问题 典题特征：依据数量和差、倍数关系列方程解题 易错点：①倍数前后主体列式颠倒 ②题干文字含义解读偏差 83．某公司员工积极参加爱心捐款活动．已知第一次捐款总额为48000元，第二次捐款总额为50000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？列出方程并求解． 84．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 85．随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $