6.1～6.2 平行四边形的性质与判定 学案 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学导学案以“平行四边形的性质与判定”为核心，通过知识梳理模块系统呈现定义、性质（边、角、对角线等）及判定定理，构建“定义-性质-判定”递进式学习路径，引导学生从概念理解到定理应用形成完整知识体系。 亮点在于设计“条件开放型探究任务”（如选择两个条件证明第三个结论），培养推理能力与创新意识，分层作业覆盖基础证明到综合应用，参考答案提供多种证法思路，既支持学生深度学习，又为教师实施单元复习提供清晰教学支架。

平行四边形的性质与判定 知识梳理 1.平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.平行四边形是特殊的四边形，四边形具有不稳定性. 2.平行四边形的性质 边 对边平行且相等，即//，，， 角 对角相等，邻角互补，如， 对角线 对角线互相平分，即， 对称性 是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 面积 边长×该边上的高，即 周长 等于两邻边和的2倍；对角线分得的4个小三角形中，相邻两个小三角形的周长之差为平行四边形的两邻边之差，即 3.平行四边形的判定 （1）判定定理 如图，已知四边形，对角线，相交于点.请添加适当的条件，使得四边形为平行四边形. 图形 添加条件 判定定理 ， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ， 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ，或， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ， 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ， 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（人教独有） （2）判定思路 ①已知一组对边相等 ②已知一组对边平行 ③已知两条对角线：证对角线互相平分. 课后作业 1．如图，▱ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，E，F为垂足．求证：BE＝DF． 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，E为AD上一点，连接EO并延长交BC于点F，且AE＝CF．求证： （1）△AEO≌△CFO； （2）四边形ABCD为平行四边形． 3．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，连接AE、AF，有下列三个选项：①BE＝DF，②∠AEB＝∠AFD，③AE＝AF．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，选择一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法） （1）你选的补充条件为_____、_____，结论为_____；（填序号即可） （2）根据第（1）问的选择，证明你的结论． 4．如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC边上的一点，点F是DC延长线上的一点，且DE＝CF．求证：∠AED＝∠BFC． 5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．求证：△ADE≌△CBF． 6．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF． 求证：BE＝DF． 7．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，连接AE、AF，有下列三个选项：①BE＝DF，②∠AEB＝∠AFD，③AE＝AF．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，选择一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法） （1）你选的补充条件为　 　 、　 　 ，结论为　 　 ；（填序号即可） （2）根据第（1）问的选择，证明你的结论． 8．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF．求证：∠1＝∠2． 9．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 10．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且DE＝BF，连接BD，EF与BD相交于点O．求证：O是BD的中点． 11．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AB，CD边上，且AE＝CF．求证：ED＝FB． 12．如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD． （1）若∠D＝80°，求∠EFC的度数． （2）若AB＝2，∠B＝60°，求平行线AE与BC之间的距离． 13．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段．猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）． （1）连结　 　 ，猜想：　 　 ＝　 　 ； （2）证明： 14．如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 15．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、点F分别为OA，OC的中点，连接BE，DF．求证：BE∥DF． 16．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥BC交BD延长线于点E，连接AE． （1）若△BOC的周长比△COD的周长大3，且▱ABCD的周长为14，求BC的长； （2）若点M、N分别是AE、CD的中点，求证：． 17．如图，在▱ABCD中，BC⊥AC，点M为CD的中点，连接AM并延长，交BC的延长线于点E，连接DE． （1）求证：BE＝2AD； （2）当AB⊥AE时，四边形ACED是　 　 形，请证明． 18．如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，求证：DE＝BF． 19．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AD，BC上一点，且DE＝BF．求证：AF＝EC． 20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为BO，DO的中点，求证：AF∥CE． 参考答案与试题解析 1．【解答】证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△BAE和△DCF中， ， ∴△BAE≌△DCF（AAS）， ∴BE＝DF． 2．【解答】（1）解法一： 证明：∵AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO， 又∵AE＝CF， ∴△AEO≌△CFO（ASA）； 解法二： 证明：∵AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， 又∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO（AAS）； （2）解法一： 由（1）得，△AEO≌△CFO， ∴OA＝OC，EO＝FO， ∵AD∥BC， ∴∠OED＝∠OFB，∠EDO＝∠FBO， ∴△OED≌△OFB（AAS）， ∴OD＝OB， ∴四边形ABCD为平行四边形． 解法二： 由（1）得，△AEO≌△CFO， ∴EO＝FO， ∵AD∥BC， ∴∠OED＝∠OFB，∠EDO＝∠FBO， ∴△OED≌△OFB（AAS）， ∴ED＝FB， ∵AE+ED＝AD，CF+FB＝BC，AE＝CF， ∴AD＝BC， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 3．【解答】解：（1）解法一，选的条件为②，③，结论为①． 解法二，选的条件为①，②，结论为③； （2）解法一，选的条件为②，③，结论为①， 证明，∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE＝DF． 解法二，选的条件为①，②，结论为③， 证明，∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴AE＝AF． 4．【解答】证明：由题意可得：AD＝BC，AD∥BC， ∴∠D＝∠BCF， 在△ADE和△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴∠AED＝∠BFC． 5．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝CB， ∴∠CBD＝∠ADB， ∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠CBD， ∴∠CBF＝∠ADE， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． 6．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AE＝CF， ∴DE＝BF，DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE＝DF． 7．【解答】解：（1）解法一，选的条件为②，③，结论为①． 解法二，选的条件为①，②，结论为③； （2）解法一，选的条件为②，③，结论为①， 证明，∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE＝DF． 解法二，选的条件为①，②，结论为③， 证明，∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴AE＝AF． 8．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥CB， ∴∠ADE＝∠CBF， 又∵DE＝BF， ∴△ADE≌△CBF（SAS）， ∴∠1＝∠2． 9．【解答】证明：（1）∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 又∵AE＝CF，AB＝CD， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）； （2）由（1）知△ABE≌△CDF， ∴∠ABE＝∠CDF， ∴AB∥CD， 又∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 10．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ODE＝∠OBF（两直线平行，内错角相等）， 在△ODE和△OBF中， ， ∴△ODE≌△OBF（AAS）， ∴OD＝OB， ∴O是BD的中点． 11．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△CBF≌△ADE（SAS）， ∴ED＝FB． 12．【解答】解：（1）求∠EFC 的度数五边形内角和为：（5﹣2）×180°＝540°， ∵AE∥BC，∴∠A+∠B＝180°， 已知∠D＝80°，则：∠AED+∠BCD＝540°﹣（∠A+∠B）﹣∠D＝540°﹣180°﹣80°＝280°， ∵EF 平分∠AED，CF 平分∠BCD， ∴∠DEF+∠DCF＝21（∠AED+∠BCD）＝140°， 在四边形 DEFC 中：∠EFC＝360°﹣（∠DEF+∠DCF）﹣∠D＝360°﹣140°﹣80°＝140°； （2）过点A作AH⊥BC于H，如图所示： 则AH即为平行线AE与BC之间的距离， 在Rt△ABH中，AB＝2，∠B＝60°， AH＝AB•sin60°＝2， 即平行线AE与BC之间的距离为． 13．【解答】解：（1）连接BF； 猜想：BF＝DE． 故答案为：BF，BF＝DE； （2）证明：连接BF 由题意可得：AD＝BC，AD∥BC． ∴∠BCF＝∠DAE， ∴在△BCF和△DAE中， ， ∴△BCF≌△DAE， ∴BF＝DE． 14．【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD． ∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 15．【解答】证明：连接DE、BF， ∵点E、点F分别为OA，OC的中点， ∴OE＝AEOA，OF＝CFOC， ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC和BD交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴OE＝OF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴BE∥DF． 16．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB， ∵△BOC的周长比△COD的周长大3， ∴BC+OB+OC﹣（CD+OD+OC）＝BC﹣CD＝3， 设BC＝x，则CD＝x﹣3， ∵平行四边形ABCD的周长为14， ∴2（x+x﹣3）＝14， 解得：x＝5， ∴BC＝5； （2）证明：连接ON，OM， ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝90°． ∵OC＝OA， 由题意可得： ∴，，NO∥BC，MO∥CE， ∴∠MON＝∠BCE＝90°， ∴， ∴． 17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADC＝∠ECD， ∵点M是CD的中点， ∴MC＝MD， ∵∠AMD＝∠EMC， ∴△ADM≌△ECM（ASA）， ∴AD＝CE， ∴CB＝CE， ∵BE＝BC+CE， ∴BE＝2CE＝2AD． （2）解：当AB⊥AE时，四边形ACED是正方形． 证明：由（1）知，AD＝CE， 又∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵BC⊥AC， ∴∠ACE＝90°， ∴四边形ACED是矩形， ∵AB⊥AE， ∴∠BAE＝90°， 由（1）知：BC＝CE， ∴ACBE， ∴AC＝CE， ∴四边形ACED是正方形． 故答案为：正方． 18．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（AAS）， ∴DE＝BF． 19．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵DE＝BF， ∴AD﹣DE＝BC﹣BF， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF＝EC． 20．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵E，F分别为BO，DO的中点， ∴EO＝FO， 在△AFO和△CEO中， ， ∴△AFO≌△CEO（SAS）， ∴∠AFO＝∠CEO， ∴AF∥EC． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/19 10:46:07；用户：试用；邮箱：hanm@xyh.com；学号：38871860 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $